高三一轮复习【数学】 导学案 审核人： 编制人： 审批人：
双曲线的性质
授课日期: 2011.11.22 姓名: 班级: 第18周编号2
一、学习目标
1、知识与技能：知道双曲线的简单几何性质；
2、过程与方法：运用双曲线的定义和简单几何性质解决双曲线的问题，提高数学运算能力，体会数形结合思想在解析几何中的应用；
3、情感态度与价值观：运用双曲线的简单几何性质解决问题，体会数学的美。
二、学习重难点
学习重点：双曲线性质的应用;
学习难点：直线与双曲线的位置关系的运算
三、考纲解读及学法指导
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2．知道双曲线的简单几何性质.
四、使用说明：
直线与双曲线的位置关系可以在客观题中出现，也可以在解答题中出现，难度往往较大.
五、知识链接
1、当把直线方程与双曲线的标准方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程ax +bx +c =0或2
py 2+qy +r =0后，直线与双曲线相切，应满足除表示直线与双曲线相切外，还包括 ，此时ax +bx +c =0中=0；若直线与双曲线交点分别是A (x1, y 1) ，B (x2, y 2) ，一元二次方程ax +bx +c =0满足若交点A 、B 一左一右，一元二次方程ax +bx +c =0还应满足A 、B 都在左支，一元二次方程ax +bx +c =0还应满足A 、B 都在右支，一元二次方程2222
ax 2+bx +c =0还应满足。
MF a 2
=e , 得点在上支的下焦半径公式MF =e ⋅MN =e ∙[y m -(-)]=e ∙y m +a ， 2、由MN c
请模仿上式求点在上支的上焦半径公式 ，点在下支的上焦半径公式 ，点在下支的下焦半径公式 。
MF a 2
=e , 得点在左支的右焦半径公式MF =e ⋅MN =e ∙(-x m ) =a -e ∙x m ，请模仿上式由MN c
求点在左支的左焦半径公式 ，点在右支的左焦半径公式 ，点在右支的右焦半径公式 。
3、焦半径的取值范围
x 2y 2
4、点(x1, y 1) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上应满足 ，在双曲线内应满a b
足 ，在双曲线外应满足 。
5、双曲线上的最短弦长
六、高考真题赏析
x 2y 2
[2011年全国卷]已知F 1、F 2分别为双曲线C : - =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，927
0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2．答案：6
七、基础检测
1、双曲线2x -y =8的实轴长是 （ ）
(A)2 (B) 22 (C) 4 (D) 42 22
x 2y 2
2. 设双曲线2- =1(a >0) 的渐近线方程为3x ±2y =0，则a 的值为 （ ）a 9A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
x 2y 2y 2
23．（2011年高考浙江卷）已知椭圆C 1:2+2=1(a ＞b ＞0) 与双曲线C 2:x -=1有公共的焦a b 4
点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A , B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则 （ ）
A ．a 2=13 2B ．a 2=13 C ．b 2=1 2D ．b 2=2
x 2y 2
4、［2010年高考浙江卷］设F 1，F 2分别为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点。若在双曲a b
线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双
曲的渐近线方程为 （ ） （A ）3x ±4y =0 （B ）3x ±5y =0 （C ）4x ±3y =0 （D ）5x ±4y =0
八、学习过程
考点三 双曲线的性质
22例1、已知双曲线的方程是16x －9y ＝144.
(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．
x 2y 2例2、已知双曲线的左右焦点分别为F 1(－c ，0) 、F 2(c，0) 若双曲线上存在点P 使-=1(a>0,b>0) a 2b 2
sin ∠PF 1F 2a =，则该双曲线的离心率的取值范围是 。 sin ∠PF 2F 1c
x 2y 2
2练习1：设双曲线的一条渐近线与抛物线y =x +1只有一个公共点，则双曲线的2-2=1(a>0,b>0) a b
离心率为 。
考点四 双曲线的综合问题
y 2x 2例3、(2009陕西高考) 已知双曲线 C的方程为2-2=1(a . >0, b >0) ，离心率e =，顶点2a b
到渐近线的距离为2. 5
(1)求双曲线C 的方程；
(2)P是双曲线C 上一点，A,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限，若
⎡1⎤AP =λPB , λ∈⎢, 2⎥，求∆AOB 面积的取值范围。 ⎣3⎦
例4、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0) ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0) 与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1) ，求实数m 的取值范围．
九、达标检测
x 2y 21．(2009·宁夏、海南高考) 1的焦点到渐近线的距离为 ( ) 412
A ．3
C. 3 B ．2 D ．1
x 2y 2
2．(2008·福建高考) 双曲线1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|a b ＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围为 ( )
A ．(1,3)
B ．(1,3] D ．[3，＋∞) C ．(3，＋∞)
x 2y 2
3．(2009·四川高考) 已知双曲线－＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为2b →→y ＝x ，点P (3，y 0) 在该双曲线上，则PF 1·PF 2＝ ( )
A ．－12
C ．0 B ．－2 D ．4
x 2y 24．(2009·辽宁) 已知F 是双曲线＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |412
＋|P A |的最小值为__________．
5．［2010年高考课标全国卷］已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为
x 226、设双曲线C y ＝1(a ＞0) 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B . a (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
5→
(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A ＝PB ，求a 的值． 12→
【教师寄语】冬，万物收藏也；春，万物建始也。
高三一轮复习【数学】 导学案 审核人： 编制人： 审批人：
双曲线的性质
授课日期: 2011.11.22 姓名: 班级: 第18周编号2
一、学习目标
1、知识与技能：知道双曲线的简单几何性质；
2、过程与方法：运用双曲线的定义和简单几何性质解决双曲线的问题，提高数学运算能力，体会数形结合思想在解析几何中的应用；
3、情感态度与价值观：运用双曲线的简单几何性质解决问题，体会数学的美。
二、学习重难点
学习重点：双曲线性质的应用;
学习难点：直线与双曲线的位置关系的运算
三、考纲解读及学法指导
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2．知道双曲线的简单几何性质.
