行动·分享·成长
（第一期）
2013年11月2日
——《小学数学互动研修教研模式的实践探索》活动简报
卷 首
在这金风送爽、秋色宜人的美好季节，源汇区《小学数学互动研修教研模式的实践探索》活动在受降路小学拉开了帷幕。该课题是省级立项课题，是针对当前小学数学教研的现状而提出的。互动研修指与“名师互动”、“同伴互动”、“师生互动”等研修方式，把教师看作具有专业知识、教学经验和学习能力的一个需求群体，通过有意义的研修活动，整合来自教师的个体经验并引导教师在相互学习的基础上建构新的专业资源。发挥优秀教师的专业发展导向及专业资源支撑作用，以真实的课堂教学实践为基础开展具有问题解决的互动研修，通过自身有意识地学习、实践、反思的过程，从中获得有助于增强教学有效性的新的教学观念。本期我们受降路小学开展活动。在活动中充分利用学校搭建的平台，加强学习，不断探索，善于思考，积极实践，创造出“传授知识、启迪智慧、完善人格”的立体课堂，用“心心相印的真教育”奠基孩子的幸福童年，也为我们的职业幸福开创一翻天地。让我们走进互动研修，感受课堂的精彩，感受学生的成长。
名家讲坛
感悟数学思想，积累数学活动经验
——从《课标》的三个案例说起
北京教育科学研究院 吴正宪
盼望已久的《义务教育数学课程标准》（以下简称）终于和大家见面了。我作为基层教师代表参与了教育部关于《课标》的审定工作。在这里不仅有了静心再读、再品、再思考的空间，更是拥有了与数学教育大家对话、交流、研讨的平台。反复研读讨论，感想多多……由于篇幅的限制，本文仅以“感悟数学思想，积累数学活动经验”的角度，从三个案例说起。
《课标》修订中在继承我国数学教育注重“双基”传统的同时，突出了培养学生创新精神和实践能力，提出了使学生理解和掌握“基本的数学思想和方法”，获得“基本的数学活动经验”。在强调发展学生分析和解决问题能力的基础之上，增加了发现和提出问题能力的课程目标。我赞成这样的补充。
数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学学习的灵魂。数学思想方法是伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解的，数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的。教学中渗透数学思想方法可以使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，最终通过自身的学习转化为创造能力。这对于学习数学、发展能力、开发智力、培养创新能力都是至关重要的。
如何帮助学生在数学学习中感悟数学思想，积累数学活动经验呢？我们从《课标》中新增加的三个案例的讨论说起。
案例（一）在方格中数不规则图形的面积
图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。如图一:
(图一)
教师们对此题目并不陌生，解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来，用此方法估计不规则图形的面积。这是我们常用的方法。
在这次审定课标的讨论中，张恭庆院士的发言对我颇有启发。他认为这样处理没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。在张恭庆院士的建议下，我们进行了讨论，课标修改组对此也作了认真修改，以充分体现该题的数学教育价值。
教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。 由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。
如图二：
(图二)
在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。
教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值。渗透极限思想。
如图三:
同样的数学学习素材，截然不同的教学设计，给我们的启示是什么？
“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能——数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。
估算教学要通过在具体情境背景下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法。并在其中帮助学生感悟数学思想和方法，积累数学数活动的经验。
案例（二）鸡兔同笼问题
“一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？”
此题目老师们似乎也很熟悉，有人把它称为“鸡兔同笼“的变型。这是在过去的奥数培训中是不可缺少的训练内容。今天的《课标》中又增加了这样的案例，为什么？该案例的数学教育价值何在？面对着同样的教学内容，今天该怎样进行教学？我们不妨将两种教学方法做一个比较。
过去教学此内容教师通常采用假设法，一开始就将自己明白的道理讲给学生，比如“我们把所有的椅子都假设成有三条腿计算时，求出来的就是四条腿的椅子数；
我们再
把所有的椅子都假设成有四条腿计算时，求出来的就是三条腿的凳子数”接着一下子就把算式给出来了。
（60－16×3）÷（4－3）＝12（四条腿的椅子数）
（60×4－60）÷（4－3）＝4（三条腿的凳子数）
学生死记硬背公式，照猫画虎完成任务，没有经历公式数学化的学习过程。这样的教学事实上正像东北师大史宁中校长所说“老师讲课不能太聪明了，老师虽然知道结果，但要引发学生思考。教师一下子把算式给出来了，学生还探讨什么？”在这样的课堂里学生已经没有了探索的空间。《课标》教学建议中让学生在解决问题的过程中“感悟数学思想，积累数学活动经验”在此已经成为了一句空话！
我们一起来看看《课标》在案例的解读中给出了怎样的建议？这样的教学又会给学生继续学习数学带来怎样的后劲儿？
教师首先引导学生在对题目理解的基础上进行观察与猜想，并进行大胆尝试，让每一位学生亲自做一做，运用尝试的方法探索规律，得出结果。并记录计算的过程，引发新的思考。
如：
椅子数 凳子数 腿的总数
16 0 4×16=64
15 1 4×15+3×1=63
14 2 4×14+3×2=62
启发学生观察，“每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4-3=1。” 如果继续尝试下去会有怎样的情况发生？学生带着观察结果，继续探究……
13 3 4×13+3×3=61
12 4 4×12+3×4=60
至此得到椅子数12，凳子数4时，腿数恰好为60。通过引导学观察发现：腿的总数为60时，需要减少的椅子数是64-60=4，于是椅子数是16-4=12，凳子数是0+4=4。最后验证：12×4+3×4=60，是正确的。当然，也可以引导学生从凳子数的变化思考，即：“每减少一个凳子就要增加一个椅子，腿的总数就要增加4-3=1。”
