第２７卷第６期电气电子教学学报
Ｖ０１．２７Ｎｏ．６
２００５年１２月
ＪＯＵＲＮＡＬｏＦＥＥＥ
Ｉ）ｅｃ．２００５
阿克曼公式在连续系统极点配置中的应用
李
娟１，于文娟１，肖传强２
（１．莱阳农学院
机电工程学院，山东莱阳２６５２００；２．莱阳农学院
植物保护学院，山东莱阳２６５２００）
摘要：针对连续线性系统的状态反馈极点配置问题，提出了将离散系统的阿克曼公式法用于连续系统的设计，简化了设计的复杂性，并给出了阿克曼公式和能控标准形法的一致性证明．对线性系统的分析和设计有一定的实际意义。关键词：状态反馈；极点配置；阿克曼公式；能控标准形中图分类号：０２３１．】；Ｇ６４２．ｏ
文献标识码：Ａ
文章缩号：ｌ００８一０６８６（２００５）０６一００５９一０４
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２．Ｄｅ争ｔ．《Ｐ￡ａｎｔＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎ，【ｎｉ》ｎｎｇＡｇｒｉｃｔ‘ｌｔｌｌｒａ｜ＣｏｔＥｅｇｃ，￡ｎｉ，嘏ｎｇ２６５２００，Ｃｈｉｎｎ、
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０引言
１
阿克曼公式在连续系统中的应用
状态反馈极点配置在现代控制理论和线性系统【定理ｌ】给定托维单输入连续时间线性时不
理论中都有着举足轻重的地位，是状态观测器的设变受控系统（Ａ，６）和一组任意的期望闭环特征值计和用状态空间法设计控制器的理论基础。在有关（盯，村，…，砧），要求确定状态反馈阵Ｆ，使九（Ａ一文献［１￣３１中，都给出了连续线性系统状态反馈极点
６Ｆ）＝”（ｉ一１，２，…，聍）成立的Ｆ的阿克曼公式求配置的两种算法——对比系数法和能控标准形法。
法为
其中，对比系数法只能用于低阶系统，而能控标准形Ｆ＝［ｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）法又比较烦琐。笔者在有关计算机控制的有关书其中Ｑｃ＝［６
Ａ６…Ａ”１６］为可达性矩阵。
籍［４’５３中发现：在离散系统中可用阿克曼公式法进行Ｐ（Ａ）是将希望特征多项式中的ｓ换成Ａ所得状态反馈极点配置，且算法简洁明了，易理解易记的矩阵多项式。
忆。那么，阿克曼公式法是否也可以用于连续线性系
证明：设单输入连续时间线性时不变系统的状统进行状态反馈极点配置呢？如果可以，那么阿克曼
态方程为
公式法和能控标准形法是否一致呢？
主（￡）＝Ａｚ（ｆ）＋施（￡）
（１）
收稿日期：２００５一０８—３１；修回日期：２００５—１１一０３
第一作者；李娟（１９６９一），女，山东海阳人，副教授，主要从事电子技术、自动控制、计算机过程控制等的研究和教学工作。
万方数据
６０电气电子教学学报２７卷
其中ｚ（ｆ）为状态变量，“（ｔ）为控制变量，Ａ、６为定常矩阵。
，一，。；，．
．．
。
２阿克曼公式法和能控标准形法的一
致性
【定理２】在对连续时间线性时不变系统（１）进行状态反馈极点配置时，阿克曼公式法求状态反馈阵Ｆ和能控标准形法求状态反馈阵Ｆ在本质上
（３）
将式（１）离散化褥列的以’７’为采样周期的离散
时间线性时不变系统的状态方程为：
ｚ（愚＋１）一Ｇ．ｚ（是）＋ｊ，“（点）
（２）
则式（１）和式（２）之间的关系为
ｒＧ＝ｅ＾７’
１Ｈ＝岈叫・６
…，九的闭环系统，这个反馈由下式给出
“（愚）一——Ｆｚ（五）
是完全一致的。
证明：能控标准形法求状态反馈阵Ｆ的算法可描述如下［１矗］：
考虑式（２）的以阶系统，如果系统是能达的，则存在一个线性反馈，它给出具有希望的极点Ａ。，Ａ。，
［状态反馈阵算法］：给定咒维单输入连续时间
线性时不变受控系统（Ａ，６）和一组任意的期望闭环特征值（Ｗ，村，…，砧），要求确定状态反馈阵Ｆ，使
其希望的特征多项式为
Ｐ（２）＝（２一Ａ１）（ｚ—Ａ２．）…（ｇ～≈）＝
∥＋户ｌ矿＿１＋户２∥＿２＋…＋户。
（４）
九（Ａ一卵）＝”（ｉ一１，２，…，咒）成立的Ｆ的能控标
准形求法为
Ｆ一［夕ｌ一口１
（５）
则系统（２）的状态反馈阵Ｆ的阿克曼公式为［５］：
Ｆ一［ｏｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ｇ）其中Ｑｃ一［Ｈ
户２一日２…Ａ一口。］・Ｑ，・Ｑ『１
（７）
ＧＨ…Ｇ一１Ｈ］；Ｐ（Ｇ）是将希望特征
其中ｐｊ：希望特征多项式Ｐ（ｓ）＝（ｓ—Ａ？）（ｓ一露）…（ｓ一材）＝，＋户－，－１＋户２ｓ一２十…＋户。的系数。
口，：原系统特征多项式９（ｓ）一ｌｓ，一Ａｌ一，＋口ｌｓ一１＋…＋口。的系数。
多项式（４）中的名换成Ｇ所得的矩阵多项式。
利用式（１）和（２）可得到如下对应关系连续系统：
ｓ
Ａ６
Ｑｃ＝［６Ａ６…Ａ”１６］
Ｑｆ：Ｑｆ＝
ｌ０
口１盘ｎ一１
离散系统：
２
１
：
●
口Ｈ一２
Ｇ
Ｈ
Ｑｃ＝［日ＧＨ…９叫目］
：
●
０Ｏ１
由以上对应关系可得线性连续时不变系统（１）
Ｑ。：能达性矩阵，Ｑｃ一［６
的求Ｆ的阿克曼公式为
Ａ６…∥叫６］而对应
（８）
进行状态反馈极点配置的状态反馈阵Ｆ的阿克曼
公式为
Ｆ＝［Ｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）其中Ｑｃ一［６
（６）
Ｆ＝［ｏ…０１］ＱｆｌＰ（Ａ）
下面证明式（７）和式（８）的一致性，即
Ａ６…Ａ－１６］；Ｐ（Ａ）是将连续系统的希
Ｆ＝［户ｌ一口ｌ户２一口２…Ａ一口。］・Ｑ‘．Ｑ＿１一
（９）
望特征多项式中的ｓ换成Ａ所得的矩阵多项式。
由此可见，计算机控制系统中的阿克曼公式可用于连续系统中进行状态反馈极点配置，只不过是将离散系统的可达性矩阵和希望特征多项式矩阵换成相对应的连续系统的而已。
［ｏ…０１］Ｑ『１Ｐ（Ａ）
证明：假设系统（１）是能达的，通过坐标变换；
＝亿改变状态变量，把式（１）变换为能达规范形，
变换后的状态方程为
；（ｆ）＝Ａ；（ｆ）＋６“（ｆ）
（１０）
其中
