1、试题序号：321 2、题型：证明题 3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容：
设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且A 2=E ，证明：R (A +E )+R (A -E )=n . 9、答案内容：
2
2
证明:
A =E ⇒A -E =0⇒(A +E )(A -E ) =0由矩阵秩的性质, 则有R (A +E ) +R (A -E ) =R (A +E ) +R (E -A ) ≤n . 同时, 有
R (A +E )+R (E -A ) ≥R (A +E +E -A ) =n . ∴R (A +E ) +R (A -E ) =n .
2
10、评分细则：由题设推出(A +E )(A -E )=0得2分; 由矩阵秩的性质推出
R (A +E )+R (A -E )≤n 得2分; 推出R (A +E )+R (A -E 得2分; 因而推出)≥n R (A +E )+R (A -E n 2分. )=得
----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：3
4、知识点： 第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容：
设A 为一个n 阶正交矩阵，且A =-1. 证明：λ=-1是A 的特征值. 9、答案内容： 证明：
A 是正交矩阵, ∴A A =E . 又 A =-1,
∴A -(-1) E =A +E =A +A A =(E +A ) A =E +A =-E +A
T
T
T
T
T
T
A
T
=-E +A
T
=-(E +A ) =-E +A
∴A +E =0⇒A -(-1) E =0. ∴λ=-1是A 的特征值.
10、评分细则：推出A -(-1)E =A +AA T (2分) =-E +A T (2分) =-E +A (2分) 推出A -(-1)E =0并说明λ=-1是A 的特征值(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题
3、难度级别：4
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：
已知A , B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵 9、答案内容：
⎛A ⎝0
0⎫
⎪也为正定矩阵. B ⎭
证明
A , B 是正定矩阵，∴A ，B 是对称矩阵. ⎛A ∴ ⎝0⎛A ∴ ⎝0
0⎫⎛A T ⎪= T B ⎭⎝0
T
T
0⎫⎛A
= T ⎪
B ⎭⎝0
0⎫⎪. B ⎭
0⎫
⎪是对称矩阵. B ⎭
T
令f =(X 1
A T ⎛X 2)
⎝00⎫⎛X 1⎫⎛A
, 此为⎪⎪
B ⎭⎝X 2⎭⎝00⎫
⎪所确定的二次型. B ⎭
⎛X 1⎫∀ ⎪≠0⇒X 1,X 2中至少有一个不为0, ⎝X 2⎭
则有f =X1A X 1+X2B X 2>0. ∴此二次型为正定二次型，⎛A 则 ⎝0
0⎫
⎪为正定矩阵. B ⎭
T
T
⎛A 0⎫
10、评分细则：由题设中条件推出 ⎪是对称矩阵(2分); 令
0B ⎝⎭
A 0⎫⎛X 1⎫T T ⎛T T
f =X 1X 2 X 2)≠0推出X 1, X 2中至少有一个不为零 ⎪(2分); 由(X 1⎪
⎝0B ⎭⎝X 2⎭
()
T T T T
(2分). 则有f =X 1AX 1+X 2BX 2>0, 推出f =X 1AX 1+X 2BX 2为正定二次型(2分).
⎛A 0⎫
因而有 ⎪为正定矩阵(2分).
0B ⎝⎭----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：324 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：
设A , B 均为n 阶正定矩阵，试证明：A +B 也为正定矩阵. 9、答案内容： 证明：
A , B 都是正定矩阵, ∴A =A , B =B . (A +B ) =A +B
T
T
T
T
T
=A +B
⇒A +B 为对称矩阵. 令f =x (A +B ) x . ∀x ≠0, 则有f =x A x +x B x . A , B 是正定矩阵
∴x A x , x B x 是正定二次型. 则有f =x A x +x B x >0. ∴f =x (A +B ) x 为正定二次型. 则A+B也为正定矩阵.
T
T
T
T
T
T
T
T
10、评分细则：由题设中条件推出A +B 为对称矩阵(2分); 令f =x (A +B )x (2
T
分); ∀x ≠0⇒f =x T Ax +x T Bx >0(2分); 推出f =x (A +B )x 为正定二次型(2分); 因
T
而有A +B 为正定矩阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：325 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系 8、试题内容：
若向量β可由向量组α1, α2, , αr 线性表示，但β不能由α1, α2, , αr -1线性表示，试证：αr 可由α1, α2, , αr -1, β线性表示.
9、答案内容： 证明：
β可以由α１，α２， αr 线性表示，∴存在一组数Ｋ１，Ｋ２， Ｋr , 使得Ｋ１α１＋Ｋ２α２＋ ＋Ｋr αr ＝β.
若Ｋr =0, 则β=Ｋ１α１＋Ｋ２α２＋ ＋Ｋr-１αr -１. 这与β不能由α１，α２， αr -１线性表示矛盾. ∴Ｋr ≠０⇒αr =-
Ｋ１Ｋr
Ｋ２Ｋr
Ｋr-１Ｋr
1Ｋr
α１-α2 -αr -１-
β.
