1．当m 为何值时，去分母解方程=1﹣会产生增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母3（x ﹣2）=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值． 解答：解：方程两边都乘3（x ﹣2），得
4x+1=3x﹣6+3（5x ﹣m ）
即3m=14x﹣7
分式方程若有增根，则分母必为零，即x=2，
把x=2代入整式方程，
3m=14×2﹣7，解得m=7，
所以当m=7时，去分母解方程=1﹣会产生增根．
点评：根问题可按如下步骤进行：
①根据分式方程的最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．a 为何值时，关于x 的方程会产生增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+2）（x ﹣2）=0，得到x=﹣2或2，然后代入化为整式方程的方程算出a 的值． 解答：解：原方程可化为2（x+2）+ax=3（x ﹣2）（a ﹣1）x=﹣10．
此方程的增根x=±2，
当x=2时，（a ﹣1）×2=﹣10，a=﹣4；
当x=﹣2时，（a ﹣1）×（﹣2）=﹣10，a=6．
因此当a=﹣4或a=6时，关于x 的方程
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3．分式方程+3=有增根．（1）这个增根是什么？（2）求m 的值． 会产生增根．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x ﹣2=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：（1）∵方程有增根，
∴最简公分母x ﹣2=0，即增根是x=2．
（2）方程两边都乘（x ﹣2），得
m+3（x ﹣2）=x﹣1
把增根x=2代入整式方程，得m=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
本题需注意分母互为相反数的分式方程的最简公分母是相反数中的一个．
4．已知关于x 的方程有增根，则k 为多少？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得k 的值．
解答：解：∵关于x 的方程有增根，
∴x ﹣3=0，则x=3，
∵原方程可化为4x=13﹣k ，
将增根x=3代入得k=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
5．已知关于x 的方程有增根，求m 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x （x ﹣1）=0，所以增根是x=0或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．
解答：解：方程两边都乘x （x ﹣1），得
3（x ﹣1）+6x=x+m
∵原方程有增根，
∴最简公分母x （x ﹣1）=0，
解得x=0或1，
当x=0时，m=﹣3；
当x=1时，m=5．
∴当m=﹣3或5时，原方程有增根．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．若分式方程﹣=有增根，求k 值及增根．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x （x+1）（x ﹣1）=0，所以增根是x=0或﹣1或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值．
解答：解：方程两边都乘x （x+1）（x ﹣1），得
x （k ﹣1）﹣（x+1）=（x ﹣1）（k ﹣5），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x （x+1）（x ﹣1），
∴增根是x=0或﹣1或1，
当x=0时，k=6；
当x=﹣1时，k=9；
当x=1时，k=3．
故k 值为3或6或9．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7．若关于x 的方程有增根x=1，求k 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：先将分式方程化为整式方程，再将增根代入求得k 的值即可．
解答：解：把方程两边同乘以x （x ﹣1）（x+1），
得（x+1）+（k ﹣5）（x ﹣1）=（k ﹣1）x ，
把x=1代入，得k=3．
点评：增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．若解关于x 的分式方程会产生增根，求m 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．
解答：解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得
2（x+2）+mx=3（x ﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x ﹣2），
∴原方程增根为x=±2，
∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．
把x=﹣2代入整式方程，得m=6．
综上，可知m=﹣4或6．
点评：增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．先仔细看（1）题，再解答（2）题．
（1）a 为何值时，方程=2+会产生增根？
解方程两边同时乘以（x ﹣3），得x=2（x ﹣3）+a，①因为x=3是原方程的增根，但却是方程①的根，所以将x=3代入①得：3=2×（3﹣3）+a，所以a=3．