说明：阿克曼公式是针对系统是单输入情况下给出的，此时Ｆ唯一。若系统是多输入，则Ｆ不唯一，但其较为简单的方法是将多输入等效为单输入模型，然后再用阿克曼公式，不过此时需作些等效变换。
．．．Ｏ
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Ａ一
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一
一
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万方数据
第２７卷第６期李娟等：阿克曼公式在连续系统极点配置中的应用
６１
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…，
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…
１
ｊ
万方数据
［ｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）（１７）
Ｆ一［户１一口ｌ
户２一口２…户。一口。］・Ｑ，・Ｑ＿１一
［ｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）
（１）第一项［ｏ…０１］不用求，而式（７）中的第一项
应用实例
【实例】给定单输入３维连续时间线性时不变
；ｃｔ，一匮‘６一毫２］ｚｃｔ，＋医］“ｃｔ，
Ｌ０
１
—１２－ＪＬ０．Ｊ
（１）因Ｑ，
＝
［６
Ａ６
Ａ２６］
＝
雌≮６卜
『１ｏ
ｏ］
ｌ
ｏ
ｏ
】
加、乘法运算复杂，尤其在高阶系统中。
３
６２
电气电子教学学报２７卷
（２）求希望特征多项式Ｐ（５）
尸（ｓ）＝（ｓ—Ａ１）（ｓ—Ａ２）（ｓ—Ａ３）一
５３＋４ｓ２＋６ｓ＋４
Ｆ＝［ｏ
ｏ
１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）一
Ｏ
１
．
［ｏ
０
０
０
ｏ
１］
１Ｏ
６
×
（３）求Ａ的特征多项式
５
１
ｏ
４１８
ｏ
认ｓ）＝ｌｓ，一ＡＩ一
—１
Ｏ
ｓ＋６一１
—１０４
１８６１８６
ｏ
Ｉ—
ｓ＋１２
Ｌ一１４—１２２０ｊ
Ｌ一１４
Ｆ＝［户ｌ一口１，户２一口２，户３一口３］＝
—１２２０］
故无论从理论上还是从实践上都充分证明了能控标准形法和阿克曼公式法的一致性。而且从上例可看出，利用阿克曼公式远比用能控标准形法的算法和步骤简单。
ｒ１
１８
［一１４
—６６
４］
—１８
１
７２］＿１ｒ１２
ｏ
２５２］
蚕ｃ一匕
Ｑｃ一｜ｏ
ｌｏ
［一１４
ｏ
：
ｏ
１
Ｙｊ２匕
１８｜
ｌ
ｊＬｏ
：
ｏ
一，１８Ｊ
—１８
１
４
结论
本文提出了将离散系统的阿克曼公式应用于连
Ｊ
（６）求状态反馈阵Ｆ
续时间线性系统的状态反馈极点配置的设计中，并证明了连续时不变系统求状态反馈阵的阿克曼公式法和能控标准形法的一致性。在求反馈阵时，用阿克曼公式法来代替能控标准形法将简化设计的步骤，并且易于理解和记忆。参考文献：
［１］郑大钟．线性系统理论（第２版）［Ｍ］．北京：清华大学出版
社，２００２［２］
仝茂达．线性系统理论和设计［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，１９９８
［３］胡寿松．自动控制原理（第四版）［Ｍ］．北京：科学出版社，
２００１
Ｆ＝［户ｌ一以ｌ户２一口２…Ａ一日。］・Ｑ，・Ｑ＿１＝
—６６
４］Ｊｏ
『－１
—１８
１ｏ
Ｌ０
—１８｜×
１
２５２］
ｊ
『１１］
２‘一１４
１８６
匕：●６Ｊ
—１２２。３
【方法二】用阿克曼公式法
匕一轧妻２０］ｌ一１４
１８
［４］李嗣福．计算机控制基础［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版
社，２００１
［５］
张玉明．计算机控制系统分析与设计［Ｍ］．北京：中国电力出版社，２０００
—１０４
１８６
Ｏ
—１２２一
万方数据
阿克曼公式在连续系统极点配置中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李娟， 于文娟， 肖传强， LI Juan， YU Wen-juan， XIAO Chuan-qiang
李娟,于文娟,LI Juan,YU Wen-juan(莱阳农学院,机电工程学院,山东,莱阳,265200)， 肖传强,XIAO Chuan-qiang(莱阳农学院,植物保护学院,山东,莱阳,265200)电气电子教学学报
JOURNAL OF ELECTRICAL & ELECTRONIC EDUCATION2005，27(6)1次
参考文献(5条)
1. 郑大钟 线性系统理论 20022. 仝茂达 线性系统理论和设计 19983. 胡寿松 自动控制原理 20014. 李嗣福 计算机控制基础 2001
5. 张玉明 计算机控制系统分析与设计 2000
相似文献(10条)
1.期刊论文 韩忠旭. 孙颖 高阶惯性环节状态反馈极点配置的一种简易方法 -中国电机工程学报2002,22(4)
控制系统的各种特性和各种品质指标,很大程度上是由系统的极点位置所决定的.因此,系统综合指标的形式之一,是在s平面上给出一组所希望的极点.所谓极点配置就是通过反馈阵的选择,使闭环系统的极点,恰好处于所希望的一组极点的位置上.即是仅通过状态反馈,就能任意配置极点.对于一个确定的状态反馈极点配置问题,当采用不同的方法去求解时,可以得到不同的状态增益阵.这说明了状态反馈极点配置问题解的不唯一性.由于状态反馈极点配置问题的求解方法具有较强的理论性和一定的计算工作量,因而,常常会影响在工程环境中的应用.该文提供一种方法,当被控对象为高阶惯性环节时,可运用代数学中普遍应用的二项式定理,将高阶惯性环节的状态反馈极点配置问题的矩阵运算转换成代数运算,从而简化了状态反馈极点配置问题的求解过程.该方法简单实用,仿真试验结果表明了该算法的有效性.