四、使用说明：
直线与双曲线的位置关系可以在客观题中出现，也可以在解答题中出现，难度往往较大.
五、知识链接
1、当把直线方程与双曲线的标准方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程ax +bx +c =0或2
py 2+qy +r =0后，直线与双曲线相切，应满足除表示直线与双曲线相切外，还包括 ，此时ax +bx +c =0中=0；若直线与双曲线交点分别是A (x1, y 1) ，B (x2, y 2) ，一元二次方程ax +bx +c =0满足若交点A 、B 一左一右，一元二次方程ax +bx +c =0还应满足A 、B 都在左支，一元二次方程ax +bx +c =0还应满足A 、B 都在右支，一元二次方程2222
ax 2+bx +c =0还应满足。
MF a 2
=e , 得点在上支的下焦半径公式MF =e ⋅MN =e ∙[y m -(-)]=e ∙y m +a ， 2、由MN c
请模仿上式求点在上支的上焦半径公式 ，点在下支的上焦半径公式 ，点在下支的下焦半径公式 。
MF a 2
=e , 得点在左支的右焦半径公式MF =e ⋅MN =e ∙(-x m ) =a -e ∙x m ，请模仿上式由MN c
求点在左支的左焦半径公式 ，点在右支的左焦半径公式 ，点在右支的右焦半径公式 。
3、焦半径的取值范围
x 2y 2
4、点(x1, y 1) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上应满足 ，在双曲线内应满a b
足 ，在双曲线外应满足 。
5、双曲线上的最短弦长
六、高考真题赏析
x 2y 2
[2011年全国卷]已知F 1、F 2分别为双曲线C : - =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，927
0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2．答案：6
七、基础检测
1、双曲线2x -y =8的实轴长是 （ ）
(A)2 (B) 22 (C) 4 (D) 42 22
x 2y 2
2. 设双曲线2- =1(a >0) 的渐近线方程为3x ±2y =0，则a 的值为 （ ）a 9A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
x 2y 2y 2
23．（2011年高考浙江卷）已知椭圆C 1:2+2=1(a ＞b ＞0) 与双曲线C 2:x -=1有公共的焦a b 4
点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A , B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则 （ ）
A ．a 2=13 2B ．a 2=13 C ．b 2=1 2D ．b 2=2
x 2y 2
4、［2010年高考浙江卷］设F 1，F 2分别为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点。若在双曲a b
线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双
曲的渐近线方程为 （ ） （A ）3x ±4y =0 （B ）3x ±5y =0 （C ）4x ±3y =0 （D ）5x ±4y =0
八、学习过程
考点三 双曲线的性质
22例1、已知双曲线的方程是16x －9y ＝144.
(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．
x 2y 2例2、已知双曲线的左右焦点分别为F 1(－c ，0) 、F 2(c，0) 若双曲线上存在点P 使-=1(a>0,b>0) a 2b 2
sin ∠PF 1F 2a =，则该双曲线的离心率的取值范围是 。 sin ∠PF 2F 1c
x 2y 2
2练习1：设双曲线的一条渐近线与抛物线y =x +1只有一个公共点，则双曲线的2-2=1(a>0,b>0) a b
离心率为 。
考点四 双曲线的综合问题
y 2x 2例3、(2009陕西高考) 已知双曲线 C的方程为2-2=1(a . >0, b >0) ，离心率e =，顶点2a b
到渐近线的距离为2. 5
(1)求双曲线C 的方程；
(2)P是双曲线C 上一点，A,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限，若
⎡1⎤AP =λPB , λ∈⎢, 2⎥，求∆AOB 面积的取值范围。 ⎣3⎦
例4、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0) ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0) 与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1) ，求实数m 的取值范围．
九、达标检测
x 2y 21．(2009·宁夏、海南高考) 1的焦点到渐近线的距离为 ( ) 412
A ．3
C. 3 B ．2 D ．1
x 2y 2
2．(2008·福建高考) 双曲线1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|a b ＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围为 ( )
A ．(1,3)
B ．(1,3] D ．[3，＋∞) C ．(3，＋∞)
x 2y 2
3．(2009·四川高考) 已知双曲线－＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为2b →→y ＝x ，点P (3，y 0) 在该双曲线上，则PF 1·PF 2＝ ( )
A ．－12
C ．0 B ．－2 D ．4
x 2y 24．(2009·辽宁) 已知F 是双曲线＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |412
＋|P A |的最小值为__________．
5．［2010年高考课标全国卷］已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为
x 226、设双曲线C y ＝1(a ＞0) 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B . a (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
5→
(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A ＝PB ，求a 的值． 12→
【教师寄语】冬，万物收藏也；春，万物建始也。