《微积分》
——数学分析
学
学
姓
教
日
评 语：
院 社区学院 号 名 王南超 师 盛万成 期 2014/5/4
上海大学 2013—2014学年春季学期 课程论文
课程名 微积分 课程号 01014134 学分 4
姓名 王南超 学号 13124206 所在院系 社区学院
1公式的历史起源
1.1格林公式
格林 ( 1793～1841年) , 英国自学成才的数学家、物理学家, 他在研究电磁学的过程中采用了彻底的数学方式来叙述静电磁学 . 1828 年, 格林自费出版了一本小册子《数学分析在电磁学理论中的应用》, 由于印数不多, 传播范围不广, 当时并未引起人们注意, 后来英国数学物理学家汤姆逊(1824～1907年) 发现, 并认识到它的巨大价值, 1854年, 他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊《数学杂志》上, 此时格林已逝世十四年了。
格林的这篇论文, 在数学和物理研究中都有着重要的意义, 首先, 他开创了用纯数学方法研究电磁学等物理问题的先河, 在他工作的影响下, 形成了一个著名的剑桥数学物理学派 . 著名的格林公式是:
∬(
DðQðP−) dxdy =∮Pdx+Qdy L
它说明平面区域 D 上的二重积分可以通过其边界曲线 L 上的曲线积分表示, 它是牛顿- 莱伯尼兹公式在平面区域上的推广 .
1.2斯托克斯公式
斯托克斯(1819～1905年), 英国数学家, 物理学家, 剑桥数学物理学派的代表人物之一, 后被英王封为爵士。
斯托克斯公式, 是这一系列公式中最为奇妙的一个, 它公开出现是作为剑桥大学 1854 年度史密斯奖学金考试的第八题. 这一由剑桥大学里数学最优秀的学生参加的考试, 从 1849年至1882年由斯托克斯主持, 因此这一公式被人们称为“斯托克斯公式”. 实际上, 这一公式是汤姆逊在1850年 7 月 2 日写给斯托克斯信中给出的. 当时人们至少给出了三个证明: 汤姆逊给出第一个, 另二个分别见于汤姆逊和泰特合著的《自然哲学》和麦克斯伟的“电磁论”( 1881年) 等书籍中. 斯托克斯公式为：
ðRðQðPðRðQðP∮Pdx+Qdy+Rdz=∬(−dydz +(−) dxdz +(−dxdy Lε
它说明一封闭曲线积分可以由该曲线为边的一个曲面积分所表示. 它在数学的某些分支发展中起了突出的作用.
2. 斯托克斯公式和格林公式的统一
⃗ 给出， (x,y, z) =P(x,y, z)i 设三维空间向量场由⃗A +Q(x,y, z)j +R(x,y, z)k Г是
场中分段光滑的有向闭曲线，∑是场中以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，∑的
正侧与 Γ 的正向符合右手规则，P 、Q 、R 在包含∑的闭域内具有一阶连续偏导数. 在斯托克斯公式中有如下的矢量形式
（1）
⃗⃗⃗⃗ 其中τ为Γ的单位切向量，n ⃗ 为∑的单位法向量，
的旋度.(1)式的坐标形式为 为矢量场⃗A
(2)
二元函数积分学中，格林公式描述了xoy 平面中闭域D 上的二重积分和沿D 的边界曲线L 的曲线积分之间的关系，即
(3)
其中L 是D 的正向边界. 当∑是 xOy 面上的平面闭区域时斯托克斯公式就变成格林公式，所以格林公式是斯托克斯公式的特殊情况. 这启示我们将这两个公式从形式上统一起来.
(x,y, z) =P(x,y, z)i 设三维空间向量场是由⃗A +Q(x,y, z)j 给出的特殊的平面
向量场，由于 R(x,y,z)=0，所以，
(4)
又有
（5）
⃗⃗⃗⃗ τ为L 的单位切向量. 结合（2）、（3）、（4）和（5）易得格林公式的矢量形式也是(1)式.