2.学位论文 杨延烁 基于LMI的不确定切换系统的极点配置 2008
不确定切换系统是一类重要的混杂系统，不确定系统主要包括两类：动态不确定性和参数不确定性。模型不确定性一般是动态不确定性和参数不确定性的组合，并可能出现在控制环的不同位置上。本文研究了一类不确定线性切换系统基于状态反馈的极点配置和鲁棒性问题。此类切换系统不仅具有未知但有界的结构不确定性，而且具有外部扰动。具体工作如下：
首先研究了一类带有状态不确定性的切换系统的极点配置和最小扰动衰减水平问题，此类切换系统不仅具有未知但有界的结构不确定性，而且具有外部扰动。利用公共Lyapunov函数方法，给出不确定切换系统可经状态反馈镇定的条件与切换策略的设计方法来保证：(1)各线性子系统的特征值位于左半复平面的选定圆内，(2)最小化闭环切换系统的扰动衰减水平。在各子系统不稳定的前提下，设计切换系统的状态反馈控制器，使得在任意切换策略下系统的闭环极点配置在左半复平面，且具有较好的鲁棒性，系统渐近稳定。用易于求解的线性矩阵不等式表示出结果，通过仿真验证了结论的正确有效性。
其次研究了另一类带有输入不确定性的切换系统。这类切换系统同样不仅具有未知但有界的结构不确定性，而且具有外部扰动。利用公共
Lyapunov函数，用易于求解的线性矩阵不等式形式来表示使切换系统稳定的充分条件。该条件保证各子系统的特征值位于左半复平面的选定圆内，通过仿真验证了所设计的切换系统在状态反馈控制器下渐近稳定，且具有良好的极点配置和最小γ衰减水平。
最后研究了不确定切换系统的保成本控制问题。为了让带有不确定性的切换系统能够满足一定的动态特性和静态特性，同时满足保性能控制的要求。利用圆盘的特性，将圆盘的极点约束和保性能要求有机地结合起来，导出了问题的解。 对全文工作进行了总结，并指出了下一步可深入研究的方向。
3.期刊论文 孙宝彩. 祁载康. SUN Bao-cai. QI Zai-kang 带状态反馈约束的驾驶仪极点配置设计方法 -系统仿真学报2006,18(z2)
将成熟的极点配置算法引入带状态反馈约束的自动驾驶仪设计中,提出了利用极点配置的求解工具将带状态反馈约束系统的非线性方程求解问题的阶数降低速一设计思路.具体方法是设置极点约束,利用极点配置求解的方便性,将极点配置算法求得的反馈增益与状态反馈约束组成非线性方程组,使原来的n阶非线性方程求解问题降阶,从而降低求解难度,通过求解非线性方程组进而完成自动驾驶仪设计.随后通过具体的带状态反馈约束的滚转驾驶仪设计例子验证了这一设计思路是可行的.
4.会议论文 孙宝彩. 祁载康 带状态反馈约束的驾驶仪极点配置设计方法 2006
将成熟的极点配置算法引入带状态反馈约束的自动驾驶仪设计中,提出了利用极点配置的求解工具将带状态反馈约束系统的非线性方程求解问题的阶数降低速一设计思路.具体方法是设置极点约束,利用极点配置求解的方便性,将极点配置算法求得的反馈增益与状态反馈约束组成非线性方程组,使原来的n阶非线性方程求解问题降阶,从而降低求解难度,通过求解非线性方程组进而完成自动驾驶仪设计.随后通过具体的带状态反馈约束的滚转驾驶仪设计例子验证了这一设计思路是可行的.
5.学位论文 惠晓春 不确定系统极点配置算法研究 2007
进入二十世纪50年代后,以状态空间法为基础的现代控制理论取得了飞速的发展,较好地解决了经典控制理论难以有效地处理MIMO系统的问题.但是,现代控制理论的分析和研究依赖于给定系统的数学模型,当系统中存在模型误差时便无能为力了.同时,在实际的工业控制过程中,由于未知扰动的输入和未建模动态,因此不可避免地存在着不确定性误差,此时便很难对被控对象建立精确的数学模型.建立在精确数学模型之上的控制理论已无法满足实际的需求.以不确定系统为研究对象的鲁棒控制理论就成了控制界一个日益关注的话题.近年来鲁棒控制器的设计方法也层出不穷,其中研究成果较多的当属区域极点配置、H控制和H控制.综合多种方法,取长补短,设计出能同时满足多项指标要求的控制器,具有很重要的意义.不少学者为解决这一问题做出了大量的努力和尝试,并取得了一些研究成果.
