二项式定理典型例题讲解老师专用

二项式定理典型例题讲解

题型一：二项式定理的逆用

123n

例1、CnCn6Cn62Cn6n1

0123n解：(16)nCnCn6Cn62Cn63Cn6n与已知的有一些差距，

123n

CnCn6Cn62Cn6n1

112n

(Cn6Cn62Cn6n) 6

101112n(CnCn6Cn62Cn6n1)[(16)n1](7n1) 666

123n1n

练1Cn3C9C3Cn nn、123n解：设SnCn，则3Cn9Cn3n1Cn

12233nn012233nn

3SnCn3Cn3Cn3Cn3CnCn3Cn3Cn3Cn31(13)n1

(13)n14n1

Sn

33

题型二：利用通项公式求x的系数

例2

、在二项式解：由条件知Cn

n2

n

n

的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ 2

45，即Cn45，n2n900，解得n9(舍去)或n10，1

410r

23r

10r2

r43

由Tr1C(x

r

10



)(x)Cx

r10



，由题意

10r2

r3,解得r6， 43

63

则含有x3的项是第7项T61C10x210x3,系数为210。

19

)展开式中x9的系数？ 2x

111

83r9,则r3 Tr1C9r(x2)9r()rC9rx182r()rxrC9r()rx183r，解：令1

2x22132139

故x的系数为C9()。

22

2

练2、求(x

题型三：利用通项公式求常数项

例3

、求二项式(x210的展开式中的常数项？

解：Tr1C(x)

r10

210r

r51r205

C()x2，令20r0，得r8，所以

22r

r

10

45818

T9C10()

2256

16

)的展开式中的常数项？ 2x1rr6r1r62r

(2x)6r(1)r()r(1)rC62()x解：Tr1C6，令62r0，得r3，所以

2x2

练3（1）、求二项式(2x

3

T4(1)3C620

1n

)的二项展开式中第5项为常数项，则n____. x

42n41442n12

解：T5Cn(x)()Cnx，令2n120，得n6.

x

2

练3（2）、若(x

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项

例4

、求二项式9展开式中的有理项？ 解：Tr1C(x)

r

9

1

29r

(x)(1)Cx

13r

r

r9

27r6

，令

27r

Z,(0r9)得r3或r9， 6

27r34

4，T4(1)3C9x84x4， 627r93

3，T10(1)3C9当r9时，xx3。 6

所以当r3时，

题型五：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和

例5

、若n展开式中偶数项系数和为256，求n.

解：设n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,

令x1,则有a0a1an0,①，令x1,则有a0a1a2a3(1)nan2n,

②

将①-②得：2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1, 有题意得，2n125628，n9。

练5

、若n

的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 0242r132r1

解：CnCnCnCnCnCnCn2n1，2n11024，解

5得n11， 所以中间两个项分别为n6,n

7，T51Cn61

15

65

462x4，T61462x



题型六：最大系数，最大项

1n

例6、已知(2x)，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求

2

展开式中二项式系数最大项的系数是多少？

465

解：CnCn2Cn,n221n980,解出n7或n14，当n7时，展开式中二

343

项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C7()2

1235,，2

4134

T5的系数C7()270,当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，

2

7177

T8的系数C14()23432。

2

练6、在(ab)的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n

21

2n

Tn1，也就是第

n1项。

练6（1）

：在(x

2n

的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

解：只有第5项的二项式最大，则

n

15，即n8,所以展开式中常数项为第七项等于2

1

C86()27

2

练6（2）：写出在(ab)的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取

343434

得最大值，从而有T4C7ab的系数最小，T5C7ab系数最大。

7

练6（3）：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(2x)n的展开式中系数最大的

项？

012解：由CnCnCn79,解出n12,假设Tr1项最大，(2x)

1

2

12

12

1

()12(14x)12 2

rrr1r1Ar1ArC124C124

rr，化简得到9.4r10.4，又0r12，r1r1

Ar1Ar2C124C124

1101010

4x16896x10 r10，展开式中系数最大的项为T11,有T11()12C12

2

练6（4）：在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设Tr1项最大，Tr1C102x

rrr1r1

Ar1Ar2(11r)rC102C102

rr解得，化简得到r1r1

r12(10r)Ar1Ar2C102C102,

rrr

6.3k7.3，又0r10，r7，展开式中系数最大的项为

777

T8C102x15360x7.

