成人高考数学试题文科(历年

成考数学 (文史类)

一、集合与简易逻辑

2001年

(1) 设全集M={1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，T={4,5,6}，则(M(2) 命题甲：A=B，命题乙：sinA=sinB. 则（ ）

(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；

(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。 2002年

（1） 设集合A{1,2}，集合B{2,3,5}，则AB等于（ ）

（A）{2} （B）{1,2,3,5} （C）{1,3} （D）{2,5}

（2） 设甲：x3，乙：x5，则（ ）

（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2003年

（1）设集合M(x,y)xy1，集合N(x,y)xy2，则集合M与N的关系是

（A）M

T)N是（ ）

(A) {2,4,5,6} (B) {4,5,6} (C) {1,2,3,4,5,6} (D) {2,4,6}



22





22



N=M （B）MN= （C）NØM （D）MØN

（9）设甲：k1，且 b1；乙：直线ykxb与yx平行。则

（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2004年

（1）设集合Ma,b,c,d，Na,b,c，则集合M

N=

（A）a,b,c （B）d （C）a,b,c,d （D）

（2）设甲：四边形ABCD是平行四边形 ；乙：四边形ABCD是平行正方，则

（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2005年

（1）设集合P=1，2，3，4,5，Q=2,4,6,8,10，则集合P

Q=

（A）2，，2,3,4,5,6,8,10 （C）2 （D）4 4 （B）1

（7）设命题甲：k1，命题乙：直线ykx与直线yx1平行，则

（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2006年

（1）设集合M=101，，，2，N=1，2，3，则集合M（5）设甲：x1；乙：xx0.

（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2007年

22

（8）若x、y为实数，设甲：xy0；乙：x0，y0。则

2

N=

（A）01，，，，，，2，3 ，，2 （C）101 （B）01 （D）101

（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；

（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2008年

（1）设集合A=2，4，6，B=1，2，3，则A

B=

（A）4 （B）1,2,3,4,5,6 （C）2,4,6 （D）1,2,3

（4）设甲：x



6

, 乙:sinx

1

，则 2

（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。

二、不等式和不等式组

2001年

(4) 不等式x35的解集是（ ）

(A) {x

|x2}{x|x0} (D) {x|x2}

x8>x2x8或 x2

2002年

（14） 二次不等式x3x20的解集为（ ）

（A）{x|x0} （B）{x|1x2}（C）{x|1x2} （D）{x|x0}

2003年

（5）、不等式|x1|2的解集为（ ）

（A）{x|x3或x1} （ B）{x|3x1} （C）{x|x3} （D）{x|x1}

2004年

（5）不等式x123的解集为

（A）x12x15 （B）x12x12 （D）xx15 2005年 （2）不等式

2







3x27

的解集为

45x21

(5,+) （B）(,3)[5,+) （C）(3,5) （D）[3,5)

（A）(,3)

3x273x90x13

(3x9)(5x25)0

x5 45x215x2502

2006年

（2B）xx2（C）x2x4（D）xx4

（9）设a,b

（A）ab （B）acbc(c0) （C）

2007年

（9）不等式3x11的解集是

2

2





11

 （D）ab0 ab

2（A）R （B）xx0或

x （C）xx3

2008年

2 

3

（10）不等式x23的解集是

（A）xx5或x1 （B）x5x1 （C）xx1或x5

(由x233x231x5)



三、指数与对数

2001年

(6) 设alog0.56.7，blog24.3，clog25.6， 则a,b,c的大小关系为（ ） (A) bca (B) acb (C) abc (D) cab

b

blog2x

b

c

x

a

blog0.5x

(alog0.5x是减函数,x>1时,a为负；blog2x是增函数，x>1时a为正.故log0.56.7

（6） 设log32a，则log29等于（ ）

（A）

1

a3222log392log332aa （C） （D）log92log2aa233

（10） 已知f(2x)log2

4x10

，则f(1)等于（ ） 3141

（A）log2 （B） （C）1 （D）2

32

4x/210log2x10，f(1)log2110log42

f(x)log2222



（16） 函数y2003年

2x

1x11

20xlog22x1

2

（2）函数y5x1的反函数为 （-x）

（A）ylog5(1x), (x1) （B）y5

（C）ylog5(x1), (x1) （D）y5

x1

, (x) 1, (x)

1x

y5x15xy1xlog55log5(y1)xlog5(y1)

 按习惯自变量和因变量分别用x和y表示

ylog5(x1)；定义域：x10,x1

（6）设0x1，则下列不等式成立的是

（A）log0.5x2log0.5x （B）2x2 （C）sin

xsinx （D）xx

2

x

2

2

x

y2x2为增函数0x1值域(0,2)x2

2>2x，排除（B）；y2x为增函数值域(1,2)22

0x1xx,sinx

20x1xx，排除（D）；

220x1xx,logX为减函数，logxlogx，故选（A）0.50.50.5

5

，则x等于 4

（A）10 （B）0.5 （C）2 （D）4



（8

）设logx

5lg2

555[logx（logx2， lgxlg2， lgxlg2，x2 ] x22）

lgx444

4

4

14

54

2004年

1

= （16）64

log2

16

2005年

23

2

213342364log4log2441222

16

（12）设m0且m1，如果logm812，那么logm3

2006年

（7）下列函数中为偶函数的是

（A）y2x （B）y2x （C）ylog2x （D）y2cosx

（13）对于函数y3x，当x0时，y的取值范围是

（A）y1 （B）0y1 （C）y3 （D）0y3

（14）函数f(x)log3(3xx2)的定义域是

（A）(,0)

11111114

（B） （C） （D） log3log3log812mmm4442233

(3,+) （B）(,3)(0,+) （C）(0,3) （D）(3,0)

3xx2>0x23x

1

2（19）log28

16= log628

12

l2o3g24



3log243 42



1

2007年

（x-1）（1）函数ylg的定义域为

（A）R （B）xx0 （C）xx2



1

（2）lg48lg42=

4

031131（A）3 （B）2 （C）1 lg48lg42=lg442lg4421=1=1 （D）0

224

（5）

y （B）(3,) （C）(3,8) （D）(3,)

x

16

（15）设ab1，则

（A）loga2logb2 （B）log2alog2b （C）log0.5alog0.5b （D）logb0.5loga0.5 2008年

（3）log24()=

y

ylog1.3x

ylog2x

ylog0.5x

①同底异真对数值大小比较：

增函数真(数)大对(数)大，减函数真大对小如.log30.5log30.4, log0.34log0.35; ②异底同真对数值大小比较：

同性时：左边[点(1,0)的左边]底大对也大，右边[点(1,0)的右边]底大对却小. 异性时：左边减(函数)大而增(函数)小，右边减小而增大.

如log0.40.5>log0.30.5, log0.45log30.5, log45

同性时：分清增减左右边，去同剩异作比较. 异性时：不易不求值而作比较，略. 如：log36log48(log361

ylog0.77x

lg2lg2lg2lg2

,log481,log36log48)lg3lg4lg3lg4

1

3

（A）9 （B）3 （C）2 （D）1log24()0=log2221=21=1

（6）下列函数中为奇函数的是

（A）ylog3x （B）y3x （C）y3x2 （D）y3sinx （7）下列函数中，函数值恒大于零的是

（A）yx2 （B）y2x （C）ylog2x （D）ycosx （9

）函数ylgx

（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（∞，3] [由lgx得x

>0得x3，xx0

（11）若a

1，则

（B）log2a0 （C）a

y

1a1

a，y0，故选（A）分析①：设ylog1a

22

分析②：yloga是减函数，由yloga的图像知在点（1,0）右边, y0，故选（A）

11

22





13



xx3=x0

1

0 （D）a210

四、函数

2001年

(3) 已知抛物线yxax2的对称轴方程为x1,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）

(A) (1,3) (B) (1,1) (C) (1,0) (D) (1,3)

2

x01, ax=1a20 a24(2)(2)24(2)

3 y0

44

(7) 如果指数函数yax的图像过点(3,)，则a的值为（ ）

(A) 2 (B) 2 (C) 

18

12

(10) 使函数ylog2(2xx2)为增函数的区间是（ ）

(A) [1,) (B) [1,2) (C) (0,1] (D) (,1]

2xx20x22x00x2

2∵ y2xx开口向下，对称轴为： xb21

1]为ylog2(2xx2)的增区间.∴(0，

y

x

y=2xx2

ylog2(2xx2)

5x5x6x

(13)函数f(x)是（ ）

2

(A) 是奇函数 (B) 是偶函数

(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数

(16) 函数y

(21) (本小题11分) 假设两个二次函数的图像关于直线x1对称，其中一个函数的表达式为

减函数，真数须在(0,1]之间，对数才为正

log1(4x3)03

3

0

log1(4x3)的定义域为____________。

3

y

yx22x1,求另一个函数的表达式。

2

解法一 函数yx2x1的对称轴为x1，

2241(1)2 顶点坐标:x0=1，y04a41

22

设函数yxbxc与函数yx2x1关于x1对称，则

2

函数yxbxc的对称轴x3

2 =3，y0顶点坐标: x0

b

2136， 得：b2ax0 由x0

4ay0b24(2)62b24ac

y0得：c7 由y0

4a4a4

2

所以，所求函数的表达式为yx6x7

22

解法二 函数yx2x1的对称轴为x1，所求函数与函数yx2x1关于x1对称，则

2

所求函数由函数yx2x1向x轴正向平移4个长度单位而得。

设M(x0,y0)是函数yx2x1上的一点，点N(x,y)是点M(x0,y0)的对称点，则

2

2

y0x02x01，

x0x4xx42

，将0代入y0x02x01

yyyy00

得:yx26x7.即为所求。

(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量

将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为a(1

x0.5x)元/本，售量为b(1)本。设此时销售总金额为y，则： x0.5x0.5x0.5x20.5x

y=a(1)b(1)=ab(1)，令y=ab()=0，得x50

[***********]0000

所以，x50时，销售总金额最大。

2002年

（9） 若函数yf(x)在[a,b]上单调，则使得yf(x3)必为单调函数的区间是（ ）

A．[a,b3] B．[a3,b3] C．[a3,b3] D．[a3,b]

 因yf(x)与yf(x3)对应关系相同，故它们的图像相同；因yf(x)与yf(x3)的

自变量不同，故它们的图像位置不同，f(x3)的图像比yf(x)左移3个长度单位. 因f(a)f(x3)时，必有x3a，即xa-3; f(b)f(x3)时，必有x3b，即xb-3.所以，yf(x3)的单调区间是[a3,b3]

4x10

（10） 已知f(2x)log2，则f(1)等于（ ）

3

141

（A）log2 （B） （C）1 （D）2

32

4x/210log2x10, f(1)log2110log42

f(x)log2， 222

3

3

3



（13） 下列函数中为偶函数的是（ ）

x22（A）ycos(x1) （B）y3 （C）y(x1) （D）ysinx

（21）（本小题12分） 已知二次函数y

为2，求b的值。

x2bx3的图像与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离

bx3=0的两个根，

解 设两个交点的横坐标分别为x1和x2，则x1和x2是方程x2

得：x1x2

b，x1x23

又得：

x1x2



2，b=4

（22）（本小题12分） 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造

价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy

1600400

400，y400400

u40xy204(2x2y)40400204(2x

2)16000160(

x)



2

40 

160001600，即当x20时，池壁与池底的造价之和最低且等于：

u16000160(x

400400

)16000160(20)22400(元) 答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年

（3）下列函数中，偶函数是

（A）y3x3x （B）y3x2x3 （C）y1sinx （D）ytanx

（10）函数y2x3x21在x1处的导数为

（A）5 （B）2 （C）3 （D）4 y

（11

）y

x1

(6x22x)

x1

624

（A）xx1 （B）xx2

（D）

222

lg(xx1)0xx11xx20x1或x2xx1或 x2



y

（17）设函数f(t-1)t22t2（20）（本小题11分） 设f(x)ax，g(x)解 依题意得：

x

111

，f(2)g()=8，f()g(3)=，求 a、b的值. f(2)g(1)2a2b8

a•b2 ①a12 a21 2， ，解得 ， 即 1ab1b1 b2 12ab1 ②f()g(3)

3333

（21）（本小题12分） 设f(x)x22axa2满足f(2)f(a)，求此函数的最大值.