3. 三人对公式的发现及推广所做的贡献
3.1格林公式的发现及推广
格林公式的首次出现是在1828年, 那年格林自费出版了一本小册子《数学分析在电磁学理论中的应用》, 由于印数不多, 传播范围不广, 当时并未引起人们注意。所以格林公式虽然在1828年就被发现了，但却迟迟未得到推广。到了1841年格林去世之时仍未得到推广。
格林公式后来被英国数学物理学家汤姆逊发现, 并认识到它的巨大价值,1854年, 他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊《数学杂志》上, 之后格林公式广为人知，但此时格林已逝世十四年了。
所以说格林公式的发现是由格林自己完成的，但他的推广工作却是由几十年之后的汤姆逊所完成的。
3.2斯托克斯公式的发现及推广
斯托克斯公式公开出现是作为剑桥大学 1854 年度史密斯奖学金考试的第八题. 这一由剑桥大学里数学最优秀的学生参加的考试, 从 1849年至1882年由斯托克斯主持, 因此这一公式被人们称为“斯托克斯公式”。 实际上, 这一公式是汤姆逊在1850年 7 月 2 日写给斯托克斯信中给出的. 当时人们至少给出了三个证明: 汤姆逊给出第一个, 另二个分别见于汤姆逊和泰特合著的《自然哲学》和麦克斯伟的“电磁论”( 1881年) 等书籍中。
所以说斯托克斯公式是由汤姆逊率先发现的，但是由斯托克斯首先公开应用并使之闻名。
4. 格林公式和斯托克斯公式的物理应用
1826年，安培从斯托克斯定理推导得到了著名的安培环路定理，证明了磁场沿包围产生其电流的闭合路径的曲线积分等于其电流密度，这一定理成为了麦克斯韦方程组的基本方程之一。
法拉第电磁感应定律就是通过一个线圈的磁感应强度B 的通量（即磁通量）发生变化时，回路中产生感应电流（即产生涡旋电场E 对线圈中的电子做功）。此处的磁通量就是斯托克斯公式中的旋度▽×F 对曲面S 的通量，而线圈中产生的焦耳热就是涡旋电场E 对线圈中电子沿线圈做的功，也就是斯托克斯公式中的F 对闭合曲线的环路积分。法拉第电磁感应定律大家都是有直观的想象的，那个磁通量变化的越快，那么线圈中的焦耳热也就越大，也就是斯托克斯公式等式两边相等的物理现象，也就是：一个涡旋场对曲面的通量等于它的涡旋源对这个曲面的环流量。你如果假设线圈中产生电流，那么曲面中就会产生通量，同理大家可以相反想象，最终等式两边还是相等。此处必须强调两点：第一电流产生的涡旋场是与电流的右手法则有一个负号差异的，因为电流或者磁感应强度都是互相阻碍的（涡旋电场产生的涡旋磁场是反右手定则的）。第二：这里的电场不是静电场。目前电磁学界认为电场是两种存在形式的即静电场和涡旋电场。
所以说格林公式和斯托克斯公式在物理上的应用是广泛的，且对物理学的推动具有广泛意义。
5. 结论
格林公式和斯托克斯公式的发现，推广到应用都是建立在实际生活研究所学要的基础上的。从格林公式的发现开始，这两个公式的发展和推广无不伴随之物理学上的需要和应用。物理学的需要促使了数学家对这两个公式的发现及推广。而这两个公式的发现及推广有推动了物理学的发展。所以说物理和数学是两门紧密相连的学科。
《微积分》
——数学分析
学
学
姓
教
日
评 语：
院 社区学院 号 名 王南超 师 盛万成 期 2014/5/4
上海大学 2013—2014学年春季学期 课程论文
课程名 微积分 课程号 01014134 学分 4
姓名 王南超 学号 13124206 所在院系 社区学院
1公式的历史起源
1.1格林公式
格林 ( 1793～1841年) , 英国自学成才的数学家、物理学家, 他在研究电磁学的过程中采用了彻底的数学方式来叙述静电磁学 . 1828 年, 格林自费出版了一本小册子《数学分析在电磁学理论中的应用》, 由于印数不多, 传播范围不广, 当时并未引起人们注意, 后来英国数学物理学家汤姆逊(1824～1907年) 发现, 并认识到它的巨大价值, 1854年, 他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊《数学杂志》上, 此时格林已逝世十四年了。
格林的这篇论文, 在数学和物理研究中都有着重要的意义, 首先, 他开创了用纯数学方法研究电磁学等物理问题的先河, 在他工作的影响下, 形成了一个著名的剑桥数学物理学派 . 著名的格林公式是:
∬(
DðQðP−) dxdy =∮Pdx+Qdy L
它说明平面区域 D 上的二重积分可以通过其边界曲线 L 上的曲线积分表示, 它是牛顿- 莱伯尼兹公式在平面区域上的推广 .
1.2斯托克斯公式
斯托克斯(1819～1905年), 英国数学家, 物理学家, 剑桥数学物理学派的代表人物之一, 后被英王封为爵士。
斯托克斯公式, 是这一系列公式中最为奇妙的一个, 它公开出现是作为剑桥大学 1854 年度史密斯奖学金考试的第八题. 这一由剑桥大学里数学最优秀的学生参加的考试, 从 1849年至1882年由斯托克斯主持, 因此这一公式被人们称为“斯托克斯公式”. 实际上, 这一公式是汤姆逊在1850年 7 月 2 日写给斯托克斯信中给出的. 当时人们至少给出了三个证明: 汤姆逊给出第一个, 另二个分别见于汤姆逊和泰特合著的《自然哲学》和麦克斯伟的“电磁论”( 1881年) 等书籍中. 斯托克斯公式为：
ðRðQðPðRðQðP∮Pdx+Qdy+Rdz=∬(−dydz +(−) dxdz +(−dxdy Lε
它说明一封闭曲线积分可以由该曲线为边的一个曲面积分所表示. 它在数学的某些分支发展中起了突出的作用.
