2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
A. x B.x C. 2x D. 2x 解： e -1~x ⇒e x -1~x 2, 应选B.
x
2
22
高等数学 试卷
⎛2⎫4. lim 1+⎪= （ ） n →∞
⎝n ⎭
234
A. e B. e C. e D. e
⎛2⎫
解：lim 1+⎪
n →∞
⎝n ⎭
n +1
n +1
⎛2⎫=lim 1+⎪n →∞
⎝n ⎭
n 2(n +1) ⋅2n
⎡
⎛2⎫=⎢lim 1+⎪⎢n →∞⎝n ⎭⎣
n 2
⎤⎥⎥⎦
n →∞
lim
2(n +1) n
=e 2, 应选B.
一、单项选择题（每小题2分，共计60分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题
干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.
⎧1--x
, x ≠0⎪
5. 设f (x ) =⎨在x =0处连续，则 常数a = x
⎪a , x =0⎩
（ ）
1. 函数y =
ln(x -1) -x
的定义域为为 （ ）
A. x >1 B.x
⎧x -1>0
⇒1
⎩5-x >0
2. 下列函数中, 图形关于y 轴对称的是 （ ）
解：⎨
3
A ．y =x cos x B. y =x +x +1
11 D. - 22
1--x x 11
解：lim f (x ) =lim =lim =lim =, 应选
x →0x →0x →0x x (1+-x ) x →0(1+-x ) 2
A. 1 B. -1 C. C.
6. 设函数f (x ) 在点x =1处可导, 且lim
h →0
f (1-2h ) -f (1) 1
=, 则f '(1) =
h 2
（ ）
A. 1 B. -
C. y =
2-2
2
x -x
D. y =
2+22
x -x
111 C. D. -
4
24
：
解：图形关于y 轴对称, 就是考察函数是否为偶函数, 显然函数y =函数, 应选D. 3. 当x →0时，与e
x 2
2+2
2
x -x
解
为偶
lim
h →0
f (1-2h ) -f (1) f (1-2h ) -f (1) 11
=-2lim =-2f '(1) =⇒f '(1) =-,
-2h →0h -2h 24
应选D.
-1等价的无穷小量是 （ ）
1
1dx
为解: 在(, 1) 内, 显然有f '(x ) =(x -1)(2x +1) 0, 故
2dy
1（ ）
函数f (x ) 在(, 1) 内单调减少, 且曲线y =f (x ) 为凹的, 应选B.
7. 由方程
xy =e x +y 确定的隐函数x (y ) 的导数
A. x (y -1) y (x -1) y (1+x ) x (y +y (1-x ) B.x (1-y ) C.x (y -1) D.1) y (x -1)
解：对方程xy =e x +y 两边微分得xdy +ydx =e x +y
(dx +dy ) ,
即(y -e
x +y ) dx =(e x +y
-x ) dy ,
(y -xy ) dx =(xy -x ) dy ,
所以dx dy =x (y -1) y (1-x )
, 应选A. 8. 设函数f (x ) 具有任意阶导数, 且f '(x ) =[f (x )]2，则f (n ) (x ) = （ ）
A. n [f (x )]n +1 B. n ! [f (x )]n +1 C. (n +1)[f (x )]
n +1
D. (n +1)! [f (x )]
n +1
解：f ''(x ) =2f (x ) f '(x ) =2[f (x )]3
⇒f '''(x ) =2⋅3f 2
(x ) f '(x ) =3！[f (x )]4
,
⇒f (n ) (x ) =n ! [f (x )]n +1, 应选B.
9. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A. f (x ) =1-x 2
, [-1, 1] B.f (x ) =xe -x
, [-1, 1] C. f (x ) =
1
1-x
2
, [-1, 1] D．f (x ) =|x |,[-1, 1] 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定, 只有
f (x ) =1-x 2, [-1, 1]满足, 应选A.
10.设f '(x ) =(x -1)(2x +1), x ∈(-∞, +∞) , 则在(12, 1) 内, f (x ) 单调 ( ) A.增加, 曲线y =f (x ) 为凹的 B.减少, 曲线y =f (x ) 为凹的
C. 增加, 曲线y =f (x ) 为凸的 D.减少, 曲线y =f (x ) 为凸的
2
21
11. 曲线y =e -x （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线
C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线， D. 无水平、垂直渐近线
解：x lim →±∞
y =1⇒y =1; lim x →0
-
y =∞⇒x =0，应选C. 12. 设参数方程为⎧⎨x =a cos t , 则二阶导数d 2y
= （ ⎩y =b sin t dx 2
） A. b a sin 2t B.-b
a 2sin 3t
C. b a cos 2t D.-b
a 2sin t cos 2
t dy y 2解：t 'b cos t d dx =x =-a sin t ⇒y ⎛b cos t ⎫'⎛b cos t ⎫'dt dx 2= ⎝-a sin t ⎪⎭= -⎪⨯
t 'x ⎝a sin t ⎭t dx
=b a sin 2t ⨯1-a sin t =-b a 2sin 3
t
, 应选B. 11若
⎰f (x ) e
x
dx =e x
+C ，则f (x ) = （ ）
A. -
1111
x B. -x 2 C. x D. x
2
11
解：两边对x 求导 f (x ) e x =e x
⨯(-1x 2) ⇒f (x ) =-1x
2
, 应选B. 14. 若⎰f (x ) dx =F (x ) +C ，则⎰cos xf (sinx ) dx = ）
F (sinx ) +C B.-F (sinx ) +C
13.（ A.
C.F (cosx ) +C D.-F (cosx ) +C 解:cos xf (sinx ) dx =f (sinx ) d (sinx ) =F (sinx ) +C , 应选A.
15. 下列广义积分发散的是 （ ）
A. D.
+∞
⎰⎰
⎰f '(x ) sin xdx =-⎰sin 2xdx =-⎰
1-cos 2x 11
dx =-x +sin 2x +C , 应224
⎰
+∞
1
dx B. 1+x 2
⎰
1
1-x
2
dx C.
⎰
+∞
e
选B.
19. 设函数
ln x
dx （ ）
f (x ) 在区间[a , b ]上连续, 则不正确的是
x
x
⎰
+∞
e -x dx
解：
⎰
1π11π+∞1
dx =arctan x =; ; dx =arcsin x =2⎰000221+x 2-x
⎰
16.