解 依题意得：

44aa2a22a2a2，即a2a40，得：a1a22

f(x)x24x4(x24x4)(x2)28，

可见，该函数的最大值是8（当x2时） 2004年

（10）函数f(x)sinxx3

（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也又是偶函数

3

（15）f(x)x3，则f(3)=

（A）27 （B）18 （C）16 （D）12

（17）y5sinx12cosx5y13(5sinx12cosx)13(sinxcoscosxsin)=sin（x），cos=，

131313

（20）（本小题满分11分） 设函数yf(x)为一次函数，f(1)=8，f(2)=1，求f(11) 解 依题意设yf(x)kxb，得



f(1)kb8k3

，得，f(x)3x5，f(11)=38

f(2)2kb1b5



（22）（本小题满分12分） 在某块地上种葡萄，若种50株，每株产葡萄70kg；若多种一株，每株减产1kg。

试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值. 解 设种x（x50）株葡萄时产量为S，依题意得 Sx)70-(x-50

2

，x01x20x

b120

60，S0=12060602=3600(kg) 2a2（1）

所以，种60株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为3600kg. 2005年

（3）设函数f(x)x21，则f(x2)

（A）x4x5 （B）x4x3 （C）x2x5 （D）x2x3

（6

）函数y

2

2

2

2

（A）xx1 （B）xx1 （C）xx

1 

x10x11x1，即：x1 或 x1

（9）下列选项中正确的是

（A）yxsinx 是偶函数

（C）yxsinx 是偶函数 （18）设函数f(x)axb，且f(1)

5

，f(2)453

33f(1)aba

注：f(x)x1f(4)417

22f(2)2ab4b1

（23）（本小题满分12分）

x

已知函数y1x22x5的图像交y轴于A点，它的对称轴为l；函数y2a的图像交y轴（a

1）

于B点，且交l于C. （Ⅰ）求ABC的面积 （Ⅱ）设a3，求AC的长

解（Ⅰ）y1x22x5的对称轴方程为：x

3x

22x5

b2

1 2a2

依题意可知A、B、

C各点的坐标为A(0,5)、B(0,1)、

C(1,a) 得：AB

在ABC中，AB边上的高为1（x1），因此，SABC=

1

41=2 2

（Ⅱ）当a3时，点C的坐标为C（1，3），故AC2006年

（4）函数yx2x3的一个单调区间是

（A）0, （B）1, （C）,2 （D）,3

（7）下列函数中为偶函数的是

（A）y2

（B）y2x （C）ylog2x （D）y2cosx

x

2

（8）设一次函数的图像过点（1，1）和（2，0），则该函数的解析式为

12

（B）yx （C）y2x1 （D）yx2 33

y110112yy1y1y2

3(y1)x1yxxxxxx11(2)333112

（10）已知二次函数的图像交x轴于（1，0）和（5，0）两点，则该图像的对称轴方程为

（A）x1 （B）x2 （C）x3 （D）x4

（17）已知P为曲线yx3上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是

（A）3xy20 （B）3xy40 （C）3xy20 （D）3xy20

ky



2

3xx1

x1

3, P点的坐标：(1,1), y13(x1)3xy20



（20

）直线y



2



180

2007年



260





（x-1）（1）函数ylg的定义域为

（

A）R （B）xx0

（C）xx2 （5）yx

1

6

（6）二次函数yx24x5图像的对称轴方程为

（A）x2 （B）x1 （C）x0 （D）x1

（B）(3,) （C）(3,8) （D）(3,)

（7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是

（A）f(x)

1x22

f(x)cosf(x) （B） （C） （D） f(x)xx

1x23x

f(x)(x2x)22

(B) f(x)(x)(x)xxf(x)



0)，则该二次函数的最小值为 （10）已知二次函数yx2pxq的图像过原点和点(4，

（A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12

q022

函数图像过(0,0)和(

4,0)yx4x(x2)4y4 min

164p0p4

2

（18）函数yxx在点(1,2)处的切线方程为 

ky

（21）设f()2008年

x1

(2x1)

x1

3,y2k(x1)y3x1

x

2

121xx，则f(x)f(x)(2x)22xx22x 44

2

（5）二次函数yx2x2图像的对称轴方程为

（A）x1 （B）x0 （C）x1 （D）x2

（6）下列函数中为奇函数的是

（A）ylog3x （B）y3x （C）y3x2 （D）y3sinx

（7）下列函数中，函数值恒大于零的是

（A）yx2 （B）y2x （C）ylog2x （D）ycosx

（8）曲线yx21与直线ykx只有一个公共点，则（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7

yx

x

yx21的切线y2x就与yx21只有一个公共点，2

yx1y2

y2xy2xx1,ky22

xy2x

（9

）函数ylgx

（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（∞，3] [由lgx得x

>0得x3，xx0

（13）过函数y

xx3=x0

6

上的一点P作x轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则OPQ的面积为 x

（A）6 （B）3 （C）12 （D）1 [设Q点的坐标为x，则SOPQ

116

yxx3] 22x

五、数列

2001年

(11) 在等差数列an中，a58，前5项之和为10，前10项之和等于（ ）

(A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70

5(a1a5)5(a54da5)5(84d8)

===10，d=3 5(a10a6)5(a5da5+d)5(2a56d)5(2863)

S10=S5=S55=S5=10=95

2222

an12an3bn

n1,2,3,......。 (23) (本小题11分) 设数列an，bn满足a11，b10且

bn1an2bn

注：S5=

(ii)求an，bn的通项公式。

(i)求证anbn和anbn都是等比数列并求其公比；





1，，， 2 7 29， ， 2an13bn1

an：证(i) 

0 1 4， an-12bn-1bn：

a

n

bn:1， 2 ， ann

 a





3b:1， 2 29， a

可见ab与a3

b的各项都不为

0.

a=2a3b=

a

3b=a



q， 所以，a

3b是等比数列且其公比为q

a=2a3b=

2a

3b=2a

n

n

n

n

nnnn

n1n1nnnnnnnn

nn

n1n1nnnnnnnn

所以，an

n是等比数列且其公比为q=2



(ii) 由ana1qn1得

1n1n1

a=(2(2nann=(2 ，

得： n1

b(2n1(2n1ann=(2

nn1

2002年

（12） 设等比数列{an}的公比q2，且a2a48，则a1a7等于（ ）

（A）8 B．16 （C）32 （D）64

（a1•a7

a2

a4q3a2a4q282232） q

（24）（本小题12分）数列{an}和数列{xn}的通项公式分别是an



2

2n1

，2

n2n2

xn1a2an。

（Ⅰ）求证{xn}是等比数列；

（Ⅱ）记

Sn

，求的表达式。

证（Ⅰ）因an

{x}为正数列。当n>2时

xn

nxn1

可见

是等比数列。

x（Ⅱ）由x12，qnn1

a1(1qn)Snx1x2xn1)2)

2n3n22

2003年 （23）已知数列（Ⅰ）求

an的通项公式，

an的前n项和S

n

2an3.

（Ⅱ）设bn

nan

，求数列bn的前n项和. n2

解（Ⅰ）当n1时，a1S12a13，故a1

3，

当n2时，anSnSn-12an3(2an13)2an2an1， 故an2an1，q

an2a

n12，所以，ana1qn132n1 an1an1

nann32n13n

（Ⅱ）bnn， 222n

3n

bn∵qn ，∴bn不是等比数列 

n1

∵dbnbn1

3n3(n1)3， ∴bn是等差数列 33

(n)n3n(b1bn)n(n1) bn的前n项和：Sn

2004年

（7）设an为等差数列，a59，a1539，则a10

（A） （B） （C） （D）

1

aa9d,aa2a18d2a,a是a和a的等差中项，a(aa)[***********]5152

（23）（本小题满分12分） 设an为等差数列且公差d为正数，a2a3a415，a2，a31，a4成

等比数列，求a1和d.

解 由a2a3a43a315，得a35， a2a410①

由a2，a31，a4成等比数列，得a2a4(a31)2(51)216 ② 由2005年

（13）在等差数列an中，a31，a811，则a13

（A） （B） （C） （D）22

a2a410①a212da3a2523

，得，

aad2312a2a416 ②a228(大于a3,舍去) 1

a8a3(83)d15d11, d2, a13a3(133)d110d110221

或者这样解：a是a和a的等差中项，2a=a+a，a=2aa=2111=[1**********]383

（22）（本小题满分12分） 已知等比数列an的各项都是正数，a12，前3项和为14。求：

（Ⅰ）数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bnlog2an，求数列bn的前20项之和。

a1(1q3)2(1q3)2(1q)(1qq2)

解（Ⅰ）S314，

1q1q1q

得qq6，

2

q12

，所以，ana1qn122n12n

q23(不合题意,舍去)

(120)20

210

2

（Ⅱ）bnlog2anlog22nn，

数列bn的前20项的和为S20123

2006年

（6）在等差数列an中，a31，a57，则a7

20

（A）11 （B）13 （C）15 （D）17

a5a3(73)d12d7, d4, a7a52d72(4)=15

1

（22）（本小题12分） 已知等比数列an中，a316，公比q。求：

2

（Ⅰ）数列an的通项公式； （Ⅱ）数列an的前7项的和。

11

解（Ⅰ）a3a1q2，a1=16，a1=64，ana1qn164

22

2n1

27n2621n27n

17

6417n2a1(1q)111281（Ⅱ）S7=1281127 11q12821

2

2007年

（13）设等比数列an的各项都为正数，a11，a39，则公比q

（A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3

（23）（本小题满分12分） 已知数列an的前n项和为Snn(2n1),

（Ⅰ）求该数列的通项公式； （Ⅱ）判断an39是该数列的第几项.

解（Ⅰ） 当n2时，anSnSn-1n(2n1)(n1)2(n1)14n1

当n1时，a1S11(211)3，满足an4n1， 所以，an4n1

（Ⅱ） an4n139，得n10. 2008年

（15）在等比数列an中, a2=6，a4=24，a6=2

a42422

（A）8 （B）24 （C）96 a2a6a4a696 （D）384

a26

（22）已知等差数列an中，a19，a3a80

（Ⅰ）求等差数列的通项公式

（Ⅱ）当n为何值时，数列an的前n项和Sn取得最大值，并求该最大值 解（Ⅰ）设该等差数列的公差为d，则

a3a12d，a8a17d，a3a8a12da17d2a19d0

将a19代入2a19d0得：d2，

该等差数列的通项公式为ana1(n-1)d9(n-1)(2)112n

（Ⅱ）数列an的前n项之和

Sn

n(a1an)n(9112n)

10nn2 22

n5

102n0，n5，Snmax(10nn2)令Sn

25

六、导数

2001年

(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量

将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为a(1

x0.5x

)元/本，售量为b(1)本。设此时销售总金额为y，则： 100100

x0.5x0.5x0.5x20.5x

y=a(1)b(1)=ab(1), 令y=ab()=0，得x50

10010000

所以，x50时，销售总金额最大。

2002年

（7） 函数y

12

xx3的最小值是 5（A）

（C）3 （D）4

21217

y2x1,x,y2（（3min

（22）（本小题12分） 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造

价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy

1600400

400，yx4

400400

u40xy204(2x2y)40400160(xy)16000160(x)， u=160(12)

xx

400

令u=0，得120，x20(x20舍去)

x



400

x20

) umin16000160(x

16000160(20

400

)22400(元) 答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年

（10）函数y2x3x21在x1处的导数为（A）5 （B）2 （C）3 （D）4y

2004年

（15）f(x)x33，则f(3)=

（A）27

2005年

（17）函数yx(x1)在x2处的导数值为

y

x2

x1

(6x22x)

x1

4

f(3)3x

2x3

27 （B）18 （C）16 （D）12

(2x1)

x2

5

（21）求函数yx33x在区间[0,2]的最大值和最小值（本小题满分12分）

解 令y3x233(x21)3(x1)(x1)0，得x11，x21（不在区间[0,2]内，舍去）

0, yx113312, yx223322

可知函数yx33x在区间[0,2]的最大值为2，最小值为2. y

x0

2006年

（17）已知P为曲线yx3上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 （A）3xy20 （B）3xy40 （C）3xy20 （D）3xy20

ky

2007年

2

x1

3x2

x1

3, P点的坐标：(1,1), y13(x1)3xy20



（12）已知抛物线y4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为

（A）或

45554

（B）或 （C）1或1 （

D

445

1y22

由y2px和y4x得p=2, xp5x4 y4k1 

2

（18）函数yxx在点（1，2）处的切线方程为

［ky)x13，y2k(x1)，即y3x1］ x1(2x1

2008年

（8）曲线yx21与直线ykx只有一个公共点，则k（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7

yx

x

yx21的切线y2x就与yx21只有一个公共点，

2

yyx12

y2xy2xx1,ky22

xy2x

2）（25）已知函数（24 fx）x4mx25，且f（

（Ⅰ）求m的值

fx）（Ⅱ）求（在区间2，2上的最大值和最小值

x）2）解（Ⅰ）f（4x32mx，f（4232m224，m2 x）（Ⅱ）令f（4x32mx=4x34x0，得：x10，x21，x31

（f0）=5，（f1）=125=4，（f1）=125=4，（f-2）=1685=13，（f2）=1685=13 fx）所以，（在区间2，2上的最大值为13，最小值为4.