教学中教师通过引导学生以常见的“四条腿的椅子、三条腿的凳子”简单背景为研究素材，通过学生的观察、猜想、实验、发现“每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4-3=1。”学生在尝试中不断地归纳出数学规律，抽象出数学模型，并在此基础上推广到其他同类问题的研究中。学生在解决问题的实践中感悟数学思想，积累数学活动经验，这是培养学生数学能力的重要途径。
对于学有余力的学生，教师可以鼓励他们用字母代替椅子数与凳子数，得到计算腿的总数的数学模型。
学生经历了观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，得出数学结论。学生经历了数学化的学习过程，体会到从特殊到一般的数学思想归纳法。归纳是人们认识事物的基本的思想方法，学生在数学活动中感悟数学思想方法，同时学会逐步积累利数学活动经验，为后续学习数学作好准备。
比较两个案例，您从中获得了怎样的思考？
案例（三） 图形分类
如图，桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类。想一想：应当如何确定分类的标准？根据分类的标准可以把这些扣子分成几类？然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。
面对着形状不同、颜色不同的、扣眼的数量不同的众多扣子，教师应引导学生该从何做起？如何理利用学生已有的经验进行分类？又该如何表示记录这些分类的结果呢？怎样渗透分类的思想？教学中教师要注重结合具体的分类任务，设计有效的数学探究活动，使学生经历完整的分类过程。建议教师可以先放手让学生先自己试一试，让他们在困惑中发现问题、提出问题、学会反思；再动手实践、归纳概括、形成正确的结论。具体建议分四步完成：
1、学生自己尝试、发现问题、提出问题。（为什么同样的扣子分的结果不一样？引起主动反思。）
2、讨论确定分类标准。（让学生理解分类是要依赖分类标准的，例如，可以根据扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量制定分类的标准。注意引导学生反思分类标准的交错造成的分类结果的重叠与遗漏，如：蓝色的一类，方型的一类，就会有扣子既不在蓝色的一类，又不在方型的一类，而有些扣子既在蓝色的一类，也在方型的一类。所以分类时，要按同一类的标准分。）
3、抽象出图形共性。（根据分类标准，引导学生实际操作，并运用文字、图画或表格等方法记录分类的结果，培养学生整理数据的能力。）
4、组织汇报。（学生报告分类结果，互动评价，教师引导学生回顾整理思路。） 《课标》指出：“分类就是一种重要的数学思想。分类的过程就是对事物共性的抽象过程。”学生正是在尝试问题解决的过程中，感悟这样一种分类的数学思想和方法。在分类的过程中学生首先发现了问题“为什么同样的扣子分的结果却不一样？”，引起主动反思，从而激起去寻求“新分类标准”的需求；然后再探索“新标准下的分类方法”。学生经历了对“形状不同、颜色不同、扣眼数量不同”扣子的分类过程，在数学活动中体会着如何确定分类标准？如何在分类的过程中认识对象的性质？如何区分不同对象的不同性质？经过实验探索不断积累活动经验，加深对分类思想与分类方法的理解。学会分类，有助于学生分析和解决新的数学问题。学生在学习过程中成为了积极的探索者。
总之，教师要自觉帮助学生在积极参与数学学习中，重视数学思想的渗透和数学活动经验积累。正像史宁中校长所说：“数学思想很重要！我们过去的数学教育不注意思想是不行的。老师必须在脑子里形成思想，必须在教书的过程中把应该贯穿的思想贯穿。不然，创造性思想怎么培养？谈创造性，思想方法一点儿没有是不行的！”
同课异构
直线、射线和角
——许慎小学 杨真真
一、教学内容
本课为人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》四年级上册35、36页。
二、教材分析
本课是在学生已经掌握了线段的特征，直观认识了直线、角的基础上进行教学的，是空间与图形知识中最基本的概念之一，同时又是学生学习“角的度量”和“垂直和平行”等的基础。前面的学习都只是直观的描述，而这节课则是对图形的特征及意义的抽象概括。因此，在教学时，教师应该充分运用直观的多媒体进行演示，以帮助学生建立表象、发展空间观念。同时加强孩子的动手操作，让孩子经历和体验知识的形成过程。
三、学情分析
本课是学生对图形认识的基础，内容形象直观，学生可以通过观察、比较、认识来掌握知识。由于学生已经具有一定的操作能力，教学中应注重引导学生动手操作获得直接的感性体验，再在小组交流中形成知识技能。几何知识与日常生活有密切的联系，教
学中要积极调动学生的生活经验，加强知识与生活之间的联系，培养学生的学习兴趣。
四、教学目标
1．让学生进一步认识线段，认识射线和直线，知道线段、射线和直线的区别；进一步认识角，知道角的含义，能用角的符号表示角。
2．通过“画一画”、“数一数”等活动，初步感悟：从一点出发可以画无数条射线，经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。
五、教学重难点
认识射线和直线，知道线段、射线和直线的联系和区别，建立角的概念。
六、教法和学法
教师：讲解引导发现。
学生：小组合作和动手操作相结合。
七、教具、学具准备
直尺、幻灯片、手电筒等
八、教学过程
一、 创设情境，引入新课。
打开手电筒，这束光会射向哪里？如果没有任何物体遮挡的话，这束光又会射向哪里？让孩子展开想象去猜测，然后观察幻灯片，得到：像手电筒、汽车灯和太阳光等射出来的光线，都可以近似的看成是射线。
引导学生仔细观察，说一说射线是什么样子的?
总结：射线只有一个端点，可以向一端无限延伸。（板书：射线）
试着让孩子自己画一条射线，描述画的过程。
二、 复习线段，学习直线
比较射线的长短引发冲突，从而引出射线可以向一端无限延长，所以不可以测量。 那可以测量的线是什么？线段。（板书：线段）引导孩子，说出线段有哪些特点？线段：有两个端点，有限长。
观察图片，认识直线。孩子自己通过观察，发现总结直线的特点。
三、 知道线段、射线和直线的区别。
学习了直线、射线和线段，下面哪些图形是直线？哪些图形是射线？哪些图形是线段？学生依据课件，集体完成。
现在，观察图形想一想线段、射线和直线有什么相同点和不同点呢？
学生展示。
由于在画直线、射线和线段时都用到尺子，引出他们都是直的这个共同点。通过老
师引导发现得到射线和线段都是直线的一部分。
四、 画射线和直线
1、从一点出发画射线。
师：从一点出发可以画多少条射线呢？请你再猜一猜。学生猜测。
学生在练习本上独立完成。然后让孩子试着猜想，如果不限定时间，从一点出发可以画无数条射线。
【课件演示】：从一点出发可以画无数条射线。
2．过一点画直线。
【课件演示】，提问：经过一点可以画多少条直线？请你猜一猜。
学生猜测。课件演示验证孩子的猜测：经过一点可以画无数条直线。
3．过两点画直线。
【课件演示】（直线概念2）师：经过两点能画多少条直线？请你再猜一猜？
学生猜测。
师：请你自己在练习本上点两个点，画一画。学生画。
师：经过两点可以画多少条直线？课件演示经过两点画直线并出示：经过两点只能画一条直线。
五、 进一步认识角