（2）当m 为何值时，方程﹣=会产生增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：根据增根产生的条件，最简公分母为0时，未知数的值即为增根，再求得m 的值． 解答：解：原方程公分母为y （y ﹣1），方程两边同乘以y （y ﹣1），得
222y ﹣m =（y ﹣1）
222y ﹣m =y+1﹣2y
22y ﹣1=m
2当y=0时，m =﹣1，此时m 无解；
2当y=1时，m =1，此时m=±1．
故当m=±1时，方程有增根．
点评：考查了方程的增根，将增根代入求得另一个未知数的值．
10．若关于x 的方程有增根，试求k 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x ﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值． 解答：解：方程两边都乘（x ﹣3），得
k+2（x ﹣3）=4﹣x ，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x ﹣3=0，即增根为x=3，
把x=3代入整式方程，得k=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．a 为何值时，方程=2+会产生增根．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x ﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出a 的值． 解答：解：方程两边同乘x ﹣3，得
2x=2（x ﹣3）+a
∵x=3是原方程的增根，但它是上面整式方程的根，
∴x=3应满足2x=2（x ﹣3）+a．
将x=3代入，得2×3=2（3﹣3）+a，
解得a=6．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．若关于x 的方程有增根，试解关于y 的不等式5（y ﹣2）≤28+k+2y． 考点：分式方程的增根；解一元一次不等式。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x ﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值，再代入不等式5（y ﹣2）≤28+k+2y求解即可．
解答：解：方程两边都乘（x ﹣3），得
k+2x﹣6=4﹣x ，
∵方程有增根，
∴最简公分母x ﹣3=0，即增根是x=3，
把x=3代入整式方程，得k=1．
把k=1代入不等式5（y ﹣2）≤28+k+2y得，
5（y ﹣2）≤28+1+2y，
解得y ≤13．
点评：解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．分式方程有增根x=1，求k 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么直接把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值．
解答：解：方程两边都乘（x+1）（x ﹣1），得
x （x+1）+k（x+1）﹣x （x ﹣1）=0
把增根x=1代入整式方程，得k=﹣1．
点评：当增根确定后，可直接把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
14．增根：在分式方程的变形过中，有时可能会产生不适合原方程珠根，这个根叫做原分式方程的根，这个根叫做原分式方程的增根．请根据此知识，解决下述问题． 若分式方程有增根，试求m 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：阅读型。
2分析：分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x ﹣4=0，故方程产生的增根有两种
可能：x 1=2，x 2=﹣2，由增根的定义可知，x 1=2，x 2=﹣2是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m 的值．
解答：解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得
2（x+2）+mx=3（x ﹣2）
∵原方程有增根，
∴x ﹣4=0，解得x 1=2，x 2=﹣2，
当x=2时，m=﹣4，
当x=﹣2时，m=6．
∴m=﹣4或6．
点评：（1）增根的求法：令最简公分母为0；
（2）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
15．化简或求值：
（1）若1＜x ＜2，化简（2）已知a+b+c=0，求：a （﹣）+b（+； ）+c（）的值． 2
（3）若解关于x 的分式方程会产生增根，求m 的值．
考点：分式方程的增根；绝对值；分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：（1）在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号；
（2）把所求的代数式展开整理成条件中有关的形式把a=﹣b ﹣c 、b=﹣a ﹣c 、c=﹣a ﹣b 代入即可；
（3）分式方程的增根是令分母等于0的x 值．
解答：解：（1）∵1＜x ＜2，
∴原式=﹣1+1+1=1；
（2）原式=+
++++=++；
因为a+b+c=0，
所以a=﹣b ﹣c ，b=﹣a ﹣c ，c=﹣a ﹣b ；
代入，得：原式=﹣3．
（3）去分母得，（m ﹣1）x=﹣10；
∵分式方程有增根，所以增根是x=±2；
∴m=﹣4或6．
点评：主要考查了绝对值，代数式的化简求值和分式方程的增根问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号；把所求的代数式展开整理成条件中有关的形式把a=﹣b ﹣c ；b=﹣a ﹣c ；c=﹣a ﹣b 代入即可．分式方程的增根是令分母等于0的x 值．