2. 斯托克斯公式和格林公式的统一
⃗ 给出， (x,y, z) =P(x,y, z)i 设三维空间向量场由⃗A +Q(x,y, z)j +R(x,y, z)k Г是
场中分段光滑的有向闭曲线，∑是场中以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，∑的
正侧与 Γ 的正向符合右手规则，P 、Q 、R 在包含∑的闭域内具有一阶连续偏导数. 在斯托克斯公式中有如下的矢量形式
（1）
⃗⃗⃗⃗ 其中τ为Γ的单位切向量，n ⃗ 为∑的单位法向量，
的旋度.(1)式的坐标形式为 为矢量场⃗A
(2)
二元函数积分学中，格林公式描述了xoy 平面中闭域D 上的二重积分和沿D 的边界曲线L 的曲线积分之间的关系，即
(3)
其中L 是D 的正向边界. 当∑是 xOy 面上的平面闭区域时斯托克斯公式就变成格林公式，所以格林公式是斯托克斯公式的特殊情况. 这启示我们将这两个公式从形式上统一起来.
(x,y, z) =P(x,y, z)i 设三维空间向量场是由⃗A +Q(x,y, z)j 给出的特殊的平面
向量场，由于 R(x,y,z)=0，所以，
(4)
又有
（5）
⃗⃗⃗⃗ τ为L 的单位切向量. 结合（2）、（3）、（4）和（5）易得格林公式的矢量形式也是(1)式.
3. 三人对公式的发现及推广所做的贡献
3.1格林公式的发现及推广
格林公式的首次出现是在1828年, 那年格林自费出版了一本小册子《数学分析在电磁学理论中的应用》, 由于印数不多, 传播范围不广, 当时并未引起人们注意。所以格林公式虽然在1828年就被发现了，但却迟迟未得到推广。到了1841年格林去世之时仍未得到推广。
格林公式后来被英国数学物理学家汤姆逊发现, 并认识到它的巨大价值,1854年, 他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊《数学杂志》上, 之后格林公式广为人知，但此时格林已逝世十四年了。
所以说格林公式的发现是由格林自己完成的，但他的推广工作却是由几十年之后的汤姆逊所完成的。
3.2斯托克斯公式的发现及推广
斯托克斯公式公开出现是作为剑桥大学 1854 年度史密斯奖学金考试的第八题. 这一由剑桥大学里数学最优秀的学生参加的考试, 从 1849年至1882年由斯托克斯主持, 因此这一公式被人们称为“斯托克斯公式”。 实际上, 这一公式是汤姆逊在1850年 7 月 2 日写给斯托克斯信中给出的. 当时人们至少给出了三个证明: 汤姆逊给出第一个, 另二个分别见于汤姆逊和泰特合著的《自然哲学》和麦克斯伟的“电磁论”( 1881年) 等书籍中。
所以说斯托克斯公式是由汤姆逊率先发现的，但是由斯托克斯首先公开应用并使之闻名。
4. 格林公式和斯托克斯公式的物理应用
1826年，安培从斯托克斯定理推导得到了著名的安培环路定理，证明了磁场沿包围产生其电流的闭合路径的曲线积分等于其电流密度，这一定理成为了麦克斯韦方程组的基本方程之一。
法拉第电磁感应定律就是通过一个线圈的磁感应强度B 的通量（即磁通量）发生变化时，回路中产生感应电流（即产生涡旋电场E 对线圈中的电子做功）。此处的磁通量就是斯托克斯公式中的旋度▽×F 对曲面S 的通量，而线圈中产生的焦耳热就是涡旋电场E 对线圈中电子沿线圈做的功，也就是斯托克斯公式中的F 对闭合曲线的环路积分。法拉第电磁感应定律大家都是有直观的想象的，那个磁通量变化的越快，那么线圈中的焦耳热也就越大，也就是斯托克斯公式等式两边相等的物理现象，也就是：一个涡旋场对曲面的通量等于它的涡旋源对这个曲面的环流量。你如果假设线圈中产生电流，那么曲面中就会产生通量，同理大家可以相反想象，最终等式两边还是相等。此处必须强调两点：第一电流产生的涡旋场是与电流的右手法则有一个负号差异的，因为电流或者磁感应强度都是互相阻碍的（涡旋电场产生的涡旋磁场是反右手定则的）。第二：这里的电场不是静电场。目前电磁学界认为电场是两种存在形式的即静电场和涡旋电场。
所以说格林公式和斯托克斯公式在物理上的应用是广泛的，且对物理学的推动具有广泛意义。
5. 结论
格林公式和斯托克斯公式的发现，推广到应用都是建立在实际生活研究所学要的基础上的。从格林公式的发现开始，这两个公式的发展和推广无不伴随之物理学上的需要和应用。物理学的需要促使了数学家对这两个公式的发现及推广。而这两个公式的发现及推广有推动了物理学的发展。所以说物理和数学是两门紧密相连的学科。