提问：刚才我们从一点出发画了无数条射线，其实从一点出发引出的两条射线就组成了一个图形，是什么图形？（板书：角）
1、自学课本36页，然后告诉老师你的发现。根据学生汇报情况讲解角的定义。 角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。在黑板上展示画角的过程，回忆一下这一点是角的什么？（板书：顶点）这两条射线是角的什么？ （板书：边）
角的表示方法。比较与小于号的区别，自己画两个角并用符号表示出他们，然后读一读，记一记。
六、 课堂总结
师：这节课我们学习了哪些内容？今天，我们主要学习了直线、射线和角（板书课题：直线、射线和角）你是怎样认识直线、射线和角的？还有什么疑问吗？
七、延伸巩固 教师自主安排。
板书设计：
直线、射线和角
线段
射线
直线
角
直线、射线和角
——受降路小学 刘蕾
设计理念：
数学课堂上要有学生充分的从事数学活动的时间，动手操作是学生数学学习的一种重要方式。操作活动能够帮助学生理解和掌握数学知识，帮助学生进行数学思考，解决数学问题，本节课我将注重联系学生的生活经验和活动经验，为学生创设自主探索的空间，让学生在操作中体会知识的形成过程，引导学生主动参与，注意把握时机，把操作活动与学生的思维活动、语言表达有机地结合起来，注重操作活动的“内化”，重视“动态操作”后“静态的数学思考”，并引导学生及时抽象和概括，培养学生积极探究、主动获取知识的能力，有效地提高数学课堂学习的效率。
教学目标：
1. 使学生认识射线，直线，能识别射线、直线和线段三个概念之间的联系和区别。
2. 使学生认识角和角的表示方法，知道角的各部分名称。
3. 培养学生观察、比较和概括的初步能力。
4. 培养学生关于射线、直线、线段和角的空间观念。
5. 通过观察、操作学习活动，让学生经历直线、射线和角的表象的形成过程。
6. 体会到数学知识与实际生活紧密联系，能够感受到生活中处处有数学。 教学重点：角的意义。
教学难点：射线、直线和线段三者之间的关系。
教学准备：课件、三角板、小电筒。
教学过程：
一、引入新课
复习引入：同学们还记得线段吗？
你能画一条长3厘米的线段吗？谁来说说它有什么特征？（板书：线段：两个端点、有限长） 线段有两个兄弟，跟他长得很相似，你们想认识他们吗？ 板书课题：直线、射线。
二、新课学习
1、认识射线
师把小电筒的开关打开，对着黑板，你发现了什么？（生：打开了，对面的墙上有个小亮点。）你知道这个小亮点是哪里来的吗？（生：是老师手里的小电筒发射出来的光，照到了墙上，就有了。）对，这条光线就是从小电筒里射出来，然后照到了黑板上面。这条光线可以看做是什么呢？线段
师：它是一条线段。它有两个端点。那你能测量出它的长度吗？怎样测量呢？ （生：可以。用直尺测量。）
师：（将小电筒慢慢的移向天花板。）现在你又发现了什么？
（生：这条光线射到天花板上了，这也可以看做是条线段，它的长度我们也可以测量出来。）
师：将小电筒慢慢移向窗外，请同学们观察手电筒的光线，这线穿过云层，射向宇宙，张开你想象的翅膀，这是一条什么样的线呢？
师：像手电筒射出来的光线，我们可以近似地看成是射线。 （课件出示） 师：希望把这些射线的摸样全画出来给大家看，我这个愿望能实现吗？不能
师：为什么呢？（引导学生找出射线可以向一个方向无限延伸），对，射线的一端是可以无限延伸的，我们永远也画不完。
你还能举出一些射线的例子吗？（学生举例。）（课件显示延伸特征）所以屏幕上的射线只是画出了他的一部分。那我们以后画射线的时候也只画它的一部分来表示就可以了。在此基础上引导学生得出射线的特征。
板书：射线 一个端点，向一端无限延长。
师：像这样的射线你能画一画吗？师在黑板上画一条射线。
2．认识直线。
师：还有一种在我们生活中找不到的线，却在我们数学王国里占有很重要的位置，大家想不想认识这位神秘的朋友呢？
师：课件出示直线，这是线段的另一个兄弟——直线。
师：看看直线是什么样子的呢？
学生：两端都没有点，直直的。（教师通过动画显示引导学生观察出直线可以向两边无限延伸）
师：仔细观察直线有什么特点？学生归纳，师总结后引导学生联系西游记中孙悟空的金箍棒来记直线。（板书：直线：没有端点 两端无限延长）
像这样的直线你能画一画吗？
3、直线、射线和线段的区别
我们已经认识了线段、射线、直线这三种图形，如果要开一个“信息发布会”，介绍他们，你们将如何介绍呢？
教师根据学生汇报再小结一下三线的区别。
教师：通过我们大家的努力，发现了这三种直直的线的异同。那我们再来观察一下，他们之间又有什么联系呢？
课件显示（显示线段和射线从直线中截出来。）学生观察。
教师：你发现了什么？（学生自由发言：直线里有线段、直线里有射线等。） 师小结出：直线里可以取出线段和射线，我们就说线段和射线可以看成是直线的一部分。
4、练习
（1）教师：大家看看，纸上有一点，通过这一点画直线。大家猜猜可以画多少条？ 学生猜后试一试。 那说明，通过一点可以画的直线有多少条呢？
（2）教师：现在画面上有两点。大家猜猜要同时经过这两点，可以画多少条直线？ 学生猜，教师；好，我们还是来试试。大家画一画。
学生汇报结果，课件显示结果。过两点的直线只有一条。教师：有了刚才的经验，那么猜一猜，从一点起可以画出的射线有多少条？
学生猜后，画一画。
课件演示：过一点可以画无数条射线。
5、认识角
（1）教师：从一点起可以画出无数条射线，现在请大家画一点，然后从这一点开始只画两条射线，（学生画后，老师展示不同的作品。）大家看看这些图是我们的老朋友，叫什么名字呢？ 学生：角
教师：对，这就是大家熟悉的角。谁来说说刚才你的角是怎么画成的。
学生：从一点画出了两条射线形成的。
动态展示角的形成过程，一边规范学生的语言：从一点引出两条射线组成的图形叫做角。
（2）师：你知道角的各部分名称吗？
师：这个点叫做角的什么？这两条射线呢？一个角有几个顶点、几条边？（端点、边、一个顶点、两条边）课件演示。
（3）为了区分不同的角，我们要给角编上号，可以用数字，也可以用字母。
（4）为了书写方便，我们用一个符号来表示角。（板书“∠”）读作“角” 大家观察一下，与以前学的哪个符号相似？它们有什么不同？
它们长得象双胞胎，那么，它和“
三、课堂练习
1、判断哪些是直线？哪些是射线？哪些是线段？
2、填空
（1）线段有（ ）个端点，射线有（ ）个端点，把线段向两端无限处长，就得到一条（ ），直线（ ）端点。
(2)从一点引出两条（ ）所组成的图形叫做角。
(3）画一条长 8厘米的（ ）。
3、判断
（1）小明画了一条长20厘米直线。 （ ）
（2）直线比射线长。 （ ）
（3）由两条线段组成的图形就是角。 （ ）
（4）线段是直线的一部分。 （ ）
4、猜谜语，要求用今天学到的知识去猜。
有始有终 有始无终 无始无终
四、板书设计
射线、直线和角
线段 两个端点 有限长 可度量
射线 一个端点 无限长 不可度量
直线 没有端点 无限长 不可度量
从一个点引出两条射线组成的图形叫做角。
记 作：∠1
边 读 作：角1
边
研讨争鸣
【直线射线和角】教后自评
许慎小学 杨真真