16．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值． 阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m 为何值时，方程探究2：m 为何值时，方程+5=+5=有增根． 的根是﹣1．
+5=的三个根中两个根之和等于第探究3：任意写出三个m 的值，使对应的方程三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的m 1、m 2、m 3 考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：解分式方程，根据方程有增根求得m 的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a ，b ，c 且a+b=c，再求得对应的m ．即可得出它们之间的关系．
解答：解：探究1：方程两边都乘（x ﹣3），
得3x+5（x ﹣3）=﹣m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x ﹣3）=0，
解得x=3，
当x=3时，m=﹣9，
故m 的值是﹣9．
探究2：方程两边都乘（x ﹣3），
得3x+5（x ﹣3）=﹣m
∵原方程的根为x=﹣1，
∴m=23，
探究3：由（1）（2）得x=，
方程的三个对应根为a ，b ，c 且a+b=c，
即可得出对应的m ，m 1=15﹣8a ，m 2=15﹣8b ，m 3=15﹣8c ，
探究4：∵a+b=c， ∴+=，
整理得m 3=m1+m2﹣15，
故答案为m 3=m1+m2﹣15．
点评：本题考查了分式方程的增根，解分式方程要验根，但解含有字母参数的分式方程不用验根．
17．解方程：=1+．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：找到最简公分母（y+2）（y ﹣2），方程两边同乘以最简公分母，然后化为整式方程求解．
2解答：解：去分母得：y+2=y﹣4+4，…（2分）
2∴y ﹣y ﹣2=0，…（1分）
∴y 1=2，y 2=﹣1，…（2分）
经检验知：y 1=2是增根，舍去，
y 2=﹣1是原方程的根，…（1分）
∴原方程的根是y=﹣1．
点评：本题考查了分式方程的解法以及分式方程的增根，注：解分式方程要检验．
18．已知方程有增根x=1，求k 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x ﹣1）=0，得到x=1或﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出k 的值． 解答：解：方程两边都乘（x+1）（x ﹣1），
得2（x ﹣1）+k（x+1）=6
∵原方程有增根x=1，
∴当x=1时，k=3，
故k 的值是3．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
19．使分式方程产生增根，则k 的值为或4 ．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+4）（x ﹣4）=0，得到x=﹣4或4，然后代入化为整式方程的方程算出a 的值． 解答：解：方程两边都乘（x+4）（x ﹣4），
得（x ﹣4）+（x+4）=k，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x+4）（x ﹣4）=0，
解得x=﹣4或4，
当x=﹣4时，k=﹣8，
当x=4时，k=8，
故k 的值是﹣8或8．
故答案为﹣8或8；x=﹣4或4．
点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．若分式方程有增根，求a 的值．
考点：分式方程的增根。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x ﹣2=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出a 的值．
解答：解：方程两边都乘（x ﹣2），
得1+3（x ﹣2）=a﹣1
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x ﹣2）=0，
解得x=2，
当x=2时，a=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了增根问题，可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
21．若关于x 的分式方程考点：分式方程的增根。
专题：计算题。 ﹣=存在增根，求m 的值．
分析：先把方程两边同乘以x （x+1）得到整式方程x ﹣2x ﹣m ﹣2=0，由于原方程存在增根，
2则x （x+1）=0，即增根只能为0或﹣1，然后把x=0与x=﹣1分别代入x ﹣2x ﹣m ﹣2=0得
到关于m 的方程，解方程即可得到m 的值．
22解答：解：方程两边同乘以x （x+1）得，2x ﹣（m+1）=（x+1），
2整理得，x ﹣2x ﹣m ﹣2=0，
∵关于x 的分式方程﹣=存在增根， 2
∴x （x+1）=0，
∴x=0或x=﹣1，
2把x=0代入x ﹣2x ﹣m ﹣2=0得，﹣m ﹣2=0，解得m=﹣2；
2把x=1代入x ﹣2x ﹣m ﹣2=0得，1﹣2﹣m ﹣2=0，解得m=1；
∴m 的值为﹣2或1．
点评：本题考查了分式方程的增根：先把分式方程两边乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入最简公分母中，若其值不为零，则此解为原分式方程的解；若其值为0，则此整式方程的解为原分式方程的增根．