∴αr 可由α１，α２， αr -１, β线性表示.
10、评分细则：由题设中条件令k 1α1+k 2α2+ +k r αr =β(2分); 假设k r =0推出β不能
由α1, α2, , αr -1线性表示矛盾(2分); ∴k r ≠0⇒αr 可以由α1, α2, , αr -1, β线性表示(4分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：326 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
如果向量组α1, α2, , αs 线性无关，试证：向量组关.
9、答案内容： 证明：
令A=(α1∴R (α1
α, α+α, , α+α+ +αs 线性无
α2α2
αS ), B =(α1
α1+α2
α1+α2+ +αS ).
α1, α2, αS 线性无关，
αS )=R (A )=S .
⎛1 0 αS ) ⎝0
11 0
1⎫⎪1⎪. ⎪⎪ 1⎭
(α1α1+α2
α1+α2+ +αS )=(α1
α2
⎛1 0
令C=
⎝0
11 0
1⎫⎪1⎪. ⎪⎪1⎭
则有B=AC，显然C 可逆.
10、评分细则：令A =(α1α2 αs ), B =(α1由题设条件推出R (A )=s (1分);
⎛1 0 令C =
⎝0
11 0
1
1⎫
⎪1
⎪推出B =A C (2分); 推出A =BC -1⇒R (B )≥R (A )=s (2分) ⎪⎪1⎭
α1+α2
α1+α2+ αs )(1分);
又R (B )≤s ⇒R (B )=s ⇒α1, α1+α2, α1+ αs 线性无关(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：327 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：奇异矩阵 8、试题内容：
已知矩阵A 2=E , B 2=E ，且A +B =0证明：A +B 为奇异矩阵. 9、答案内容： 证明：
A =E ⇒A =±1, B =E ⇒B =±1. 又 A +B =0⇒若A =±1, 则B = 1. 而A (A +B ) =A B +AB =B +A . ∴A (A +B ) B =B +A . ∴A A +B B =A +B .
∴-A +B =0, 则A +B 为奇异矩阵.
2
2
2
2
10、评分细则：由题设中条件推出A =±1, B = 1(1分); 推出A (A +B )B =B +A (3分); 推出A A +B B =B +A (2分); 推出A +B =0⇒A +B 为奇异矩阵(2分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：328 2、题型：证明题 3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设n 维基本单位向量组ε1, ε2, , εn 可由n 维向量组α1, α2, , αn 线性表示，证明：α1, α2, , αn 线性无关.
9、答案内容： 证明： 令A=(α1
α2
αn ), 且E n =(ε1
ε2
εn ). a
ε1, ε2, εn 可以由α1, α2, , αn 线性表示. ∴存在一个n 阶方阵B , 使得E n =AB ⇒R (A )≥R (E n )=n . 同时R (A )≤n .
∴R (A )=n ⇒α1, α2, , αn 线性无关.
10、评分细则：令A =(α1
α2
αn ), E =(ε1
ε2
εn )(2分); 由题设条件推出
存在一个n 阶矩阵B (2分); 使得AB =E ⇒R (A )=n (4分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：329 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设α1, α2, , αm 线性无关，β1可由α1, α2, , αm 线性表示，β2不可由α1, α2, , αm 线性表示，证明：α1, α2, , αm , λβ1+β2线性无关（其中λ为常数）. 9、答案内容： 证明:
β1=k 1α1+k 2α2+ k m αm ，
∴(α1
α2
αm
λβ1+β2) (α1
α2
αm
β2).
假设R (α1
α2αM
β2)≤m , 则有
α1, α2, , αm , β2线性相关, 因而与β2不能由α1, α2, , αm 线性表示矛盾. ∴R (α1
α2
αm
β2)>m , ∴R (α1
α2
αm
λβ1+β2)=m +1
∴α1, α2, , αm , λβ1+β2线性无关.
10(α1R (α1
、α2评分细则： αm λβ1+β2) (α1α2
2
由
题设αm β2)
中(2
条分
件);
推假
出设
α
αm
β
分); ∴R (α1α2
分); 推出α1, α2, αm , λβ1+β2线性无关(1分). 1、试题序号：330 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组与矩阵的秩
β2能由α1, α2, αm 线性表示, 与题设矛盾(2)≤m 由题设推出2
αm β2)>m 推出R (α1α2 αm λβ1+β)2=m +1(3
----------------------------------------------------------------------------
8、试题内容：
设A 为n ⨯m 矩阵，B 为m ⨯n 矩阵，n
9、答案内容：
证明: A 为n ⨯m 矩阵, B 为m ⨯n 矩阵, 且AB =E , E 为单位矩阵. 由矩阵秩的性质, 则有 R (B )≥R (E )=n .
又 n
∴B 的列向量组线性无关.
10、评分细则：由题设推出R (B )≥R (E )=n (2分); 又有题设中n
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：331 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设α1, α2, , αn -1为n -1个线性无关的n 维列向量，η1, η2与α1, α2, , αn -1均正交，证明：η1, η2线性相关.