《直线、射线和角》是人教版课程标准实验教科书四年级上册第二单元“角的度量”中的第一课时的教学内容，在二年级时，学生已初步认识了线段和角。本课的内容借助直观，引入射线和直线的概念，并让学生讨论线段、直线、射线的联系和区别，又在射线的概念基础上教学角的概念和角的表示法。因此我把该课的教学目标定为： 1．让学生进一步认识线段，认识射线和直线，知道线段、射线和直线的区别；进一步认识角，知道角的含义，能用角的符号表示角。2．通过“画一画”、“数一数”等活动，初步感悟：从一点出发可以画无数条射线，经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。
我的教学设计是：
1、结合实例，学习新知
通过观察手电筒发出的光认识射线引入新课，进而复习线段，认识直线。从生活中的实例入手，便于孩子更好的理解这些抽象的图形。在教学三线的区别和联系时，采用了小组合作的形式加深孩子对三线的认识，同时也便于突破了本节课的重难点。对于角的教学，则是在过一点画射线的基础上，自学课本学习角的概念和角的记法、读法。
2、动手操作，加深理解
作为较抽象的概念课，我留有足够的时间让学生深入参与学习过程，让学生在亲身体验、经历数学的过程中逐渐建立概念。如，从一点出发可以画多少条射线，经过一点能画多少条直线，经过两点能画多少条直线？让孩子先猜一猜、再画一画，通过操作，让学生对自己原先的猜想进行了一次验证，也对这个知识点的把握理解的更加深刻。这里不仅给孩子渗透了极限的思想，更让学生的创造力和想象力得到发挥和培养。
3. 借组媒体，直观教学
利用多媒体的直观显示，可以把一些概念直观化，使知识简洁、明了，让学生容易接受。本节课中，射线和直线这两个概念是很抽象的，学生难以理解。过去只能靠语言的形象描述或借助生活中的现象作比隐喻，学生总是想象不出直线和射线中“无限长”的含义。利用多媒体的动态功能设计了这样一个动画：屏幕上先出现一条直线，直线向两端无限延长,
借助这样动态的演示，学生头脑中就会出现“无限长”的图景。讲射线
时，将线段的一端向外延伸，帮助学生想象向一端无限延长的情景。这样直观感受，让他们深刻地理解和掌握了线段、射线和直线概念的涵义与区别。
通过这节课的教学，我也有以下几点思考：
1、在教学中语言要精炼。小学生模仿力是很强的，要想让学生用精练准确的数学术语来回答问题，教师讲课时就要注意语言的准确性。这节课本来知识点就多，繁杂的语言会让整节课感觉很乱无序。
2、学生在课堂上虽然也经历的想象的过程，但是在教师任务驱使下的想象总显得被动了些，如果学生能够主动地提出想象的需求，可能更耐人寻味！
3、在动手操作中发现，过两点画一条直线时，学生无意识地会画一条线段，说明他对直线和射线的区别还不是很清楚，或者说他在画图时还没有主动地去区分直线和线段的区别。
4、虽然教学中也设计了很多动手操作的环节，但实际上课时，总感觉学生活动还是不够充分；在自学的时候，自己归纳总结的话有点多；在肯定或否定学生的答案时，留时间给学生说说自己的思考过程有些少，这里如果让学生多说一说，他对知识的梳理和理解，会更透彻。
在教学过程中，学生是课堂的主体，让学生在课堂上主动地提出“内需”，养成思考的主动性，是我后续课堂需要注意和培养的。
【直线射线和角】教后自评
——受降路小学 刘 蕾
本节课的教学目标是让学生进一步认识线段，射线和直线，知道这三者的区别；进一步认识角，知道角的定义，能用角的符号表示角。这节课还要培养学生观察，操作，比较以及抽象，概括的能力。
掌握直线，射线和线段的区别与联系是本节课的重点所在。由于学生以前已经学过线段，我就从画线段入手引入新课。我用小电筒射出的光线来逐步引出射线，在一层一层引领学生感知射线、直线的特征，很多知识都顺利成章的出示出来，让学生感知数学知识学起来并不难，培养学生对数学的兴趣。
本节课我的优点有：第一，思路清晰，三种线形的过渡比较自然，顺理成章，学生学习起来比较轻松。第二，让学生在生活经验的基础上感知直线、射线的特点。这样，学生的主体地位得以充分地发挥，学生也会很有兴趣地接受新知识。第三，重视知识的形成过程，让孩子在操作中感知，过一点、两点能画几条直线，从一点起能画多少条射线等，有助于学生对知识的理解。第四，练习题设计层次清晰，由易到难，逐步递进。
课后，感觉教学过程中存在一些不足的地方，都值得我去认真思考，去慢慢改进。比如：这节课学生学习的主体性体现得不是很到位。虽然教学中也设计了动手画画的环节，但实际上课时，总感觉学生活动还是不够充分；在总结归纳的时候，自己归纳总结的话有点多；在肯定或否定学生的答案时，留时间给学生说说自己的思考过程有些少，这里如果让学生多说一说，他对知识的梳理和理解，会更透彻。
总之，这节课的设计出发点是利用学生原有的知识基础，尝试让学生进行自主学习的方式，教师作为引导者和帮助者，这样才能达到教学的目的，才能发展学生的数学综合能力！坦然面对课堂教学的成功与失败，相信自己能在不断的实践中反思，在不断的反思中成长，在不断的成长中创新！
研讨争鸣
—— 源汇区教研室 邢燕
《直线、射线和角》为人教版课程标准实验教科书四年级上册第二单元“角的度量”中的第一课时，为图形与几何方面的内容，数学源于生活，又高于生活，如直线的概念就比较抽象，生活中很难找到“原型”，正所谓数学中的“点”没有大小，“线”没有粗细，“面”没有厚薄。经验是学生学习的重要基础，有时经验也会产生一定的负面影响。杨真真和刘蕾老师同课异构，分别用自己的理解诠释了这节课，值得对两位老师的努力表示肯定，并表示感谢，课堂中的精彩与思考也值得我们进一步的品味和交流。
一、提供生活原型，加强直观教学：课堂开始两位教师都以手电筒为原型，引入射线的教学，只是刘蕾老师在引入的过程中更注重了与线段的联系，手电筒照在手上、黑板上都有两个端点，可以度量，语言也非常精彩，穿过云层，射向宇宙还能不能度量，让孩子用无限的遐想解读射线是无限长的这一概念。
二、注意动手操作，渗透极限思想：新课标要求我们要关注学生的基本活动经验，渗透数学思想，在这里，两位老师都做得非常好，如：过一点能画多少条直线？射线？过两点能画多少条直线？都让学生亲自动手试一试，画一画。在这里杨老师做的更好一些，之前先对问题进行一番猜测，之后再进行验证，这样的教学很科学，先猜测，后验证。在这里切忌以教师的演示或多媒体的演示代替学生的体验，无疑两位老师做的都很成功。
三、体会学生的自主学习的空间有待加强：纵观这两节课，
教师的讲授精彩有序，
知识结构的安排合理清晰，但缺少了孩子自主学习的空间，新课改要求我们要从以往教师引领着完成学习逐步向以学生为主体的学习过渡。比如在比较线段、射线、直线的区别时，教师在教线段时就明晰的教出两个端点，有长短，射线是一个端点，无限长等，所以根本就不需要这个比较环节，在教的过程中这些知识教师已经全部传授给学生，学生知识点准确无误，但缺乏了探究的空间和思考的过程。此处可以让孩子在练习本上画出三种线，认真观察和思考，再做出比较和总结。也许孩子的发现是无序的不规范的，但源于他们自身的理解，就有了探究科学的精神和学习的方法。
我们现在的课堂，教师教的很精彩，但学生学的不一定积极主动，我们以后仍要努力思考，究竟什么样的课堂是以学生为主体的课堂，什么样的课堂是以教师为主导的课堂，我们课改的步子迈的太小了，小心翼翼地，而这一不小心就回到了我们原来的课堂。让我们一起努力吧，期待着转变后的新课堂……
活动剪影
刘蕾老师说课 同学们积极发言
学习小组间的朗读大PK
学校领导及教研员听课指导 倾听同学观点