+∞
e
ln x 1
dx =(lnx ) 2x 2
+∞
⎰
C. ⎰解: ⎰
A.
b
a a
f (x ) dx 是f (x ) 的一个原函数 B.⎰f (t ) dt 是f (x ) 的一个原函数
a
x b a
f (t ) dt 是-f (x ) 的一个原函数 D.f (x ) 在[a , b ]上可积
f (x ) dx 是常数, 它的导数为零, 而不是f (x ) , 即⎰f (x ) dx 不是f (x ) 的
a b
e
=∞; ⎰e -x dx =-e -x
+∞+∞0
=1, 应选C.
原函数 ,应选A.
20. 直线
⎰
1
-1
x |x |dx = （ ）
x -3y z +2
==与平面x -y -z +1=0的关系是 1-12
A.0 B.
242
C. D.- 333
解：被积函数x |x |在积分区间[-1,1]上是奇函数, 应选A. 17. 设
（ ）
A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行
解：s ={1, -1, 2},n ={1, -1, -1) ⇒s ⊥n ,另一方面点(3, 0, -2) 不在平面内, 所以应为平行关系, 应选D..
f (x ) 在[-a , a ]上连续, 则定积分
⎰
a
-a
21. 函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处的两个偏导数f (-x ) dx = （ ）
∂z ∂z
和存在是它在该点处∂x ∂y
A.0 B.2解：
⎰
a
-a
f (-x ) dx ===⎰
0t =-u
⎰
a
f (x ) dx C.-⎰f (x ) dx D.⎰f (x ) dx
-a
-a
a a
-a
a
f (u ) d (-u ) =⎰f (u ) du =⎰f (x ) dx , 应选D.
-a
-a
a a
可微的 （ ）
A. 充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件
解：两个偏导数存在, 不一定可微, 但可微一定有偏导数存在, 因此为必要条件, 应选B.
18. 设f (x ) 的一个原函数是sin x , 则A.
（ ） ⎰f '(x ) sin xdx =
1111
x -sin 2x +C B.-x +sin 2x +C 22241212
C. sin x D.-sin x +C 22
解: (sinx ) '=f (x ) ⇒f (x ) =cos x ⇒f '(x ) =-sin x
3
2x
，则dz (1, 2) = （ ） y
y 1111
dx B.dx -dy C.dx -dy D.dx +dy A. 2x 2222
12x 11
=ln 2x -ln y ⇒dz =dx -dy ⇒dz (1, 2) =dx -dy , 应选解：z =ln
2y x y
22. 设z =ln
C.
23. 函数f (x , y ) =x +xy +y +x -y +1的极小值点是 （ ） A.(1, -1) B.(-1, 1) C. (-1, -1) D. (1, 1)
2
2
从而
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=
⎰
π20
d θ⎰
2a cos θ
f (r cos θ, r sin θ) rdr ，应选C.
⎧∂z
=2x +y +1=0⎪⎪∂x
解：⎨⇒(x , y ) =(-1, 1) , 应选B.
∂z ⎪=x +2y -1=0⎪⎩∂y
24. 二次积分
40
26. 设L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0) 到B (1, 1) 的一段弧，
⎰2xydx +x
L
2
dy =
（
）
A. -1 B.1 C. 2 D. -1
⎰dx ⎰f (x , y ) dy 写成另一种次序的积分是 （ ）
A. ⎰dy f (x , y ) dx B. ⎰dy ⎰f (x , y ) dx
2
x 2
⎧x =x
, x 从0变到1 , 解：L ：⎨2
y =x ⎩
24y
y 00
⎰
L
2xydx +x 2dy =⎰2x 3dx +2x 3dx =⎰4x 3dx =x 4
∞
n
1110
=1, 应选B.
C. 解
⎰dy ⎰
42
2
x
f (x , y ) dx D. ⎰dy ⎰
4y
27. 下列级数中，条件收敛的是 （ ）
∞
n 1n
A ．∑(-1) B．∑(-1)
2n +1n =1n =1n
∞∞
(-1) n n 1C ．∑(-1) D．∑ 2
n n =1n =1n (n +1)
∞∞∞
(-1) n n n n 1 解：∑(-1) 发散, ∑(-1) 和∑绝对收敛，2
n +1n n =1n =1n =1n (n +1)
∞∞
211n
p =是收敛的，但是的级数发散的，从而级数(-1) ∑∑223n =1n =1n n n
(-1) ∑n =1∞
2
f (x , y ) dx
区
域
：积分
D ={(x , y ) |0≤x ≤2, 0≤y ≤x 2}={(x , y ) |0≤y ≤4, y ≤x ≤2}, 应选A.
25. 设D 是由上半圆周y =
2ax -x 2和x 轴所围成的闭区域, 则
⎰⎰f (x , y ) d σ=
D
（
）
A.
C.
D.
⎰
π
20
d θ⎰
2a
f (r cos θ, r sin θ) rdr B.⎰d θ⎰
π20
2a
f (r cos θ, r sin θ) dr f (r cos θ, r sin θ) rdr
1
⎰
f (r cos θ, r sin θ) dr
π20
d θ⎰
2a cos θ
n
2
条件收敛，应选B.
28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数
⎰
π20
d θ⎰
2a cos θ
∑u
n =1∞
∞
n
与
∑v
n =1∞
∞
n
收敛，则级数
∑(u
n =1∞
∞
n
+v n ) 2收敛
解：积分区域在极坐标下可表示为：D ={(r , θ) |0≤θ≤
π
, 0≤r ≤2a cos θ}，2
B ． 若级数
∑u
n =1
n
与
∑v
n =1
n
收敛，则级数
∑(u
n =1
2n 2+v n ) 收敛
4
∞
∞
∞
C ． 若正项级数
∑u
n
与
u
2
n
+v n ) 收敛
n =1∑v
n
收敛，则级数
n =1
∑(n =1∞
∞
D ． 若级数
∑u n v
n
收敛，则级数∑u
n
与
n n =1
n =1
∑∞
v
都收敛
n =1
∞
∞
∞
∞
解：正项级数
∑u
n
与
2n
收敛⇒
n
收敛，
n =1
∑v
n =1
∑u
2n
与
n =1
∑v
n =1
2∞
而(u 2
n +v n ) ≤2(u n
+v 2n
) ，所以级数
∑(u
n
+v n ) 2收敛 ，应选C 。
n =1
29. 微分方程(x -2y ) y '=2x -y 的通解为 （ ） A. x 2+y 2=C B. x +y =C C. y =x +1 D. x 2
-xy +y 2
=C 2
解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为x 2
-xy +y 2
=C 2
，
应选D.