七、平面向量

2001年

(18)过点(2,1)且垂直于向量a

(1,2) a(1,2)所在直线的斜率k2，与a垂直的直线的斜率k2002年

（17）已知向量a(3,4)，向量b与a方向相反，并且|b|10，则b

解 设b(x,y)，因向量b与a方向相反（一种平行），故



1，所求直线y1k(x2) 2

34

，即4x

3y ①， a•b3x4y|a||b|cos1801050②

将①与②组成方程组：  也可这样简单分析求解：

因|a|5，|b|10，|b|是|a|的二倍，b与a方向相反，故b2a=2(3,4)=(6,8)

2003年

(13)已知向量a、b满足|a|=4，|b

|=3，a,b=30，则ab=

（A

ab=abcosa,b=43cos30 （C）6 （D）12

4x3y ①x6

，解得：，故b(6,8)

y83x4y=50②

2004年

（14）如果向量a(3,2)，b(1,2)，则(2a+b)(a-b)等于

（A）28 （B）20 （C）24 （D）10

2a=2(3,2)=(6,4), 2a+b=(6,4)+(1,2)=(5,2)，ab=(3,2)(1,2)=(4,4)

(2a+b)(a

b)=(5,2)(4,4)=28 

2005年

（14）已知向量a,b满足a3，b4，且a和b的夹角为120，则ab

（A

） （B

） （C） （D）6

2006年

（3）若平面向量a(3,x)，b(4,3)，ab，则x的值等于

（A）1 （B）2 （C）3 （D）434(3x)0, x4

2007年

（3）已知平面向量AB=(2,4)，AC=(1,2)，则BC=

（A）(3,6) （B）(1,2) （C）(3,6)(1,2)(2,4)=(3,6) （D）(2,8) 2008年

（x ，） 2，b（2 ， 3）（18）若向量a，a//b，则x

x24

, x

223

八、三角的概念

2001年

（5，）12，则cotsin等于（ ） (5) 设角的终边通过点P

(A)

7779

(B)



1315613

51251279

cot=, sin, cotsin==

[1**********]

17

（5） 已知

sincos，sincos，则tan等于（ ）

3

（B） （C）1 （D）－1

4

sincos1

①①+②得：882sin=55, tan=2sin==4 , 76sincos ②①-②得：2cos=

2003年 （4）已知



2

（A） sinco （B）sin

co

（C

）sin2

（D）sin2

(sincos>0时)sincos，sincos=

sincos,(sincos

∵

sin>0,cos

2007年 （11）设

sin=

1

，为第二象限角，则cos= 2

=1501 （C） （D （B）

2cos150=

九、三角函数变换

2002年

（3） 若x[,2]，cosx

3

，则x等于（ ）

2

4511

（B） （C） （D）

336

x2n150(x在第二象限时)

7x[,2]xarccos( x210210

1806x2n210(x在第三象限时)



2003年

（19）函数ycos3x

sin3x

y2cos23xsin23x2cos3xsin3x1sin6x, y=ymaxy

2004年 （9）sin

sin6x1





12

cos



12

=

（A）

1

211 （C

（D

原式sin264

（17）函数y5sinx

12cosx5y13(5sinx12cosx)13(sinxcoscosxsin)=sin（x），cos=

131313

2005年

（10）设(0,)，cos=，则sin2=



2

3

5

（A）

8912 （B） （C）

252525

324∵ (0,), ∴sin>0, sin2=2sincos=

2525

2006年

（）在ABC中，C=30，则cosAcosBsinAsinB的值等于

（A）

11

（B

（C）

22

原式=cosAcos(150A)sinAsin(150A) =cosA(cos150cosAsin150sinA)sinA(sin150cosAcos150sinA) 

22 =cosAcos150sinAcos150=cos150=



2007年

（19）sin(45)coscos(45)sin的值为

sin(45)coscos(45)sin=sin(45)=sin45

十、三角函数的图像和性质

2001年

(14)函数y

cos3x3sin3x ）

22 (D) 2

，

1 12

，

1ycos3xx=2(cos3xx)=2(sincos3xcossin3x)=2cos(3x) T22 sin1 cos当cos(3x)=1时，函数取得最大值2

(A)

2005年

（4）函数ysin

x

的最小正周期是 2



2



4 （C）2 （D） （A）8 （B）4 T1/2

（20）（本小题满分11分）

（Ⅱ）参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数ytanx-sinx在区间0上的图像

4

（Ⅱ）

2006年

（18）函数y

sin2x2007年 (4)函数ysin

1

x的最小正周期为 3

（A）



（B）2 （C）6 （D）8 3

2008年

（2）函数ycos

x

的最小正周期是 3

（A）6 （B）3 （C）2 （D）

 3

十一、解三角形

2001年

(20) (本小题11分) 在ABC中，已知A45，B30，AB=23.26，求AC（用小数表示，结

果保留到小数点后一位）。 解





23.26sin3023.26ACABAC

12.0 =， ， AC==

sinCsinBsin75sin(18045

30)sin30

。 ，求sinC（精确到0.001）

2002年

（20)（本小题11分）

在ABC中，已知A60，且BC

ABBC解 =

sin

60

sinC=

2003年

ABsin600.612 BC

（22）（本小题12分）

如图，某观测点B在A地南偏西10方向，由A地出发有一条走向为南偏东12的公路，由观测点B发现公路上距观测点10km的C点有一汽车沿公路向A驶去，到达D点时，测得DBC90，

BD10km，问汽车还要行驶多少km才可到达A地（计算结果保留两

位小数）

解 BAD1012

2 2 ∵DBC90，BCBD，

∴BCD是等边直角三角形，BDC45

ABDBDCBAD452223

BD10

sinABDsin2310.43(km) AD

sinBADsin22

答：为这辆汽车还要行驶10.43km才可到达A地

2004年

结果保留小数点后两位）

（21）（本小题满分12分） 已知锐角ABC的边长AB=10，BC=8，面积S=32.求AC的长（用小数表示，

解 S=ABBCsinB=108sinB=32，

1212

43

得：sinB=55

3

AC2=AB2BC22ABBCcosB=102822108=68

5

8.25

2006年

C

A

B

（23）（本小题12分） 已知在ABC中，BAC=60，边长AB=5，AC=6. （Ⅰ）求BC的长

（Ⅱ）求ABAC值

解 （Ⅰ）

A

（Ⅱ）ABAC=ABACcosBAC=5

6cos60=15 2007年

（Ⅰ）B的正弦值； （Ⅱ）ABC的面积.

解（Ⅰ）B=45，sinB=sin45=

B

（22）（本小题满分12分） 已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求

2

1

（Ⅱ）ABC的面积SABC=21=1

2

2008年

（20）在ABC中，若sinA=

1

，C=150，BC=4，则AB= 3B

ABCABBCsinC4sin150

, AB6 CsinAsinCsinA

3

（23）如图，塔PO与地平线

AO垂直，在A点测得塔顶P的仰角PAO45，沿AO方向前进至B点，测得仰角

PBO60，A、B相距44m，求塔高PO。（精确到0.1m）

解 由已知条件得：BPO

30，AOPO，BOPOtanBPO

POtan30

PO P

ABAOBOPOBO



PO

PO44 3

PO104.1(m)

O

十二、直线

2001年

（2，1）(18)过点且垂直于向量a(1,2)的直线方程 。

(2x,1y)(1,2)=0，x2y0设在所求直线上取点(x,y)，得向量b(2x,1y)，则ab，即：

2002年

（4）点P(3,2)关于y轴的对称点的坐标为（ ）

（A）(3,2) （B）(3,2) （C）(0,2) （D）(3,2)

（18）在x轴上截距为3且垂直于直线x2y0的直线方程为 。

112，所求直线的方程：y2(x2) x2y0的斜率k,所求直线的斜率为k2k

2003年

2)到直线y2x1的距离为

（16）点P(1，

d

5

2004年

（4）到两定点A(1,1)和B(3,5)距离相等的点的轨迹方程为 .

（A）xy40 （B）xy50 （C）xy50 （D）xy20

2222

(x1)(y1)(x3)(y5)，xy40

（12）通过点(3,1)且与直线xy1垂直的直线方程是 .

（A）xy20 （B）3xy80 （C）x3y20 （D）xy20 （20）（本小题满分11分） 设函数yf(x)为一次函数，f(1)=8，f(2)=1，求f(11) 解 依题意设yf(x)kxb，得2005年



f(1)kb8k3

，得，f(x)3x5，f(11)=38

f(2)2kb1b5



（2，1）（16）过点且与直线yx

12006年

（8

(1,1)）和(2,1)，则该函数的解析式为

12

（B）yx （C）y2x1 （D）yx2

33

（20

）直线y2

2008年

60



（14）过点(1,1)且与直线x2y10垂直的直线方程为

（A） 2xy10 （B）2xy30 （C）x2y30 （D）x2y10 ［直线x2y10的斜率为k

1

，所求直线的斜率为k2，由点斜式方程可知应选（A）］ 2

（19）若是直线yx2

的倾斜角，则3tan1, 0,arctan(1)145= 4

十三、圆

2006年

（24）（本小题12分） 已知

o的圆心位于坐标原点,

o的方程；

o与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B

，AB （Ⅰ）求

（Ⅱ）设P为

o上的一点，且OP//AB，求点P的坐标。

2

2

解（Ⅰ）依题设得2r

=AB，

r

2，

故

o的方程：x2y24

（Ⅱ）因为A(2,0)，B(0,2)，所以AB的斜率为1。

过o且平行于AB的直线方程为yx.

yxx1x2由2得：

2



x

y4

y1

y2所以，点P

的坐标为

或(

2008年

x2y2

1的右焦点，并且此圆过原点.

（24）已知一个圆的圆心为双曲线

412

（Ⅰ）求该圆的方程；

（Ⅱ）求直线y被该圆截得的弦长

. 解

（Ⅰ）c4，

x2y2

（4，0）1的右焦点坐为 双曲线，

4124，0）圆心坐标O（，圆半径为r4。

2

圆的方程为（

x4）y216

（Ⅱ）因直线y

的倾角为60，

故OA=OBcos

AOB=24cos60=4

所以，直线y被该圆截得的弦长为4

412

十四、圆锥曲线

2001年

(3) 已知抛物线yx2ax2的对称轴方程为x1,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）

(A) (1,3) (B) (1,1) (C) (1,0) (D) (1,3)

a2

x1, a2, yxax21(2)1230000

(8) 点P为椭圆25x9y225上一点，F1和F2是焦点，则PF1PF2的值为（ ）

(A) 6 (B) 5 (C) 10 (D) 3

2

2

25x

2

9y2225a5,PF1PF22a2510

x2y2

1的左焦点F1的直线与这双曲线交于A,B两点，且AB3，F2是右焦点，则(9) 过双曲线

369

AF2BF2的值为（ ）

(A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27

，

x

B

ABAF1BF1=3AF1AF2=2a=12AF2BF2AF2BF2=27BF1BF2=2a=12

x2y2

(24) (本小题11分) 已知椭圆221和点P(a,0)，设该椭圆有一关于x 轴对称的内接正三角形，

ab

使得P为其一个顶点。求该正三角形的边长。

解 设椭圆的关于x 轴对称的内接正三角形为PAB，Ax,y，则：

ax32axx2(ax)2ax

1， ，y，2，22

3yya3b

3b223b2x22

(a2axx)23b,12x2axa23b20

aa

2

2

22

22

a3bax122



x a3b

3ba3bxa2122aa

a23b2

a 由于axa，所以，x

2

a3b2

a-x

因，AB=2y，于是PAB

的边长为

y

yxa23b222222

AB=2y212122

a3ba3b 2002年

x

（8） 平面上到两定点F1(7,0)，F2(7,0)距离之差的绝对值等于10

y2y2x2x2x2y21 （B）1 （C）1

（A）

2(B)点的轨迹为双曲线，排除(C);2

a10，a5，a25，

排除(A)、

x2y2

1(0)的焦点在x轴上，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两 （23）（本小题12分） 设椭圆

62

点，使得OP所在直线的斜率为1，OPOQ，若

POQ的面积恰为

，求该椭圆的焦距。 解 设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，因OPOQ，故POQ=90.又因OP所在直线的斜率为1，故

SPOQ

21

122OPOQx12y12x2y2。

21

x2y2

将xy代入21(0)，得：

61(

0)，即26=0，

244y

Q

2.5

P

0.50.50.5

0.5

解得：1

222

22=b=18>a=6,舍去)

由a2003年

2

2.5

=6，

b==

22

=2得该椭圆的焦距：2c2

4

0)、(5，0)且过点(3，0)的双曲线的标准方程为 （14）焦点(5，

2y2x2y2x2x2y1 （B）1

（D）1 （A）

222焦点在x轴，排除(A)、(D)；c5, a3, b5316, 排除(B),选(C)

2x2y1与圆(x4)2y22的公共点的个数是 （15）椭圆49

（A）4 （B）2 （C）1 （D）0

y

椭圆与x轴的交点是2，圆(x4)2y22的圆

心是(4,0),与x轴的交点是因，故椭圆与圆相离，没有交点.