22．当m 为何值时，关于x 的方程有增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：先求得增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入求得m 的值即可． 解答：解：∵方程，
∴x ﹣2=0，解得x=2，
把方程两边同乘以x ﹣2，得m+3（x ﹣2）=x﹣1，
把x=2代入，得m=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
23．解答下列各题：
①计算：
②关于x 的方程
考点：分式方程的增根；实数的运算。
分析：①由
2009． 有增根，求m 的值． =2，（﹣2009）=1，0=27，|﹣2|=2﹣，0.252009×42009=（0.25×4）=1，即可求得结果；
2②首先去分母，将分式方程化为整式方程，即可求得：m=﹣x +2x+1，又由关于x
的方程
有增根，可知最简公分母为0，求得x 的值，再代入m=﹣x +2x+1，
即可得到m 的值． 2
解答：解：①
=2+1﹣27+2﹣
=﹣23﹣；
﹣1， ，
②两边乘以x （x+1），去分母，得：2x ﹣（x+1）﹣m=0，
22去括号得：2x ﹣x ﹣2x ﹣1﹣m=0，
2移项合并得：m=﹣x +2x+1，
∵关于x 的方程有增根， 22
∴x （x+1）=0，
∴x=0或x=﹣1，
∴当x=0时，m=1，
当x=﹣1时，m=﹣1﹣2+1=﹣2．
∴m 的值为m=1或m=﹣2．
点评：①此题考查了平方根、零指数、负指数、绝对值以及积的乘方的知识，注意解题时要细心；
②此题考查了分式方程的应用，注意增根的概念的应用．
24．当m 为何值时，方程有增根．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，然后根据增根的定义求出增根，把增根代入计算即可求解．
解答：解：方程两边都乘以（x ﹣3）得，
x ﹣2（x ﹣3）=m，
∵方程有增根，
∴x ﹣3=0，
解得x=3，
∴3﹣2（3﹣3）=m，
解得m=3．
故m=3时，方程有增根．
点评：本题主要考查了分式方程增根的定义，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值．
25．已知方程有增根，求a 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：方程两边都乘（x ﹣2）化为整式方程，把增根2代入求解即可．
解答：解：方程两边都乘（x ﹣2）得：a+3（x ﹣2）=x﹣1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x ﹣2=0，
解得x=2，
把x=2代入，得a=1．
点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
1．当m 为何值时，去分母解方程=1﹣会产生增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母3（x ﹣2）=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值． 解答：解：方程两边都乘3（x ﹣2），得
4x+1=3x﹣6+3（5x ﹣m ）
即3m=14x﹣7
分式方程若有增根，则分母必为零，即x=2，
把x=2代入整式方程，
3m=14×2﹣7，解得m=7，
所以当m=7时，去分母解方程=1﹣会产生增根．
点评：根问题可按如下步骤进行：
①根据分式方程的最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．a 为何值时，关于x 的方程会产生增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+2）（x ﹣2）=0，得到x=﹣2或2，然后代入化为整式方程的方程算出a 的值． 解答：解：原方程可化为2（x+2）+ax=3（x ﹣2）（a ﹣1）x=﹣10．
此方程的增根x=±2，
当x=2时，（a ﹣1）×2=﹣10，a=﹣4；
当x=﹣2时，（a ﹣1）×（﹣2）=﹣10，a=6．
因此当a=﹣4或a=6时，关于x 的方程
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3．分式方程+3=有增根．（1）这个增根是什么？（2）求m 的值． 会产生增根．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x ﹣2=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解答：解：（1）∵方程有增根，
∴最简公分母x ﹣2=0，即增根是x=2．
（2）方程两边都乘（x ﹣2），得
m+3（x ﹣2）=x﹣1
把增根x=2代入整式方程，得m=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
本题需注意分母互为相反数的分式方程的最简公分母是相反数中的一个．
4．已知关于x 的方程有增根，则k 为多少？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得k 的值．
解答：解：∵关于x 的方程有增根，
∴x ﹣3=0，则x=3，
∵原方程可化为4x=13﹣k ，
将增根x=3代入得k=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
5．已知关于x 的方程有增根，求m 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x （x ﹣1）=0，所以增根是x=0或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．
