初二数学经典题型
1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝15．求证：△PBC 是正三角形．
证明如下。
首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。
D
在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形。 C
2. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线
交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．
证明:连接AC, 并取AC 的中点G, 连接GF,GM.
又点N 为CD 的中点, 则GN=AD/2;GN∥AD, ∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM∥BC, ∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN. 故:∠DEM=∠CFN.
3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF
因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线，
所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2
又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO
所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF
CB=BF
所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2.
4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．
过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接
BE
因为DP//AE，AD//PE
所以，四边形AEPD 为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP
所以，A 、E 、B 、P 四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD 为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD 为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC 所以，PE//BC，且PE=BC
即，四边形EBCP 也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB
5.P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC=3a正方形的边长．
解：将△BAP 绕B 点旋转90°使BA 与BC 重合，P 点旋转后到Q 点，连接PQ 因为△BAP ≌△BCQ
所以AP ＝CQ ，BP ＝BQ ，∠ABP ＝∠CBQ ，∠BPA ＝∠BQC 因为四边形DCBA 是正方形 所以∠CBA ＝90°，所以∠ABP ＋∠CBP ＝90°，所以∠CBQ ＋∠CBP ＝90°
即∠PBQ ＝90°，所以△BPQ 是等腰直角三角形
所以PQ ＝√2*BP，∠BQP ＝45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ ＝2√2a，CQ ＝a ，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ 是直角三角形且∠CQA ＝90°
所以∠BQC ＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA ＝∠BQC ＝135° 作BM ⊥PQ
则△BPM 是等腰直角三角形
所以PM ＝BM ＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2
所以AB ＝[√(5＋2√2)]a
6. 一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x ，则大水管进水速度为4x 。
v v +=t 2x 8x 5v
解之得：x =
8t 5v
经检验得：x =是原方程解。
8t
5v 5v
∴小口径水管速度为，大口径水管速度为。
8t 2t
由题意得：
7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，-1），且P （-1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形
OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．
图
1
解：（1）设正比例函数解析式为y =kx ，将点M （-2，-1）坐标代入得k =，所以正比
2
例函数解析式为y =
1
x 2
2 x
同样可得，反比例函数解析式为y =（2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为Q (m m ) ， 于是S △OBQ =而S △OAP =所以有，
12
1
OB ? BQ 2111
m m =m 2， 224
1
(-1) ? (2) =1， 2
12
m =1，解得m =±2
4
所以点Q 的坐标为Q 1(2，1) 和Q 2(-2，-1)
（3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，
而点P （-1，-2）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．
因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为Q (n ) ， 由勾股定理可得OQ =n +所以当(n -2
2
2n
422
=(n -) +4， n 2n
222
) =0即n -=0时，OQ 2有最小值4， n n
又因为OQ 为正值，所以OQ 与OQ 2同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2．
由勾股定理得OP
OPCQ 周长的最小值是
8. 如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线
BC 上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .
① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP =∠DCP=45°. ∵ PC=PC ，
∴ △PBC ≌△PDC （SAS ）.
D ∴ PB = PD， ∠PBC =∠PDC .
又∵ PB = PE ，
∴ PE =PD . 1
② （i ）当点E 在线段BC 上(E 与B 、C 不重合) 时， ∵ PB=PE ，
B C
∴ ∠PBE =∠PEB ， ∴ ∠PEB =∠PDC ，
∴ ∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°，
∴ ∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°， ∴ PE ⊥PD . ）
（ii ）当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，此时，PE ⊥PD . （iii ）当点E 在BC 的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC =∠PDC ，∠1=∠2， ∴ ∠DPE =∠DCE =90°，
E
∴ PE ⊥PD . 综合（i ）（ii ）（iii ）, PE⊥PD .
（2）① 过点P 作PF ⊥BC ，垂足为F ，则BF =FE . ∵ AP =x ，AC =2，
D
22. (2-x ) =1-x 22
22
BF =FE =1-FC =1-(1-x . x )=
22
1222
∴ S △PBE =BF ·PF =x (1-x . x ) =-x 2+
2222
12
即 y =-x 2+x (0＜x ＜2).
2212121
② y =-x 2+x =-(x -) +.
222241
∵ a =-＜0，
2
∴ PC =2- x，PF =FC =∴ 当x =
B F E 12
时，y 最大值=.
42
（1）证法二：① 过点P 作GF ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形，
G △AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形. ∴ GD=FC=FP ，GP=AG=BF ，∠PGD =∠PFE =90°.
又∵ PB =PE ，
∴ BF =FE ， ∴ GP =FE ，
B F E ∴ △EFP ≌△PGD （SAS ）.
∴ PE =PD . ② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE =90°.
∴ PE ⊥PD . （2）①∵ AP =x ，
D
2x ，PF =1-x .
22
1222
∴ S △PBE =BF ·PF =x (1-x . x ) =-x 2+
2222
12
即 y =-x 2+x (0＜x ＜2).
22121221
② y =-x 2+x =-(x -) +.
22224
∴ BF =PG =
1
∵ a =-＜0，
2∴ 当x =
9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数 y=k2x的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点． （1）求k 1、k 2的值．
（2）直接写出 k1x+b-k2x＞0时x 的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．
10、如图12，已知直线y =坐标为4．
（1）求k 的值； （2）若双曲线y =
12时，y . 最大值=42
1k
x 与双曲线y =(k >0) 交于A ，B 两点，且点A 的横2x
k
(k >0) 上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； x
k
(k >0) 于P ，Q 两点（P 点在第一象限），x
若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线y =
图12
初二数学经典题型
1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝15．求证：△PBC 是正三角形．
证明如下。
首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。
D
在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形。 C
2. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线
交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．
证明:连接AC, 并取AC 的中点G, 连接GF,GM.