行动·分享·成长
（第一期）
2013年11月2日
——《小学数学互动研修教研模式的实践探索》活动简报
卷 首
在这金风送爽、秋色宜人的美好季节，源汇区《小学数学互动研修教研模式的实践探索》活动在受降路小学拉开了帷幕。该课题是省级立项课题，是针对当前小学数学教研的现状而提出的。互动研修指与“名师互动”、“同伴互动”、“师生互动”等研修方式，把教师看作具有专业知识、教学经验和学习能力的一个需求群体，通过有意义的研修活动，整合来自教师的个体经验并引导教师在相互学习的基础上建构新的专业资源。发挥优秀教师的专业发展导向及专业资源支撑作用，以真实的课堂教学实践为基础开展具有问题解决的互动研修，通过自身有意识地学习、实践、反思的过程，从中获得有助于增强教学有效性的新的教学观念。本期我们受降路小学开展活动。在活动中充分利用学校搭建的平台，加强学习，不断探索，善于思考，积极实践，创造出“传授知识、启迪智慧、完善人格”的立体课堂，用“心心相印的真教育”奠基孩子的幸福童年，也为我们的职业幸福开创一翻天地。让我们走进互动研修，感受课堂的精彩，感受学生的成长。
名家讲坛
感悟数学思想，积累数学活动经验
——从《课标》的三个案例说起
北京教育科学研究院 吴正宪
盼望已久的《义务教育数学课程标准》（以下简称）终于和大家见面了。我作为基层教师代表参与了教育部关于《课标》的审定工作。在这里不仅有了静心再读、再品、再思考的空间，更是拥有了与数学教育大家对话、交流、研讨的平台。反复研读讨论，感想多多……由于篇幅的限制，本文仅以“感悟数学思想，积累数学活动经验”的角度，从三个案例说起。
《课标》修订中在继承我国数学教育注重“双基”传统的同时，突出了培养学生创新精神和实践能力，提出了使学生理解和掌握“基本的数学思想和方法”，获得“基本的数学活动经验”。在强调发展学生分析和解决问题能力的基础之上，增加了发现和提出问题能力的课程目标。我赞成这样的补充。
数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学学习的灵魂。数学思想方法是伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解的，数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的。教学中渗透数学思想方法可以使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，最终通过自身的学习转化为创造能力。这对于学习数学、发展能力、开发智力、培养创新能力都是至关重要的。
如何帮助学生在数学学习中感悟数学思想，积累数学活动经验呢？我们从《课标》中新增加的三个案例的讨论说起。
案例（一）在方格中数不规则图形的面积
图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。如图一:
(图一)
教师们对此题目并不陌生，解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来，用此方法估计不规则图形的面积。这是我们常用的方法。
在这次审定课标的讨论中，张恭庆院士的发言对我颇有启发。他认为这样处理没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。在张恭庆院士的建议下，我们进行了讨论，课标修改组对此也作了认真修改，以充分体现该题的数学教育价值。
教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。 由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。
如图二：
(图二)
在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。
教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值。渗透极限思想。
如图三:
同样的数学学习素材，截然不同的教学设计，给我们的启示是什么？
“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能——数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。
估算教学要通过在具体情境背景下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法。并在其中帮助学生感悟数学思想和方法，积累数学数活动的经验。
案例（二）鸡兔同笼问题
“一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？”
此题目老师们似乎也很熟悉，有人把它称为“鸡兔同笼“的变型。这是在过去的奥数培训中是不可缺少的训练内容。今天的《课标》中又增加了这样的案例，为什么？该案例的数学教育价值何在？面对着同样的教学内容，今天该怎样进行教学？我们不妨将两种教学方法做一个比较。
过去教学此内容教师通常采用假设法，一开始就将自己明白的道理讲给学生，比如“我们把所有的椅子都假设成有三条腿计算时，求出来的就是四条腿的椅子数；
我们再
把所有的椅子都假设成有四条腿计算时，求出来的就是三条腿的凳子数”接着一下子就把算式给出来了。
（60－16×3）÷（4－3）＝12（四条腿的椅子数）
（60×4－60）÷（4－3）＝4（三条腿的凳子数）
学生死记硬背公式，照猫画虎完成任务，没有经历公式数学化的学习过程。这样的教学事实上正像东北师大史宁中校长所说“老师讲课不能太聪明了，老师虽然知道结果，但要引发学生思考。教师一下子把算式给出来了，学生还探讨什么？”在这样的课堂里学生已经没有了探索的空间。《课标》教学建议中让学生在解决问题的过程中“感悟数学思想，积累数学活动经验”在此已经成为了一句空话！
我们一起来看看《课标》在案例的解读中给出了怎样的建议？这样的教学又会给学生继续学习数学带来怎样的后劲儿？
教师首先引导学生在对题目理解的基础上进行观察与猜想，并进行大胆尝试，让每一位学生亲自做一做，运用尝试的方法探索规律，得出结果。并记录计算的过程，引发新的思考。
如：
椅子数 凳子数 腿的总数
16 0 4×16=64
15 1 4×15+3×1=63
14 2 4×14+3×2=62
启发学生观察，“每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4-3=1。” 如果继续尝试下去会有怎样的情况发生？学生带着观察结果，继续探究……
13 3 4×13+3×3=61
12 4 4×12+3×4=60
至此得到椅子数12，凳子数4时，腿数恰好为60。通过引导学观察发现：腿的总数为60时，需要减少的椅子数是64-60=4，于是椅子数是16-4=12，凳子数是0+4=4。最后验证：12×4+3×4=60，是正确的。当然，也可以引导学生从凳子数的变化思考，即：“每减少一个凳子就要增加一个椅子，腿的总数就要增加4-3=1。”