2
30. 微分方程
d x dt
2+β2
x =0的通解是 （ ） A. x =C t +C -βt +C βt
1cos β2sin βt B. x =C 1e 2e
C. x =cos βt +sin βt D. x =e -βt +e βt
解：微分方程的特征方程为λ2
+β2
=0，有两个复特征根λ=±βi ，所以方程的通解为x =C 1cos βt +C 2sin βt ，应选A.
二、填空题（每小题2分，共30分）
1. 设f (x +1) =x 2
+2 ,则f (x -2) =_________.
解：f (x +1) =(x +1) 2
-2(x +1) +3⇒f (x ) =x 2
-2x +3⇒
f (x -2) =x 2-6x +11.
5
2. lim
x 2+ax -6
x →2x -2
=5, 则a =_____________. 解：因lim 2
x →2
(x -2) =0⇒lim x →2
(x +ax -6) =0⇒a =1.
3.设函数y =arctan x 在点(1,
π
4
) 处的切线方程是__________. 解：k =y '1=1
πx =1=1+x 2
x =1
2
，则切线方程为y -4=12(x -1) ，
即x -2y -1+
π
2
=0 . 14. 设y =x x
e x ，则dy =___________. ln x
ln x
1
解：y =e
x
+x ⇒dy =e
x
+x d (ln x x +x ) =x x e x [1-ln x x 2
+1]dx .
5. 函数y =2x 2-ln x 的单调递增区间是 __________.
解：y '=4x -1⎧
⎪1111x ⇒⎨4x ->0
⇒x >⇒(, +∞) ⎪x
⎩
x >022或[2, +∞) . 6. 曲线y =e 的拐点是_________.
解：y '=e
x
⨯
12x
⇒y ''=
e x (x -1) 4x x
=0⇒x =1, 得拐点为(1, e ) . 7. 设f (x ) 连续, 且⎰
x 3
f (t ) dt =x , 则f (27) = _________.
3
解：等式
⎰
x 取x =3有f (27) =
10
f (t ) dt =x 两边求导有f (x 3) 3x 2=1, 27
. 8. 设f (0) =1, f (2) =2, f '(2) =3，则 ⎰10
x f ''(2x ) dx =__________.
解：
⎰
1
x f ''(2x ) dx =
111111
''xd f (2x ) =x f (2x ) -f '(2x ) d 2x ⎰⎰[1**********]51
=f '(2) -f (2x ) 0=f '(2) -f (2) +f (0) =242444
y 2
() dxdy ⎰⎰x D
=_______.
解：积分区域在极坐标系下表示为D ={(r , θ) |0≤θ≤
π
2
π
.
9. 函数y =
⎰
x
π
, 0≤r ≤1}, 则 4
解: y '=xe
0-x
te -t dt 的极小值是_________.
=0⇒x =0⇒f (0) =0.
1sin θ⎫1y 2
4d θ⎛4(sec2θ-1) d θrdr () dxdy =rdr = ⎪⎰⎰⎰⎰⎰0⎰000cos θx ⎝⎭D
π1411π22
=⎰(secθ-1) d θ=(tanθ-θ) 4=-.
020228
π
1-sin x
dx = ________. 10. ⎰
x +cos x 1-sin x d (x +cos x )
dx =⎰=ln |x +cos x |+C . 解: ⎰
x +cos x x +cos x
11. 由向量a ={1, 0, -1},b ={0, 1, 2}为邻边构成的平行四边形的面积为
______.
解： a ⨯b =10-=i -2j +k ⇒S =|a ⨯b |=6 .
012
x z ∂z ∂z =ln ，则 +=_________.
∂x ∂y z y
x z x
解：令F =-ln =-ln z +ln y ,则
z y z 11x 1x +z F x '=, F y '=, F z '=-2-=-2.
z y z z z
F y 'F x '∂z ∂z z (y +z ) ∂z z ∂z z 2
+= ,所以 . =-=; =-=
''∂x ∂y y (x +z ) ∂x F z x +z ∂y F z y (x +z )
12. 设
13. 设D 是由y =-x 2, y =x , y =0，所围成的第一象限部分, 则
i j k
3
展开为x 的幂级数是_________. 2
2+x -x 3311111
解：f (x ) =, ==+=+2
x (1+x )(2-x ) 1+x 2-x 1+x 22+x -x
1-2
∞∞∞
1x n 1⎤n ⎡n n
所以f (x ) =∑(-x ) +∑() =∑⎢(-1) +n +1⎥x , (-1
2n =022⎦n =0n =0⎣
2x
15. 用待定系数法求方程y ''-4y '+4y =(2x +1) e 的特解时, 特解应设为
14. 将f (x ) =_____ _____.
解：2是特征方程λ-4λ+4=0的二重根, 且(2x +1) 是一次多项式, 特解应设为
2
x 2(Ax +B ) e 2x .
1．lim
x →0
三、计算题（每小题5分，共40分）
x 2
+x sin x -x
.
6
解：lim x 2
x 2(+x sin x +x x →0+x sin x -cos x
=lim
)
x →01+x sin x -cos x =lim
x 2
x →01+x sin x -cos x ⨯lim x →0
(+x sin x +cos x ) 0
=2lim x 20
x →01+x sin x -cos x =2lim 2x x →02sin x +x cos x
0=0
4lim
1x →03cos x -x sin x =4⨯13=4
3
.
2. 已知y =⎛ 3x -2⎫2
dy ⎝5x +2⎪⎭
, f '(x ) =arctan x , 求
dx . x =0解：令
3x -2
5x +2
=u , 则y =f (u ) , dy '2
dx =dy du ⨯du dx =f '(u ) ⎛ 3x -2⎫⎛3x -2⎫16⎝5x +2⎪⎭=arctan ⎝5x +2⎪⎭⨯(5x +2)
2, 所以dy dx =arctan 1⨯16π2=4⨯=π.
x =02433. 求不定积分
⎰
x +x
2
dx .