题型七：含有三项变两项

例7：求当(x3x2)的展开式中x的一次项的系数？

2525r

解法①：(x3x2)[(x2)3x]，Tr1C5(x22)5r(3x)r，当且仅当r1时，

1

Tr1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C5(x22)43x，所以x得一次144项为C5C423x

144

它的系数为C5C423240。

25

，

解法②：

[1**********]

(x23x2)5(x1)5(x2)5(C5xC5xC5)(C5xC5x2C52)

故展开式中含x的项为C5xC52C5x2240x，故展开式中x的系数为240.

4

5

5

4

4

练7：求式子(x

1

2)3的常数项？

x

解：(x

16

2)3，设第r1项为常数项，则x

r

Tr1C6(1)rx

6r

(

1r62rr

，得62r0,r3, )(1)6C6x

x

3

T31(1)3C620.

题型八：两个二项式相乘

例8：求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数.

解：(12x)的展开式的通项是C3(2x)C32x,

nnnn(1x)4的展开式的通项是Cn,2,3,n0,1,2,3,4,4(x)C41x,其中m0,1

3

m

m

m

m

m

令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4

021120

的展开式中x2的系数等于C320C4(1)2C321C4(1)1C322C4(1)06

练8（1）

：求(1(1

6

10

展开式中的常数项.

mn4m3n

10m3nmn412 解：(1(1展开式的通项为CxCxCCx6106106

m0,m3,m6,

其中m0,1,2,,6,n0,1,2,,10,当且仅当4m3n,即或或

n0,n4,n8,

003468

时得展开式中的常数项为C6C10C6C10C6C104246.

练8（2）：

已知(1xx2)(x

解：

1n*

)的展开式中没有常数项,nN且2n8,则n______. 3x

(x

1nnrn4r)展开式的通项为Crx3rCr,通项分别与前面的三项相乘可得nxnx3x

n4rrn4r1rn4r2

Crx,Cx,Cx,展开式中不含常数项,2n8 nnn

n4r且n4r1且n4r2，即n4,8且n3,7且n2,6,n5.

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和

例9：

在(x2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x,S_____.

解：设(x2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------①

(x2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------②

①②得

2(a1xa3x3a5x5a2005x2005)(x2006(x2006

1

(x2006展开式的奇次幂项之和为

S(x)[(x2006(x2006]

212

当x,S20062006]

22

32006

2

23008

题型十：赋值法

n

例10

：设二项式)的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若

1x

ps272,则n等于多少？

n2n

解：若)a0a1xa2xanx，有Pa0a1an，

1x

0n

SCnCn2n，

令x1得P4，又ps272,即4n2n272(2n17)(2n16)0解得

n

2n16或2n17(舍去)，n4.

1

3x练10（1）：若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？

x1n

3x解：令x1，则的展开式中各项系数之和为264，所以n

6，则展开

x

式的常数项为C6(练10（2）：

3

3

n

n

3

540. 若(12x)2009a0a1x1a2x2a3x3a2009x2009(xR),则a2009aa1

,可得a012222222009

a2009aa

在令x0可得a01,因而121.

22222009

解：令x练10（3）：

aa1a2

22009的值为2009222a2009aa

0,12a0

22222009

若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1x1a0,则a1a2a3a4a5____.