本文正是在前人研究的基础上,对一类不确定性系统的极点配置、区域极点配置和带有区域极点配置的H/H混合控制方法进行了研究,设计了相应的鲁棒控制器,通过计算机仿真,对相应的控制效果作了简单的分析和总结,具体工作如下: 1)不确定性鲁棒控制理论的研究历史和现状进行了综述；
2)针对线性时不变系统的鲁棒控制进行研究,简要分析了线性时不变系统精确极点配置和区域极点配置；着重论证了采用Butterworth滤波器原理设计的具有高鲁棒性的状态反馈控制律.并分别予以实例仿真:
3)分析了将一类不确定性系统配置在一个给定的区域的算法过程,给出了控制律存在的充分必要条件,并通过实例验证了该算法的有效性； 4)研究对一类不确定系统,将区域极点配置与H/H混合控制相结合设计状态反馈控制器.通过仿真研究,证明了算法的可行性和有效性.
6.期刊论文 韩忠旭 高阶二次环节状态反馈极点配置的一种代数分析方法 -中国电机工程学报2002,22(9)
状态反馈极点配置具有较强的理论性和一定程度的计算量,因此常常会影响其在工程环境中得到很好地应用.该文提供一种方法,当被控对象为高阶二次环节时,可运用代数学中普遍应用的二项式定理,将高阶二次环节的状态反馈极点配置问题的矩阵运算转换成代数运算,从而简化状态反馈极点配置问题的求解过程.
7.学位论文 李铁香 鲁棒性极点配置问题的Schur-Newton算法 2007
本文主要研究标准线性系统和广义线性系统的鲁棒性极点配置问题。我们针对这两种系统实特征值和复特征值的情况，将正规性偏离度和正规性偏离度与反馈矩阵的F范数的组合作为鲁棒性度量，分别提出了相应的Schur-Newton算法和修正的Schur-Newton算法，以求得使鲁棒性度量值最小的状态反馈矩阵，同时我们的算法对特征值的结构没有任何限制。
对标准线性系统x(t)=Ax(t)+Bu(t)，我们求状态反馈控制u(t)=Fx(t)，使得闭环系统x(t)=(A+BF)x(t)具有预先给定的特征值。基于扰动分析中的Bauer-Fike定理和Henrici定理，我们首先以正规性偏离度作为鲁棒性度量，将Schur型算法的计算结果作为初始值，再用Newton法对此结果进行修正，使得所得结果为局部最优。大量的数值试验证明，我们的Schur-Newton算法相比于其它一些算法不仅可以保证正规性偏离度值最小，而且也在其他一些鲁棒性度量方面与已有的一些算法的计算结果有可比性。
类似地，对广义线性系统Ex(t)=Ax(t)+Bu(t)，我们亦求状态反馈控制u(t)=Fx(t)-Gx(t)，使得闭环系统(E+BG)x(t)=(A+BF)x(t)具有预先给定的特征值。基于扰动分析中的广义Bauer-Fike定理和广义Henrici定理，我们同样以正规性偏离度作为鲁棒性度量，首先将Schur型算法推广到广义系统上，并将其计算结果作为初始值，再利用Newton法对此初值进行修正，使得所得结果为局部最优。通过数值试验可以看出，我们的Schur-Newton算法可以保证得到的闭环系统矩阵具有最小的正规性偏离度。
为使我们的算法具有更强的实际应用性，我们又以正规性偏离度与反馈矩阵的F范数的组合作为新的鲁棒性度量，对标准线性系统和广义线性系统提出了修正的Sehur-Newton算法。此算法不仅可以满足实际工程应用中的更多要求，还具有更容易求取初始值的优点。更进一步地，在本算法的Newton迭代中，每一步的Jacobi矩阵均具有良好的条件数，我们可以充分利用其结构特点来加速算法。而大量的数值试验也证明，修正的Schur-Newton算法可以保证求得的闭环系统矩阵具有最小的新的鲁棒性度量值，而且求得的状态反馈矩阵的F范数亦很小。
8.期刊论文 张长青. 杨锋. 孟祖浩. 黄永宣. ZHANG Chang-qing. YANG Feng. MENG Zu-hao. HUANG Yong-xuan 锅炉汽温控制状态反馈极点配置的两种简易设计方法 -中国电机工程学报2006,26(9)
状态反馈极点配置对于大惯性锅炉汽温对象来讲是一种有效的控制方法.该文针对锅炉汽温的动态特性及控制方式的特点,提出了两种基于代数运算的简易极点配置方法,其一据二项式定理,将被控对象整定为时间常数可成倍减小的多阶惯性环节;其二利用代数运算实现了极点的任意配置.该配置方法避免了采用常规极点配置方法时较为繁琐的矩阵运算,便于工程应用,且极点配置过程以减小汽温对象的惯性时间和加快对象的响应过程为核心,有直观的工程物理意义.最后,利用某300MW火电机组汽温模型,验证了该极点配置方法的有效性和优越性.
9.会议论文 于海华. 王子华. 段广仁 广义线性系统P-D状态反馈极点配置
本文基于正则广义线性系统的受限等价变换,提出一种广义线性系统比例-微分状态反馈极点配置方法,该方法直接将单输入广义线性系统的极点配置到指定集合.在此基础上,将多输入广义线性系统的极点配置问题转化为单输入广义线性系统的极点配置问题.所提出的方法计算简单,易于编程实现.数值算例说明了该方法的有效性.