9、答案内容：
证明: η1, η2分别与α1, α2, , αn -1均正交,
⎛η1T ⎫∴ T ⎪(α1
⎝η2⎭
α2
αn -1)= ⎪
⎝0⎭
⎛0⎫
令A =(α1
α2
⎛η1T ⎫
αn -1), B = T ⎪, BA =0⇒R (A )=n -1⇒R (B )≤1
⎝η2⎭
∴η1, η2线性相关.
10、评分细则：令A =(α1
α2
(2(1
αn -1), B =(η1η2)(1分); 由题设中条件推得
(1(1
分); 若分
);
若
T
BA =0⇒R (A )+R (B )≤n R (B )=0⇒η1=0, η2=0
分); ∴R (A )=n -1⇒R (B )≤1分
);
∴η1, η2
线性相关
R (B )=1⇒R (η1η2)=1
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：332 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交向量组 8、试题内容：
已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，α1, α2, , αn 为n 维正交单位向量组，证明：
A α1, A α2, , A αn 也是n 维正交单位向量组.
9、答案内容：
证明: A 是阶正交矩阵, 则有
α1, α2, , αn 是维正交向量组
∴αi ≠0, αi αj =0, i ≠j
T
(A αi )
T
(A α)=α
j
T i
A A αj =αi α=0
T T
∴A α1, A α2, A αn 是正交向量组.
10、评分细则：由题设中条件推出αi ≠0, αi αj =0, i ≠j (2
T T T T T
分); (A αi )(A αj )=αi A A αj =αi E αj =αi αj =0(2分); αi ≠0且A 可逆, 推得A αi ≠0(2分); 推得A α1, A α2, , A αn 是正交向量组(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：333 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解 8、试题内容：
设α1, α2, , αs 是A x =0的一个基础解系，β不是A x =0的解，证明：β, β+α1, β+α2, , β+αs 线性无关.
T
9、答案内容： 证明:假设R (β
α1α2
αs )
∴R (βR (β
α1α2
αs )=s +1
β+α1
β+αs )=s +1
即β, β+α1, β+αs 线性无关. 10、评分细则：由题设推出R (β设R (βα1是A x =0
β+α1 β+αs )=R (βα1 αs )(2分); 假
αs )
分); ∴β, β+α1, , β+αs 线性无关(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：334 2、题型：证明题 3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：
设A 为n 阶矩阵，若A x =0只有零解，证明：方程组A k x =0也只有零解，其中k 为正整数.
9、答案内容：
证明: Ax =0只有零解⇒R (A )=n
A 为n 阶矩阵,
∴A 则A
k
可逆⇔A ≠0.
k
=A ≠0
即A k 为可逆矩阵
∴R (A
k
)=n ⇒
A x =0只有零解.
k
k
k
10、评分细则：由题设推出R (A )=n ⇒A 可逆(3分); 推出A =A
≠0(2分); 推得
R (A
k
)=n ⇒
A x =0只有零解(3分).
k
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：335 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的秩, 矩阵的秩及方程组的解
8、试题内容：
设A 是m ⨯n 矩阵，D 是m ⨯n 矩阵，B 为m ⨯m 矩阵，求证：若B 可逆且B A 的行向量的转置都是D x =0的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容：
证明：设A 的行向量组为α1, α2, , αm （I ）
设B 的行向量组为β1, β2, , βm （II ） 则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组
BA =C , B 可逆⇒A =B C
-1
令B
-1
⎛k 11 k 21 =
⎝k m 1
k 12k 22 k m 2
k 1m ⎫
⎪k 2m
⎪，则有 ⎪
⎪k m m ⎭⎫⎛β⎪ k m 2β
⎪ ⎪
⎪ k m m ⎭⎝βm k
m 1
⎛α1 α2
⎝αm
⎫⎛k 11⎪
k ⎪= 21⎪ ⎪ ⎭⎝k m 1
k k k m 2
1222
⎫1⎪⎪ 2⎪⎪⎭
∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示
向量组（II ）是D x =0的解
∴向量组（I ）也是D x =0的解
10、评分细则：令A 的行向量组α1, α2, , αm (I),C 的行向量组为β1, β2, , βm (II)(1分); BA =C ⇒A =B C (2分); ⎛α1 α2 推得 ⎝αm
⎫⎛k 11⎪
k ⎪= 21⎪ ⎪ ⎭⎝k m 1
k 12k 22 k m 2
k 1m ⎫⎛β1
⎪ k 2m β
⎪ 2 ⎪
⎪ k m m ⎭⎝βm
⎫⎛k 11⎪
k
⎪, B -1= 21⎪ ⎪ ⎭⎝k m 1
k 12k 22 k m 2
k 1m ⎫
⎪k 2m
⎪(2分) ⎪
⎪k m 2⎭
-1
所以(I)可以由(II)线性表示(2分); 由(II)是D x =0的解推出(I)也是D x =0的解(1分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：336 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容：
设非齐次线性方程组A x =b 的系数矩阵的秩为r ，η1, η2, , ηn -r 是其导出组的一个基础解系，η是A x =b 的一个解，证明：η, η1, η2, , ηn -r 线性无关. 9、答案内容：
证明：假设η, η1, η2, , ηn -r 线性相关，
η1, η2, , ηn -r 是A x =0的基础解系， ∴η1, η2, , ηn -r 是线性无关的.