教学中教师通过引导学生以常见的“四条腿的椅子、三条腿的凳子”简单背景为研究素材，通过学生的观察、猜想、实验、发现“每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4-3=1。”学生在尝试中不断地归纳出数学规律，抽象出数学模型，并在此基础上推广到其他同类问题的研究中。学生在解决问题的实践中感悟数学思想，积累数学活动经验，这是培养学生数学能力的重要途径。
对于学有余力的学生，教师可以鼓励他们用字母代替椅子数与凳子数，得到计算腿的总数的数学模型。
学生经历了观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，得出数学结论。学生经历了数学化的学习过程，体会到从特殊到一般的数学思想归纳法。归纳是人们认识事物的基本的思想方法，学生在数学活动中感悟数学思想方法，同时学会逐步积累利数学活动经验，为后续学习数学作好准备。
比较两个案例，您从中获得了怎样的思考？
案例（三） 图形分类
如图，桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类。想一想：应当如何确定分类的标准？根据分类的标准可以把这些扣子分成几类？然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。
面对着形状不同、颜色不同的、扣眼的数量不同的众多扣子，教师应引导学生该从何做起？如何理利用学生已有的经验进行分类？又该如何表示记录这些分类的结果呢？怎样渗透分类的思想？教学中教师要注重结合具体的分类任务，设计有效的数学探究活动，使学生经历完整的分类过程。建议教师可以先放手让学生先自己试一试，让他们在困惑中发现问题、提出问题、学会反思；再动手实践、归纳概括、形成正确的结论。具体建议分四步完成：
1、学生自己尝试、发现问题、提出问题。（为什么同样的扣子分的结果不一样？引起主动反思。）
2、讨论确定分类标准。（让学生理解分类是要依赖分类标准的，例如，可以根据扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量制定分类的标准。注意引导学生反思分类标准的交错造成的分类结果的重叠与遗漏，如：蓝色的一类，方型的一类，就会有扣子既不在蓝色的一类，又不在方型的一类，而有些扣子既在蓝色的一类，也在方型的一类。所以分类时，要按同一类的标准分。）
3、抽象出图形共性。（根据分类标准，引导学生实际操作，并运用文字、图画或表格等方法记录分类的结果，培养学生整理数据的能力。）
4、组织汇报。（学生报告分类结果，互动评价，教师引导学生回顾整理思路。） 《课标》指出：“分类就是一种重要的数学思想。分类的过程就是对事物共性的抽象过程。”学生正是在尝试问题解决的过程中，感悟这样一种分类的数学思想和方法。在分类的过程中学生首先发现了问题“为什么同样的扣子分的结果却不一样？”，引起主动反思，从而激起去寻求“新分类标准”的需求；然后再探索“新标准下的分类方法”。学生经历了对“形状不同、颜色不同、扣眼数量不同”扣子的分类过程，在数学活动中体会着如何确定分类标准？如何在分类的过程中认识对象的性质？如何区分不同对象的不同性质？经过实验探索不断积累活动经验，加深对分类思想与分类方法的理解。学会分类，有助于学生分析和解决新的数学问题。学生在学习过程中成为了积极的探索者。
总之，教师要自觉帮助学生在积极参与数学学习中，重视数学思想的渗透和数学活动经验积累。正像史宁中校长所说：“数学思想很重要！我们过去的数学教育不注意思想是不行的。老师必须在脑子里形成思想，必须在教书的过程中把应该贯穿的思想贯穿。不然，创造性思想怎么培养？谈创造性，思想方法一点儿没有是不行的！”
同课异构
直线、射线和角
——许慎小学 杨真真
一、教学内容
本课为人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》四年级上册35、36页。
二、教材分析
本课是在学生已经掌握了线段的特征，直观认识了直线、角的基础上进行教学的，是空间与图形知识中最基本的概念之一，同时又是学生学习“角的度量”和“垂直和平行”等的基础。前面的学习都只是直观的描述，而这节课则是对图形的特征及意义的抽象概括。因此，在教学时，教师应该充分运用直观的多媒体进行演示，以帮助学生建立表象、发展空间观念。同时加强孩子的动手操作，让孩子经历和体验知识的形成过程。
三、学情分析
本课是学生对图形认识的基础，内容形象直观，学生可以通过观察、比较、认识来掌握知识。由于学生已经具有一定的操作能力，教学中应注重引导学生动手操作获得直接的感性体验，再在小组交流中形成知识技能。几何知识与日常生活有密切的联系，教
学中要积极调动学生的生活经验，加强知识与生活之间的联系，培养学生的学习兴趣。
四、教学目标
1．让学生进一步认识线段，认识射线和直线，知道线段、射线和直线的区别；进一步认识角，知道角的含义，能用角的符号表示角。
2．通过“画一画”、“数一数”等活动，初步感悟：从一点出发可以画无数条射线，经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。
五、教学重难点
认识射线和直线，知道线段、射线和直线的联系和区别，建立角的概念。
六、教法和学法
教师：讲解引导发现。
学生：小组合作和动手操作相结合。
七、教具、学具准备
直尺、幻灯片、手电筒等
八、教学过程
一、 创设情境，引入新课。
打开手电筒，这束光会射向哪里？如果没有任何物体遮挡的话，这束光又会射向哪里？让孩子展开想象去猜测，然后观察幻灯片，得到：像手电筒、汽车灯和太阳光等射出来的光线，都可以近似的看成是射线。
引导学生仔细观察，说一说射线是什么样子的?
总结：射线只有一个端点，可以向一端无限延伸。（板书：射线）
试着让孩子自己画一条射线，描述画的过程。
二、 复习线段，学习直线
比较射线的长短引发冲突，从而引出射线可以向一端无限延长，所以不可以测量。 那可以测量的线是什么？线段。（板书：线段）引导孩子，说出线段有哪些特点？线段：有两个端点，有限长。
观察图片，认识直线。孩子自己通过观察，发现总结直线的特点。
三、 知道线段、射线和直线的区别。
学习了直线、射线和线段，下面哪些图形是直线？哪些图形是射线？哪些图形是线段？学生依据课件，集体完成。
现在，观察图形想一想线段、射线和直线有什么相同点和不同点呢？
学生展示。
由于在画直线、射线和线段时都用到尺子，引出他们都是直的这个共同点。通过老
师引导发现得到射线和线段都是直线的一部分。
四、 画射线和直线
1、从一点出发画射线。
师：从一点出发可以画多少条射线呢？请你再猜一猜。学生猜测。
学生在练习本上独立完成。然后让孩子试着猜想，如果不限定时间，从一点出发可以画无数条射线。
【课件演示】：从一点出发可以画无数条射线。
2．过一点画直线。
【课件演示】，提问：经过一点可以画多少条直线？请你猜一猜。
学生猜测。课件演示验证孩子的猜测：经过一点可以画无数条直线。
3．过两点画直线。
【课件演示】（直线概念2）师：经过两点能画多少条直线？请你再猜一猜？
学生猜测。
师：请你自己在练习本上点两个点，画一画。学生画。
师：经过两点可以画多少条直线？课件演示经过两点画直线并出示：经过两点只能画一条直线。
五、 进一步认识角
