函数图象平移与伸缩的通解

对于函数图象的平移与伸缩问题，传统的处理手法过于繁杂，记忆量大，难于掌握. 本文试图用代换的手法将其作一般性的探讨.

一、函数图象的平移

事实上，设函数y =f (x ) 的图象，向右平移a 个单位，得到的图象的解析式是y ' =f (x ' ) , 令点(x 0, y 0) 是y =f (x ) 的图象上任一点，点(x 0, y 0) 向右平移a 个单位得点(x '

0, y '

0) ，则

' ' ⎧⎧x =x +a x =x ⎪⎪0000-a ' ' ' ' 点(x 0, y 0) 在y =f (x ) 的图象上，且⎨' ，有⎨， ' ⎪⎪⎩y 0=y 0⎩y 0=y 0

于是，把函数y =f (x ) 的图象，向右平移a 个单位，得到的图象的解析式是y =f (x -a ) （即以x -a 代换x ）.

我们定义：当a >0时，表示向右平移；当a

以x -a 代换x ，有y =f [2(x -a ) -1]，

令2(x -a ) -1=2x ，解得a =-1， 2

1个单位，得到函数y =f (2x ) 的图象，其对称轴 2故函数y =f (2x -1) 的图象向左平移

x =0也相应地向左平移了1个单位，故选D. 2

例2 要得到函数y =cos(2x -

A ，向左平移π4) 的图象，只需要将函数y =sin 2x 的图象 ππ个单位 B ，向右平移个单位 88

ππC ，向左平移个单位 D ，向右平移个单位 44

ππππ解1：∵y =cos(2x -) =sin[+(2x -)]=sin(2x +) ， 4244

而在y =sin 2x 中，以x -a 代换x ，有y =sin 2(x -a ) . 令2x +π

4=2(x -a ) ，解得a =-π

8. 故选A.