第十六章 分式
1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。 B
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 AA∙C=BB∙CAA÷C=BB÷C （C≠0）
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式
4.分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
acacacadad∙=;÷=∙=bdbdbdbcbc
anan()=nbb分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减aba±bacadbcad±bc±=,±=±= cccbdbdbdbd
1 na混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a=1(a≠0)；当n为正整数时，a
（a≠0)
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：a∙a=a
（2）幂的乘方：(a)=amn
nmnmnm+n0-n=； ; （3）积的乘方：(ab)=ab； nn
（4）同底数的幂的除法：a÷a=amnm-n( a≠0)；
anan
（5）商的乘方：()=n；(b≠0) bb
7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤 ：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题v顺水＝v静水＋v水流、v顺水＝v静水-v水流
8.科学记数法：把一个数表示成a⨯10的形式（其中1≤a
用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n-1
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)
一、选择题
1．下列式子是分式的是（ ）
A．nx2xx+y B． C． D． 2xπ2
2．下列各式计算正确的是（ ）
aa-1nnann+abb2
,(a≠0) D．=A．= B．= C．= mmabb-1mm+aaab
3．下列各分式中，最简分式是（ ）
m2-n2a2-b23(x-y)x2-y2
A． B． C．2 D． 22m+n7x+yab+ab2x-2xy+y
m2-3m4．化简的结果是（ ） 29-m
A.mmmm B.- C. D. m+3m-33-mm+3
5．若把分式
x+y中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） xyA．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍
6．若分式方程1a-x+3=有增根，则a的值是（ ） x-2a+x
A．1 B．0 C．—1 D．—2
7．已知abca+b的值是（ ） ==，则c234
475A． B. C.1 D. 544
8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（ ）
1006010060== B． x+3030-xx+30x-30
1006010060==C． D． 30-x30+xx-30x+30A．
9．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h，，则可列方程（ ）
60606060=+1 B. =-1 xx+20%xx+20%
60606060=+1 D. =-1 C. xx（1+20%）xx（1+20%）
abc===k，则直线y=kx+2k一定经过（ ） 10.已知 b+ca+ca+bA．
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
二、填空题
11．计算ab÷(ab)
12．用科学记数法表示—
13．计算-232-32a1-= ． 2a-4a-2
34=的解是 ． x70-x
9162536,,,15．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据,512213214．方程中得到巴尔末公式，从
而打开了光谱奥秘的大门。请你尝试用含你n的式子表示巴尔末公式 ．
1121x2
16．如果记 y= =f(x)，并且f(1)表示当x=1时y的值，即f(1)=；f()=21+121+x22
12()11111表示当x=时y的值，即f()==；……那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…3221+(1)2522
+f(n)+f(1)= （结果用含n的代数式表示）． 三、解答题 n
17．计算：
3b2bc2aa2-6a+93-aa2
÷⋅(-) ； （2）÷⋅（1）． 16a2a2b2+b3a-94-b2
18．解方程求x：
（1）
19．（7分）有一道题： “先化简，再求值：(x+14mn-2=1 ； （2）-=0(m≠n,mn≠0)． x-1x-1xx+1x-24x1+2)÷2 其中，x=—3”． x+2x-4x-4
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
20．（8分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
21．（8分）一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．
22．（9分）某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m³，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．
参考答案
ab 12、-3.14⨯10 13一、选择题BCABC DDADB 二、填空题 11、
1(n+2)2
n-30 15、 16、 22(n+2)-446-81 14、a+2
3a2a2
三、解答题 17、（1）-；（2）-． 4c3(2-b)
18、（1）x=1为增根，此题无解；（2）x=
所以不论x的值是+3还是—3结果都为13
20、解：设第一天参加捐款的人数为x人，第二天参加捐款的人数为（x+6）人，则根据题意可得：m2．19、解：原式计算的结果等于x+4，n-m48006000=解得：x=20,经检验，x=20是所列方程的根，所以第一天参加xx+5
捐款的有20人，第二天有26人，两天合计46人．
21、解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一小时后的速度为1.5xkm/小时，由题意得：180180-x2-(1-)=，解这个方程为x=182，经检验，x=182是所列方程的根，即前前x1.5x3
一小时的速度为182．
22、解：设该市去年居民用气的价格为x元/ m³，则今年的价格为(1+25%)x元/ m³根据题意，得9690得x＝2.4．经检验，x＝2.4是所列方程的根． 2.4×(1+25%)-=10解这个方程，x(1+25%)x
＝3 (元)。所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m³．