由以上可得η可以由η1, η2, , ηn -r 线性表示. 则η是A x =0的解, 与η是A x =b 的解矛盾.
∴假设不成立, 即η, η1, η2, , ηn -r 线性无关.
10、评分细则：假设η, η1, η2, ηn -r 线性相关, 由题设推得η可以由η1, η2, ηr -1线性表示(3分); 所以η是A x =0的解与η是A x =b 的解矛盾(3分); 所以η, η1, η2, ηn -r 线性无关(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：337 2、题型：证明题 3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容：
设A *为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证A *及A -1均为正定的. 9、答案内容： 证明：
∵A 为正定矩阵， ∴A 的特征值全为正数。 设A 的特征值为λ，则有
Ax =λx , x ≠0⇒A Ax =λA x ⇒∴A 的特征值
-1
-1-1
1
λ
x =A x .
-1
1
λ
>0, 则A 为正定矩阵.
*
*
-1
同理:Ax=λx,x ≠0⇒A Ax =λA x A 正定⇒A >0, ∴A Ex =λA x ⇒A x =∴A 的特征值
*
*
*
A
λ
*
x .
A
λ
>0, 则A 为正定矩阵.
10、评分细则：设A 的特征值为λ, 由题设推得λ>0(2分); 由A 的特征值为λ推得A -1的特征值为
A
1
λ
(1分), 则有
1
λ
>0⇒A
-1
为正定矩阵(2分); A 正定⇒A >0(1分) ⇒A *的
特征值
λ
>0⇒A 为正定矩阵(2分).
*
----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：338 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定矩阵
8、试题内容：
若A 为实对称矩阵，证明：当t 充分大时，tE +A 为正定矩阵. 9、答案内容：证明：
A 为实对称矩阵. ∴A =A . 则有
(tE +A ) =tE +A =tE +A . ∴tE +A 也为实对称矩阵.
设A 的特征值为λ1, λ2, λn , 最小值记为
T
T
T
λ=m in {λi }, i =1, 2, , n . t +λi 均为tE +A 的特征值.
当t+λ>0⇒t >-λ时, tE +A 的全部特征值均为正数. ∴t 充分大时, tE +A 为正定矩阵.
10、评分细则：由题设推得tE +A 为实对称矩阵(2分); 说明t +λi , i =1, 2, , n 均为tE +A 的特征值(2分); 当t +λ>0, λ为最大特征值, 推得t >-λ时, tE +A 的特征值全为正数(2分); 所以t 充分大时, tE +A 为正定矩阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：339 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：8分钟 7、试题关键字：正定二次型 8、试题内容：
设C 为n 阶实可逆矩阵，E 为单位矩阵，λ>0, 证明：λE +C T C 为正定的. 9、答案内容： 证明：
(λE +C C ) =λE +C C =λE +C C , ∴λE +C C 为对称矩阵.
令f=λx Ex +x C C x ⇒λx x +(C x ) (C x ). C 为实可逆矩阵, λ>0,
∴∀x ≠0, 有λx x =λx >0, (C x ) (C x ) =x >0. ∴f =x (λE +C C ) x 为正定二次型∴λE +C C 为正定矩阵.
T T
T T
T
T
T
T
T
T
T T
T
T
T
T
10、评分细则：由题设推得λE +C C f =x
T
T
为对称矩阵(2
分
);
分); 令
A
(λE +C
T
C )x ⇒f =λx x +(Cx )
T
T
(Cx )
(2可
T
逆, λ>0, ∀x ≠0⇒f =λx +Cx >0(2分); ∴f 为正定二次型⇒λE +C C 为正定矩
阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：340 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：8
6、所需时间：7分钟 7、试题关键字：求解逆矩阵 8、试题内容：
若3阶实对称矩阵A 满足A 3-6A 2+11A -6E =0，E 为单位矩阵. 试证:A 为正定矩阵. 9、答案内容： 证明：
A -6A +11A -6E =0∴A -A -6A +12A -6E =0∴A (A -E ) -(6A -A ) +6A -6E =0∴A (A -E ) -6A (A -E ) +6(A -E ) =0∴(A +A -6A +6E )(A -E ) =0∴(A -5A +6E )(A +E ) =0∴(A -3E )(A -2E )(A -E ) =0∴A -3E A -2E A -E =0
则3阶实对称矩阵的全部特征值为1, 2, 3. ∴A 的特征值全为正数, 即A 为正定矩阵.
2222
2
3
2
3
2
10、评分细则：由题设推得A -A -6A +12E -6E =0
32
(2
分) (A -3E )(A -2E )(A -E )=0(2分) ⇒A -3E A -2E A -E =0⇒A 的特征值为1,2,3(2分); 所以A 为正定矩阵(2分).