2

（24）已知抛物线y8x的焦点为F，点A、C在抛物线上（AC与x轴不垂直）.

（Ⅰ）若点B在抛物线的准线上，且A、B、C三点的纵坐标成等差数列，求证BFAC； （Ⅱ）若直线AC过点F，求证以AC为直径的圆与定圆(x-3)y9相内切. 证明：（Ⅰ）由y8x得抛物线准线方程x

2

2

p8/4

2，F(2,0) 2

y12y2yy2

设A(,y1)、C(,y2)，则B(2,1) ，

882

2

AC的斜率kAC

y2y18

， BF的斜率kBF2

21212

y1y2

y1y2 

0

∵ kACkBF



yy8

1 ， ∴ BFAC

y1y28

（Ⅱ）设AC的斜率为k，则A、C、F所在的直线的方程为yk(x2)

设A(x1,y1)、C(x2,y2)，因A、C在抛物线上（AC与x轴不垂直），故k满足下列方程组：

yk (x2) ①

将①代入②消去y得： 2

y8x ②

k 2(x2)28x，k2x2(4k28)xk20，

242

因b4ac12k64k640 (4k8)4k28c

故x1x2 22

kky8

将x2代入②消去x得：y2y160，

因b

2

2

（以k2作图）

81

4ack41(16)64(264)0

k



2

8

2k2448故y1y2因此，以AC为直径的圆的圆心为D(,) ，y1y216，

k2

因csc2

1

1，，故，得：



180csc2ACcscy2y1

yy21

k2182 k

ACk21

AC为直径的圆的半径R42， 又定圆心为E(3,0)，半径r3，可得

k

k24k21k24DE，又Rr 423DE

k2kk2

因此，这两个圆相内切

2004年

x2y2

1的任一点（长轴两端除外）和两个焦点为顶点的三角形的周长等于 （6）以椭圆的标准方程为

169

（A）12

a2c （C）13 （D）18

（13

（A）4 （B）8 （C）16

（D）32

1x2

y21上，点M（24）（本小题满分12分） 设A、B两点在椭圆1,是A、B的中点. 42

（Ⅰ）求直线AB的方程

（Ⅱ）若椭圆上的点C

的横坐标为ABC的面积 解（Ⅰ）所求直线过点M(1,

11

)，由直线的点斜式方程得所求直线的方程为yk(x-1)，

22

1x2

y21，即A、B两点的坐标满足方程组 A、B两点既在直线yk(x-1)，又在椭圆

24

x22

y1①4111222

，将②代入①得：(k)x2k(k)x(k)10③ 

422yk(x-1)1 ②

2

此方程的判别式：

111

b24ac2k(k)4(k2)(k)21

242111

4k2(k)24k2(k)2(14k2)(k)2

222

13222

(14k)(k)3kk

24

22

21133153kk3k0

3643666

因此它有两个不等的实数根x1、x2.

2

122k(k)4k2k2，解得k1 b由x1x2得：x1x21a214k2k24111

将k=代入yk(x-1)得直线AB的方程：yx1

222

（Ⅱ）将k

y1x01

代入方程③，解得1，又得1， 2x20x22

即A、B两点的坐标为A（0，1），B（2，0），于是

AB

由于椭圆上的点C

的横坐标为C的坐标为C

（点C到直线AB的距离为：

1

） 2

或

所以，ABC的面积为：

SABC=

11 或

SABCAAB22

3

2005年

（5）中心在原点，一个焦点在(0,4)且过点(3,0)的椭圆方程是

x2y2x2y2x2y2焦点在y轴上

2 （B9161 （C25411 （D941 c4，b3，a25x2y2

1的焦距是 （8）双曲线

（A

） （B

） （C）

12 2c12 （D）6

（24）（本小题满分12分）

y



x2y2

1长轴的两个端点，如图，设A1、A2是椭圆C1： 43l是C1的右准线，双曲线C2：

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）设P为l与C2的一个交点，直线PA1与C1的另一个交 点为Q，直线PA2与C1的另一个交点为R.求QR

2

xy1 43

22

x

a244 解

（Ⅰ）椭圆的半焦距c1，右准线l的方程x

c1

（Ⅱ）由P为l与C2的一个交点的设定，得P(4,3)或P(4,3)。由于C2是对称曲线，故可在此两点

中的任意一点取作图求QR，现以P(4,3)进行计算。

由题设和直线的两点式方程得PA1的方程为yx2），PA2的方程为yx2）

1

232

13yx2）yx2）3333

1，） 解222 得Q（1，解222 得R（，QR=()=3

2222xy1xy1

3344

2006年

x2y2

1，则该椭圆的离心率为

（15）设椭圆的标准方程为

1612

2007年

（12）已知抛物线y4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为

（A）

2

e

c1 （B

（C

（D

a2

4455

或 （B）或 （C）1或1 （

D

5544

1y22

由y2px和y4x得p=2, xp5x4 y4k1

2x

（14）已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为

（A）8 （B）6 （C）4 da8/24 （D）2

（3，8）（24）（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于3，并且过点，求：

（Ⅰ）双曲线的标准方程

（Ⅱ）双曲线焦点坐标和准线方程

x2y2c

解（Ⅰ）由已知得双曲线的标准方程为221，3，c3a，

aab

x2y2222222故bca（3a）a8a，221 a8a

x2y2

（3，8）将点代入221，

a8a

得：a21，b28，c3

y2

1 故双曲线的标准方程为x2

a21

（3，0）（3，0） （Ⅱ）双曲线焦点坐标：，双曲线准线方程：x

c3

十五、排列与组合

2001年

(12) 有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻

的排法总数为（ ）

(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60

解法一 分步法

①将同一厂家的2部手机看成“一”部手机，从“四”部手机任选“四”部的排列数为P44；

②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列，排列数为P22。

42

根据分步计数原理，总排列数为P4P2=48(种)

解法二 分类法

将同一厂家的2部手机看成手机“1”.

3

2，3，4、1，2，4，31，3，2，4、1，3，4，2、1，4，2，3、1，4，3，2）①手机“1”排在1位，有P3种排法（1，； 3

②手机“1”排在2位，有P3种排法； 3③手机“1”排在3位，有P3种排法； 3④手机“1”排在4位，有P3种排法；

上述排法共24种，每种排法中手机“1”各有二种排法，故总排列数为：242=48(种)

2002年

（11） 用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数共有（ ）

（A）6个 （B）12个 （C）18个 （D）24个

解法一 ①从0，1，2，3这四个数字中取出四个数字的总排列数为P4； ②将0排在首位的排列数为P3，而0不能排在首位；

总排列数P4减去0排在首位的排列数P4即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重

4

复数字的四位数的个数为P4 P33=4321321=18（个）

4

3

43

解法二 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有P3种取法； 第二步：从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有P3种取法；

第三步：从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有P2种取法； 第四步：从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有P1种取法

.

111

1

根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P3P3P2P1个。

1111

. P3P3P2P1=3321=18（个）

1111

解法三 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有P3种取法； 第二步：把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位，有P3种取法；

根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P3P3个。

13

P3P3=3321=18（个）

1

3

13

解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3排在千位、百位、十位的排法有P3； 第二类：把0固定在十位上，1，2，3排在千位、百位、个位的排法有P3； 第三类：把0固定在百位上，1，2，3排在千位、十位、个位的排法有P3；

根据分类计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数共有： P33P33P33=3P33=3321=18（个）

2003年

（7）用0，1，2，3，4组成的没有重复数字的不同3位数共有

（A）64个 （B）16个 （C）48个 （D）12个

解法一 ①从0，1，2，3，4这五个数字中取出三个数字的总排列数为P5； ②将0排在首位的排列数为P4，而0不能排在首位；

总排列数P5减去0排在首位的排列数P4即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重复数

3

字的四位数的个数为P5 P42=54343=48（个）

333

3

2

32

解法二 第一步：.从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有P4种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取一个排在第二位，有P4种取法；

第三步：从剩下的三个数字中任取一个排在第三位，有P3种取法； 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P4P4P3个。

111

. P4P4P3=443=48（个）

1

1

1

111

解法三 第一步：从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有P4种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取二个排在十位、个位，有P4种取法；

根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P4P4个。

12

P4P4=443=48（个）

1

2

12

解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、十位的排法有P4；

第二类：把0固定在十位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、个位的排法有P4； 第三类：0不参加排列，1，2，3，4中任取三个的排法有P4；

根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：

3

2P42P4=243+432=48（个）

22

3

解法五 列举法(麻烦且容易漏列，但直接明了)

103，104，120，123，124，130，132，134，140，142，143，共12个； 第一类：1排在百位的数是102，

第二类：2排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个； 第三类：3排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个； 第四类：4排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；

根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：124=48个。

2004年

（8）十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是

2

（A）50 （B）100 （C）10 （D）90（2C10）

10

2005年

（11）从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共有

（A）12种 （B）8种 （C）6种 （C24） （D）4种

2006年

（11）4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有

3（A）种 （B）种 （C）种 （P3P22） （D）种

2007年

（16）在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次？

2

（A）400 （B）380 （C）240 （D）190C20



2008年

（12）某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有

（A）4种 （B）8种 （C）10种 （D）20种

Pnmn(n-1)…(n-m1)54

（甲课程必选，从其他5门课程任选2门的组合数为Cm10）

Pmm!2

25

十六、概率与统计初步

2001年

(15)任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是（ ）

(A)

2002年

（15） 袋中装有3只黑球，2只白球，一次取出2只球，恰好黑白各一只的概率是（ ）

113

1

P3(1)C30.51(10.5)313/8 (B) (C)  434132P31P21

（A） （B） （C） （D



5105C52

（19

则的数学期望是 0.20.3+00.2+10.1+20.4）。 2003年

（12）从3个男生和3个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是

（AC32111

（B）

（C） （D） 2C43106

（18）某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的10场比赛，其得分情况如下

99，

104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110

2004年

（11）掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是

（A）

111 （B） （D） 238

（19）从篮球队中随机选出5名队员，他们的身高分别为（单位cm）

180， 188， 200， 195， 187

2005年

（15）8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有2名中国选手。按随机抽签的方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道上的概率为

1（A）

22P77

8P811 （C） （D） 816

（19）从一批袋装食品中抽取5袋分别称重，结果（单位：g）如下：

98.6，100.1，101.4，99.5，102.2

g2）（精确到0.1g2）

2006年

（16）两个盒子内各有三个同样的小球，每个盒子内的小球分别标有1，2，3这三个数字，从两个盒子中3的概率是

（A）

11211

P)

（C） （D）

933

（21）任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球8个，它们的外径分别是（单位mm）

13.7 12.9 14.5 13.8 13.3

12.7 13.5 13.6

2007年

（17）已知甲打中靶心的概率为0.8，乙打中靶心的概率为0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为

（A）0.01 （B）0.02 (10.8)(10.9)

（C）0.28 （D）0.72 （20）经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有8个病人服用同一剂量的这种药物，心率增加的次数分别为13 15 14 10 8 12 13 11

2008年

（16）5个人排成一行，则甲排在中间的概率是

（A）

121

（B） （D） 2510

（21）用一仪器对一物体的长度重复测量5次，得结果(单位:cm)如下:

1004 1001 998 999 1003

2

成考数学 (文史类)

一、集合与简易逻辑

2001年

(1) 设全集M={1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，T={4,5,6}，则(M(2) 命题甲：A=B，命题乙：sinA=sinB. 则（ ）

(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；

(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。 2002年

（1） 设集合A{1,2}，集合B{2,3,5}，则AB等于（ ）

（A）{2} （B）{1,2,3,5} （C）{1,3} （D）{2,5}

（2） 设甲：x3，乙：x5，则（ ）

（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2003年

（1）设集合M(x,y)xy1，集合N(x,y)xy2，则集合M与N的关系是

（A）M

T)N是（ ）

(A) {2,4,5,6} (B) {4,5,6} (C) {1,2,3,4,5,6} (D) {2,4,6}



22





22



N=M （B）MN= （C）NØM （D）MØN

（9）设甲：k1，且 b1；乙：直线ykxb与yx平行。则

（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2004年

（1）设集合Ma,b,c,d，Na,b,c，则集合M

N=

（A）a,b,c （B）d （C）a,b,c,d （D）

（2）设甲：四边形ABCD是平行四边形 ；乙：四边形ABCD是平行正方，则

（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2005年

（1）设集合P=1，2，3，4,5，Q=2,4,6,8,10，则集合P

Q=

（A）2，，2,3,4,5,6,8,10 （C）2 （D）4 4 （B）1

（7）设命题甲：k1，命题乙：直线ykx与直线yx1平行，则

（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2006年

（1）设集合M=101，，，2，N=1，2，3，则集合M（5）设甲：x1；乙：xx0.