3解：
⎰
x 2
x +x 2
dx =⎰x
+x 2
dx =⎰x 2d +x 2
=x 2+x 2-⎰+x 2d (x 2) =x 2+x 2-⎰+x 2d (1+x 2) 3
=x
2
+x 2
-2
(1+x 2) 23
+C .
⎧ln(1+x ), x ≥04. 设f (x ) =⎪
⎨⎪1 ,求⎰20f (x -1) dx .
⎩2+x
, x
2
f (x -1) dx =⎰1
-1
f (t ) dt
=
⎰0
f (t ) dt +⎰1
f (t ) dt =⎰
11-10-12+t dt +⎰0ln(1+t ) dt =ln(2+t ) 01
1t -1+t ln(1+t ) 0-⎰01+t
dt
=ln 2+ln 2-⎰11
0(1-1+t ) dt
=2ln 2-t 1+t ) 1
0+ln(10=3ln 2-1.
5. 设z =f (e x sin y , x 2+y 2) ，其中f (u , v ) 可微，求
∂z ∂x , ∂z ∂y
. 解：令e x sin y =u , x 2+y 2=v , 则z =f (u , v ) , 复合关系结构如图05-1所示,
∂z ∂x =∂z ∂u ⨯∂u ∂x +∂z ∂v
y ∂v ⨯∂x u =e x
sin y f u , v ) +2x f x u '(v '(u , v ) ,
∂z ∂z ∂u ∂z ∂y ∂y =∂u ⨯∂y +∂v ⨯v
∂y
z v x =e x
cos y f u '(u , v ) +2y f v '(u , v ) .
图05-1
．求⎰⎰x 2
62dxdy ，其中D 是由xy =1, y =x 及x =2所围成的闭区域.
D y
解：积分区域如图05-2所示，曲线xy =1, y =x 在第一象限内的交点为（1，1），
积分区域可表示为：1≤x ≤2, 1
x
≤y ≤x .
7
2x x 2x 1
则⎰⎰2dxdy =⎰dx 12dy =⎰x 2(-) dx 11y 1x y D
y
x
22
x
=
⎰
2
1
21⎤⎡
x ⎢x -⎥dx =⎰(x 3-x ) dx
1x ⎦⎣2
2
x
图05-2
C (x ) C '(x ) 2xC (x )
'，则，代入y =-2
222x +1x +1(x +1)
方程得C '(x ) =cos x , 所以C (x ) =sin x +C .
sin x +C
故原微分方程的通解为y =(C为任意常数).
x 2+1
设非齐次线性微分方程的通解为y =四、应用题（每小题7分，共计14分）
1. 一房地产公司有50套公寓要出租, 当月租金定为2000元时, 公寓会全部租出去, 当月租金每增加100元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费200元的维修费. 试问租金定为多少可获得最大收入? 最大收入是多少?
解：设每套公寓租金为x 元时, 所获收入为y 元,
则 y =[50-整理得 y =
⎛x 4x 2⎫9
⎪. = -= 4⎪2⎭14⎝
∞
n
7．求幂级数
(-1) 2n +1
x 的收敛域（考虑区间端点）. ∑2n +1n =0
解： 这是缺项的标准的幂级数，
u n +1(-1) n +1x 2n +32n +12n +122
因为 ρ=lim ， =lim ⋅=x lim =x n 2n +1n →∞u n →∞n →∞2n +32n +3(-1) x n
当ρ1，即x >1或x
(-1) n
若x =1时，幂级数化为∑是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是
n =02n +1
∞
(-1) n +1
收敛的，若x =-1时，幂级数化为∑也是交错级数，也满足来布尼兹定理
n =02n +1
∞
x -2000
](x -200), (x >2000) , 100
1
(-x 2+7200x -1400000), 1001y '=(-2x +7200) 均有意义,
100
1
令y '=0得唯一可能的极值点x =3600, 而此时y ''=-是使y 达到极大值的点, 即为最大值的点.
最大收入为y =[50-
的条件，是收敛的.
故幂级数的收敛域为[-1,1].
8．求微分方程 (x +1) y '+2xy -cos x =0通解.
2
3600-2000
](3600-200) =34⨯3400=115600(元).
100
12
2x cos x
y =，这是一阶线性非齐次微分方程，x 2+1x 2+12x C
y =0的通解为y =2它对应的齐次线性微分方程y '+2. x +1x +1
解：微分方程可化为 y '+
故 租金定为每套3600元时, 获得的收入最大, 最大收入为115600元.
2
2. 平面图形由抛物线y =2x 与该曲线在点(, 1) 处法线所围成, 试求:
(1)该平面图形的面积;
(2)该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.
8
解：平面图形如图05-3所示, 切点A (12
, 1) 处的切线斜率为k =y 'x =1,
2
由y 2=2x 得y '=
1
y
, 故A 点处的切线斜率 k =y 'x =1
=y '2
y =1=1,
x
从而A 点处的法线斜率为-1,
法线方程为x +y -3
2
=0.
⎧y 2=2x
联立方程组⎪
⎨9x +y -=0
得另一交点B
(, -3) ⎪3⎩
22y -
3
2
=0(1) 把该平面图形看作Y 型区域, 其面积为
图05-3
S =⎰1
⎡3y 2⎤3y 2y 31
-3⎢⎣(2
-y ) -2⎥⎦dy =(2y -2-6) =16
;
-33(2) 根据抛物线的对称性知, 该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC 绕x 轴旋转所成旋转体的体积, 有
9999故 V x =π
⎰
20
2xdx -π(3
2322-π(9x -3x 2+1
x 32
2
2
-x ) 2dx =πx
423
)
32
=π[
81-9]=454
π. 五、证明题（6分）
试证：当x >0 时，有
11+x
. 证明：构造函数f (x ) =ln x ，它在(0，
+∞) 内连续， 9
当x >0时，函数在区间[x , 1+x ]上连续，且f '(x ) =
1x
. 故f (x ) 在[x , 1+x ]上满足Lagrange 中值定理, 存在ξ∈(x , x +1) ,
使得f (1+x ) -f (x ) =f '(ξ) ，(x
而
11+x
1ξ
, 故有
1+x 0时,
11+x 1+x
x
成立.