解：令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51,

a1a2a3a4a531. 题型十一：整除性

例：证明：32n28n9(nN*)能被64整除 证：32n28n99n18n9(81)n18n9

0n11nn12n1n1CnCn1818Cn18Cn18Cn18n9 0n11nn12CnCn)18n91818Cn188(n10n11nn12

Cn8C8C1n1n18

由于各项均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除

1、(x－1)展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1), 偶次项系数之和是

11

11

f(1)f(1)

(2)11/21024

2

n

122nn

2、C0n3Cn3Cn3Cn2、4

3、(

120

)5

3、3,9,15,21

4、(2x-1)展开式中各项系数绝对值之和是

5

4、(2x-1)展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)展开式系数之和，故令x=1，则所

5

求和为355

5、求(1+x+x)(1-x)展开式中x

2104

5、必须第一个因式中的1与(1-x)(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9,要得到含x的项，

4

9

展开式中的项C9(x)作积，第一个因式中的－x与(1-x)展开式中的项C9(x)作积，故

3

9

441

x的系数是C9C94

14

6、求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x2103

(1x)[1(1x)10](x1)11(x1)36、(1x)(1x)=，原式中x（1x）

x1(1x)

2

10

实为这分子中的x，则所求系数为C114

7

7、若f(x)(1x)(1x)(mnN)展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x的系数最小？

22222

7、由条件得m+n=21，x的项为CmxCnx，则CmCn(n2

mn

22

212399).因n∈N，24

2

故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x的系数最小

8、自然数n为偶数时，求证：

234n1n1

12C1CnnCn2CnCn2Cnn32

12n1n135n1nn1

8、原式=(C03.2n1 nCnCnCnCn)(CnCnCnCn)22

9、求80被911

01109、8011(811)11C118111C118110C1181181k1(kZ),

∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴81被9除余11

10、在(x+3x+2)的展开式中，求x25

10、(x23x2)5(x1)5(x2)5

在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C55x，在(2+x)展开式中，常数项为2=32，

5

5

5

1

含x的项为C52x80x

∴展开式中含x的项为 1(80x)5x(32)240x，此展开式中x的系数为14

11、求(2x+1)11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有

12

rr1rr113r

C122C12C12212rC122

r12rr111rrr1 C2C122CC12121212

11

3r4,r4

33

∴展开式中系数最大项为第5项，T5=16C12x7920x

4

4

4

二项式定理典型例题讲解

题型一：二项式定理的逆用

123n

例1、CnCn6Cn62Cn6n1

0123n解：(16)nCnCn6Cn62Cn63Cn6n与已知的有一些差距，

123n

CnCn6Cn62Cn6n1

112n

(Cn6Cn62Cn6n) 6

101112n(CnCn6Cn62Cn6n1)[(16)n1](7n1) 666

123n1n

练1Cn3C9C3Cn nn、123n解：设SnCn，则3Cn9Cn3n1Cn

12233nn012233nn

3SnCn3Cn3Cn3Cn3CnCn3Cn3Cn3Cn31(13)n1

(13)n14n1

Sn

33

题型二：利用通项公式求x的系数

例2

、在二项式解：由条件知Cn

n2

n

n

的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ 2

45，即Cn45，n2n900，解得n9(舍去)或n10，1

410r

23r

10r2

r43

由Tr1C(x

r

10



)(x)Cx

r10



，由题意

10r2

r3,解得r6， 43

63

则含有x3的项是第7项T61C10x210x3,系数为210。

19

)展开式中x9的系数？ 2x

111

83r9,则r3 Tr1C9r(x2)9r()rC9rx182r()rxrC9r()rx183r，解：令1

2x22132139

故x的系数为C9()。

22

2

练2、求(x

题型三：利用通项公式求常数项

例3

、求二项式(x210的展开式中的常数项？

解：Tr1C(x)

r10

210r

r51r205

C()x2，令20r0，得r8，所以

22r

r

10

45818

T9C10()

2256

16

)的展开式中的常数项？ 2x1rr6r1r62r

(2x)6r(1)r()r(1)rC62()x解：Tr1C6，令62r0，得r3，所以

2x2

练3（1）、求二项式(2x

3

T4(1)3C620

1n

)的二项展开式中第5项为常数项，则n____. x

42n41442n12

解：T5Cn(x)()Cnx，令2n120，得n6.

x

2

练3（2）、若(x

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项

例4

、求二项式9展开式中的有理项？ 解：Tr1C(x)

r

9

1

29r

(x)(1)Cx

13r

r

r9

27r6

，令

27r

Z,(0r9)得r3或r9， 6

27r34

4，T4(1)3C9x84x4， 627r93

3，T10(1)3C9当r9时，xx3。 6

所以当r3时，

题型五：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和

例5

、若n展开式中偶数项系数和为256，求n.