（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2007年

22

（8）若x、y为实数，设甲：xy0；乙：x0，y0。则

2

N=

（A）01，，，，，，2，3 ，，2 （C）101 （B）01 （D）101

（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；

（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2008年

（1）设集合A=2，4，6，B=1，2，3，则A

B=

（A）4 （B）1,2,3,4,5,6 （C）2,4,6 （D）1,2,3

（4）设甲：x



6

, 乙:sinx

1

，则 2

（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。

二、不等式和不等式组

2001年

(4) 不等式x35的解集是（ ）

(A) {x

|x2}{x|x0} (D) {x|x2}

x8>x2x8或 x2

2002年

（14） 二次不等式x3x20的解集为（ ）

（A）{x|x0} （B）{x|1x2}（C）{x|1x2} （D）{x|x0}

2003年

（5）、不等式|x1|2的解集为（ ）

（A）{x|x3或x1} （ B）{x|3x1} （C）{x|x3} （D）{x|x1}

2004年

（5）不等式x123的解集为

（A）x12x15 （B）x12x12 （D）xx15 2005年 （2）不等式

2







3x27

的解集为

45x21

(5,+) （B）(,3)[5,+) （C）(3,5) （D）[3,5)

（A）(,3)

3x273x90x13

(3x9)(5x25)0

x5 45x215x2502

2006年

（2B）xx2（C）x2x4（D）xx4

（9）设a,b

（A）ab （B）acbc(c0) （C）

2007年

（9）不等式3x11的解集是

2

2





11

 （D）ab0 ab

2（A）R （B）xx0或

x （C）xx3

2008年

2 

3

（10）不等式x23的解集是

（A）xx5或x1 （B）x5x1 （C）xx1或x5

(由x233x231x5)



三、指数与对数

2001年

(6) 设alog0.56.7，blog24.3，clog25.6， 则a,b,c的大小关系为（ ） (A) bca (B) acb (C) abc (D) cab

b

blog2x

b

c

x

a

blog0.5x

(alog0.5x是减函数,x>1时,a为负；blog2x是增函数，x>1时a为正.故log0.56.7

（6） 设log32a，则log29等于（ ）

（A）

1

a3222log392log332aa （C） （D）log92log2aa233

（10） 已知f(2x)log2

4x10

，则f(1)等于（ ） 3141

（A）log2 （B） （C）1 （D）2

32

4x/210log2x10，f(1)log2110log42

f(x)log2222



（16） 函数y2003年

2x

1x11

20xlog22x1

2

（2）函数y5x1的反函数为 （-x）

（A）ylog5(1x), (x1) （B）y5

（C）ylog5(x1), (x1) （D）y5

x1

, (x) 1, (x)

1x

y5x15xy1xlog55log5(y1)xlog5(y1)

 按习惯自变量和因变量分别用x和y表示

ylog5(x1)；定义域：x10,x1

（6）设0x1，则下列不等式成立的是

（A）log0.5x2log0.5x （B）2x2 （C）sin

xsinx （D）xx

2

x

2

2

x

y2x2为增函数0x1值域(0,2)x2

2>2x，排除（B）；y2x为增函数值域(1,2)22

0x1xx,sinx

20x1xx，排除（D）；

220x1xx,logX为减函数，logxlogx，故选（A）0.50.50.5

5

，则x等于 4

（A）10 （B）0.5 （C）2 （D）4



（8

）设logx

5lg2

555[logx（logx2， lgxlg2， lgxlg2，x2 ] x22）

lgx444

4

4

14

54

2004年

1

= （16）64

log2

16

2005年

23

2

213342364log4log2441222

16

（12）设m0且m1，如果logm812，那么logm3

2006年

（7）下列函数中为偶函数的是

（A）y2x （B）y2x （C）ylog2x （D）y2cosx

（13）对于函数y3x，当x0时，y的取值范围是

（A）y1 （B）0y1 （C）y3 （D）0y3

（14）函数f(x)log3(3xx2)的定义域是

（A）(,0)

11111114

（B） （C） （D） log3log3log812mmm4442233

(3,+) （B）(,3)(0,+) （C）(0,3) （D）(3,0)

3xx2>0x23x

1

2（19）log28

16= log628

12

l2o3g24



3log243 42



1

2007年

（x-1）（1）函数ylg的定义域为

（A）R （B）xx0 （C）xx2



1

（2）lg48lg42=

4

031131（A）3 （B）2 （C）1 lg48lg42=lg442lg4421=1=1 （D）0

224

（5）

y （B）(3,) （C）(3,8) （D）(3,)

x

16

（15）设ab1，则

（A）loga2logb2 （B）log2alog2b （C）log0.5alog0.5b （D）logb0.5loga0.5 2008年

（3）log24()=

y

ylog1.3x

ylog2x

ylog0.5x

①同底异真对数值大小比较：

增函数真(数)大对(数)大，减函数真大对小如.log30.5log30.4, log0.34log0.35; ②异底同真对数值大小比较：

同性时：左边[点(1,0)的左边]底大对也大，右边[点(1,0)的右边]底大对却小. 异性时：左边减(函数)大而增(函数)小，右边减小而增大.

如log0.40.5>log0.30.5, log0.45log30.5, log45

同性时：分清增减左右边，去同剩异作比较. 异性时：不易不求值而作比较，略. 如：log36log48(log361

ylog0.77x

lg2lg2lg2lg2

,log481,log36log48)lg3lg4lg3lg4

1

3

（A）9 （B）3 （C）2 （D）1log24()0=log2221=21=1

（6）下列函数中为奇函数的是

（A）ylog3x （B）y3x （C）y3x2 （D）y3sinx （7）下列函数中，函数值恒大于零的是

（A）yx2 （B）y2x （C）ylog2x （D）ycosx （9

）函数ylgx

（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（∞，3] [由lgx得x

>0得x3，xx0

（11）若a

1，则

（B）log2a0 （C）a

y

1a1

a，y0，故选（A）分析①：设ylog1a

22

分析②：yloga是减函数，由yloga的图像知在点（1,0）右边, y0，故选（A）

11

22





13



xx3=x0

1

0 （D）a210

四、函数

2001年

(3) 已知抛物线yxax2的对称轴方程为x1,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）

(A) (1,3) (B) (1,1) (C) (1,0) (D) (1,3)

2

x01, ax=1a20 a24(2)(2)24(2)

3 y0

44

(7) 如果指数函数yax的图像过点(3,)，则a的值为（ ）

(A) 2 (B) 2 (C) 

18

12

(10) 使函数ylog2(2xx2)为增函数的区间是（ ）

(A) [1,) (B) [1,2) (C) (0,1] (D) (,1]

2xx20x22x00x2

2∵ y2xx开口向下，对称轴为： xb21

1]为ylog2(2xx2)的增区间.∴(0，

y

x

y=2xx2

ylog2(2xx2)

5x5x6x

(13)函数f(x)是（ ）

2

(A) 是奇函数 (B) 是偶函数

(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数

(16) 函数y

(21) (本小题11分) 假设两个二次函数的图像关于直线x1对称，其中一个函数的表达式为

减函数，真数须在(0,1]之间，对数才为正

log1(4x3)03

3

0

log1(4x3)的定义域为____________。

3

y

yx22x1,求另一个函数的表达式。

2

解法一 函数yx2x1的对称轴为x1，

2241(1)2 顶点坐标:x0=1，y04a41

22

设函数yxbxc与函数yx2x1关于x1对称，则

2

函数yxbxc的对称轴x3

2 =3，y0顶点坐标: x0

b

2136， 得：b2ax0 由x0

4ay0b24(2)62b24ac

y0得：c7 由y0

4a4a4

2

所以，所求函数的表达式为yx6x7

22

解法二 函数yx2x1的对称轴为x1，所求函数与函数yx2x1关于x1对称，则

2

所求函数由函数yx2x1向x轴正向平移4个长度单位而得。

设M(x0,y0)是函数yx2x1上的一点，点N(x,y)是点M(x0,y0)的对称点，则

2

2

y0x02x01，

x0x4xx42

，将0代入y0x02x01

yyyy00

得:yx26x7.即为所求。

(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量

将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为a(1

x0.5x)元/本，售量为b(1)本。设此时销售总金额为y，则： x0.5x0.5x0.5x20.5x

y=a(1)b(1)=ab(1)，令y=ab()=0，得x50

[***********]0000

所以，x50时，销售总金额最大。

2002年

（9） 若函数yf(x)在[a,b]上单调，则使得yf(x3)必为单调函数的区间是（ ）

A．[a,b3] B．[a3,b3] C．[a3,b3] D．[a3,b]

 因yf(x)与yf(x3)对应关系相同，故它们的图像相同；因yf(x)与yf(x3)的

自变量不同，故它们的图像位置不同，f(x3)的图像比yf(x)左移3个长度单位. 因f(a)f(x3)时，必有x3a，即xa-3; f(b)f(x3)时，必有x3b，即xb-3.所以，yf(x3)的单调区间是[a3,b3]

4x10

（10） 已知f(2x)log2，则f(1)等于（ ）

3

141

（A）log2 （B） （C）1 （D）2

32

4x/210log2x10, f(1)log2110log42

f(x)log2， 222

3

3

3



（13） 下列函数中为偶函数的是（ ）

x22（A）ycos(x1) （B）y3 （C）y(x1) （D）ysinx

（21）（本小题12分） 已知二次函数y

为2，求b的值。

x2bx3的图像与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离

bx3=0的两个根，

解 设两个交点的横坐标分别为x1和x2，则x1和x2是方程x2

得：x1x2

b，x1x23

又得：

x1x2



2，b=4

（22）（本小题12分） 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造

价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy

1600400

400，y400400

u40xy204(2x2y)40400204(2x

2)16000160(

x)



2

40 

160001600，即当x20时，池壁与池底的造价之和最低且等于：

u16000160(x

400400

)16000160(20)22400(元) 答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年

（3）下列函数中，偶函数是

（A）y3x3x （B）y3x2x3 （C）y1sinx （D）ytanx

（10）函数y2x3x21在x1处的导数为

（A）5 （B）2 （C）3 （D）4 y

（11

）y

x1

(6x22x)

x1

624

（A）xx1 （B）xx2

（D）

222

lg(xx1)0xx11xx20x1或x2xx1或 x2



y

（17）设函数f(t-1)t22t2（20）（本小题11分） 设f(x)ax，g(x)解 依题意得：

x

111

，f(2)g()=8，f()g(3)=，求 a、b的值. f(2)g(1)2a2b8

a•b2 ①a12 a21 2， ，解得 ， 即 1ab1b1 b2 12ab1 ②f()g(3)

3333

（21）（本小题12分） 设f(x)x22axa2满足f(2)f(a)，求此函数的最大值.

