教学目标
(1)理解四种命题的概念;
(2)理解四种命题之间的相互关系, 能由原命题写出其他三种形式;
(3)理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系;
(4)初步把握反证法的概念及反证法证题的基本步骤;
(5)通过对四种命题之间关系的学习, 培养学生逻辑推理能力;
(6)通过对四种命题的存在性和相对性的熟悉, 进行辩证唯物主义观点教育;
(7)培养学生用反证法简单推理的技能, 从而发展学生的思维能力.
教学重点和难点
重点:四种命题之间的关系; 难点:反证法的运用.
教学过程设计
第一课时:四种命题
一、导入新课
练习 1. 把下列命题改写成“若 则 ”的形式:
(l)同位角相等, 两直线平行;
(2)正方形的四条边相等.
2. 什么叫互逆命题? 上述命题的逆命题是什么?
将命题写成“若 则 ”的形式, 关键是找到命题的条件 与结论 .
假如第一个命题的条件是第二个命题的结论, 且第一个命题的结论是第二个命题的条件, 那么这两个命题叫做互道命题.
上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等, 则它是正方形”和“若两条直线平行, 则同位角相等”.
值得指出的是原命题和逆命题是相对的. 我们也可以把逆命题当成原命题, 去求它的逆命题.
3. 原命题真, 逆命题一定真吗?
“同位角相等, 两直线平行”这个原命题真, 逆命题也真. 但“正方形的四条边相等”的原命题真, 逆命题就不真, 所以原命题真, 逆命题不一定真.
学生活动:
口答:(l)若同位角相等, 则两直线平行;(2)若一个四边形是正方形, 则它的四条边相等. 设计意图:
通过复习旧知识, 打下学习否命题、逆否命题的基础.
二、新课
设问命题“同位角相等, 两条直线平行”除了能构成它的逆命题外, 是否还可以构成其它形式的命题?
讲述可以将原命题的条件和结论分别否定, 构成“同位角不相等, 则两直线不平行”, 这个命题叫原命题的否命题.
提问你能由原命题“正方形的四条边相等”构成它的否命题吗?
学生活动:
口答:若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等.
教师活动:
讲述一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 这样的两个命题叫做互否命题. 把其中一个命题叫做原命题, 另一个命题叫做原命题的否命题.
若用 和 分别表示原命题的条件和结论, 用┐ 和┐ 分别表示 和 的否定.
板书原命题:若 则 ;
否命题:若┐ 则┐ .
提问原命题真, 否命题一定真吗? 举例说明?
学生活动:
讲论后回答:
原命题“同位角相等, 两直线平行”真, 它的否命题“同位角不相等, 两直线不平行”不真. 原命题“正方形的四条边相等”真, 它的否命题“若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等”不真.
由此可以得原命题真, 它的否命题不一定真.
设计意图:
通过设问和讨论, 让学生在自己举例中研究如何由原命题构成否命题及判定它们的真假, 调动学生学习的积极性.
教师活动:
提问命题“同位角相等, 两条直线平行”除了 能构成它的逆命题和否命题外, 还可以不可以构成别的命题?
学生活动:
讨论后回答
总结可以将这个命题的条件和结论互换后再分别将新的条件和结论分别否定构成命题“两条直线不平行, 则同位角不相等”, 这个命题叫原命题的逆否命题.
教师活动:
提问原命题“正方形的四条边相等”的逆否命题是什么?
学生活动:
口答:若一个四边形的四条边不相等, 则不是正方形.
教师活动:
讲述一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 这样的两个命题叫做互为逆否命题. 把其中一个命题叫做原命题, 另一个命题就叫做原命题的逆否命题. 原命题是“若 则 ”, 则逆否命题为“若 则 .
提问“两条直线不平行, 则同位角不相等”是否真? “若一个四边形的四条边不相等, 则不是正方形”是否真? 若原命题真, 逆否命题是否也真?
学生活动:
讨论后回答
这两个逆否命题都真.
原命题真, 逆否命题也真.
教师活动:提问原命题的真假与其他三种命题的真
假有什么关系? 举例加以说明?
总结1. 原命题为真, 它的逆命题不一定为真.
2. 原命题为真, 它的否命题不一定为真.
3. 原命题为真, 它的逆否命题一定为真.
设计意图:
通过设问和讨论, 让学生在自己举例中研究如何由原命题构成逆否命题及判定它们的真假, 调动学生学的积极性.
教师活动:
三、课堂练习
1. 设原命题是“若 , 则 ”, 写出它的逆命题、否命题与逆否命题, 并分别判定它们的真假.