提问：刚才我们从一点出发画了无数条射线，其实从一点出发引出的两条射线就组成了一个图形，是什么图形？（板书：角）
1、自学课本36页，然后告诉老师你的发现。根据学生汇报情况讲解角的定义。 角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。在黑板上展示画角的过程，回忆一下这一点是角的什么？（板书：顶点）这两条射线是角的什么？ （板书：边）
角的表示方法。比较与小于号的区别，自己画两个角并用符号表示出他们，然后读一读，记一记。
六、 课堂总结
师：这节课我们学习了哪些内容？今天，我们主要学习了直线、射线和角（板书课题：直线、射线和角）你是怎样认识直线、射线和角的？还有什么疑问吗？
七、延伸巩固 教师自主安排。
板书设计：
直线、射线和角
线段
射线
直线
角
直线、射线和角
——受降路小学 刘蕾
设计理念：
数学课堂上要有学生充分的从事数学活动的时间，动手操作是学生数学学习的一种重要方式。操作活动能够帮助学生理解和掌握数学知识，帮助学生进行数学思考，解决数学问题，本节课我将注重联系学生的生活经验和活动经验，为学生创设自主探索的空间，让学生在操作中体会知识的形成过程，引导学生主动参与，注意把握时机，把操作活动与学生的思维活动、语言表达有机地结合起来，注重操作活动的“内化”，重视“动态操作”后“静态的数学思考”，并引导学生及时抽象和概括，培养学生积极探究、主动获取知识的能力，有效地提高数学课堂学习的效率。
教学目标：
1. 使学生认识射线，直线，能识别射线、直线和线段三个概念之间的联系和区别。
2. 使学生认识角和角的表示方法，知道角的各部分名称。
3. 培养学生观察、比较和概括的初步能力。
4. 培养学生关于射线、直线、线段和角的空间观念。
5. 通过观察、操作学习活动，让学生经历直线、射线和角的表象的形成过程。
6. 体会到数学知识与实际生活紧密联系，能够感受到生活中处处有数学。 教学重点：角的意义。
教学难点：射线、直线和线段三者之间的关系。
教学准备：课件、三角板、小电筒。
教学过程：
一、引入新课
复习引入：同学们还记得线段吗？
你能画一条长3厘米的线段吗？谁来说说它有什么特征？（板书：线段：两个端点、有限长） 线段有两个兄弟，跟他长得很相似，你们想认识他们吗？ 板书课题：直线、射线。
二、新课学习
1、认识射线
师把小电筒的开关打开，对着黑板，你发现了什么？（生：打开了，对面的墙上有个小亮点。）你知道这个小亮点是哪里来的吗？（生：是老师手里的小电筒发射出来的光，照到了墙上，就有了。）对，这条光线就是从小电筒里射出来，然后照到了黑板上面。这条光线可以看做是什么呢？线段
师：它是一条线段。它有两个端点。那你能测量出它的长度吗？怎样测量呢？ （生：可以。用直尺测量。）
师：（将小电筒慢慢的移向天花板。）现在你又发现了什么？
（生：这条光线射到天花板上了，这也可以看做是条线段，它的长度我们也可以测量出来。）
师：将小电筒慢慢移向窗外，请同学们观察手电筒的光线，这线穿过云层，射向宇宙，张开你想象的翅膀，这是一条什么样的线呢？
师：像手电筒射出来的光线，我们可以近似地看成是射线。 （课件出示） 师：希望把这些射线的摸样全画出来给大家看，我这个愿望能实现吗？不能
师：为什么呢？（引导学生找出射线可以向一个方向无限延伸），对，射线的一端是可以无限延伸的，我们永远也画不完。
你还能举出一些射线的例子吗？（学生举例。）（课件显示延伸特征）所以屏幕上的射线只是画出了他的一部分。那我们以后画射线的时候也只画它的一部分来表示就可以了。在此基础上引导学生得出射线的特征。
板书：射线 一个端点，向一端无限延长。
师：像这样的射线你能画一画吗？师在黑板上画一条射线。
2．认识直线。
师：还有一种在我们生活中找不到的线，却在我们数学王国里占有很重要的位置，大家想不想认识这位神秘的朋友呢？
师：课件出示直线，这是线段的另一个兄弟——直线。
师：看看直线是什么样子的呢？
学生：两端都没有点，直直的。（教师通过动画显示引导学生观察出直线可以向两边无限延伸）
师：仔细观察直线有什么特点？学生归纳，师总结后引导学生联系西游记中孙悟空的金箍棒来记直线。（板书：直线：没有端点 两端无限延长）
像这样的直线你能画一画吗？
3、直线、射线和线段的区别
我们已经认识了线段、射线、直线这三种图形，如果要开一个“信息发布会”，介绍他们，你们将如何介绍呢？
教师根据学生汇报再小结一下三线的区别。
教师：通过我们大家的努力，发现了这三种直直的线的异同。那我们再来观察一下，他们之间又有什么联系呢？
课件显示（显示线段和射线从直线中截出来。）学生观察。
教师：你发现了什么？（学生自由发言：直线里有线段、直线里有射线等。） 师小结出：直线里可以取出线段和射线，我们就说线段和射线可以看成是直线的一部分。
4、练习
（1）教师：大家看看，纸上有一点，通过这一点画直线。大家猜猜可以画多少条？ 学生猜后试一试。 那说明，通过一点可以画的直线有多少条呢？
（2）教师：现在画面上有两点。大家猜猜要同时经过这两点，可以画多少条直线？ 学生猜，教师；好，我们还是来试试。大家画一画。
学生汇报结果，课件显示结果。过两点的直线只有一条。教师：有了刚才的经验，那么猜一猜，从一点起可以画出的射线有多少条？
学生猜后，画一画。
课件演示：过一点可以画无数条射线。
5、认识角
（1）教师：从一点起可以画出无数条射线，现在请大家画一点，然后从这一点开始只画两条射线，（学生画后，老师展示不同的作品。）大家看看这些图是我们的老朋友，叫什么名字呢？ 学生：角
教师：对，这就是大家熟悉的角。谁来说说刚才你的角是怎么画成的。
学生：从一点画出了两条射线形成的。
动态展示角的形成过程，一边规范学生的语言：从一点引出两条射线组成的图形叫做角。
（2）师：你知道角的各部分名称吗？
师：这个点叫做角的什么？这两条射线呢？一个角有几个顶点、几条边？（端点、边、一个顶点、两条边）课件演示。
（3）为了区分不同的角，我们要给角编上号，可以用数字，也可以用字母。
（4）为了书写方便，我们用一个符号来表示角。（板书“∠”）读作“角” 大家观察一下，与以前学的哪个符号相似？它们有什么不同？
它们长得象双胞胎，那么，它和“
三、课堂练习
1、判断哪些是直线？哪些是射线？哪些是线段？
2、填空
（1）线段有（ ）个端点，射线有（ ）个端点，把线段向两端无限处长，就得到一条（ ），直线（ ）端点。
(2)从一点引出两条（ ）所组成的图形叫做角。
(3）画一条长 8厘米的（ ）。
3、判断
（1）小明画了一条长20厘米直线。 （ ）
（2）直线比射线长。 （ ）
（3）由两条线段组成的图形就是角。 （ ）
（4）线段是直线的一部分。 （ ）
4、猜谜语，要求用今天学到的知识去猜。
有始有终 有始无终 无始无终
四、板书设计
射线、直线和角
线段 两个端点 有限长 可度量
射线 一个端点 无限长 不可度量
直线 没有端点 无限长 不可度量
从一个点引出两条射线组成的图形叫做角。
记 作：∠1
边 读 作：角1
边
研讨争鸣
【直线射线和角】教后自评
许慎小学 杨真真