解 依题意得：

44aa2a22a2a2，即a2a40，得：a1a22

f(x)x24x4(x24x4)(x2)28，

可见，该函数的最大值是8（当x2时） 2004年

（10）函数f(x)sinxx3

（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也又是偶函数

3

（15）f(x)x3，则f(3)=

（A）27 （B）18 （C）16 （D）12

（17）y5sinx12cosx5y13(5sinx12cosx)13(sinxcoscosxsin)=sin（x），cos=，

131313

（20）（本小题满分11分） 设函数yf(x)为一次函数，f(1)=8，f(2)=1，求f(11) 解 依题意设yf(x)kxb，得



f(1)kb8k3

，得，f(x)3x5，f(11)=38

f(2)2kb1b5



（22）（本小题满分12分） 在某块地上种葡萄，若种50株，每株产葡萄70kg；若多种一株，每株减产1kg。

试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值. 解 设种x（x50）株葡萄时产量为S，依题意得 Sx)70-(x-50

2

，x01x20x

b120

60，S0=12060602=3600(kg) 2a2（1）

所以，种60株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为3600kg. 2005年

（3）设函数f(x)x21，则f(x2)

（A）x4x5 （B）x4x3 （C）x2x5 （D）x2x3

（6

）函数y

2

2

2

2

（A）xx1 （B）xx1 （C）xx

1 

x10x11x1，即：x1 或 x1

（9）下列选项中正确的是

（A）yxsinx 是偶函数

（C）yxsinx 是偶函数 （18）设函数f(x)axb，且f(1)

5

，f(2)453

33f(1)aba

注：f(x)x1f(4)417

22f(2)2ab4b1

（23）（本小题满分12分）

x

已知函数y1x22x5的图像交y轴于A点，它的对称轴为l；函数y2a的图像交y轴（a

1）

于B点，且交l于C. （Ⅰ）求ABC的面积 （Ⅱ）设a3，求AC的长

解（Ⅰ）y1x22x5的对称轴方程为：x

3x

22x5

b2

1 2a2

依题意可知A、B、

C各点的坐标为A(0,5)、B(0,1)、

C(1,a) 得：AB

在ABC中，AB边上的高为1（x1），因此，SABC=

1

41=2 2

（Ⅱ）当a3时，点C的坐标为C（1，3），故AC2006年

（4）函数yx2x3的一个单调区间是

（A）0, （B）1, （C）,2 （D）,3

（7）下列函数中为偶函数的是

（A）y2

（B）y2x （C）ylog2x （D）y2cosx

x

2

（8）设一次函数的图像过点（1，1）和（2，0），则该函数的解析式为

12

（B）yx （C）y2x1 （D）yx2 33

y110112yy1y1y2

3(y1)x1yxxxxxx11(2)333112

（10）已知二次函数的图像交x轴于（1，0）和（5，0）两点，则该图像的对称轴方程为

（A）x1 （B）x2 （C）x3 （D）x4

（17）已知P为曲线yx3上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是

（A）3xy20 （B）3xy40 （C）3xy20 （D）3xy20

ky



2

3xx1

x1

3, P点的坐标：(1,1), y13(x1)3xy20



（20

）直线y



2



180

2007年



260





（x-1）（1）函数ylg的定义域为

（

A）R （B）xx0

（C）xx2 （5）yx

1

6

（6）二次函数yx24x5图像的对称轴方程为

（A）x2 （B）x1 （C）x0 （D）x1

（B）(3,) （C）(3,8) （D）(3,)

（7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是

（A）f(x)

1x22

f(x)cosf(x) （B） （C） （D） f(x)xx

1x23x

f(x)(x2x)22

(B) f(x)(x)(x)xxf(x)



0)，则该二次函数的最小值为 （10）已知二次函数yx2pxq的图像过原点和点(4，

（A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12

q022

函数图像过(0,0)和(

4,0)yx4x(x2)4y4 min

164p0p4

2

（18）函数yxx在点(1,2)处的切线方程为 

ky

（21）设f()2008年

x1

(2x1)

x1

3,y2k(x1)y3x1

x

2

121xx，则f(x)f(x)(2x)22xx22x 44

2

（5）二次函数yx2x2图像的对称轴方程为

（A）x1 （B）x0 （C）x1 （D）x2

（6）下列函数中为奇函数的是

（A）ylog3x （B）y3x （C）y3x2 （D）y3sinx

（7）下列函数中，函数值恒大于零的是

（A）yx2 （B）y2x （C）ylog2x （D）ycosx

（8）曲线yx21与直线ykx只有一个公共点，则（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7

yx

x

yx21的切线y2x就与yx21只有一个公共点，2

yx1y2

y2xy2xx1,ky22

xy2x

（9

）函数ylgx

（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（∞，3] [由lgx得x

>0得x3，xx0

（13）过函数y

xx3=x0

6

上的一点P作x轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则OPQ的面积为 x

（A）6 （B）3 （C）12 （D）1 [设Q点的坐标为x，则SOPQ

116

yxx3] 22x

五、数列

2001年

(11) 在等差数列an中，a58，前5项之和为10，前10项之和等于（ ）

(A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70

5(a1a5)5(a54da5)5(84d8)

===10，d=3 5(a10a6)5(a5da5+d)5(2a56d)5(2863)

S10=S5=S55=S5=10=95

2222

an12an3bn

n1,2,3,......。 (23) (本小题11分) 设数列an，bn满足a11，b10且

bn1an2bn

注：S5=

(ii)求an，bn的通项公式。

(i)求证anbn和anbn都是等比数列并求其公比；





1，，， 2 7 29， ， 2an13bn1

an：证(i) 

0 1 4， an-12bn-1bn：

a

n

bn:1， 2 ， ann

 a





3b:1， 2 29， a

可见ab与a3

b的各项都不为

0.

a=2a3b=

a

3b=a



q， 所以，a

3b是等比数列且其公比为q

a=2a3b=

2a

3b=2a

n

n

n

n

nnnn

n1n1nnnnnnnn

nn

n1n1nnnnnnnn

所以，an

n是等比数列且其公比为q=2



(ii) 由ana1qn1得

1n1n1

a=(2(2nann=(2 ，

得： n1

b(2n1(2n1ann=(2

nn1

2002年

（12） 设等比数列{an}的公比q2，且a2a48，则a1a7等于（ ）

（A）8 B．16 （C）32 （D）64

（a1•a7

a2

a4q3a2a4q282232） q

（24）（本小题12分）数列{an}和数列{xn}的通项公式分别是an



2

2n1

，2

n2n2

xn1a2an。

（Ⅰ）求证{xn}是等比数列；

（Ⅱ）记

Sn

，求的表达式。

证（Ⅰ）因an

{x}为正数列。当n>2时

xn

nxn1

可见

是等比数列。

x（Ⅱ）由x12，qnn1

a1(1qn)Snx1x2xn1)2)

2n3n22

2003年 （23）已知数列（Ⅰ）求

an的通项公式，

an的前n项和S

n

2an3.

（Ⅱ）设bn

nan

，求数列bn的前n项和. n2

解（Ⅰ）当n1时，a1S12a13，故a1

3，

当n2时，anSnSn-12an3(2an13)2an2an1， 故an2an1，q

an2a

n12，所以，ana1qn132n1 an1an1

nann32n13n

（Ⅱ）bnn， 222n

3n

bn∵qn ，∴bn不是等比数列 

n1

∵dbnbn1

3n3(n1)3， ∴bn是等差数列 33

(n)n3n(b1bn)n(n1) bn的前n项和：Sn

2004年

（7）设an为等差数列，a59，a1539，则a10

（A） （B） （C） （D）

1

aa9d,aa2a18d2a,a是a和a的等差中项，a(aa)[***********]5152

（23）（本小题满分12分） 设an为等差数列且公差d为正数，a2a3a415，a2，a31，a4成

等比数列，求a1和d.

解 由a2a3a43a315，得a35， a2a410①

由a2，a31，a4成等比数列，得a2a4(a31)2(51)216 ② 由2005年

（13）在等差数列an中，a31，a811，则a13

（A） （B） （C） （D）22

a2a410①a212da3a2523

，得，

aad2312a2a416 ②a228(大于a3,舍去) 1

a8a3(83)d15d11, d2, a13a3(133)d110d110221

或者这样解：a是a和a的等差中项，2a=a+a，a=2aa=2111=[1**********]383

（22）（本小题满分12分） 已知等比数列an的各项都是正数，a12，前3项和为14。求：

（Ⅰ）数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bnlog2an，求数列bn的前20项之和。

a1(1q3)2(1q3)2(1q)(1qq2)

解（Ⅰ）S314，

1q1q1q

得qq6，

2

q12

，所以，ana1qn122n12n

q23(不合题意,舍去)

(120)20

210

2

（Ⅱ）bnlog2anlog22nn，

数列bn的前20项的和为S20123

2006年

（6）在等差数列an中，a31，a57，则a7

20

（A）11 （B）13 （C）15 （D）17

a5a3(73)d12d7, d4, a7a52d72(4)=15

1

（22）（本小题12分） 已知等比数列an中，a316，公比q。求：

2

（Ⅰ）数列an的通项公式； （Ⅱ）数列an的前7项的和。

11

解（Ⅰ）a3a1q2，a1=16，a1=64，ana1qn164

22

2n1

27n2621n27n

17

6417n2a1(1q)111281（Ⅱ）S7=1281127 11q12821

2

2007年

（13）设等比数列an的各项都为正数，a11，a39，则公比q

（A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3

（23）（本小题满分12分） 已知数列an的前n项和为Snn(2n1),

（Ⅰ）求该数列的通项公式； （Ⅱ）判断an39是该数列的第几项.

解（Ⅰ） 当n2时，anSnSn-1n(2n1)(n1)2(n1)14n1

当n1时，a1S11(211)3，满足an4n1， 所以，an4n1

（Ⅱ） an4n139，得n10. 2008年

（15）在等比数列an中, a2=6，a4=24，a6=2

a42422

（A）8 （B）24 （C）96 a2a6a4a696 （D）384

a26

（22）已知等差数列an中，a19，a3a80

（Ⅰ）求等差数列的通项公式

（Ⅱ）当n为何值时，数列an的前n项和Sn取得最大值，并求该最大值 解（Ⅰ）设该等差数列的公差为d，则

a3a12d，a8a17d，a3a8a12da17d2a19d0

将a19代入2a19d0得：d2，

该等差数列的通项公式为ana1(n-1)d9(n-1)(2)112n

（Ⅱ）数列an的前n项之和

Sn

n(a1an)n(9112n)

10nn2 22

n5

102n0，n5，Snmax(10nn2)令Sn

25

六、导数

2001年

(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量

将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为a(1

x0.5x

)元/本，售量为b(1)本。设此时销售总金额为y，则： 100100

x0.5x0.5x0.5x20.5x

y=a(1)b(1)=ab(1), 令y=ab()=0，得x50

10010000

所以，x50时，销售总金额最大。

2002年

（7） 函数y

12

xx3的最小值是 5（A）

（C）3 （D）4

21217

y2x1,x,y2（（3min

（22）（本小题12分） 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造

价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy

1600400

400，yx4

400400

u40xy204(2x2y)40400160(xy)16000160(x)， u=160(12)

xx

400

令u=0，得120，x20(x20舍去)

x



400

x20

) umin16000160(x

16000160(20

400

)22400(元) 答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年

（10）函数y2x3x21在x1处的导数为（A）5 （B）2 （C）3 （D）4y

2004年

（15）f(x)x33，则f(3)=

（A）27

2005年

（17）函数yx(x1)在x2处的导数值为

y

x2

x1

(6x22x)

x1

4

f(3)3x

2x3

27 （B）18 （C）16 （D）12

(2x1)

x2

5

（21）求函数yx33x在区间[0,2]的最大值和最小值（本小题满分12分）

解 令y3x233(x21)3(x1)(x1)0，得x11，x21（不在区间[0,2]内，舍去）

0, yx113312, yx223322

可知函数yx33x在区间[0,2]的最大值为2，最小值为2. y

x0

2006年

（17）已知P为曲线yx3上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 （A）3xy20 （B）3xy40 （C）3xy20 （D）3xy20

ky

2007年

2

x1

3x2

x1

3, P点的坐标：(1,1), y13(x1)3xy20



（12）已知抛物线y4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为

（A）或

45554

（B）或 （C）1或1 （

D

445

1y22

由y2px和y4x得p=2, xp5x4 y4k1 

2

（18）函数yxx在点（1，2）处的切线方程为

［ky)x13，y2k(x1)，即y3x1］ x1(2x1

2008年

（8）曲线yx21与直线ykx只有一个公共点，则k（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7

yx

x

yx21的切线y2x就与yx21只有一个公共点，

2

yyx12

y2xy2xx1,ky22

xy2x

2）（25）已知函数（24 fx）x4mx25，且f（

（Ⅰ）求m的值

fx）（Ⅱ）求（在区间2，2上的最大值和最小值

x）2）解（Ⅰ）f（4x32mx，f（4232m224，m2 x）（Ⅱ）令f（4x32mx=4x34x0，得：x10，x21，x31

（f0）=5，（f1）=125=4，（f1）=125=4，（f-2）=1685=13，（f2）=1685=13 fx）所以，（在区间2，2上的最大值为13，最小值为4.