----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：321 2、题型：证明题 3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容：
设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且A 2=E ，证明：R (A +E )+R (A -E )=n . 9、答案内容：
2
2
证明:
A =E ⇒A -E =0⇒(A +E )(A -E ) =0由矩阵秩的性质, 则有R (A +E ) +R (A -E ) =R (A +E ) +R (E -A ) ≤n . 同时, 有
R (A +E )+R (E -A ) ≥R (A +E +E -A ) =n . ∴R (A +E ) +R (A -E ) =n .
2
10、评分细则：由题设推出(A +E )(A -E )=0得2分; 由矩阵秩的性质推出
R (A +E )+R (A -E )≤n 得2分; 推出R (A +E )+R (A -E 得2分; 因而推出)≥n R (A +E )+R (A -E n 2分. )=得
----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：3
4、知识点： 第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容：
设A 为一个n 阶正交矩阵，且A =-1. 证明：λ=-1是A 的特征值. 9、答案内容： 证明：
A 是正交矩阵, ∴A A =E . 又 A =-1,
∴A -(-1) E =A +E =A +A A =(E +A ) A =E +A =-E +A
T
T
T
T
T
T
A
T
=-E +A
T
=-(E +A ) =-E +A
∴A +E =0⇒A -(-1) E =0. ∴λ=-1是A 的特征值.
10、评分细则：推出A -(-1)E =A +AA T (2分) =-E +A T (2分) =-E +A (2分) 推出A -(-1)E =0并说明λ=-1是A 的特征值(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题
3、难度级别：4
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：
已知A , B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵 9、答案内容：
⎛A ⎝0
0⎫
⎪也为正定矩阵. B ⎭
证明
A , B 是正定矩阵，∴A ，B 是对称矩阵. ⎛A ∴ ⎝0⎛A ∴ ⎝0
0⎫⎛A T ⎪= T B ⎭⎝0
T
T
0⎫⎛A
= T ⎪
B ⎭⎝0
0⎫⎪. B ⎭
0⎫
⎪是对称矩阵. B ⎭
T
令f =(X 1
A T ⎛X 2)
⎝00⎫⎛X 1⎫⎛A
, 此为⎪⎪
B ⎭⎝X 2⎭⎝00⎫
⎪所确定的二次型. B ⎭
⎛X 1⎫∀ ⎪≠0⇒X 1,X 2中至少有一个不为0, ⎝X 2⎭
则有f =X1A X 1+X2B X 2>0. ∴此二次型为正定二次型，⎛A 则 ⎝0
0⎫
⎪为正定矩阵. B ⎭
T
T
⎛A 0⎫
10、评分细则：由题设中条件推出 ⎪是对称矩阵(2分); 令
0B ⎝⎭
A 0⎫⎛X 1⎫T T ⎛T T
f =X 1X 2 X 2)≠0推出X 1, X 2中至少有一个不为零 ⎪(2分); 由(X 1⎪
⎝0B ⎭⎝X 2⎭
()
T T T T
(2分). 则有f =X 1AX 1+X 2BX 2>0, 推出f =X 1AX 1+X 2BX 2为正定二次型(2分).
⎛A 0⎫
因而有 ⎪为正定矩阵(2分).
0B ⎝⎭----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：324 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：
设A , B 均为n 阶正定矩阵，试证明：A +B 也为正定矩阵. 9、答案内容： 证明：
A , B 都是正定矩阵, ∴A =A , B =B . (A +B ) =A +B
T
T
T
T
T
=A +B
⇒A +B 为对称矩阵. 令f =x (A +B ) x . ∀x ≠0, 则有f =x A x +x B x . A , B 是正定矩阵
∴x A x , x B x 是正定二次型. 则有f =x A x +x B x >0. ∴f =x (A +B ) x 为正定二次型. 则A+B也为正定矩阵.
T
T
T
T
T
T
T
T
10、评分细则：由题设中条件推出A +B 为对称矩阵(2分); 令f =x (A +B )x (2
T
分); ∀x ≠0⇒f =x T Ax +x T Bx >0(2分); 推出f =x (A +B )x 为正定二次型(2分); 因
T
而有A +B 为正定矩阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：325 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系 8、试题内容：
若向量β可由向量组α1, α2, , αr 线性表示，但β不能由α1, α2, , αr -1线性表示，试证：αr 可由α1, α2, , αr -1, β线性表示.
9、答案内容： 证明：
β可以由α１，α２， αr 线性表示，∴存在一组数Ｋ１，Ｋ２， Ｋr , 使得Ｋ１α１＋Ｋ２α２＋ ＋Ｋr αr ＝β.
若Ｋr =0, 则β=Ｋ１α１＋Ｋ２α２＋ ＋Ｋr-１αr -１. 这与β不能由α１，α２， αr -１线性表示矛盾. ∴Ｋr ≠０⇒αr =-
Ｋ１Ｋr
Ｋ２Ｋr
Ｋr-１Ｋr
1Ｋr
α１-α2 -αr -１-
β.
∴αr 可由α１，α２， αr -１, β线性表示.