2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
A. x B.x C. 2x D. 2x 解： e -1~x ⇒e x -1~x 2, 应选B.
x
2
22
高等数学 试卷
⎛2⎫4. lim 1+⎪= （ ） n →∞
⎝n ⎭
234
A. e B. e C. e D. e
⎛2⎫
解：lim 1+⎪
n →∞
⎝n ⎭
n +1
n +1
⎛2⎫=lim 1+⎪n →∞
⎝n ⎭
n 2(n +1) ⋅2n
⎡
⎛2⎫=⎢lim 1+⎪⎢n →∞⎝n ⎭⎣
n 2
⎤⎥⎥⎦
n →∞
lim
2(n +1) n
=e 2, 应选B.
一、单项选择题（每小题2分，共计60分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题
干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.
⎧1--x
, x ≠0⎪
5. 设f (x ) =⎨在x =0处连续，则 常数a = x
⎪a , x =0⎩
（ ）
1. 函数y =
ln(x -1) -x
的定义域为为 （ ）
A. x >1 B.x
⎧x -1>0
⇒1
⎩5-x >0
2. 下列函数中, 图形关于y 轴对称的是 （ ）
解：⎨
3
A ．y =x cos x B. y =x +x +1
11 D. - 22
1--x x 11
解：lim f (x ) =lim =lim =lim =, 应选
x →0x →0x →0x x (1+-x ) x →0(1+-x ) 2
A. 1 B. -1 C. C.
6. 设函数f (x ) 在点x =1处可导, 且lim
h →0
f (1-2h ) -f (1) 1
=, 则f '(1) =
h 2
（ ）
A. 1 B. -
C. y =
2-2
2
x -x
D. y =
2+22
x -x
111 C. D. -
4
24
：
解：图形关于y 轴对称, 就是考察函数是否为偶函数, 显然函数y =函数, 应选D. 3. 当x →0时，与e
x 2
2+2
2
x -x
解
为偶
lim
h →0
f (1-2h ) -f (1) f (1-2h ) -f (1) 11
=-2lim =-2f '(1) =⇒f '(1) =-,
-2h →0h -2h 24
应选D.
-1等价的无穷小量是 （ ）
1
1dx
为解: 在(, 1) 内, 显然有f '(x ) =(x -1)(2x +1) 0, 故
2dy
1（ ）
函数f (x ) 在(, 1) 内单调减少, 且曲线y =f (x ) 为凹的, 应选B.
7. 由方程
xy =e x +y 确定的隐函数x (y ) 的导数
A. x (y -1) y (x -1) y (1+x ) x (y +y (1-x ) B.x (1-y ) C.x (y -1) D.1) y (x -1)
解：对方程xy =e x +y 两边微分得xdy +ydx =e x +y
(dx +dy ) ,
即(y -e
x +y ) dx =(e x +y
-x ) dy ,
(y -xy ) dx =(xy -x ) dy ,
所以dx dy =x (y -1) y (1-x )
, 应选A. 8. 设函数f (x ) 具有任意阶导数, 且f '(x ) =[f (x )]2，则f (n ) (x ) = （ ）
A. n [f (x )]n +1 B. n ! [f (x )]n +1 C. (n +1)[f (x )]
n +1
D. (n +1)! [f (x )]
n +1
解：f ''(x ) =2f (x ) f '(x ) =2[f (x )]3
⇒f '''(x ) =2⋅3f 2
(x ) f '(x ) =3！[f (x )]4
,
⇒f (n ) (x ) =n ! [f (x )]n +1, 应选B.
9. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A. f (x ) =1-x 2
, [-1, 1] B.f (x ) =xe -x
, [-1, 1] C. f (x ) =
1
1-x
2
, [-1, 1] D．f (x ) =|x |,[-1, 1] 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定, 只有
f (x ) =1-x 2, [-1, 1]满足, 应选A.
10.设f '(x ) =(x -1)(2x +1), x ∈(-∞, +∞) , 则在(12, 1) 内, f (x ) 单调 ( ) A.增加, 曲线y =f (x ) 为凹的 B.减少, 曲线y =f (x ) 为凹的
C. 增加, 曲线y =f (x ) 为凸的 D.减少, 曲线y =f (x ) 为凸的
2
21
11. 曲线y =e -x （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线
C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线， D. 无水平、垂直渐近线
解：x lim →±∞
y =1⇒y =1; lim x →0
-
y =∞⇒x =0，应选C. 12. 设参数方程为⎧⎨x =a cos t , 则二阶导数d 2y
= （ ⎩y =b sin t dx 2
） A. b a sin 2t B.-b
a 2sin 3t
C. b a cos 2t D.-b
a 2sin t cos 2
t dy y 2解：t 'b cos t d dx =x =-a sin t ⇒y ⎛b cos t ⎫'⎛b cos t ⎫'dt dx 2= ⎝-a sin t ⎪⎭= -⎪⨯
t 'x ⎝a sin t ⎭t dx
=b a sin 2t ⨯1-a sin t =-b a 2sin 3
t
, 应选B. 11若
⎰f (x ) e
x
dx =e x
+C ，则f (x ) = （ ）
A. -
1111
x B. -x 2 C. x D. x
2
11
解：两边对x 求导 f (x ) e x =e x
⨯(-1x 2) ⇒f (x ) =-1x
2
, 应选B. 14. 若⎰f (x ) dx =F (x ) +C ，则⎰cos xf (sinx ) dx = ）
F (sinx ) +C B.-F (sinx ) +C
13.（ A.
C.F (cosx ) +C D.-F (cosx ) +C 解:cos xf (sinx ) dx =f (sinx ) d (sinx ) =F (sinx ) +C , 应选A.
15. 下列广义积分发散的是 （ ）
A. D.
+∞
⎰⎰
⎰f '(x ) sin xdx =-⎰sin 2xdx =-⎰
1-cos 2x 11
dx =-x +sin 2x +C , 应224
⎰
+∞
1
dx B. 1+x 2
⎰
1
1-x
2
dx C.
⎰
+∞
e
选B.
19. 设函数
ln x
dx （ ）
f (x ) 在区间[a , b ]上连续, 则不正确的是
x
x
⎰
+∞
e -x dx
解：
⎰
1π11π+∞1
dx =arctan x =; ; dx =arcsin x =2⎰000221+x 2-x
⎰
16.