七、平面向量

2001年

(18)过点(2,1)且垂直于向量a

(1,2) a(1,2)所在直线的斜率k2，与a垂直的直线的斜率k2002年

（17）已知向量a(3,4)，向量b与a方向相反，并且|b|10，则b

解 设b(x,y)，因向量b与a方向相反（一种平行），故



1，所求直线y1k(x2) 2

34

，即4x

3y ①， a•b3x4y|a||b|cos1801050②

将①与②组成方程组：  也可这样简单分析求解：

因|a|5，|b|10，|b|是|a|的二倍，b与a方向相反，故b2a=2(3,4)=(6,8)

2003年

(13)已知向量a、b满足|a|=4，|b

|=3，a,b=30，则ab=

（A

ab=abcosa,b=43cos30 （C）6 （D）12

4x3y ①x6

，解得：，故b(6,8)

y83x4y=50②

2004年

（14）如果向量a(3,2)，b(1,2)，则(2a+b)(a-b)等于

（A）28 （B）20 （C）24 （D）10

2a=2(3,2)=(6,4), 2a+b=(6,4)+(1,2)=(5,2)，ab=(3,2)(1,2)=(4,4)

(2a+b)(a

b)=(5,2)(4,4)=28 

2005年

（14）已知向量a,b满足a3，b4，且a和b的夹角为120，则ab

（A

） （B

） （C） （D）6

2006年

（3）若平面向量a(3,x)，b(4,3)，ab，则x的值等于

（A）1 （B）2 （C）3 （D）434(3x)0, x4

2007年

（3）已知平面向量AB=(2,4)，AC=(1,2)，则BC=

（A）(3,6) （B）(1,2) （C）(3,6)(1,2)(2,4)=(3,6) （D）(2,8) 2008年

（x ，） 2，b（2 ， 3）（18）若向量a，a//b，则x

x24

, x

223

八、三角的概念

2001年

（5，）12，则cotsin等于（ ） (5) 设角的终边通过点P

(A)

7779

(B)



1315613

51251279

cot=, sin, cotsin==

[1**********]

17

（5） 已知

sincos，sincos，则tan等于（ ）

3

（B） （C）1 （D）－1

4

sincos1

①①+②得：882sin=55, tan=2sin==4 , 76sincos ②①-②得：2cos=

2003年 （4）已知



2

（A） sinco （B）sin

co

（C

）sin2

（D）sin2

(sincos>0时)sincos，sincos=

sincos,(sincos

∵

sin>0,cos

2007年 （11）设

sin=

1

，为第二象限角，则cos= 2

=1501 （C） （D （B）

2cos150=

九、三角函数变换

2002年

（3） 若x[,2]，cosx

3

，则x等于（ ）

2

4511

（B） （C） （D）

336

x2n150(x在第二象限时)

7x[,2]xarccos( x210210

1806x2n210(x在第三象限时)



2003年

（19）函数ycos3x

sin3x

y2cos23xsin23x2cos3xsin3x1sin6x, y=ymaxy

2004年 （9）sin

sin6x1





12

cos



12

=

（A）

1

211 （C

（D

原式sin264

（17）函数y5sinx

12cosx5y13(5sinx12cosx)13(sinxcoscosxsin)=sin（x），cos=

131313

2005年

（10）设(0,)，cos=，则sin2=



2

3

5

（A）

8912 （B） （C）

252525

324∵ (0,), ∴sin>0, sin2=2sincos=

2525

2006年

（）在ABC中，C=30，则cosAcosBsinAsinB的值等于

（A）

11

（B

（C）

22

原式=cosAcos(150A)sinAsin(150A) =cosA(cos150cosAsin150sinA)sinA(sin150cosAcos150sinA) 

22 =cosAcos150sinAcos150=cos150=



2007年

（19）sin(45)coscos(45)sin的值为

sin(45)coscos(45)sin=sin(45)=sin45

十、三角函数的图像和性质

2001年

(14)函数y

cos3x3sin3x ）

22 (D) 2

，

1 12

，

1ycos3xx=2(cos3xx)=2(sincos3xcossin3x)=2cos(3x) T22 sin1 cos当cos(3x)=1时，函数取得最大值2

(A)

2005年

（4）函数ysin

x

的最小正周期是 2



2



4 （C）2 （D） （A）8 （B）4 T1/2

（20）（本小题满分11分）

（Ⅱ）参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数ytanx-sinx在区间0上的图像

4

（Ⅱ）

2006年

（18）函数y

sin2x2007年 (4)函数ysin

1

x的最小正周期为 3

（A）



（B）2 （C）6 （D）8 3

2008年

（2）函数ycos

x

的最小正周期是 3

（A）6 （B）3 （C）2 （D）

 3

十一、解三角形

2001年

(20) (本小题11分) 在ABC中，已知A45，B30，AB=23.26，求AC（用小数表示，结

果保留到小数点后一位）。 解





23.26sin3023.26ACABAC

12.0 =， ， AC==

sinCsinBsin75sin(18045

30)sin30

。 ，求sinC（精确到0.001）

2002年

（20)（本小题11分）

在ABC中，已知A60，且BC

ABBC解 =

sin

60

sinC=

2003年

ABsin600.612 BC

（22）（本小题12分）

如图，某观测点B在A地南偏西10方向，由A地出发有一条走向为南偏东12的公路，由观测点B发现公路上距观测点10km的C点有一汽车沿公路向A驶去，到达D点时，测得DBC90，

BD10km，问汽车还要行驶多少km才可到达A地（计算结果保留两

位小数）

解 BAD1012

2 2 ∵DBC90，BCBD，

∴BCD是等边直角三角形，BDC45

ABDBDCBAD452223

BD10

sinABDsin2310.43(km) AD

sinBADsin22

答：为这辆汽车还要行驶10.43km才可到达A地

2004年

结果保留小数点后两位）

（21）（本小题满分12分） 已知锐角ABC的边长AB=10，BC=8，面积S=32.求AC的长（用小数表示，

解 S=ABBCsinB=108sinB=32，

1212

43

得：sinB=55

3

AC2=AB2BC22ABBCcosB=102822108=68

5

8.25

2006年

C

A

B

（23）（本小题12分） 已知在ABC中，BAC=60，边长AB=5，AC=6. （Ⅰ）求BC的长

（Ⅱ）求ABAC值

解 （Ⅰ）

A

（Ⅱ）ABAC=ABACcosBAC=5

6cos60=15 2007年

（Ⅰ）B的正弦值； （Ⅱ）ABC的面积.

解（Ⅰ）B=45，sinB=sin45=

B

（22）（本小题满分12分） 已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求

2

1

（Ⅱ）ABC的面积SABC=21=1

2

2008年

（20）在ABC中，若sinA=

1

，C=150，BC=4，则AB= 3B

ABCABBCsinC4sin150

, AB6 CsinAsinCsinA

3

（23）如图，塔PO与地平线

AO垂直，在A点测得塔顶P的仰角PAO45，沿AO方向前进至B点，测得仰角

PBO60，A、B相距44m，求塔高PO。（精确到0.1m）

解 由已知条件得：BPO

30，AOPO，BOPOtanBPO

POtan30

PO P

ABAOBOPOBO



PO

PO44 3

PO104.1(m)

O

十二、直线

2001年

（2，1）(18)过点且垂直于向量a(1,2)的直线方程 。

(2x,1y)(1,2)=0，x2y0设在所求直线上取点(x,y)，得向量b(2x,1y)，则ab，即：

2002年

（4）点P(3,2)关于y轴的对称点的坐标为（ ）

（A）(3,2) （B）(3,2) （C）(0,2) （D）(3,2)

（18）在x轴上截距为3且垂直于直线x2y0的直线方程为 。

112，所求直线的方程：y2(x2) x2y0的斜率k,所求直线的斜率为k2k

2003年

2)到直线y2x1的距离为

（16）点P(1，

d

5

2004年

（4）到两定点A(1,1)和B(3,5)距离相等的点的轨迹方程为 .

（A）xy40 （B）xy50 （C）xy50 （D）xy20

2222

(x1)(y1)(x3)(y5)，xy40

（12）通过点(3,1)且与直线xy1垂直的直线方程是 .

（A）xy20 （B）3xy80 （C）x3y20 （D）xy20 （20）（本小题满分11分） 设函数yf(x)为一次函数，f(1)=8，f(2)=1，求f(11) 解 依题意设yf(x)kxb，得2005年



f(1)kb8k3

，得，f(x)3x5，f(11)=38

f(2)2kb1b5



（2，1）（16）过点且与直线yx

12006年

（8

(1,1)）和(2,1)，则该函数的解析式为

12

（B）yx （C）y2x1 （D）yx2

33

（20

）直线y2

2008年

60



（14）过点(1,1)且与直线x2y10垂直的直线方程为

（A） 2xy10 （B）2xy30 （C）x2y30 （D）x2y10 ［直线x2y10的斜率为k

1

，所求直线的斜率为k2，由点斜式方程可知应选（A）］ 2

（19）若是直线yx2

的倾斜角，则3tan1, 0,arctan(1)145= 4

十三、圆

2006年

（24）（本小题12分） 已知

o的圆心位于坐标原点,

o的方程；

o与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B

，AB （Ⅰ）求

（Ⅱ）设P为

o上的一点，且OP//AB，求点P的坐标。

2

2

解（Ⅰ）依题设得2r

=AB，

r

2，

故

o的方程：x2y24

（Ⅱ）因为A(2,0)，B(0,2)，所以AB的斜率为1。

过o且平行于AB的直线方程为yx.

yxx1x2由2得：

2



x

y4

y1

y2所以，点P

的坐标为

或(

2008年

x2y2

1的右焦点，并且此圆过原点.

（24）已知一个圆的圆心为双曲线

412

（Ⅰ）求该圆的方程；

（Ⅱ）求直线y被该圆截得的弦长

. 解

（Ⅰ）c4，

x2y2

（4，0）1的右焦点坐为 双曲线，

4124，0）圆心坐标O（，圆半径为r4。

2

圆的方程为（

x4）y216

（Ⅱ）因直线y

的倾角为60，

故OA=OBcos

AOB=24cos60=4

所以，直线y被该圆截得的弦长为4

412

十四、圆锥曲线

2001年

(3) 已知抛物线yx2ax2的对称轴方程为x1,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）

(A) (1,3) (B) (1,1) (C) (1,0) (D) (1,3)

a2

x1, a2, yxax21(2)1230000

(8) 点P为椭圆25x9y225上一点，F1和F2是焦点，则PF1PF2的值为（ ）

(A) 6 (B) 5 (C) 10 (D) 3

2

2

25x

2

9y2225a5,PF1PF22a2510

x2y2

1的左焦点F1的直线与这双曲线交于A,B两点，且AB3，F2是右焦点，则(9) 过双曲线

369

AF2BF2的值为（ ）

(A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27

，

x

B

ABAF1BF1=3AF1AF2=2a=12AF2BF2AF2BF2=27BF1BF2=2a=12

x2y2

(24) (本小题11分) 已知椭圆221和点P(a,0)，设该椭圆有一关于x 轴对称的内接正三角形，

ab

使得P为其一个顶点。求该正三角形的边长。

解 设椭圆的关于x 轴对称的内接正三角形为PAB，Ax,y，则：

ax32axx2(ax)2ax

1， ，y，2，22

3yya3b

3b223b2x22

(a2axx)23b,12x2axa23b20

aa

2

2

22

22

a3bax122



x a3b

3ba3bxa2122aa

a23b2

a 由于axa，所以，x

2

a3b2

a-x

因，AB=2y，于是PAB

的边长为

y

yxa23b222222

AB=2y212122

a3ba3b 2002年

x

（8） 平面上到两定点F1(7,0)，F2(7,0)距离之差的绝对值等于10

y2y2x2x2x2y21 （B）1 （C）1

（A）

2(B)点的轨迹为双曲线，排除(C);2

a10，a5，a25，

排除(A)、

x2y2

1(0)的焦点在x轴上，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两 （23）（本小题12分） 设椭圆

62

点，使得OP所在直线的斜率为1，OPOQ，若

POQ的面积恰为

，求该椭圆的焦距。 解 设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，因OPOQ，故POQ=90.又因OP所在直线的斜率为1，故

SPOQ

21

122OPOQx12y12x2y2。

21

x2y2

将xy代入21(0)，得：

61(

0)，即26=0，

244y

Q

2.5

P

0.50.50.5

0.5

解得：1

222

22=b=18>a=6,舍去)

由a2003年

2

2.5

=6，

b==

22

=2得该椭圆的焦距：2c2

4

0)、(5，0)且过点(3，0)的双曲线的标准方程为 （14）焦点(5，

2y2x2y2x2x2y1 （B）1

（D）1 （A）

222焦点在x轴，排除(A)、(D)；c5, a3, b5316, 排除(B),选(C)

2x2y1与圆(x4)2y22的公共点的个数是 （15）椭圆49

（A）4 （B）2 （C）1 （D）0

y

椭圆与x轴的交点是2，圆(x4)2y22的圆

心是(4,0),与x轴的交点是因，故椭圆与圆相离，没有交点.