《直线、射线和角》是人教版课程标准实验教科书四年级上册第二单元“角的度量”中的第一课时的教学内容，在二年级时，学生已初步认识了线段和角。本课的内容借助直观，引入射线和直线的概念，并让学生讨论线段、直线、射线的联系和区别，又在射线的概念基础上教学角的概念和角的表示法。因此我把该课的教学目标定为： 1．让学生进一步认识线段，认识射线和直线，知道线段、射线和直线的区别；进一步认识角，知道角的含义，能用角的符号表示角。2．通过“画一画”、“数一数”等活动，初步感悟：从一点出发可以画无数条射线，经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。
我的教学设计是：
1、结合实例，学习新知
通过观察手电筒发出的光认识射线引入新课，进而复习线段，认识直线。从生活中的实例入手，便于孩子更好的理解这些抽象的图形。在教学三线的区别和联系时，采用了小组合作的形式加深孩子对三线的认识，同时也便于突破了本节课的重难点。对于角的教学，则是在过一点画射线的基础上，自学课本学习角的概念和角的记法、读法。
2、动手操作，加深理解
作为较抽象的概念课，我留有足够的时间让学生深入参与学习过程，让学生在亲身体验、经历数学的过程中逐渐建立概念。如，从一点出发可以画多少条射线，经过一点能画多少条直线，经过两点能画多少条直线？让孩子先猜一猜、再画一画，通过操作，让学生对自己原先的猜想进行了一次验证，也对这个知识点的把握理解的更加深刻。这里不仅给孩子渗透了极限的思想，更让学生的创造力和想象力得到发挥和培养。
3. 借组媒体，直观教学
利用多媒体的直观显示，可以把一些概念直观化，使知识简洁、明了，让学生容易接受。本节课中，射线和直线这两个概念是很抽象的，学生难以理解。过去只能靠语言的形象描述或借助生活中的现象作比隐喻，学生总是想象不出直线和射线中“无限长”的含义。利用多媒体的动态功能设计了这样一个动画：屏幕上先出现一条直线，直线向两端无限延长,
借助这样动态的演示，学生头脑中就会出现“无限长”的图景。讲射线
时，将线段的一端向外延伸，帮助学生想象向一端无限延长的情景。这样直观感受，让他们深刻地理解和掌握了线段、射线和直线概念的涵义与区别。
通过这节课的教学，我也有以下几点思考：
1、在教学中语言要精炼。小学生模仿力是很强的，要想让学生用精练准确的数学术语来回答问题，教师讲课时就要注意语言的准确性。这节课本来知识点就多，繁杂的语言会让整节课感觉很乱无序。
2、学生在课堂上虽然也经历的想象的过程，但是在教师任务驱使下的想象总显得被动了些，如果学生能够主动地提出想象的需求，可能更耐人寻味！
3、在动手操作中发现，过两点画一条直线时，学生无意识地会画一条线段，说明他对直线和射线的区别还不是很清楚，或者说他在画图时还没有主动地去区分直线和线段的区别。
4、虽然教学中也设计了很多动手操作的环节，但实际上课时，总感觉学生活动还是不够充分；在自学的时候，自己归纳总结的话有点多；在肯定或否定学生的答案时，留时间给学生说说自己的思考过程有些少，这里如果让学生多说一说，他对知识的梳理和理解，会更透彻。
在教学过程中，学生是课堂的主体，让学生在课堂上主动地提出“内需”，养成思考的主动性，是我后续课堂需要注意和培养的。
【直线射线和角】教后自评
——受降路小学 刘 蕾
本节课的教学目标是让学生进一步认识线段，射线和直线，知道这三者的区别；进一步认识角，知道角的定义，能用角的符号表示角。这节课还要培养学生观察，操作，比较以及抽象，概括的能力。
掌握直线，射线和线段的区别与联系是本节课的重点所在。由于学生以前已经学过线段，我就从画线段入手引入新课。我用小电筒射出的光线来逐步引出射线，在一层一层引领学生感知射线、直线的特征，很多知识都顺利成章的出示出来，让学生感知数学知识学起来并不难，培养学生对数学的兴趣。
本节课我的优点有：第一，思路清晰，三种线形的过渡比较自然，顺理成章，学生学习起来比较轻松。第二，让学生在生活经验的基础上感知直线、射线的特点。这样，学生的主体地位得以充分地发挥，学生也会很有兴趣地接受新知识。第三，重视知识的形成过程，让孩子在操作中感知，过一点、两点能画几条直线，从一点起能画多少条射线等，有助于学生对知识的理解。第四，练习题设计层次清晰，由易到难，逐步递进。
课后，感觉教学过程中存在一些不足的地方，都值得我去认真思考，去慢慢改进。比如：这节课学生学习的主体性体现得不是很到位。虽然教学中也设计了动手画画的环节，但实际上课时，总感觉学生活动还是不够充分；在总结归纳的时候，自己归纳总结的话有点多；在肯定或否定学生的答案时，留时间给学生说说自己的思考过程有些少，这里如果让学生多说一说，他对知识的梳理和理解，会更透彻。
总之，这节课的设计出发点是利用学生原有的知识基础，尝试让学生进行自主学习的方式，教师作为引导者和帮助者，这样才能达到教学的目的，才能发展学生的数学综合能力！坦然面对课堂教学的成功与失败，相信自己能在不断的实践中反思，在不断的反思中成长，在不断的成长中创新！
研讨争鸣
—— 源汇区教研室 邢燕
《直线、射线和角》为人教版课程标准实验教科书四年级上册第二单元“角的度量”中的第一课时，为图形与几何方面的内容，数学源于生活，又高于生活，如直线的概念就比较抽象，生活中很难找到“原型”，正所谓数学中的“点”没有大小，“线”没有粗细，“面”没有厚薄。经验是学生学习的重要基础，有时经验也会产生一定的负面影响。杨真真和刘蕾老师同课异构，分别用自己的理解诠释了这节课，值得对两位老师的努力表示肯定，并表示感谢，课堂中的精彩与思考也值得我们进一步的品味和交流。
一、提供生活原型，加强直观教学：课堂开始两位教师都以手电筒为原型，引入射线的教学，只是刘蕾老师在引入的过程中更注重了与线段的联系，手电筒照在手上、黑板上都有两个端点，可以度量，语言也非常精彩，穿过云层，射向宇宙还能不能度量，让孩子用无限的遐想解读射线是无限长的这一概念。
二、注意动手操作，渗透极限思想：新课标要求我们要关注学生的基本活动经验，渗透数学思想，在这里，两位老师都做得非常好，如：过一点能画多少条直线？射线？过两点能画多少条直线？都让学生亲自动手试一试，画一画。在这里杨老师做的更好一些，之前先对问题进行一番猜测，之后再进行验证，这样的教学很科学，先猜测，后验证。在这里切忌以教师的演示或多媒体的演示代替学生的体验，无疑两位老师做的都很成功。
三、体会学生的自主学习的空间有待加强：纵观这两节课，
教师的讲授精彩有序，
知识结构的安排合理清晰，但缺少了孩子自主学习的空间，新课改要求我们要从以往教师引领着完成学习逐步向以学生为主体的学习过渡。比如在比较线段、射线、直线的区别时，教师在教线段时就明晰的教出两个端点，有长短，射线是一个端点，无限长等，所以根本就不需要这个比较环节，在教的过程中这些知识教师已经全部传授给学生，学生知识点准确无误，但缺乏了探究的空间和思考的过程。此处可以让孩子在练习本上画出三种线，认真观察和思考，再做出比较和总结。也许孩子的发现是无序的不规范的，但源于他们自身的理解，就有了探究科学的精神和学习的方法。
我们现在的课堂，教师教的很精彩，但学生学的不一定积极主动，我们以后仍要努力思考，究竟什么样的课堂是以学生为主体的课堂，什么样的课堂是以教师为主导的课堂，我们课改的步子迈的太小了，小心翼翼地，而这一不小心就回到了我们原来的课堂。让我们一起努力吧，期待着转变后的新课堂……
活动剪影
刘蕾老师说课 同学们积极发言
学习小组间的朗读大PK
学校领导及教研员听课指导 倾听同学观点