10、评分细则：由题设中条件令k 1α1+k 2α2+ +k r αr =β(2分); 假设k r =0推出β不能
由α1, α2, , αr -1线性表示矛盾(2分); ∴k r ≠0⇒αr 可以由α1, α2, , αr -1, β线性表示(4分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：326 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
如果向量组α1, α2, , αs 线性无关，试证：向量组关.
9、答案内容： 证明：
令A=(α1∴R (α1
α, α+α, , α+α+ +αs 线性无
α2α2
αS ), B =(α1
α1+α2
α1+α2+ +αS ).
α1, α2, αS 线性无关，
αS )=R (A )=S .
⎛1 0 αS ) ⎝0
11 0
1⎫⎪1⎪. ⎪⎪ 1⎭
(α1α1+α2
α1+α2+ +αS )=(α1
α2
⎛1 0
令C=
⎝0
11 0
1⎫⎪1⎪. ⎪⎪1⎭
则有B=AC，显然C 可逆.
10、评分细则：令A =(α1α2 αs ), B =(α1由题设条件推出R (A )=s (1分);
⎛1 0 令C =
⎝0
11 0
1
1⎫
⎪1
⎪推出B =A C (2分); 推出A =BC -1⇒R (B )≥R (A )=s (2分) ⎪⎪1⎭
α1+α2
α1+α2+ αs )(1分);
又R (B )≤s ⇒R (B )=s ⇒α1, α1+α2, α1+ αs 线性无关(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：327 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：奇异矩阵 8、试题内容：
已知矩阵A 2=E , B 2=E ，且A +B =0证明：A +B 为奇异矩阵. 9、答案内容： 证明：
A =E ⇒A =±1, B =E ⇒B =±1. 又 A +B =0⇒若A =±1, 则B = 1. 而A (A +B ) =A B +AB =B +A . ∴A (A +B ) B =B +A . ∴A A +B B =A +B .
∴-A +B =0, 则A +B 为奇异矩阵.
2
2
2
2
10、评分细则：由题设中条件推出A =±1, B = 1(1分); 推出A (A +B )B =B +A (3分); 推出A A +B B =B +A (2分); 推出A +B =0⇒A +B 为奇异矩阵(2分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：328 2、题型：证明题 3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设n 维基本单位向量组ε1, ε2, , εn 可由n 维向量组α1, α2, , αn 线性表示，证明：α1, α2, , αn 线性无关.
9、答案内容： 证明： 令A=(α1
α2
αn ), 且E n =(ε1
ε2
εn ). a
ε1, ε2, εn 可以由α1, α2, , αn 线性表示. ∴存在一个n 阶方阵B , 使得E n =AB ⇒R (A )≥R (E n )=n . 同时R (A )≤n .
∴R (A )=n ⇒α1, α2, , αn 线性无关.
10、评分细则：令A =(α1
α2
αn ), E =(ε1
ε2
εn )(2分); 由题设条件推出
存在一个n 阶矩阵B (2分); 使得AB =E ⇒R (A )=n (4分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：329 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设α1, α2, , αm 线性无关，β1可由α1, α2, , αm 线性表示，β2不可由α1, α2, , αm 线性表示，证明：α1, α2, , αm , λβ1+β2线性无关（其中λ为常数）. 9、答案内容： 证明:
β1=k 1α1+k 2α2+ k m αm ，
∴(α1
α2
αm
λβ1+β2) (α1
α2
αm
β2).
假设R (α1
α2αM
β2)≤m , 则有
α1, α2, , αm , β2线性相关, 因而与β2不能由α1, α2, , αm 线性表示矛盾. ∴R (α1
α2
αm
β2)>m , ∴R (α1
α2
αm
λβ1+β2)=m +1
∴α1, α2, , αm , λβ1+β2线性无关.
10(α1R (α1
、α2评分细则： αm λβ1+β2) (α1α2
2
由
题设αm β2)
中(2
条分
件);
推假
出设
α
αm
β
分); ∴R (α1α2
分); 推出α1, α2, αm , λβ1+β2线性无关(1分). 1、试题序号：330 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组与矩阵的秩
β2能由α1, α2, αm 线性表示, 与题设矛盾(2)≤m 由题设推出2
αm β2)>m 推出R (α1α2 αm λβ1+β)2=m +1(3
----------------------------------------------------------------------------
8、试题内容：
设A 为n ⨯m 矩阵，B 为m ⨯n 矩阵，n
9、答案内容：
证明: A 为n ⨯m 矩阵, B 为m ⨯n 矩阵, 且AB =E , E 为单位矩阵. 由矩阵秩的性质, 则有 R (B )≥R (E )=n .
又 n
∴B 的列向量组线性无关.
10、评分细则：由题设推出R (B )≥R (E )=n (2分); 又有题设中n
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：331 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设α1, α2, , αn -1为n -1个线性无关的n 维列向量，η1, η2与α1, α2, , αn -1均正交，证明：η1, η2线性相关.