+∞
e
ln x 1
dx =(lnx ) 2x 2
+∞
⎰
C. ⎰解: ⎰
A.
b
a a
f (x ) dx 是f (x ) 的一个原函数 B.⎰f (t ) dt 是f (x ) 的一个原函数
a
x b a
f (t ) dt 是-f (x ) 的一个原函数 D.f (x ) 在[a , b ]上可积
f (x ) dx 是常数, 它的导数为零, 而不是f (x ) , 即⎰f (x ) dx 不是f (x ) 的
a b
e
=∞; ⎰e -x dx =-e -x
+∞+∞0
=1, 应选C.
原函数 ,应选A.
20. 直线
⎰
1
-1
x |x |dx = （ ）
x -3y z +2
==与平面x -y -z +1=0的关系是 1-12
A.0 B.
242
C. D.- 333
解：被积函数x |x |在积分区间[-1,1]上是奇函数, 应选A. 17. 设
（ ）
A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行
解：s ={1, -1, 2},n ={1, -1, -1) ⇒s ⊥n ,另一方面点(3, 0, -2) 不在平面内, 所以应为平行关系, 应选D..
f (x ) 在[-a , a ]上连续, 则定积分
⎰
a
-a
21. 函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处的两个偏导数f (-x ) dx = （ ）
∂z ∂z
和存在是它在该点处∂x ∂y
A.0 B.2解：
⎰
a
-a
f (-x ) dx ===⎰
0t =-u
⎰
a
f (x ) dx C.-⎰f (x ) dx D.⎰f (x ) dx
-a
-a
a a
-a
a
f (u ) d (-u ) =⎰f (u ) du =⎰f (x ) dx , 应选D.
-a
-a
a a
可微的 （ ）
A. 充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件
解：两个偏导数存在, 不一定可微, 但可微一定有偏导数存在, 因此为必要条件, 应选B.
18. 设f (x ) 的一个原函数是sin x , 则A.
（ ） ⎰f '(x ) sin xdx =
1111
x -sin 2x +C B.-x +sin 2x +C 22241212
C. sin x D.-sin x +C 22
解: (sinx ) '=f (x ) ⇒f (x ) =cos x ⇒f '(x ) =-sin x
3
2x
，则dz (1, 2) = （ ） y
y 1111
dx B.dx -dy C.dx -dy D.dx +dy A. 2x 2222
12x 11
=ln 2x -ln y ⇒dz =dx -dy ⇒dz (1, 2) =dx -dy , 应选解：z =ln
2y x y
22. 设z =ln
C.
23. 函数f (x , y ) =x +xy +y +x -y +1的极小值点是 （ ） A.(1, -1) B.(-1, 1) C. (-1, -1) D. (1, 1)
2
2
从而
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=
⎰
π20
d θ⎰
2a cos θ
f (r cos θ, r sin θ) rdr ，应选C.
⎧∂z
=2x +y +1=0⎪⎪∂x
解：⎨⇒(x , y ) =(-1, 1) , 应选B.
∂z ⎪=x +2y -1=0⎪⎩∂y
24. 二次积分
40
26. 设L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0) 到B (1, 1) 的一段弧，
⎰2xydx +x
L
2
dy =
（
）
A. -1 B.1 C. 2 D. -1
⎰dx ⎰f (x , y ) dy 写成另一种次序的积分是 （ ）
A. ⎰dy f (x , y ) dx B. ⎰dy ⎰f (x , y ) dx
2
x 2
⎧x =x
, x 从0变到1 , 解：L ：⎨2
y =x ⎩
24y
y 00
⎰
L
2xydx +x 2dy =⎰2x 3dx +2x 3dx =⎰4x 3dx =x 4
∞
n
1110
=1, 应选B.
C. 解
⎰dy ⎰
42
2
x
f (x , y ) dx D. ⎰dy ⎰
4y
27. 下列级数中，条件收敛的是 （ ）
∞
n 1n
A ．∑(-1) B．∑(-1)
2n +1n =1n =1n
∞∞
(-1) n n 1C ．∑(-1) D．∑ 2
n n =1n =1n (n +1)
∞∞∞
(-1) n n n n 1 解：∑(-1) 发散, ∑(-1) 和∑绝对收敛，2
n +1n n =1n =1n =1n (n +1)
∞∞
211n
p =是收敛的，但是的级数发散的，从而级数(-1) ∑∑223n =1n =1n n n
(-1) ∑n =1∞
2
f (x , y ) dx
区
域
：积分
D ={(x , y ) |0≤x ≤2, 0≤y ≤x 2}={(x , y ) |0≤y ≤4, y ≤x ≤2}, 应选A.
25. 设D 是由上半圆周y =
2ax -x 2和x 轴所围成的闭区域, 则
⎰⎰f (x , y ) d σ=
D
（
）
A.
C.
D.
⎰
π
20
d θ⎰
2a
f (r cos θ, r sin θ) rdr B.⎰d θ⎰
π20
2a
f (r cos θ, r sin θ) dr f (r cos θ, r sin θ) rdr
1
⎰
f (r cos θ, r sin θ) dr
π20
d θ⎰
2a cos θ
n
2
条件收敛，应选B.
28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数
⎰
π20
d θ⎰
2a cos θ
∑u
n =1∞
∞
n
与
∑v
n =1∞
∞
n
收敛，则级数
∑(u
n =1∞
∞
n
+v n ) 2收敛
解：积分区域在极坐标下可表示为：D ={(r , θ) |0≤θ≤
π
, 0≤r ≤2a cos θ}，2
B ． 若级数
∑u
n =1
n
与
∑v
n =1
n
收敛，则级数
∑(u
n =1
2n 2+v n ) 收敛
4
∞
∞
∞
C ． 若正项级数
∑u
n
与
u
2
n
+v n ) 收敛
n =1∑v
n
收敛，则级数
n =1
∑(n =1∞
∞
D ． 若级数
∑u n v
n
收敛，则级数∑u
n
与
n n =1
n =1
∑∞
v
都收敛
n =1
∞
∞
∞
∞
解：正项级数
∑u
n
与
2n
收敛⇒
n
收敛，
n =1
∑v
n =1
∑u
2n
与
n =1
∑v
n =1
2∞
而(u 2
n +v n ) ≤2(u n
+v 2n
) ，所以级数
∑(u
n
+v n ) 2收敛 ，应选C 。
n =1
29. 微分方程(x -2y ) y '=2x -y 的通解为 （ ） A. x 2+y 2=C B. x +y =C C. y =x +1 D. x 2
-xy +y 2
=C 2
解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为x 2
-xy +y 2
=C 2
，
应选D.