学生活动:
笔答:
逆命题“若 , 则 ”. 逆命题是假命题.
否命题“若 , 则 ”. 否命题是假命题.
逆否命题“若 , 则 ”. 逆否命题是真命题.
教师活动:
2. 设原命题是“当 时, 若 , 则 ”, 写出它的逆命题、否定命与逆否命题, 并分别判定它们的真假.
学生活动:
笔答
逆命题“当 时, 若 , 则 ”.
否命题“当 时, 若 , 则 ”. 否命题为真.
逆否命题“当 时, 若 , 则 ”. 逆否命题为真.
设计意图:
通过练习巩固由原命题构成否命题、逆否命题及判定它的真假的能力.
教师活动:
总结“当 时”是大前提, 写其他命题时应该将“当 时”写在前面. 原命题的条件是 , 结论是
“ ”的否定是“ ”, 而不是“ ”, 同样“ ”的否定是“ ”, 而不是“ ”.
投影
3. 填图
1. 若原命题是“若 则 ”, 其它三种命题的形式怎样表示? 请写在方框内?
学生活动:笔答
教师活动:
2. 根据上图所给出的箭头, 写出箭头两头命题之间的关系? 举例加以说明?
学生活动:讨论后回答
设计意图:
通过学生自己填图, 使学生把握四种命题的形式和它们之间的关系.
教师活动:
四、小结
四种命题的形式和关系如下图:
由原命题构成道命题只要将 和 换位就可以. 由原命题构成否命题只要 和 分别否定为 和 , 但 和 不必换位. 由原命题构成逆否命题时不但要将 和 换位, 而且要将换位后的 和 否定·
原命题为真, 它的逆命题不一定为真.
原命题为真, 它的否命题不一定为真.
原命题为真, 它的逆否命题一定为真.
因为互为逆否命题同真同假, 所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个, 逆命题和否命题中的一个, 只讨论两种就可以了, 不必对四种命题形式—一加以讨论. 教师活动:
五、作业
1. 阅读课本 四种命题.
2. 四种命题, 练习(31页)1、2, 练习(32页)1、2
3. 习题 1、2、3、4
第二课时:反证法
一、导入新课
提问初中我们学过反证法, 你能回答出用反证法证实命题的一般步骤吗?
学生活动:
口答:
(l)假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立;
(2)从这个假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾;
(3)由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.
设计意图:
复习旧知识, 为学习反证法铺平道路.
教师活动:
导入同学们对反证法这种间接证法不像学过的直接证法如综合法、分析法那样熟悉, 感到抽象、难懂, 让我们举出一例对反证法加以介绍.
我们年级有367名学生, 请你证实这些学生中至少有两个学生在同一天过生日. 这个问题若用直接证法来解决是有困难的, 我们可以运用反证法.
运用反证法证实这个问题首先是根据“至少有两个学生在同一天过生日”的反面是“任何两个学生都不在同一天过生日”, 也就是反设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”, 从这个反设出发就会推出这
367人就会有不同的367天过生日, 这就出现了与一年只有365天(闰年366天) 的矛盾. 产生这个矛盾的来源是由于开始的反设, 因此反设不成立, 这样得出了“至少有两个学生在同一天过生日”的结论.
设计意图:
以生活中的实际例子拉近学生与反证法的距离, 激发学生的学习爱好.
板书 反证法证题的步骤:
1. 反设; 2.归谬; 3.结论
例用反证法证实:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知:如图, 在⊙O 中, 弦 AB 、CD 相交于 P 点, 且 AB 、CD 不是直径.
求证:弦AB 、CD 不被P 点平分.
设问用反证法证实这道题如何进行反设? 怎样进行归谬?
引导讨论“弦AB 、CD 不被P 点平分”的反面是“弦AB 、CD 被P 点平分”, 因而反设是“假设弦AB 、CD 被P 点平分”.
学生活动:
思考后分组讨论, 互相补充.
设计意图:
在关键处设问, 激励学生探究精神, 提高运用反证法的能力.
教师活动:
由于P 点不是圆心O, 连结OP, 由垂径定理的推论得 , ,这样过P 点有两条直线与OP 都垂直, 与垂线的性质矛盾.
结论是“弦AB 、CD 不被P 点平分”成立.
这道题用反证法证实还有一个方法.
连结 AD 、BD 、BC 、AC ·
提问用反证法证实怎样反设? 怎样归谬?
反设仍是“弦AB 、CD 能被P 点平分”.