10.学位论文 任小红 广义系统状态空间综合与状态估计研究 2003
广义系统是一类有着广泛实际背景的控制系统,近年来对广义系统的研究有了迅速的发展,然而,目前不论是理论研究还是方法设计几乎都集中在奇异矩阵是方阵且分解式是标准分解的情形.该文首次提出了非方形广义系统的概念,利用矩阵的奇异值分解理论和矩阵的广义逆,讨论了广义系统的状态空间综合和广义随机系统的状态估计问题.利用广义系统的奇异值标准形式,研究了广义线性系统、非线性系统的状态反馈和极点配置问题,广义线性系统的输出反馈和极点配置问题,广义线性系统二次最优控制问题和广义随机系统的状态估计问题;该文还基于广义线性系统的Lyapunov方程和Riccati方程,研究了广义线性系统的渐近稳定性和镇定问题.主要结果如下:1、分别就奇异矩阵是方形和非方形两种情形,利用矩阵的奇异值分解理论,讨论了广义线性系统和广义非线性系统的状态反馈和极点配置问题,得到了广义线性系统极点配置的一种简便易行的方法.2、就奇异矩阵是方形和非方形两种情形,利用矩阵的奇异值分解和矩阵的广义逆,讨论了广义线性系统的输出反馈和极点配置问题,所采用的方法在目前有关广义线性系统的输出反馈和极点配置的研究中尚属首次,得到的反馈阵形式简单、易行.3、基于广义线性系统的Lyapunov方程,讨论了广义线性系统的渐近稳定性和镇定问题,得到了广义连续、离散线性系统渐近稳定的重要条件和相应的镇定方法.4、利用矩阵的奇异值分解理论,讨论了广义线性系统的二次指标最优控制问题,导出了解的存在性及其明确表示,并且分析了最优反馈控制系统的特性.5、分别就奇异矩阵是方形和非方形两种情形利用矩阵的奇异值分解和矩阵的广义逆,讨论了广义随机线性系统的状态估计问题,通过将系统分解成两个子系统,估计子系统的状态,得到了广义随机线性系统的最优一步预测递推方程和最优一步滤波递推方程.此种方法简便且计算量小.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dqdzjxxb200506017.aspx授权使用：华中科技大学(hzkjdx)，授权号：24d2b2ee-179f-4e64-801b-9e53014bbc07
下载时间：2010年12月21日
第２７卷第６期电气电子教学学报
Ｖ０１．２７Ｎｏ．６
２００５年１２月
ＪＯＵＲＮＡＬｏＦＥＥＥ
Ｉ）ｅｃ．２００５
阿克曼公式在连续系统极点配置中的应用
李
娟１，于文娟１，肖传强２
（１．莱阳农学院
机电工程学院，山东莱阳２６５２００；２．莱阳农学院
植物保护学院，山东莱阳２６５２００）
摘要：针对连续线性系统的状态反馈极点配置问题，提出了将离散系统的阿克曼公式法用于连续系统的设计，简化了设计的复杂性，并给出了阿克曼公式和能控标准形法的一致性证明．对线性系统的分析和设计有一定的实际意义。关键词：状态反馈；极点配置；阿克曼公式；能控标准形中图分类号：０２３１．】；Ｇ６４２．ｏ
文献标识码：Ａ
文章缩号：ｌ００８一０６８６（２００５）０６一００５９一０４
ＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＡｃｋｅｒｍａｎｎ，ｓＦｏｒｍｕｌａｉｎ
Ｐｏｌｅ—ｐｌａｃｅｍｅｎｔｏｆＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＳｙｓｔｅｍ
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０引言
１
阿克曼公式在连续系统中的应用
状态反馈极点配置在现代控制理论和线性系统【定理ｌ】给定托维单输入连续时间线性时不
理论中都有着举足轻重的地位，是状态观测器的设变受控系统（Ａ，６）和一组任意的期望闭环特征值计和用状态空间法设计控制器的理论基础。在有关（盯，村，…，砧），要求确定状态反馈阵Ｆ，使九（Ａ一文献［１￣３１中，都给出了连续线性系统状态反馈极点
６Ｆ）＝”（ｉ一１，２，…，聍）成立的Ｆ的阿克曼公式求配置的两种算法——对比系数法和能控标准形法。
法为
其中，对比系数法只能用于低阶系统，而能控标准形Ｆ＝［ｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）法又比较烦琐。笔者在有关计算机控制的有关书其中Ｑｃ＝［６
Ａ６…Ａ”１６］为可达性矩阵。
籍［４’５３中发现：在离散系统中可用阿克曼公式法进行Ｐ（Ａ）是将希望特征多项式中的ｓ换成Ａ所得状态反馈极点配置，且算法简洁明了，易理解易记的矩阵多项式。
忆。那么，阿克曼公式法是否也可以用于连续线性系
证明：设单输入连续时间线性时不变系统的状统进行状态反馈极点配置呢？如果可以，那么阿克曼
态方程为
公式法和能控标准形法是否一致呢？
主（￡）＝Ａｚ（ｆ）＋施（￡）
（１）
收稿日期：２００５一０８—３１；修回日期：２００５—１１一０３
第一作者；李娟（１９６９一），女，山东海阳人，副教授，主要从事电子技术、自动控制、计算机过程控制等的研究和教学工作。
万方数据
６０电气电子教学学报２７卷
其中ｚ（ｆ）为状态变量，“（ｔ）为控制变量，Ａ、６为定常矩阵。
，一，。；，．
．．
。
２阿克曼公式法和能控标准形法的一
致性
【定理２】在对连续时间线性时不变系统（１）进行状态反馈极点配置时，阿克曼公式法求状态反馈阵Ｆ和能控标准形法求状态反馈阵Ｆ在本质上
（３）
将式（１）离散化褥列的以’７’为采样周期的离散
时间线性时不变系统的状态方程为：
ｚ（愚＋１）一Ｇ．ｚ（是）＋ｊ，“（点）
（２）