又点N 为CD 的中点, 则GN=AD/2;GN∥AD, ∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM∥BC, ∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN. 故:∠DEM=∠CFN.
3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF
因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线，
所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2
又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO
所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF
CB=BF
所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2.
4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．
过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接
BE
因为DP//AE，AD//PE
所以，四边形AEPD 为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP
所以，A 、E 、B 、P 四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD 为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD 为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC 所以，PE//BC，且PE=BC
即，四边形EBCP 也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB
5.P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC=3a正方形的边长．
解：将△BAP 绕B 点旋转90°使BA 与BC 重合，P 点旋转后到Q 点，连接PQ 因为△BAP ≌△BCQ
所以AP ＝CQ ，BP ＝BQ ，∠ABP ＝∠CBQ ，∠BPA ＝∠BQC 因为四边形DCBA 是正方形 所以∠CBA ＝90°，所以∠ABP ＋∠CBP ＝90°，所以∠CBQ ＋∠CBP ＝90°
即∠PBQ ＝90°，所以△BPQ 是等腰直角三角形
所以PQ ＝√2*BP，∠BQP ＝45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ ＝2√2a，CQ ＝a ，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ 是直角三角形且∠CQA ＝90°
所以∠BQC ＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA ＝∠BQC ＝135° 作BM ⊥PQ
则△BPM 是等腰直角三角形
所以PM ＝BM ＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2
所以AB ＝[√(5＋2√2)]a
6. 一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x ，则大水管进水速度为4x 。
v v +=t 2x 8x 5v
解之得：x =
8t 5v
经检验得：x =是原方程解。
8t
5v 5v
∴小口径水管速度为，大口径水管速度为。
8t 2t
由题意得：
7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，-1），且P （-1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形
OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．
图
1
解：（1）设正比例函数解析式为y =kx ，将点M （-2，-1）坐标代入得k =，所以正比
2
例函数解析式为y =
1
x 2
2 x
同样可得，反比例函数解析式为y =（2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为Q (m m ) ， 于是S △OBQ =而S △OAP =所以有，
12
1
OB ? BQ 2111
m m =m 2， 224
1
(-1) ? (2) =1， 2
12
m =1，解得m =±2
4
所以点Q 的坐标为Q 1(2，1) 和Q 2(-2，-1)
（3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，
而点P （-1，-2）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．
因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为Q (n ) ， 由勾股定理可得OQ =n +所以当(n -2
2
2n
422
=(n -) +4， n 2n
222
) =0即n -=0时，OQ 2有最小值4， n n
又因为OQ 为正值，所以OQ 与OQ 2同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2．
由勾股定理得OP
OPCQ 周长的最小值是
8. 如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线
BC 上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .
① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP =∠DCP=45°. ∵ PC=PC ，
∴ △PBC ≌△PDC （SAS ）.
D ∴ PB = PD， ∠PBC =∠PDC .
又∵ PB = PE ，
∴ PE =PD . 1
② （i ）当点E 在线段BC 上(E 与B 、C 不重合) 时， ∵ PB=PE ，
B C
∴ ∠PBE =∠PEB ， ∴ ∠PEB =∠PDC ，
∴ ∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°，
∴ ∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°， ∴ PE ⊥PD . ）
（ii ）当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，此时，PE ⊥PD . （iii ）当点E 在BC 的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC =∠PDC ，∠1=∠2， ∴ ∠DPE =∠DCE =90°，
E
∴ PE ⊥PD . 综合（i ）（ii ）（iii ）, PE⊥PD .
（2）① 过点P 作PF ⊥BC ，垂足为F ，则BF =FE . ∵ AP =x ，AC =2，
D
22. (2-x ) =1-x 22
22
BF =FE =1-FC =1-(1-x . x )=
22
1222
∴ S △PBE =BF ·PF =x (1-x . x ) =-x 2+
2222
12
即 y =-x 2+x (0＜x ＜2).
2212121
② y =-x 2+x =-(x -) +.
222241
∵ a =-＜0，
2
∴ PC =2- x，PF =FC =∴ 当x =
B F E 12
时，y 最大值=.
42
（1）证法二：① 过点P 作GF ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形，
G △AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形. ∴ GD=FC=FP ，GP=AG=BF ，∠PGD =∠PFE =90°.
又∵ PB =PE ，
∴ BF =FE ， ∴ GP =FE ，
B F E ∴ △EFP ≌△PGD （SAS ）.
∴ PE =PD . ② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE =90°.
∴ PE ⊥PD . （2）①∵ AP =x ，
D
2x ，PF =1-x .
22
1222
∴ S △PBE =BF ·PF =x (1-x . x ) =-x 2+
2222
12
即 y =-x 2+x (0＜x ＜2).
22121221
② y =-x 2+x =-(x -) +.
22224
∴ BF =PG =
1
∵ a =-＜0，
2∴ 当x =
9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数 y=k2x的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点． （1）求k 1、k 2的值．
（2）直接写出 k1x+b-k2x＞0时x 的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．
10、如图12，已知直线y =坐标为4．
（1）求k 的值； （2）若双曲线y =
12时，y . 最大值=42
1k
x 与双曲线y =(k >0) 交于A ，B 两点，且点A 的横2x
k
(k >0) 上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； x
k
(k >0) 于P ，Q 两点（P 点在第一象限），x
若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线y =
图12