学生活动:
讨论后回答
因为 , 所以四边形ABCD 是平行四边形, 而圆内接平行四边形必是矩形, 则其对角线AB 、CD 必是圆O 的直径, 这与假设矛盾, 所以结论“弦AB 、CD 不被P 点平分”成立· 设计意图:
让学生进一步体会在反证法中如何进行反充、归谬.
教师活动:
练习用反证法证实 不是有理数
证实:假设 是有理数, 则 可表示为 ( , 为自然数, 且互质)
两边平方, 得
①
由①知 必是2的倍数, 进而 必是2的倍数.
令 代入①式, 得
②
由②知, 必是2的倍数, 和 都是2的倍数, 则 、 不互质, 与假定 、 互质相矛盾, 不是有理数.
设计意图:
巩固练习.
教师活动:
例用反证法证实:假如 , 那么 .
剖析运用反证法证实这道题时, 怎样进行反设? 的反面是否仅有 ?
证实:假设 不小于 , 则或者 , 或者
当 , 因为 , 所以
在 的两边都乘以 得
,
在 的两边都乘以 得
,
所以
这与假设 矛盾, 所以 不成立.
当 时可得到 , 这与假设 矛盾.
综上所述, 所以
设计意图:
通过对例题的剖析, 使学生把握如何在反证法中反设和归谬.
教师活动:
三、课堂练习
用反证法证实:
已知:锐角三角形ABC 中
求证:
证实:假设 , 则
因为 , 所以 , .这样可推出 是钝角三角形或直角三角形, 这与假设 是锐角三角形矛盾. 所以
设计意图:
进一步提高运用反证法证题的能力.
四、小结
反证法证题的步骤:
(1)反设;(2)归谬;(3)结论.
运用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与已知条件的矛盾, 也可以是与某个公理、定理的矛盾, 也可以是证实过程中自相矛盾.
五、作业
1. 阅读课本 四种命题中“反证法”部分
2. 四种命题中“反证法”练习1、2.
3. 习题 5、6
4. 用反证法证实:在 中,AB 、BC 、AC 不全相等, 那么 、 、 中至少有一个大于 证实:假设 、 、 都大于 , 即 , ,
因为AB 、BC 、AC 不全相等, 所以上面三式中不能同时取等号, 这样有
. 与定理“三角形内角和为 ”矛盾, 因此结论 、 、 中至少有一个大于 成立.
教学目标
(1)理解四种命题的概念;
(2)理解四种命题之间的相互关系, 能由原命题写出其他三种形式;
(3)理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系;
(4)初步把握反证法的概念及反证法证题的基本步骤;
(5)通过对四种命题之间关系的学习, 培养学生逻辑推理能力;
(6)通过对四种命题的存在性和相对性的熟悉, 进行辩证唯物主义观点教育;
(7)培养学生用反证法简单推理的技能, 从而发展学生的思维能力.
教学重点和难点
重点:四种命题之间的关系; 难点:反证法的运用.
教学过程设计
第一课时:四种命题
一、导入新课
练习 1. 把下列命题改写成“若 则 ”的形式:
(l)同位角相等, 两直线平行;
(2)正方形的四条边相等.
2. 什么叫互逆命题? 上述命题的逆命题是什么?
将命题写成“若 则 ”的形式, 关键是找到命题的条件 与结论 .
假如第一个命题的条件是第二个命题的结论, 且第一个命题的结论是第二个命题的条件, 那么这两个命题叫做互道命题.
上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等, 则它是正方形”和“若两条直线平行, 则同位角相等”.
值得指出的是原命题和逆命题是相对的. 我们也可以把逆命题当成原命题, 去求它的逆命题.
3. 原命题真, 逆命题一定真吗?
“同位角相等, 两直线平行”这个原命题真, 逆命题也真. 但“正方形的四条边相等”的原命题真, 逆命题就不真, 所以原命题真, 逆命题不一定真.
学生活动:
口答:(l)若同位角相等, 则两直线平行;(2)若一个四边形是正方形, 则它的四条边相等. 设计意图:
通过复习旧知识, 打下学习否命题、逆否命题的基础.
二、新课
设问命题“同位角相等, 两条直线平行”除了能构成它的逆命题外, 是否还可以构成其它形式的命题?
讲述可以将原命题的条件和结论分别否定, 构成“同位角不相等, 则两直线不平行”, 这个命题叫原命题的否命题.
提问你能由原命题“正方形的四条边相等”构成它的否命题吗?
学生活动:
口答:若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等.
教师活动:
讲述一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 这样的两个命题叫做互否命题. 把其中一个命题叫做原命题, 另一个命题叫做原命题的否命题.