则式（１）和式（２）之间的关系为
ｒＧ＝ｅ＾７’
１Ｈ＝岈叫・６
…，九的闭环系统，这个反馈由下式给出
“（愚）一——Ｆｚ（五）
是完全一致的。
证明：能控标准形法求状态反馈阵Ｆ的算法可描述如下［１矗］：
考虑式（２）的以阶系统，如果系统是能达的，则存在一个线性反馈，它给出具有希望的极点Ａ。，Ａ。，
［状态反馈阵算法］：给定咒维单输入连续时间
线性时不变受控系统（Ａ，６）和一组任意的期望闭环特征值（Ｗ，村，…，砧），要求确定状态反馈阵Ｆ，使
其希望的特征多项式为
Ｐ（２）＝（２一Ａ１）（ｚ—Ａ２．）…（ｇ～≈）＝
∥＋户ｌ矿＿１＋户２∥＿２＋…＋户。
（４）
九（Ａ一卵）＝”（ｉ一１，２，…，咒）成立的Ｆ的能控标
准形求法为
Ｆ一［夕ｌ一口１
（５）
则系统（２）的状态反馈阵Ｆ的阿克曼公式为［５］：
Ｆ一［ｏｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ｇ）其中Ｑｃ一［Ｈ
户２一日２…Ａ一口。］・Ｑ，・Ｑ『１
（７）
ＧＨ…Ｇ一１Ｈ］；Ｐ（Ｇ）是将希望特征
其中ｐｊ：希望特征多项式Ｐ（ｓ）＝（ｓ—Ａ？）（ｓ一露）…（ｓ一材）＝，＋户－，－１＋户２ｓ一２十…＋户。的系数。
口，：原系统特征多项式９（ｓ）一ｌｓ，一Ａｌ一，＋口ｌｓ一１＋…＋口。的系数。
多项式（４）中的名换成Ｇ所得的矩阵多项式。
利用式（１）和（２）可得到如下对应关系连续系统：
ｓ
Ａ６
Ｑｃ＝［６Ａ６…Ａ”１６］
Ｑｆ：Ｑｆ＝
ｌ０
口１盘ｎ一１
离散系统：
２
１
：
●
口Ｈ一２
Ｇ
Ｈ
Ｑｃ＝［日ＧＨ…９叫目］
：
●
０Ｏ１
由以上对应关系可得线性连续时不变系统（１）
Ｑ。：能达性矩阵，Ｑｃ一［６
的求Ｆ的阿克曼公式为
Ａ６…∥叫６］而对应
（８）
进行状态反馈极点配置的状态反馈阵Ｆ的阿克曼
公式为
Ｆ＝［Ｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）其中Ｑｃ一［６
（６）
Ｆ＝［ｏ…０１］ＱｆｌＰ（Ａ）
下面证明式（７）和式（８）的一致性，即
Ａ６…Ａ－１６］；Ｐ（Ａ）是将连续系统的希
Ｆ＝［户ｌ一口ｌ户２一口２…Ａ一口。］・Ｑ‘．Ｑ＿１一
（９）
望特征多项式中的ｓ换成Ａ所得的矩阵多项式。
由此可见，计算机控制系统中的阿克曼公式可用于连续系统中进行状态反馈极点配置，只不过是将离散系统的可达性矩阵和希望特征多项式矩阵换成相对应的连续系统的而已。
［ｏ…０１］Ｑ『１Ｐ（Ａ）
证明：假设系统（１）是能达的，通过坐标变换；
＝亿改变状态变量，把式（１）变换为能达规范形，
变换后的状态方程为
；（ｆ）＝Ａ；（ｆ）＋６“（ｆ）
（１０）
其中
说明：阿克曼公式是针对系统是单输入情况下给出的，此时Ｆ唯一。若系统是多输入，则Ｆ不唯一，但其较为简单的方法是将多输入等效为单输入模型，然后再用阿克曼公式，不过此时需作些等效变换。
．．．Ｏ
Ⅶ
Ａ一
，．．．
¨
一
一
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．．
口Ｏ；．．Ｏ
ｌ
．．．Ｏ
一
万方数据
第２７卷第６期李娟等：阿克曼公式在连续系统极点配置中的应用
６１
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…，
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ｍ）
Ｉ：
：
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：
Ｌｏ
ｏ
…
１
ｊ
万方数据
［ｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）（１７）
Ｆ一［户１一口ｌ
户２一口２…户。一口。］・Ｑ，・Ｑ＿１一
［ｏ…０１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）
（１）第一项［ｏ…０１］不用求，而式（７）中的第一项
应用实例
【实例】给定单输入３维连续时间线性时不变
；ｃｔ，一匮‘６一毫２］ｚｃｔ，＋医］“ｃｔ，
Ｌ０
１
—１２－ＪＬ０．Ｊ
（１）因Ｑ，
＝
［６
Ａ６
Ａ２６］
＝
雌≮６卜
『１ｏ
ｏ］
ｌ
ｏ
ｏ
】
加、乘法运算复杂，尤其在高阶系统中。
３
６２
电气电子教学学报２７卷
（２）求希望特征多项式Ｐ（５）
尸（ｓ）＝（ｓ—Ａ１）（ｓ—Ａ２）（ｓ—Ａ３）一
５３＋４ｓ２＋６ｓ＋４
Ｆ＝［ｏ
ｏ
１］Ｑ＿１Ｐ（Ａ）一
Ｏ
１
．
［ｏ
０
０
０
ｏ
１］
１Ｏ
６
×
（３）求Ａ的特征多项式
５
１
ｏ
４１８
ｏ
认ｓ）＝ｌｓ，一ＡＩ一
—１
Ｏ
ｓ＋６一１
—１０４
１８６１８６
ｏ
Ｉ—
ｓ＋１２
Ｌ一１４—１２２０ｊ
Ｌ一１４
Ｆ＝［户ｌ一口１，户２一口２，户３一口３］＝
—１２２０］
故无论从理论上还是从实践上都充分证明了能控标准形法和阿克曼公式法的一致性。而且从上例可看出，利用阿克曼公式远比用能控标准形法的算法和步骤简单。
ｒ１
１８
［一１４
—６６
４］
—１８
１
７２］＿１ｒ１２
ｏ
２５２］
蚕ｃ一匕
Ｑｃ一｜ｏ
ｌｏ
［一１４
ｏ
：
ｏ
１
Ｙｊ２匕
１８｜
ｌ
ｊＬｏ
：
ｏ
一，１８Ｊ
—１８
１
４
结论
本文提出了将离散系统的阿克曼公式应用于连
Ｊ
（６）求状态反馈阵Ｆ
续时间线性系统的状态反馈极点配置的设计中，并证明了连续时不变系统求状态反馈阵的阿克曼公式法和能控标准形法的一致性。在求反馈阵时，用阿克曼公式法来代替能控标准形法将简化设计的步骤，并且易于理解和记忆。参考文献：