9、答案内容：
证明: η1, η2分别与α1, α2, , αn -1均正交,
⎛η1T ⎫∴ T ⎪(α1
⎝η2⎭
α2
αn -1)= ⎪
⎝0⎭
⎛0⎫
令A =(α1
α2
⎛η1T ⎫
αn -1), B = T ⎪, BA =0⇒R (A )=n -1⇒R (B )≤1
⎝η2⎭
∴η1, η2线性相关.
10、评分细则：令A =(α1
α2
(2(1
αn -1), B =(η1η2)(1分); 由题设中条件推得
(1(1
分); 若分
);
若
T
BA =0⇒R (A )+R (B )≤n R (B )=0⇒η1=0, η2=0
分); ∴R (A )=n -1⇒R (B )≤1分
);
∴η1, η2
线性相关
R (B )=1⇒R (η1η2)=1
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：332 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交向量组 8、试题内容：
已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，α1, α2, , αn 为n 维正交单位向量组，证明：
A α1, A α2, , A αn 也是n 维正交单位向量组.
9、答案内容：
证明: A 是阶正交矩阵, 则有
α1, α2, , αn 是维正交向量组
∴αi ≠0, αi αj =0, i ≠j
T
(A αi )
T
(A α)=α
j
T i
A A αj =αi α=0
T T
∴A α1, A α2, A αn 是正交向量组.
10、评分细则：由题设中条件推出αi ≠0, αi αj =0, i ≠j (2
T T T T T
分); (A αi )(A αj )=αi A A αj =αi E αj =αi αj =0(2分); αi ≠0且A 可逆, 推得A αi ≠0(2分); 推得A α1, A α2, , A αn 是正交向量组(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：333 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解 8、试题内容：
设α1, α2, , αs 是A x =0的一个基础解系，β不是A x =0的解，证明：β, β+α1, β+α2, , β+αs 线性无关.
T
9、答案内容： 证明:假设R (β
α1α2
αs )
∴R (βR (β
α1α2
αs )=s +1
β+α1
β+αs )=s +1
即β, β+α1, β+αs 线性无关. 10、评分细则：由题设推出R (β设R (βα1是A x =0
β+α1 β+αs )=R (βα1 αs )(2分); 假
αs )
分); ∴β, β+α1, , β+αs 线性无关(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：334 2、题型：证明题 3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：
设A 为n 阶矩阵，若A x =0只有零解，证明：方程组A k x =0也只有零解，其中k 为正整数.
9、答案内容：
证明: Ax =0只有零解⇒R (A )=n
A 为n 阶矩阵,
∴A 则A
k
可逆⇔A ≠0.
k
=A ≠0
即A k 为可逆矩阵
∴R (A
k
)=n ⇒
A x =0只有零解.
k
k
k
10、评分细则：由题设推出R (A )=n ⇒A 可逆(3分); 推出A =A
≠0(2分); 推得
R (A
k
)=n ⇒
A x =0只有零解(3分).
k
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：335 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的秩, 矩阵的秩及方程组的解
8、试题内容：
设A 是m ⨯n 矩阵，D 是m ⨯n 矩阵，B 为m ⨯m 矩阵，求证：若B 可逆且B A 的行向量的转置都是D x =0的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容：
证明：设A 的行向量组为α1, α2, , αm （I ）
设B 的行向量组为β1, β2, , βm （II ） 则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组
BA =C , B 可逆⇒A =B C
-1
令B
-1
⎛k 11 k 21 =
⎝k m 1
k 12k 22 k m 2
k 1m ⎫
⎪k 2m
⎪，则有 ⎪
⎪k m m ⎭⎫⎛β⎪ k m 2β
⎪ ⎪
⎪ k m m ⎭⎝βm k
m 1
⎛α1 α2
⎝αm
⎫⎛k 11⎪
k ⎪= 21⎪ ⎪ ⎭⎝k m 1
k k k m 2
1222
⎫1⎪⎪ 2⎪⎪⎭
∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示
向量组（II ）是D x =0的解
∴向量组（I ）也是D x =0的解
10、评分细则：令A 的行向量组α1, α2, , αm (I),C 的行向量组为β1, β2, , βm (II)(1分); BA =C ⇒A =B C (2分); ⎛α1 α2 推得 ⎝αm
⎫⎛k 11⎪
k ⎪= 21⎪ ⎪ ⎭⎝k m 1
k 12k 22 k m 2
k 1m ⎫⎛β1
⎪ k 2m β
⎪ 2 ⎪
⎪ k m m ⎭⎝βm
⎫⎛k 11⎪
k
⎪, B -1= 21⎪ ⎪ ⎭⎝k m 1
k 12k 22 k m 2
k 1m ⎫
⎪k 2m
⎪(2分) ⎪
⎪k m 2⎭
-1
所以(I)可以由(II)线性表示(2分); 由(II)是D x =0的解推出(I)也是D x =0的解(1分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：336 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容：
设非齐次线性方程组A x =b 的系数矩阵的秩为r ，η1, η2, , ηn -r 是其导出组的一个基础解系，η是A x =b 的一个解，证明：η, η1, η2, , ηn -r 线性无关. 9、答案内容：
证明：假设η, η1, η2, , ηn -r 线性相关，
η1, η2, , ηn -r 是A x =0的基础解系， ∴η1, η2, , ηn -r 是线性无关的.