若用 和 分别表示原命题的条件和结论, 用┐ 和┐ 分别表示 和 的否定.
板书原命题:若 则 ;
否命题:若┐ 则┐ .
提问原命题真, 否命题一定真吗? 举例说明?
学生活动:
讲论后回答:
原命题“同位角相等, 两直线平行”真, 它的否命题“同位角不相等, 两直线不平行”不真. 原命题“正方形的四条边相等”真, 它的否命题“若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等”不真.
由此可以得原命题真, 它的否命题不一定真.
设计意图:
通过设问和讨论, 让学生在自己举例中研究如何由原命题构成否命题及判定它们的真假, 调动学生学习的积极性.
教师活动:
提问命题“同位角相等, 两条直线平行”除了 能构成它的逆命题和否命题外, 还可以不可以构成别的命题?
学生活动:
讨论后回答
总结可以将这个命题的条件和结论互换后再分别将新的条件和结论分别否定构成命题“两条直线不平行, 则同位角不相等”, 这个命题叫原命题的逆否命题.
教师活动:
提问原命题“正方形的四条边相等”的逆否命题是什么?
学生活动:
口答:若一个四边形的四条边不相等, 则不是正方形.
教师活动:
讲述一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 这样的两个命题叫做互为逆否命题. 把其中一个命题叫做原命题, 另一个命题就叫做原命题的逆否命题. 原命题是“若 则 ”, 则逆否命题为“若 则 .
提问“两条直线不平行, 则同位角不相等”是否真? “若一个四边形的四条边不相等, 则不是正方形”是否真? 若原命题真, 逆否命题是否也真?
学生活动:
讨论后回答
这两个逆否命题都真.
原命题真, 逆否命题也真.
教师活动:提问原命题的真假与其他三种命题的真
假有什么关系? 举例加以说明?
总结1. 原命题为真, 它的逆命题不一定为真.
2. 原命题为真, 它的否命题不一定为真.
3. 原命题为真, 它的逆否命题一定为真.
设计意图:
通过设问和讨论, 让学生在自己举例中研究如何由原命题构成逆否命题及判定它们的真假, 调动学生学的积极性.
教师活动:
三、课堂练习
1. 设原命题是“若 , 则 ”, 写出它的逆命题、否命题与逆否命题, 并分别判定它们的真假.
学生活动:
笔答:
逆命题“若 , 则 ”. 逆命题是假命题.
否命题“若 , 则 ”. 否命题是假命题.
逆否命题“若 , 则 ”. 逆否命题是真命题.
教师活动:
2. 设原命题是“当 时, 若 , 则 ”, 写出它的逆命题、否定命与逆否命题, 并分别判定它们的真假.
学生活动:
笔答
逆命题“当 时, 若 , 则 ”.
否命题“当 时, 若 , 则 ”. 否命题为真.
逆否命题“当 时, 若 , 则 ”. 逆否命题为真.
设计意图:
通过练习巩固由原命题构成否命题、逆否命题及判定它的真假的能力.
教师活动:
总结“当 时”是大前提, 写其他命题时应该将“当 时”写在前面. 原命题的条件是 , 结论是
“ ”的否定是“ ”, 而不是“ ”, 同样“ ”的否定是“ ”, 而不是“ ”.
投影
3. 填图
1. 若原命题是“若 则 ”, 其它三种命题的形式怎样表示? 请写在方框内?
学生活动:笔答
教师活动:
2. 根据上图所给出的箭头, 写出箭头两头命题之间的关系? 举例加以说明?
学生活动:讨论后回答
设计意图:
通过学生自己填图, 使学生把握四种命题的形式和它们之间的关系.
教师活动:
四、小结
四种命题的形式和关系如下图:
由原命题构成道命题只要将 和 换位就可以. 由原命题构成否命题只要 和 分别否定为 和 , 但 和 不必换位. 由原命题构成逆否命题时不但要将 和 换位, 而且要将换位后的 和 否定·
原命题为真, 它的逆命题不一定为真.
原命题为真, 它的否命题不一定为真.
原命题为真, 它的逆否命题一定为真.
因为互为逆否命题同真同假, 所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个, 逆命题和否命题中的一个, 只讨论两种就可以了, 不必对四种命题形式—一加以讨论. 教师活动:
五、作业
1. 阅读课本 四种命题.
2. 四种命题, 练习(31页)1、2, 练习(32页)1、2
3. 习题 1、2、3、4
第二课时:反证法
一、导入新课
提问初中我们学过反证法, 你能回答出用反证法证实命题的一般步骤吗?