［１］郑大钟．线性系统理论（第２版）［Ｍ］．北京：清华大学出版
社，２００２［２］
仝茂达．线性系统理论和设计［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，１９９８
［３］胡寿松．自动控制原理（第四版）［Ｍ］．北京：科学出版社，
２００１
Ｆ＝［户ｌ一以ｌ户２一口２…Ａ一日。］・Ｑ，・Ｑ＿１＝
—６６
４］Ｊｏ
『－１
—１８
１ｏ
Ｌ０
—１８｜×
１
２５２］
ｊ
『１１］
２‘一１４
１８６
匕：●６Ｊ
—１２２。３
【方法二】用阿克曼公式法
匕一轧妻２０］ｌ一１４
１８
［４］李嗣福．计算机控制基础［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版
社，２００１
［５］
张玉明．计算机控制系统分析与设计［Ｍ］．北京：中国电力出版社，２０００
—１０４
１８６
Ｏ
—１２２一
万方数据
阿克曼公式在连续系统极点配置中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李娟， 于文娟， 肖传强， LI Juan， YU Wen-juan， XIAO Chuan-qiang
李娟,于文娟,LI Juan,YU Wen-juan(莱阳农学院,机电工程学院,山东,莱阳,265200)， 肖传强,XIAO Chuan-qiang(莱阳农学院,植物保护学院,山东,莱阳,265200)电气电子教学学报
JOURNAL OF ELECTRICAL & ELECTRONIC EDUCATION2005，27(6)1次
参考文献(5条)
1. 郑大钟 线性系统理论 20022. 仝茂达 线性系统理论和设计 19983. 胡寿松 自动控制原理 20014. 李嗣福 计算机控制基础 2001
5. 张玉明 计算机控制系统分析与设计 2000
相似文献(10条)
1.期刊论文 韩忠旭. 孙颖 高阶惯性环节状态反馈极点配置的一种简易方法 -中国电机工程学报2002,22(4)
控制系统的各种特性和各种品质指标,很大程度上是由系统的极点位置所决定的.因此,系统综合指标的形式之一,是在s平面上给出一组所希望的极点.所谓极点配置就是通过反馈阵的选择,使闭环系统的极点,恰好处于所希望的一组极点的位置上.即是仅通过状态反馈,就能任意配置极点.对于一个确定的状态反馈极点配置问题,当采用不同的方法去求解时,可以得到不同的状态增益阵.这说明了状态反馈极点配置问题解的不唯一性.由于状态反馈极点配置问题的求解方法具有较强的理论性和一定的计算工作量,因而,常常会影响在工程环境中的应用.该文提供一种方法,当被控对象为高阶惯性环节时,可运用代数学中普遍应用的二项式定理,将高阶惯性环节的状态反馈极点配置问题的矩阵运算转换成代数运算,从而简化了状态反馈极点配置问题的求解过程.该方法简单实用,仿真试验结果表明了该算法的有效性.
2.学位论文 杨延烁 基于LMI的不确定切换系统的极点配置 2008
不确定切换系统是一类重要的混杂系统，不确定系统主要包括两类：动态不确定性和参数不确定性。模型不确定性一般是动态不确定性和参数不确定性的组合，并可能出现在控制环的不同位置上。本文研究了一类不确定线性切换系统基于状态反馈的极点配置和鲁棒性问题。此类切换系统不仅具有未知但有界的结构不确定性，而且具有外部扰动。具体工作如下：
首先研究了一类带有状态不确定性的切换系统的极点配置和最小扰动衰减水平问题，此类切换系统不仅具有未知但有界的结构不确定性，而且具有外部扰动。利用公共Lyapunov函数方法，给出不确定切换系统可经状态反馈镇定的条件与切换策略的设计方法来保证：(1)各线性子系统的特征值位于左半复平面的选定圆内，(2)最小化闭环切换系统的扰动衰减水平。在各子系统不稳定的前提下，设计切换系统的状态反馈控制器，使得在任意切换策略下系统的闭环极点配置在左半复平面，且具有较好的鲁棒性，系统渐近稳定。用易于求解的线性矩阵不等式表示出结果，通过仿真验证了结论的正确有效性。
其次研究了另一类带有输入不确定性的切换系统。这类切换系统同样不仅具有未知但有界的结构不确定性，而且具有外部扰动。利用公共
Lyapunov函数，用易于求解的线性矩阵不等式形式来表示使切换系统稳定的充分条件。该条件保证各子系统的特征值位于左半复平面的选定圆内，通过仿真验证了所设计的切换系统在状态反馈控制器下渐近稳定，且具有良好的极点配置和最小γ衰减水平。
最后研究了不确定切换系统的保成本控制问题。为了让带有不确定性的切换系统能够满足一定的动态特性和静态特性，同时满足保性能控制的要求。利用圆盘的特性，将圆盘的极点约束和保性能要求有机地结合起来，导出了问题的解。 对全文工作进行了总结，并指出了下一步可深入研究的方向。
3.期刊论文 孙宝彩. 祁载康. SUN Bao-cai. QI Zai-kang 带状态反馈约束的驾驶仪极点配置设计方法 -系统仿真学报2006,18(z2)
将成熟的极点配置算法引入带状态反馈约束的自动驾驶仪设计中,提出了利用极点配置的求解工具将带状态反馈约束系统的非线性方程求解问题的阶数降低速一设计思路.具体方法是设置极点约束,利用极点配置求解的方便性,将极点配置算法求得的反馈增益与状态反馈约束组成非线性方程组,使原来的n阶非线性方程求解问题降阶,从而降低求解难度,通过求解非线性方程组进而完成自动驾驶仪设计.随后通过具体的带状态反馈约束的滚转驾驶仪设计例子验证了这一设计思路是可行的.