解答：解：方程两边都乘x （x ﹣1），得
3（x ﹣1）+6x=x+m
∵原方程有增根，
∴最简公分母x （x ﹣1）=0，
解得x=0或1，
当x=0时，m=﹣3；
当x=1时，m=5．
∴当m=﹣3或5时，原方程有增根．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．若分式方程﹣=有增根，求k 值及增根．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x （x+1）（x ﹣1）=0，所以增根是x=0或﹣1或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值．
解答：解：方程两边都乘x （x+1）（x ﹣1），得
x （k ﹣1）﹣（x+1）=（x ﹣1）（k ﹣5），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x （x+1）（x ﹣1），
∴增根是x=0或﹣1或1，
当x=0时，k=6；
当x=﹣1时，k=9；
当x=1时，k=3．
故k 值为3或6或9．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7．若关于x 的方程有增根x=1，求k 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：先将分式方程化为整式方程，再将增根代入求得k 的值即可．
解答：解：把方程两边同乘以x （x ﹣1）（x+1），
得（x+1）+（k ﹣5）（x ﹣1）=（k ﹣1）x ，
把x=1代入，得k=3．
点评：增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．若解关于x 的分式方程会产生增根，求m 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．
解答：解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得
2（x+2）+mx=3（x ﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x ﹣2），
∴原方程增根为x=±2，
∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．
把x=﹣2代入整式方程，得m=6．
综上，可知m=﹣4或6．
点评：增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．先仔细看（1）题，再解答（2）题．
（1）a 为何值时，方程=2+会产生增根？
解方程两边同时乘以（x ﹣3），得x=2（x ﹣3）+a，①因为x=3是原方程的增根，但却是方程①的根，所以将x=3代入①得：3=2×（3﹣3）+a，所以a=3．
（2）当m 为何值时，方程﹣=会产生增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：根据增根产生的条件，最简公分母为0时，未知数的值即为增根，再求得m 的值． 解答：解：原方程公分母为y （y ﹣1），方程两边同乘以y （y ﹣1），得
222y ﹣m =（y ﹣1）
222y ﹣m =y+1﹣2y
22y ﹣1=m
2当y=0时，m =﹣1，此时m 无解；
2当y=1时，m =1，此时m=±1．
故当m=±1时，方程有增根．
点评：考查了方程的增根，将增根代入求得另一个未知数的值．
10．若关于x 的方程有增根，试求k 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x ﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值． 解答：解：方程两边都乘（x ﹣3），得
k+2（x ﹣3）=4﹣x ，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x ﹣3=0，即增根为x=3，
把x=3代入整式方程，得k=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．a 为何值时，方程=2+会产生增根．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x ﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出a 的值． 解答：解：方程两边同乘x ﹣3，得
2x=2（x ﹣3）+a
∵x=3是原方程的增根，但它是上面整式方程的根，
∴x=3应满足2x=2（x ﹣3）+a．
将x=3代入，得2×3=2（3﹣3）+a，
解得a=6．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．若关于x 的方程有增根，试解关于y 的不等式5（y ﹣2）≤28+k+2y． 考点：分式方程的增根；解一元一次不等式。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x ﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值，再代入不等式5（y ﹣2）≤28+k+2y求解即可．
解答：解：方程两边都乘（x ﹣3），得
k+2x﹣6=4﹣x ，
∵方程有增根，
∴最简公分母x ﹣3=0，即增根是x=3，
把x=3代入整式方程，得k=1．
把k=1代入不等式5（y ﹣2）≤28+k+2y得，
5（y ﹣2）≤28+1+2y，
解得y ≤13．
点评：解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．分式方程有增根x=1，求k 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么直接把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值．