解：设n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,

令x1,则有a0a1an0,①，令x1,则有a0a1a2a3(1)nan2n,

②

将①-②得：2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1, 有题意得，2n125628，n9。

练5

、若n

的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 0242r132r1

解：CnCnCnCnCnCnCn2n1，2n11024，解

5得n11， 所以中间两个项分别为n6,n

7，T51Cn61

15

65

462x4，T61462x



题型六：最大系数，最大项

1n

例6、已知(2x)，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求

2

展开式中二项式系数最大项的系数是多少？

465

解：CnCn2Cn,n221n980,解出n7或n14，当n7时，展开式中二

343

项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C7()2

1235,，2

4134

T5的系数C7()270,当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，

2

7177

T8的系数C14()23432。

2

练6、在(ab)的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n

21

2n

Tn1，也就是第

n1项。

练6（1）

：在(x

2n

的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

解：只有第5项的二项式最大，则

n

15，即n8,所以展开式中常数项为第七项等于2

1

C86()27

2

练6（2）：写出在(ab)的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取

343434

得最大值，从而有T4C7ab的系数最小，T5C7ab系数最大。

7

练6（3）：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(2x)n的展开式中系数最大的

项？

012解：由CnCnCn79,解出n12,假设Tr1项最大，(2x)

1

2

12

12

1

()12(14x)12 2

rrr1r1Ar1ArC124C124

rr，化简得到9.4r10.4，又0r12，r1r1

Ar1Ar2C124C124

1101010

4x16896x10 r10，展开式中系数最大的项为T11,有T11()12C12

2

练6（4）：在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设Tr1项最大，Tr1C102x

rrr1r1

Ar1Ar2(11r)rC102C102

rr解得，化简得到r1r1

r12(10r)Ar1Ar2C102C102,

rrr

6.3k7.3，又0r10，r7，展开式中系数最大的项为

777

T8C102x15360x7.

题型七：含有三项变两项

例7：求当(x3x2)的展开式中x的一次项的系数？

2525r

解法①：(x3x2)[(x2)3x]，Tr1C5(x22)5r(3x)r，当且仅当r1时，

1

Tr1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C5(x22)43x，所以x得一次144项为C5C423x

144

它的系数为C5C423240。

25

，

解法②：

[1**********]

(x23x2)5(x1)5(x2)5(C5xC5xC5)(C5xC5x2C52)

故展开式中含x的项为C5xC52C5x2240x，故展开式中x的系数为240.

4

5

5

4

4

练7：求式子(x

1

2)3的常数项？

x

解：(x

16

2)3，设第r1项为常数项，则x

r

Tr1C6(1)rx

6r

(

1r62rr

，得62r0,r3, )(1)6C6x

x

3

T31(1)3C620.

题型八：两个二项式相乘

例8：求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数.

解：(12x)的展开式的通项是C3(2x)C32x,

nnnn(1x)4的展开式的通项是Cn,2,3,n0,1,2,3,4,4(x)C41x,其中m0,1

3

m

m

m

m

m

令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4

021120

的展开式中x2的系数等于C320C4(1)2C321C4(1)1C322C4(1)06

练8（1）

：求(1(1

6

10

展开式中的常数项.

mn4m3n

10m3nmn412 解：(1(1展开式的通项为CxCxCCx6106106

m0,m3,m6,

其中m0,1,2,,6,n0,1,2,,10,当且仅当4m3n,即或或

n0,n4,n8,

003468

时得展开式中的常数项为C6C10C6C10C6C104246.