由以上可得η可以由η1, η2, , ηn -r 线性表示. 则η是A x =0的解, 与η是A x =b 的解矛盾.
∴假设不成立, 即η, η1, η2, , ηn -r 线性无关.
10、评分细则：假设η, η1, η2, ηn -r 线性相关, 由题设推得η可以由η1, η2, ηr -1线性表示(3分); 所以η是A x =0的解与η是A x =b 的解矛盾(3分); 所以η, η1, η2, ηn -r 线性无关(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：337 2、题型：证明题 3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容：
设A *为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证A *及A -1均为正定的. 9、答案内容： 证明：
∵A 为正定矩阵， ∴A 的特征值全为正数。 设A 的特征值为λ，则有
Ax =λx , x ≠0⇒A Ax =λA x ⇒∴A 的特征值
-1
-1-1
1
λ
x =A x .
-1
1
λ
>0, 则A 为正定矩阵.
*
*
-1
同理:Ax=λx,x ≠0⇒A Ax =λA x A 正定⇒A >0, ∴A Ex =λA x ⇒A x =∴A 的特征值
*
*
*
A
λ
*
x .
A
λ
>0, 则A 为正定矩阵.
10、评分细则：设A 的特征值为λ, 由题设推得λ>0(2分); 由A 的特征值为λ推得A -1的特征值为
A
1
λ
(1分), 则有
1
λ
>0⇒A
-1
为正定矩阵(2分); A 正定⇒A >0(1分) ⇒A *的
特征值
λ
>0⇒A 为正定矩阵(2分).
*
----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：338 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定矩阵
8、试题内容：
若A 为实对称矩阵，证明：当t 充分大时，tE +A 为正定矩阵. 9、答案内容：证明：
A 为实对称矩阵. ∴A =A . 则有
(tE +A ) =tE +A =tE +A . ∴tE +A 也为实对称矩阵.
设A 的特征值为λ1, λ2, λn , 最小值记为
T
T
T
λ=m in {λi }, i =1, 2, , n . t +λi 均为tE +A 的特征值.
当t+λ>0⇒t >-λ时, tE +A 的全部特征值均为正数. ∴t 充分大时, tE +A 为正定矩阵.
10、评分细则：由题设推得tE +A 为实对称矩阵(2分); 说明t +λi , i =1, 2, , n 均为tE +A 的特征值(2分); 当t +λ>0, λ为最大特征值, 推得t >-λ时, tE +A 的特征值全为正数(2分); 所以t 充分大时, tE +A 为正定矩阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：339 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8
6、所需时间：8分钟 7、试题关键字：正定二次型 8、试题内容：
设C 为n 阶实可逆矩阵，E 为单位矩阵，λ>0, 证明：λE +C T C 为正定的. 9、答案内容： 证明：
(λE +C C ) =λE +C C =λE +C C , ∴λE +C C 为对称矩阵.
令f=λx Ex +x C C x ⇒λx x +(C x ) (C x ). C 为实可逆矩阵, λ>0,
∴∀x ≠0, 有λx x =λx >0, (C x ) (C x ) =x >0. ∴f =x (λE +C C ) x 为正定二次型∴λE +C C 为正定矩阵.
T T
T T
T
T
T
T
T
T
T T
T
T
T
T
10、评分细则：由题设推得λE +C C f =x
T
T
为对称矩阵(2
分
);
分); 令
A
(λE +C
T
C )x ⇒f =λx x +(Cx )
T
T
(Cx )
(2可
T
逆, λ>0, ∀x ≠0⇒f =λx +Cx >0(2分); ∴f 为正定二次型⇒λE +C C 为正定矩
阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：340 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：8
6、所需时间：7分钟 7、试题关键字：求解逆矩阵 8、试题内容：
若3阶实对称矩阵A 满足A 3-6A 2+11A -6E =0，E 为单位矩阵. 试证:A 为正定矩阵. 9、答案内容： 证明：
A -6A +11A -6E =0∴A -A -6A +12A -6E =0∴A (A -E ) -(6A -A ) +6A -6E =0∴A (A -E ) -6A (A -E ) +6(A -E ) =0∴(A +A -6A +6E )(A -E ) =0∴(A -5A +6E )(A +E ) =0∴(A -3E )(A -2E )(A -E ) =0∴A -3E A -2E A -E =0
则3阶实对称矩阵的全部特征值为1, 2, 3. ∴A 的特征值全为正数, 即A 为正定矩阵.
2222
2
3
2
3
2
10、评分细则：由题设推得A -A -6A +12E -6E =0
32
(2
分) (A -3E )(A -2E )(A -E )=0(2分) ⇒A -3E A -2E A -E =0⇒A 的特征值为1,2,3(2分); 所以A 为正定矩阵(2分).
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