解答：解：方程两边都乘（x+1）（x ﹣1），得
x （x+1）+k（x+1）﹣x （x ﹣1）=0
把增根x=1代入整式方程，得k=﹣1．
点评：当增根确定后，可直接把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
14．增根：在分式方程的变形过中，有时可能会产生不适合原方程珠根，这个根叫做原分式方程的根，这个根叫做原分式方程的增根．请根据此知识，解决下述问题． 若分式方程有增根，试求m 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：阅读型。
2分析：分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x ﹣4=0，故方程产生的增根有两种
可能：x 1=2，x 2=﹣2，由增根的定义可知，x 1=2，x 2=﹣2是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m 的值．
解答：解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得
2（x+2）+mx=3（x ﹣2）
∵原方程有增根，
∴x ﹣4=0，解得x 1=2，x 2=﹣2，
当x=2时，m=﹣4，
当x=﹣2时，m=6．
∴m=﹣4或6．
点评：（1）增根的求法：令最简公分母为0；
（2）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
15．化简或求值：
（1）若1＜x ＜2，化简（2）已知a+b+c=0，求：a （﹣）+b（+； ）+c（）的值． 2
（3）若解关于x 的分式方程会产生增根，求m 的值．
考点：分式方程的增根；绝对值；分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：（1）在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号；
（2）把所求的代数式展开整理成条件中有关的形式把a=﹣b ﹣c 、b=﹣a ﹣c 、c=﹣a ﹣b 代入即可；
（3）分式方程的增根是令分母等于0的x 值．
解答：解：（1）∵1＜x ＜2，
∴原式=﹣1+1+1=1；
（2）原式=+
++++=++；
因为a+b+c=0，
所以a=﹣b ﹣c ，b=﹣a ﹣c ，c=﹣a ﹣b ；
代入，得：原式=﹣3．
（3）去分母得，（m ﹣1）x=﹣10；
∵分式方程有增根，所以增根是x=±2；
∴m=﹣4或6．
点评：主要考查了绝对值，代数式的化简求值和分式方程的增根问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号；把所求的代数式展开整理成条件中有关的形式把a=﹣b ﹣c ；b=﹣a ﹣c ；c=﹣a ﹣b 代入即可．分式方程的增根是令分母等于0的x 值．
16．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值． 阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m 为何值时，方程探究2：m 为何值时，方程+5=+5=有增根． 的根是﹣1．
+5=的三个根中两个根之和等于第探究3：任意写出三个m 的值，使对应的方程三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的m 1、m 2、m 3 考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：解分式方程，根据方程有增根求得m 的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a ，b ，c 且a+b=c，再求得对应的m ．即可得出它们之间的关系．
解答：解：探究1：方程两边都乘（x ﹣3），
得3x+5（x ﹣3）=﹣m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x ﹣3）=0，
解得x=3，
当x=3时，m=﹣9，
故m 的值是﹣9．
探究2：方程两边都乘（x ﹣3），
得3x+5（x ﹣3）=﹣m
∵原方程的根为x=﹣1，
∴m=23，
探究3：由（1）（2）得x=，
方程的三个对应根为a ，b ，c 且a+b=c，
即可得出对应的m ，m 1=15﹣8a ，m 2=15﹣8b ，m 3=15﹣8c ，
探究4：∵a+b=c， ∴+=，
整理得m 3=m1+m2﹣15，
故答案为m 3=m1+m2﹣15．
点评：本题考查了分式方程的增根，解分式方程要验根，但解含有字母参数的分式方程不用验根．
17．解方程：=1+．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：找到最简公分母（y+2）（y ﹣2），方程两边同乘以最简公分母，然后化为整式方程求解．
2解答：解：去分母得：y+2=y﹣4+4，…（2分）
2∴y ﹣y ﹣2=0，…（1分）
∴y 1=2，y 2=﹣1，…（2分）
经检验知：y 1=2是增根，舍去，
y 2=﹣1是原方程的根，…（1分）
∴原方程的根是y=﹣1．
点评：本题考查了分式方程的解法以及分式方程的增根，注：解分式方程要检验．
18．已知方程有增根x=1，求k 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x ﹣1）=0，得到x=1或﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出k 的值． 解答：解：方程两边都乘（x+1）（x ﹣1），
得2（x ﹣1）+k（x+1）=6