练8（2）：

已知(1xx2)(x

解：

1n*

)的展开式中没有常数项,nN且2n8,则n______. 3x

(x

1nnrn4r)展开式的通项为Crx3rCr,通项分别与前面的三项相乘可得nxnx3x

n4rrn4r1rn4r2

Crx,Cx,Cx,展开式中不含常数项,2n8 nnn

n4r且n4r1且n4r2，即n4,8且n3,7且n2,6,n5.

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和

例9：

在(x2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x,S_____.

解：设(x2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------①

(x2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------②

①②得

2(a1xa3x3a5x5a2005x2005)(x2006(x2006

1

(x2006展开式的奇次幂项之和为

S(x)[(x2006(x2006]

212

当x,S20062006]

22

32006

2

23008

题型十：赋值法

n

例10

：设二项式)的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若

1x

ps272,则n等于多少？

n2n

解：若)a0a1xa2xanx，有Pa0a1an，

1x

0n

SCnCn2n，

令x1得P4，又ps272,即4n2n272(2n17)(2n16)0解得

n

2n16或2n17(舍去)，n4.

1

3x练10（1）：若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？

x1n

3x解：令x1，则的展开式中各项系数之和为264，所以n

6，则展开

x

式的常数项为C6(练10（2）：

3

3

n

n

3

540. 若(12x)2009a0a1x1a2x2a3x3a2009x2009(xR),则a2009aa1

,可得a012222222009

a2009aa

在令x0可得a01,因而121.

22222009

解：令x练10（3）：

aa1a2

22009的值为2009222a2009aa

0,12a0

22222009

若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1x1a0,则a1a2a3a4a5____.

解：令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51,

a1a2a3a4a531. 题型十一：整除性

例：证明：32n28n9(nN*)能被64整除 证：32n28n99n18n9(81)n18n9

0n11nn12n1n1CnCn1818Cn18Cn18Cn18n9 0n11nn12CnCn)18n91818Cn188(n10n11nn12

Cn8C8C1n1n18

由于各项均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除

1、(x－1)展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1), 偶次项系数之和是

11

11

f(1)f(1)

(2)11/21024

2

n

122nn

2、C0n3Cn3Cn3Cn2、4

3、(

120

)5

3、3,9,15,21

4、(2x-1)展开式中各项系数绝对值之和是

5

4、(2x-1)展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)展开式系数之和，故令x=1，则所

5

求和为355

5、求(1+x+x)(1-x)展开式中x

2104

5、必须第一个因式中的1与(1-x)(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9,要得到含x的项，

4

9

展开式中的项C9(x)作积，第一个因式中的－x与(1-x)展开式中的项C9(x)作积，故

3

9

441

x的系数是C9C94

14

6、求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x2103

(1x)[1(1x)10](x1)11(x1)36、(1x)(1x)=，原式中x（1x）

x1(1x)

2

10

实为这分子中的x，则所求系数为C114

7

7、若f(x)(1x)(1x)(mnN)展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x的系数最小？

22222

7、由条件得m+n=21，x的项为CmxCnx，则CmCn(n2

mn

22

212399).因n∈N，24

2

故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x的系数最小

8、自然数n为偶数时，求证：

234n1n1

12C1CnnCn2CnCn2Cnn32

12n1n135n1nn1

8、原式=(C03.2n1 nCnCnCnCn)(CnCnCnCn)22

9、求80被911

01109、8011(811)11C118111C118110C1181181k1(kZ),

∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴81被9除余11

10、在(x+3x+2)的展开式中，求x25

10、(x23x2)5(x1)5(x2)5

在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C55x，在(2+x)展开式中，常数项为2=32，

5

5

5

1

含x的项为C52x80x

∴展开式中含x的项为 1(80x)5x(32)240x，此展开式中x的系数为14

11、求(2x+1)11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有

12

rr1rr113r

C122C12C12212rC122

r12rr111rrr1 C2C122CC12121212

11

3r4,r4

33

∴展开式中系数最大项为第5项，T5=16C12x7920x

4

4

4