2

（24）已知抛物线y8x的焦点为F，点A、C在抛物线上（AC与x轴不垂直）.

（Ⅰ）若点B在抛物线的准线上，且A、B、C三点的纵坐标成等差数列，求证BFAC； （Ⅱ）若直线AC过点F，求证以AC为直径的圆与定圆(x-3)y9相内切. 证明：（Ⅰ）由y8x得抛物线准线方程x

2

2

p8/4

2，F(2,0) 2

y12y2yy2

设A(,y1)、C(,y2)，则B(2,1) ，

882

2

AC的斜率kAC

y2y18

， BF的斜率kBF2

21212

y1y2

y1y2 

0

∵ kACkBF



yy8

1 ， ∴ BFAC

y1y28

（Ⅱ）设AC的斜率为k，则A、C、F所在的直线的方程为yk(x2)

设A(x1,y1)、C(x2,y2)，因A、C在抛物线上（AC与x轴不垂直），故k满足下列方程组：

yk (x2) ①

将①代入②消去y得： 2

y8x ②

k 2(x2)28x，k2x2(4k28)xk20，

242

因b4ac12k64k640 (4k8)4k28c

故x1x2 22

kky8

将x2代入②消去x得：y2y160，

因b

2

2

（以k2作图）

81

4ack41(16)64(264)0

k



2

8

2k2448故y1y2因此，以AC为直径的圆的圆心为D(,) ，y1y216，

k2

因csc2

1

1，，故，得：



180csc2ACcscy2y1

yy21

k2182 k

ACk21

AC为直径的圆的半径R42， 又定圆心为E(3,0)，半径r3，可得

k

k24k21k24DE，又Rr 423DE

k2kk2

因此，这两个圆相内切

2004年

x2y2

1的任一点（长轴两端除外）和两个焦点为顶点的三角形的周长等于 （6）以椭圆的标准方程为

169

（A）12

a2c （C）13 （D）18

（13

（A）4 （B）8 （C）16

（D）32

1x2

y21上，点M（24）（本小题满分12分） 设A、B两点在椭圆1,是A、B的中点. 42

（Ⅰ）求直线AB的方程

（Ⅱ）若椭圆上的点C

的横坐标为ABC的面积 解（Ⅰ）所求直线过点M(1,

11

)，由直线的点斜式方程得所求直线的方程为yk(x-1)，

22

1x2

y21，即A、B两点的坐标满足方程组 A、B两点既在直线yk(x-1)，又在椭圆

24

x22

y1①4111222

，将②代入①得：(k)x2k(k)x(k)10③ 

422yk(x-1)1 ②

2

此方程的判别式：

111

b24ac2k(k)4(k2)(k)21

242111

4k2(k)24k2(k)2(14k2)(k)2

222

13222

(14k)(k)3kk

24

22

21133153kk3k0

3643666

因此它有两个不等的实数根x1、x2.

2

122k(k)4k2k2，解得k1 b由x1x2得：x1x21a214k2k24111

将k=代入yk(x-1)得直线AB的方程：yx1

222

（Ⅱ）将k

y1x01

代入方程③，解得1，又得1， 2x20x22

即A、B两点的坐标为A（0，1），B（2，0），于是

AB

由于椭圆上的点C

的横坐标为C的坐标为C

（点C到直线AB的距离为：

1

） 2

或

所以，ABC的面积为：

SABC=

11 或

SABCAAB22

3

2005年

（5）中心在原点，一个焦点在(0,4)且过点(3,0)的椭圆方程是

x2y2x2y2x2y2焦点在y轴上

2 （B9161 （C25411 （D941 c4，b3，a25x2y2

1的焦距是 （8）双曲线

（A

） （B

） （C）

12 2c12 （D）6

（24）（本小题满分12分）

y



x2y2

1长轴的两个端点，如图，设A1、A2是椭圆C1： 43l是C1的右准线，双曲线C2：

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）设P为l与C2的一个交点，直线PA1与C1的另一个交 点为Q，直线PA2与C1的另一个交点为R.求QR

2

xy1 43

22

x

a244 解

（Ⅰ）椭圆的半焦距c1，右准线l的方程x

c1

（Ⅱ）由P为l与C2的一个交点的设定，得P(4,3)或P(4,3)。由于C2是对称曲线，故可在此两点

中的任意一点取作图求QR，现以P(4,3)进行计算。

由题设和直线的两点式方程得PA1的方程为yx2），PA2的方程为yx2）

1

232

13yx2）yx2）3333

1，） 解222 得Q（1，解222 得R（，QR=()=3

2222xy1xy1

3344

2006年

x2y2

1，则该椭圆的离心率为

（15）设椭圆的标准方程为

1612

2007年

（12）已知抛物线y4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为

（A）

2

e

c1 （B

（C

（D

a2

4455

或 （B）或 （C）1或1 （

D

5544

1y22

由y2px和y4x得p=2, xp5x4 y4k1

2x

（14）已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为

（A）8 （B）6 （C）4 da8/24 （D）2

（3，8）（24）（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于3，并且过点，求：

（Ⅰ）双曲线的标准方程

（Ⅱ）双曲线焦点坐标和准线方程

x2y2c

解（Ⅰ）由已知得双曲线的标准方程为221，3，c3a，

aab

x2y2222222故bca（3a）a8a，221 a8a

x2y2

（3，8）将点代入221，

a8a

得：a21，b28，c3

y2

1 故双曲线的标准方程为x2

a21

（3，0）（3，0） （Ⅱ）双曲线焦点坐标：，双曲线准线方程：x

c3

十五、排列与组合

2001年

(12) 有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻

的排法总数为（ ）

(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60

解法一 分步法

①将同一厂家的2部手机看成“一”部手机，从“四”部手机任选“四”部的排列数为P44；

②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列，排列数为P22。

42

根据分步计数原理，总排列数为P4P2=48(种)

解法二 分类法

将同一厂家的2部手机看成手机“1”.

3

2，3，4、1，2，4，31，3，2，4、1，3，4，2、1，4，2，3、1，4，3，2）①手机“1”排在1位，有P3种排法（1，； 3

②手机“1”排在2位，有P3种排法； 3③手机“1”排在3位，有P3种排法； 3④手机“1”排在4位，有P3种排法；

上述排法共24种，每种排法中手机“1”各有二种排法，故总排列数为：242=48(种)

2002年

（11） 用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数共有（ ）

（A）6个 （B）12个 （C）18个 （D）24个

解法一 ①从0，1，2，3这四个数字中取出四个数字的总排列数为P4； ②将0排在首位的排列数为P3，而0不能排在首位；

总排列数P4减去0排在首位的排列数P4即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重

4

复数字的四位数的个数为P4 P33=4321321=18（个）

4

3

43

解法二 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有P3种取法； 第二步：从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有P3种取法；

第三步：从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有P2种取法； 第四步：从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有P1种取法

.

111

1

根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P3P3P2P1个。

1111

. P3P3P2P1=3321=18（个）

1111

解法三 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有P3种取法； 第二步：把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位，有P3种取法；

根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P3P3个。

13

P3P3=3321=18（个）

1

3

13

解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3排在千位、百位、十位的排法有P3； 第二类：把0固定在十位上，1，2，3排在千位、百位、个位的排法有P3； 第三类：把0固定在百位上，1，2，3排在千位、十位、个位的排法有P3；

根据分类计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数共有： P33P33P33=3P33=3321=18（个）

2003年

（7）用0，1，2，3，4组成的没有重复数字的不同3位数共有

（A）64个 （B）16个 （C）48个 （D）12个

解法一 ①从0，1，2，3，4这五个数字中取出三个数字的总排列数为P5； ②将0排在首位的排列数为P4，而0不能排在首位；

总排列数P5减去0排在首位的排列数P4即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重复数

3

字的四位数的个数为P5 P42=54343=48（个）

333

3

2

32

解法二 第一步：.从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有P4种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取一个排在第二位，有P4种取法；

第三步：从剩下的三个数字中任取一个排在第三位，有P3种取法； 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P4P4P3个。

111

. P4P4P3=443=48（个）

1

1

1

111

解法三 第一步：从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有P4种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取二个排在十位、个位，有P4种取法；

根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P4P4个。

12

P4P4=443=48（个）

1

2

12

解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、十位的排法有P4；

第二类：把0固定在十位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、个位的排法有P4； 第三类：0不参加排列，1，2，3，4中任取三个的排法有P4；

根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：

3

2P42P4=243+432=48（个）

22

3

解法五 列举法(麻烦且容易漏列，但直接明了)

103，104，120，123，124，130，132，134，140，142，143，共12个； 第一类：1排在百位的数是102，

第二类：2排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个； 第三类：3排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个； 第四类：4排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；

根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：124=48个。

2004年

（8）十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是

2

（A）50 （B）100 （C）10 （D）90（2C10）

10

2005年

（11）从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共有

（A）12种 （B）8种 （C）6种 （C24） （D）4种

2006年

（11）4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有

3（A）种 （B）种 （C）种 （P3P22） （D）种

2007年

（16）在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次？

2

（A）400 （B）380 （C）240 （D）190C20



2008年

（12）某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有

（A）4种 （B）8种 （C）10种 （D）20种

Pnmn(n-1)…(n-m1)54

（甲课程必选，从其他5门课程任选2门的组合数为Cm10）

Pmm!2

25

十六、概率与统计初步

2001年

(15)任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是（ ）

(A)

2002年

（15） 袋中装有3只黑球，2只白球，一次取出2只球，恰好黑白各一只的概率是（ ）

113

1

P3(1)C30.51(10.5)313/8 (B) (C)  434132P31P21

（A） （B） （C） （D



5105C52

（19

则的数学期望是 0.20.3+00.2+10.1+20.4）。 2003年

（12）从3个男生和3个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是

（AC32111

（B）

（C） （D） 2C43106

（18）某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的10场比赛，其得分情况如下

99，

104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110

2004年

（11）掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是

（A）

111 （B） （D） 238

（19）从篮球队中随机选出5名队员，他们的身高分别为（单位cm）

180， 188， 200， 195， 187

2005年

（15）8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有2名中国选手。按随机抽签的方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道上的概率为

1（A）

22P77

8P811 （C） （D） 816

（19）从一批袋装食品中抽取5袋分别称重，结果（单位：g）如下：

98.6，100.1，101.4，99.5，102.2

g2）（精确到0.1g2）

2006年

（16）两个盒子内各有三个同样的小球，每个盒子内的小球分别标有1，2，3这三个数字，从两个盒子中3的概率是

（A）

11211

P)

（C） （D）

933

（21）任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球8个，它们的外径分别是（单位mm）

13.7 12.9 14.5 13.8 13.3

12.7 13.5 13.6

2007年

（17）已知甲打中靶心的概率为0.8，乙打中靶心的概率为0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为

（A）0.01 （B）0.02 (10.8)(10.9)

（C）0.28 （D）0.72 （20）经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有8个病人服用同一剂量的这种药物，心率增加的次数分别为13 15 14 10 8 12 13 11

2008年

（16）5个人排成一行，则甲排在中间的概率是

（A）

121

（B） （D） 2510

（21）用一仪器对一物体的长度重复测量5次，得结果(单位:cm)如下:

1004 1001 998 999 1003

2