2
30. 微分方程
d x dt
2+β2
x =0的通解是 （ ） A. x =C t +C -βt +C βt
1cos β2sin βt B. x =C 1e 2e
C. x =cos βt +sin βt D. x =e -βt +e βt
解：微分方程的特征方程为λ2
+β2
=0，有两个复特征根λ=±βi ，所以方程的通解为x =C 1cos βt +C 2sin βt ，应选A.
二、填空题（每小题2分，共30分）
1. 设f (x +1) =x 2
+2 ,则f (x -2) =_________.
解：f (x +1) =(x +1) 2
-2(x +1) +3⇒f (x ) =x 2
-2x +3⇒
f (x -2) =x 2-6x +11.
5
2. lim
x 2+ax -6
x →2x -2
=5, 则a =_____________. 解：因lim 2
x →2
(x -2) =0⇒lim x →2
(x +ax -6) =0⇒a =1.
3.设函数y =arctan x 在点(1,
π
4
) 处的切线方程是__________. 解：k =y '1=1
πx =1=1+x 2
x =1
2
，则切线方程为y -4=12(x -1) ，
即x -2y -1+
π
2
=0 . 14. 设y =x x
e x ，则dy =___________. ln x
ln x
1
解：y =e
x
+x ⇒dy =e
x
+x d (ln x x +x ) =x x e x [1-ln x x 2
+1]dx .
5. 函数y =2x 2-ln x 的单调递增区间是 __________.
解：y '=4x -1⎧
⎪1111x ⇒⎨4x ->0
⇒x >⇒(, +∞) ⎪x
⎩
x >022或[2, +∞) . 6. 曲线y =e 的拐点是_________.
解：y '=e
x
⨯
12x
⇒y ''=
e x (x -1) 4x x
=0⇒x =1, 得拐点为(1, e ) . 7. 设f (x ) 连续, 且⎰
x 3
f (t ) dt =x , 则f (27) = _________.
3
解：等式
⎰
x 取x =3有f (27) =
10
f (t ) dt =x 两边求导有f (x 3) 3x 2=1, 27
. 8. 设f (0) =1, f (2) =2, f '(2) =3，则 ⎰10
x f ''(2x ) dx =__________.
解：
⎰
1
x f ''(2x ) dx =
111111
''xd f (2x ) =x f (2x ) -f '(2x ) d 2x ⎰⎰[1**********]51
=f '(2) -f (2x ) 0=f '(2) -f (2) +f (0) =242444
y 2
() dxdy ⎰⎰x D
=_______.
解：积分区域在极坐标系下表示为D ={(r , θ) |0≤θ≤
π
2
π
.
9. 函数y =
⎰
x
π
, 0≤r ≤1}, 则 4
解: y '=xe
0-x
te -t dt 的极小值是_________.
=0⇒x =0⇒f (0) =0.
1sin θ⎫1y 2
4d θ⎛4(sec2θ-1) d θrdr () dxdy =rdr = ⎪⎰⎰⎰⎰⎰0⎰000cos θx ⎝⎭D
π1411π22
=⎰(secθ-1) d θ=(tanθ-θ) 4=-.
020228
π
1-sin x
dx = ________. 10. ⎰
x +cos x 1-sin x d (x +cos x )
dx =⎰=ln |x +cos x |+C . 解: ⎰
x +cos x x +cos x
11. 由向量a ={1, 0, -1},b ={0, 1, 2}为邻边构成的平行四边形的面积为
______.
解： a ⨯b =10-=i -2j +k ⇒S =|a ⨯b |=6 .
012
x z ∂z ∂z =ln ，则 +=_________.
∂x ∂y z y
x z x
解：令F =-ln =-ln z +ln y ,则
z y z 11x 1x +z F x '=, F y '=, F z '=-2-=-2.
z y z z z
F y 'F x '∂z ∂z z (y +z ) ∂z z ∂z z 2
+= ,所以 . =-=; =-=
''∂x ∂y y (x +z ) ∂x F z x +z ∂y F z y (x +z )
12. 设
13. 设D 是由y =-x 2, y =x , y =0，所围成的第一象限部分, 则
i j k
3
展开为x 的幂级数是_________. 2
2+x -x 3311111
解：f (x ) =, ==+=+2
x (1+x )(2-x ) 1+x 2-x 1+x 22+x -x
1-2
∞∞∞
1x n 1⎤n ⎡n n
所以f (x ) =∑(-x ) +∑() =∑⎢(-1) +n +1⎥x , (-1
2n =022⎦n =0n =0⎣
2x
15. 用待定系数法求方程y ''-4y '+4y =(2x +1) e 的特解时, 特解应设为
14. 将f (x ) =_____ _____.
解：2是特征方程λ-4λ+4=0的二重根, 且(2x +1) 是一次多项式, 特解应设为
2
x 2(Ax +B ) e 2x .
1．lim
x →0
三、计算题（每小题5分，共40分）
x 2
+x sin x -x
.
6
解：lim x 2
x 2(+x sin x +x x →0+x sin x -cos x
=lim
)
x →01+x sin x -cos x =lim
x 2
x →01+x sin x -cos x ⨯lim x →0
(+x sin x +cos x ) 0
=2lim x 20
x →01+x sin x -cos x =2lim 2x x →02sin x +x cos x
0=0
4lim
1x →03cos x -x sin x =4⨯13=4
3
.
2. 已知y =⎛ 3x -2⎫2
dy ⎝5x +2⎪⎭
, f '(x ) =arctan x , 求
dx . x =0解：令
3x -2
5x +2
=u , 则y =f (u ) , dy '2
dx =dy du ⨯du dx =f '(u ) ⎛ 3x -2⎫⎛3x -2⎫16⎝5x +2⎪⎭=arctan ⎝5x +2⎪⎭⨯(5x +2)
2, 所以dy dx =arctan 1⨯16π2=4⨯=π.
x =02433. 求不定积分
⎰
x +x
2
dx .