学生活动:
口答:
(l)假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立;
(2)从这个假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾;
(3)由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.
设计意图:
复习旧知识, 为学习反证法铺平道路.
教师活动:
导入同学们对反证法这种间接证法不像学过的直接证法如综合法、分析法那样熟悉, 感到抽象、难懂, 让我们举出一例对反证法加以介绍.
我们年级有367名学生, 请你证实这些学生中至少有两个学生在同一天过生日. 这个问题若用直接证法来解决是有困难的, 我们可以运用反证法.
运用反证法证实这个问题首先是根据“至少有两个学生在同一天过生日”的反面是“任何两个学生都不在同一天过生日”, 也就是反设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”, 从这个反设出发就会推出这
367人就会有不同的367天过生日, 这就出现了与一年只有365天(闰年366天) 的矛盾. 产生这个矛盾的来源是由于开始的反设, 因此反设不成立, 这样得出了“至少有两个学生在同一天过生日”的结论.
设计意图:
以生活中的实际例子拉近学生与反证法的距离, 激发学生的学习爱好.
板书 反证法证题的步骤:
1. 反设; 2.归谬; 3.结论
例用反证法证实:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知:如图, 在⊙O 中, 弦 AB 、CD 相交于 P 点, 且 AB 、CD 不是直径.
求证:弦AB 、CD 不被P 点平分.
设问用反证法证实这道题如何进行反设? 怎样进行归谬?
引导讨论“弦AB 、CD 不被P 点平分”的反面是“弦AB 、CD 被P 点平分”, 因而反设是“假设弦AB 、CD 被P 点平分”.
学生活动:
思考后分组讨论, 互相补充.
设计意图:
在关键处设问, 激励学生探究精神, 提高运用反证法的能力.
教师活动:
由于P 点不是圆心O, 连结OP, 由垂径定理的推论得 , ,这样过P 点有两条直线与OP 都垂直, 与垂线的性质矛盾.
结论是“弦AB 、CD 不被P 点平分”成立.
这道题用反证法证实还有一个方法.
连结 AD 、BD 、BC 、AC ·
提问用反证法证实怎样反设? 怎样归谬?
反设仍是“弦AB 、CD 能被P 点平分”.
学生活动:
讨论后回答
因为 , 所以四边形ABCD 是平行四边形, 而圆内接平行四边形必是矩形, 则其对角线AB 、CD 必是圆O 的直径, 这与假设矛盾, 所以结论“弦AB 、CD 不被P 点平分”成立· 设计意图:
让学生进一步体会在反证法中如何进行反充、归谬.
教师活动:
练习用反证法证实 不是有理数
证实:假设 是有理数, 则 可表示为 ( , 为自然数, 且互质)
两边平方, 得
①
由①知 必是2的倍数, 进而 必是2的倍数.
令 代入①式, 得
②
由②知, 必是2的倍数, 和 都是2的倍数, 则 、 不互质, 与假定 、 互质相矛盾, 不是有理数.
设计意图:
巩固练习.
教师活动:
例用反证法证实:假如 , 那么 .
剖析运用反证法证实这道题时, 怎样进行反设? 的反面是否仅有 ?
证实:假设 不小于 , 则或者 , 或者
当 , 因为 , 所以
在 的两边都乘以 得
,
在 的两边都乘以 得
,
所以
这与假设 矛盾, 所以 不成立.
当 时可得到 , 这与假设 矛盾.
综上所述, 所以
设计意图:
通过对例题的剖析, 使学生把握如何在反证法中反设和归谬.
教师活动:
三、课堂练习
用反证法证实:
已知:锐角三角形ABC 中
求证:
证实:假设 , 则
因为 , 所以 , .这样可推出 是钝角三角形或直角三角形, 这与假设 是锐角三角形矛盾. 所以
设计意图:
进一步提高运用反证法证题的能力.
四、小结
反证法证题的步骤:
(1)反设;(2)归谬;(3)结论.
运用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与已知条件的矛盾, 也可以是与某个公理、定理的矛盾, 也可以是证实过程中自相矛盾.
五、作业
1. 阅读课本 四种命题中“反证法”部分
2. 四种命题中“反证法”练习1、2.
3. 习题 5、6
4. 用反证法证实:在 中,AB 、BC 、AC 不全相等, 那么 、 、 中至少有一个大于 证实:假设 、 、 都大于 , 即 , ,
因为AB 、BC 、AC 不全相等, 所以上面三式中不能同时取等号, 这样有
. 与定理“三角形内角和为 ”矛盾, 因此结论 、 、 中至少有一个大于 成立.