∵原方程有增根x=1，
∴当x=1时，k=3，
故k 的值是3．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
19．使分式方程产生增根，则k 的值为或4 ．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+4）（x ﹣4）=0，得到x=﹣4或4，然后代入化为整式方程的方程算出a 的值． 解答：解：方程两边都乘（x+4）（x ﹣4），
得（x ﹣4）+（x+4）=k，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x+4）（x ﹣4）=0，
解得x=﹣4或4，
当x=﹣4时，k=﹣8，
当x=4时，k=8，
故k 的值是﹣8或8．
故答案为﹣8或8；x=﹣4或4．
点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．若分式方程有增根，求a 的值．
考点：分式方程的增根。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x ﹣2=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出a 的值．
解答：解：方程两边都乘（x ﹣2），
得1+3（x ﹣2）=a﹣1
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x ﹣2）=0，
解得x=2，
当x=2时，a=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了增根问题，可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
21．若关于x 的分式方程考点：分式方程的增根。
专题：计算题。 ﹣=存在增根，求m 的值．
分析：先把方程两边同乘以x （x+1）得到整式方程x ﹣2x ﹣m ﹣2=0，由于原方程存在增根，
2则x （x+1）=0，即增根只能为0或﹣1，然后把x=0与x=﹣1分别代入x ﹣2x ﹣m ﹣2=0得
到关于m 的方程，解方程即可得到m 的值．
22解答：解：方程两边同乘以x （x+1）得，2x ﹣（m+1）=（x+1），
2整理得，x ﹣2x ﹣m ﹣2=0，
∵关于x 的分式方程﹣=存在增根， 2
∴x （x+1）=0，
∴x=0或x=﹣1，
2把x=0代入x ﹣2x ﹣m ﹣2=0得，﹣m ﹣2=0，解得m=﹣2；
2把x=1代入x ﹣2x ﹣m ﹣2=0得，1﹣2﹣m ﹣2=0，解得m=1；
∴m 的值为﹣2或1．
点评：本题考查了分式方程的增根：先把分式方程两边乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入最简公分母中，若其值不为零，则此解为原分式方程的解；若其值为0，则此整式方程的解为原分式方程的增根．
22．当m 为何值时，关于x 的方程有增根？
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：先求得增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入求得m 的值即可． 解答：解：∵方程，
∴x ﹣2=0，解得x=2，
把方程两边同乘以x ﹣2，得m+3（x ﹣2）=x﹣1，
把x=2代入，得m=1．
点评：增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
23．解答下列各题：
①计算：
②关于x 的方程
考点：分式方程的增根；实数的运算。
分析：①由
2009． 有增根，求m 的值． =2，（﹣2009）=1，0=27，|﹣2|=2﹣，0.252009×42009=（0.25×4）=1，即可求得结果；
2②首先去分母，将分式方程化为整式方程，即可求得：m=﹣x +2x+1，又由关于x
的方程
有增根，可知最简公分母为0，求得x 的值，再代入m=﹣x +2x+1，
即可得到m 的值． 2
解答：解：①
=2+1﹣27+2﹣
=﹣23﹣；
﹣1， ，
②两边乘以x （x+1），去分母，得：2x ﹣（x+1）﹣m=0，
22去括号得：2x ﹣x ﹣2x ﹣1﹣m=0，
2移项合并得：m=﹣x +2x+1，
∵关于x 的方程有增根， 22
∴x （x+1）=0，
∴x=0或x=﹣1，
∴当x=0时，m=1，
当x=﹣1时，m=﹣1﹣2+1=﹣2．
∴m 的值为m=1或m=﹣2．
点评：①此题考查了平方根、零指数、负指数、绝对值以及积的乘方的知识，注意解题时要细心；
②此题考查了分式方程的应用，注意增根的概念的应用．
24．当m 为何值时，方程有增根．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，然后根据增根的定义求出增根，把增根代入计算即可求解．
解答：解：方程两边都乘以（x ﹣3）得，
x ﹣2（x ﹣3）=m，
∵方程有增根，
∴x ﹣3=0，
解得x=3，
∴3﹣2（3﹣3）=m，
解得m=3．
故m=3时，方程有增根．
点评：本题主要考查了分式方程增根的定义，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值．
25．已知方程有增根，求a 的值．
考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：方程两边都乘（x ﹣2）化为整式方程，把增根2代入求解即可．
解答：解：方程两边都乘（x ﹣2）得：a+3（x ﹣2）=x﹣1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x ﹣2=0，
解得x=2，
把x=2代入，得a=1．
点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．