第十六章 分式
1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。 B
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 AA∙C=BB∙CAA÷C=BB÷C （C≠0）
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式
4.分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
acacacadad∙=;÷=∙=bdbdbdbcbc
anan()=nbb分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减aba±bacadbcad±bc±=,±=±= cccbdbdbdbd
1 na混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a=1(a≠0)；当n为正整数时，a
（a≠0)
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：a∙a=a
（2）幂的乘方：(a)=amn
nmnmnm+n0-n=； ; （3）积的乘方：(ab)=ab； nn
（4）同底数的幂的除法：a÷a=amnm-n( a≠0)；
anan
（5）商的乘方：()=n；(b≠0) bb
7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤 ：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题v顺水＝v静水＋v水流、v顺水＝v静水-v水流
8.科学记数法：把一个数表示成a⨯10的形式（其中1≤a
用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n-1
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)
一、选择题
1．下列式子是分式的是（ ）
A．nx2xx+y B． C． D． 2xπ2
2．下列各式计算正确的是（ ）
aa-1nnann+abb2
,(a≠0) D．=A．= B．= C．= mmabb-1mm+aaab
3．下列各分式中，最简分式是（ ）
m2-n2a2-b23(x-y)x2-y2
A． B． C．2 D． 22m+n7x+yab+ab2x-2xy+y
m2-3m4．化简的结果是（ ） 29-m
A.mmmm B.- C. D. m+3m-33-mm+3
5．若把分式
x+y中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） xyA．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍
6．若分式方程1a-x+3=有增根，则a的值是（ ） x-2a+x
A．1 B．0 C．—1 D．—2
7．已知abca+b的值是（ ） ==，则c234
475A． B. C.1 D. 544
8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（ ）
1006010060== B． x+3030-xx+30x-30
1006010060==C． D． 30-x30+xx-30x+30A．
9．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h，，则可列方程（ ）
60606060=+1 B. =-1 xx+20%xx+20%
60606060=+1 D. =-1 C. xx（1+20%）xx（1+20%）
abc===k，则直线y=kx+2k一定经过（ ） 10.已知 b+ca+ca+bA．
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
二、填空题
11．计算ab÷(ab)
12．用科学记数法表示—
13．计算-232-32a1-= ． 2a-4a-2
34=的解是 ． x70-x
9162536,,,15．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据,512213214．方程中得到巴尔末公式，从
而打开了光谱奥秘的大门。请你尝试用含你n的式子表示巴尔末公式 ．
1121x2
16．如果记 y= =f(x)，并且f(1)表示当x=1时y的值，即f(1)=；f()=21+121+x22
12()11111表示当x=时y的值，即f()==；……那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…3221+(1)2522
+f(n)+f(1)= （结果用含n的代数式表示）． 三、解答题 n
17．计算：
3b2bc2aa2-6a+93-aa2
÷⋅(-) ； （2）÷⋅（1）． 16a2a2b2+b3a-94-b2
18．解方程求x：
（1）
19．（7分）有一道题： “先化简，再求值：(x+14mn-2=1 ； （2）-=0(m≠n,mn≠0)． x-1x-1xx+1x-24x1+2)÷2 其中，x=—3”． x+2x-4x-4
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
20．（8分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
21．（8分）一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．
22．（9分）某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m³，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．
参考答案
ab 12、-3.14⨯10 13一、选择题BCABC DDADB 二、填空题 11、
1(n+2)2
n-30 15、 16、 22(n+2)-446-81 14、a+2
3a2a2
三、解答题 17、（1）-；（2）-． 4c3(2-b)
18、（1）x=1为增根，此题无解；（2）x=
所以不论x的值是+3还是—3结果都为13
20、解：设第一天参加捐款的人数为x人，第二天参加捐款的人数为（x+6）人，则根据题意可得：m2．19、解：原式计算的结果等于x+4，n-m48006000=解得：x=20,经检验，x=20是所列方程的根，所以第一天参加xx+5
捐款的有20人，第二天有26人，两天合计46人．
21、解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一小时后的速度为1.5xkm/小时，由题意得：180180-x2-(1-)=，解这个方程为x=182，经检验，x=182是所列方程的根，即前前x1.5x3
一小时的速度为182．
22、解：设该市去年居民用气的价格为x元/ m³，则今年的价格为(1+25%)x元/ m³根据题意，得9690得x＝2.4．经检验，x＝2.4是所列方程的根． 2.4×(1+25%)-=10解这个方程，x(1+25%)x
＝3 (元)。所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m³．