3解：
⎰
x 2
x +x 2
dx =⎰x
+x 2
dx =⎰x 2d +x 2
=x 2+x 2-⎰+x 2d (x 2) =x 2+x 2-⎰+x 2d (1+x 2) 3
=x
2
+x 2
-2
(1+x 2) 23
+C .
⎧ln(1+x ), x ≥04. 设f (x ) =⎪
⎨⎪1 ,求⎰20f (x -1) dx .
⎩2+x
, x
2
f (x -1) dx =⎰1
-1
f (t ) dt
=
⎰0
f (t ) dt +⎰1
f (t ) dt =⎰
11-10-12+t dt +⎰0ln(1+t ) dt =ln(2+t ) 01
1t -1+t ln(1+t ) 0-⎰01+t
dt
=ln 2+ln 2-⎰11
0(1-1+t ) dt
=2ln 2-t 1+t ) 1
0+ln(10=3ln 2-1.
5. 设z =f (e x sin y , x 2+y 2) ，其中f (u , v ) 可微，求
∂z ∂x , ∂z ∂y
. 解：令e x sin y =u , x 2+y 2=v , 则z =f (u , v ) , 复合关系结构如图05-1所示,
∂z ∂x =∂z ∂u ⨯∂u ∂x +∂z ∂v
y ∂v ⨯∂x u =e x
sin y f u , v ) +2x f x u '(v '(u , v ) ,
∂z ∂z ∂u ∂z ∂y ∂y =∂u ⨯∂y +∂v ⨯v
∂y
z v x =e x
cos y f u '(u , v ) +2y f v '(u , v ) .
图05-1
．求⎰⎰x 2
62dxdy ，其中D 是由xy =1, y =x 及x =2所围成的闭区域.
D y
解：积分区域如图05-2所示，曲线xy =1, y =x 在第一象限内的交点为（1，1），
积分区域可表示为：1≤x ≤2, 1
x
≤y ≤x .
7
2x x 2x 1
则⎰⎰2dxdy =⎰dx 12dy =⎰x 2(-) dx 11y 1x y D
y
x
22
x
=
⎰
2
1
21⎤⎡
x ⎢x -⎥dx =⎰(x 3-x ) dx
1x ⎦⎣2
2
x
图05-2
C (x ) C '(x ) 2xC (x )
'，则，代入y =-2
222x +1x +1(x +1)
方程得C '(x ) =cos x , 所以C (x ) =sin x +C .
sin x +C
故原微分方程的通解为y =(C为任意常数).
x 2+1
设非齐次线性微分方程的通解为y =四、应用题（每小题7分，共计14分）
1. 一房地产公司有50套公寓要出租, 当月租金定为2000元时, 公寓会全部租出去, 当月租金每增加100元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费200元的维修费. 试问租金定为多少可获得最大收入? 最大收入是多少?
解：设每套公寓租金为x 元时, 所获收入为y 元,
则 y =[50-整理得 y =
⎛x 4x 2⎫9
⎪. = -= 4⎪2⎭14⎝
∞
n
7．求幂级数
(-1) 2n +1
x 的收敛域（考虑区间端点）. ∑2n +1n =0
解： 这是缺项的标准的幂级数，
u n +1(-1) n +1x 2n +32n +12n +122
因为 ρ=lim ， =lim ⋅=x lim =x n 2n +1n →∞u n →∞n →∞2n +32n +3(-1) x n
当ρ1，即x >1或x
(-1) n
若x =1时，幂级数化为∑是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是
n =02n +1
∞
(-1) n +1
收敛的，若x =-1时，幂级数化为∑也是交错级数，也满足来布尼兹定理
n =02n +1
∞
x -2000
](x -200), (x >2000) , 100
1
(-x 2+7200x -1400000), 1001y '=(-2x +7200) 均有意义,
100
1
令y '=0得唯一可能的极值点x =3600, 而此时y ''=-是使y 达到极大值的点, 即为最大值的点.
最大收入为y =[50-
的条件，是收敛的.
故幂级数的收敛域为[-1,1].
8．求微分方程 (x +1) y '+2xy -cos x =0通解.
2
3600-2000
](3600-200) =34⨯3400=115600(元).
100
12
2x cos x
y =，这是一阶线性非齐次微分方程，x 2+1x 2+12x C
y =0的通解为y =2它对应的齐次线性微分方程y '+2. x +1x +1
解：微分方程可化为 y '+
故 租金定为每套3600元时, 获得的收入最大, 最大收入为115600元.
2
2. 平面图形由抛物线y =2x 与该曲线在点(, 1) 处法线所围成, 试求:
(1)该平面图形的面积;
(2)该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.
8
解：平面图形如图05-3所示, 切点A (12
, 1) 处的切线斜率为k =y 'x =1,
2
由y 2=2x 得y '=
1
y
, 故A 点处的切线斜率 k =y 'x =1
=y '2
y =1=1,
x
从而A 点处的法线斜率为-1,
法线方程为x +y -3
2
=0.
⎧y 2=2x
联立方程组⎪
⎨9x +y -=0
得另一交点B
(, -3) ⎪3⎩
22y -
3
2
=0(1) 把该平面图形看作Y 型区域, 其面积为
图05-3
S =⎰1
⎡3y 2⎤3y 2y 31
-3⎢⎣(2
-y ) -2⎥⎦dy =(2y -2-6) =16
;
-33(2) 根据抛物线的对称性知, 该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC 绕x 轴旋转所成旋转体的体积, 有
9999故 V x =π
⎰
20
2xdx -π(3
2322-π(9x -3x 2+1
x 32
2
2
-x ) 2dx =πx
423
)
32
=π[
81-9]=454
π. 五、证明题（6分）
试证：当x >0 时，有
11+x
. 证明：构造函数f (x ) =ln x ，它在(0，
+∞) 内连续， 9
当x >0时，函数在区间[x , 1+x ]上连续，且f '(x ) =
1x
. 故f (x ) 在[x , 1+x ]上满足Lagrange 中值定理, 存在ξ∈(x , x +1) ,
使得f (1+x ) -f (x ) =f '(ξ) ，(x
而
11+x
1ξ
, 故有
1+x 0时,
11+x 1+x
x
成立.