4.会议论文 孙宝彩. 祁载康 带状态反馈约束的驾驶仪极点配置设计方法 2006
将成熟的极点配置算法引入带状态反馈约束的自动驾驶仪设计中,提出了利用极点配置的求解工具将带状态反馈约束系统的非线性方程求解问题的阶数降低速一设计思路.具体方法是设置极点约束,利用极点配置求解的方便性,将极点配置算法求得的反馈增益与状态反馈约束组成非线性方程组,使原来的n阶非线性方程求解问题降阶,从而降低求解难度,通过求解非线性方程组进而完成自动驾驶仪设计.随后通过具体的带状态反馈约束的滚转驾驶仪设计例子验证了这一设计思路是可行的.
5.学位论文 惠晓春 不确定系统极点配置算法研究 2007
进入二十世纪50年代后,以状态空间法为基础的现代控制理论取得了飞速的发展,较好地解决了经典控制理论难以有效地处理MIMO系统的问题.但是,现代控制理论的分析和研究依赖于给定系统的数学模型,当系统中存在模型误差时便无能为力了.同时,在实际的工业控制过程中,由于未知扰动的输入和未建模动态,因此不可避免地存在着不确定性误差,此时便很难对被控对象建立精确的数学模型.建立在精确数学模型之上的控制理论已无法满足实际的需求.以不确定系统为研究对象的鲁棒控制理论就成了控制界一个日益关注的话题.近年来鲁棒控制器的设计方法也层出不穷,其中研究成果较多的当属区域极点配置、H控制和H控制.综合多种方法,取长补短,设计出能同时满足多项指标要求的控制器,具有很重要的意义.不少学者为解决这一问题做出了大量的努力和尝试,并取得了一些研究成果.
本文正是在前人研究的基础上,对一类不确定性系统的极点配置、区域极点配置和带有区域极点配置的H/H混合控制方法进行了研究,设计了相应的鲁棒控制器,通过计算机仿真,对相应的控制效果作了简单的分析和总结,具体工作如下: 1)不确定性鲁棒控制理论的研究历史和现状进行了综述；
2)针对线性时不变系统的鲁棒控制进行研究,简要分析了线性时不变系统精确极点配置和区域极点配置；着重论证了采用Butterworth滤波器原理设计的具有高鲁棒性的状态反馈控制律.并分别予以实例仿真:
3)分析了将一类不确定性系统配置在一个给定的区域的算法过程,给出了控制律存在的充分必要条件,并通过实例验证了该算法的有效性； 4)研究对一类不确定系统,将区域极点配置与H/H混合控制相结合设计状态反馈控制器.通过仿真研究,证明了算法的可行性和有效性.
6.期刊论文 韩忠旭 高阶二次环节状态反馈极点配置的一种代数分析方法 -中国电机工程学报2002,22(9)
状态反馈极点配置具有较强的理论性和一定程度的计算量,因此常常会影响其在工程环境中得到很好地应用.该文提供一种方法,当被控对象为高阶二次环节时,可运用代数学中普遍应用的二项式定理,将高阶二次环节的状态反馈极点配置问题的矩阵运算转换成代数运算,从而简化状态反馈极点配置问题的求解过程.
7.学位论文 李铁香 鲁棒性极点配置问题的Schur-Newton算法 2007
本文主要研究标准线性系统和广义线性系统的鲁棒性极点配置问题。我们针对这两种系统实特征值和复特征值的情况，将正规性偏离度和正规性偏离度与反馈矩阵的F范数的组合作为鲁棒性度量，分别提出了相应的Schur-Newton算法和修正的Schur-Newton算法，以求得使鲁棒性度量值最小的状态反馈矩阵，同时我们的算法对特征值的结构没有任何限制。
对标准线性系统x(t)=Ax(t)+Bu(t)，我们求状态反馈控制u(t)=Fx(t)，使得闭环系统x(t)=(A+BF)x(t)具有预先给定的特征值。基于扰动分析中的Bauer-Fike定理和Henrici定理，我们首先以正规性偏离度作为鲁棒性度量，将Schur型算法的计算结果作为初始值，再用Newton法对此结果进行修正，使得所得结果为局部最优。大量的数值试验证明，我们的Schur-Newton算法相比于其它一些算法不仅可以保证正规性偏离度值最小，而且也在其他一些鲁棒性度量方面与已有的一些算法的计算结果有可比性。
类似地，对广义线性系统Ex(t)=Ax(t)+Bu(t)，我们亦求状态反馈控制u(t)=Fx(t)-Gx(t)，使得闭环系统(E+BG)x(t)=(A+BF)x(t)具有预先给定的特征值。基于扰动分析中的广义Bauer-Fike定理和广义Henrici定理，我们同样以正规性偏离度作为鲁棒性度量，首先将Schur型算法推广到广义系统上，并将其计算结果作为初始值，再利用Newton法对此初值进行修正，使得所得结果为局部最优。通过数值试验可以看出，我们的Schur-Newton算法可以保证得到的闭环系统矩阵具有最小的正规性偏离度。
为使我们的算法具有更强的实际应用性，我们又以正规性偏离度与反馈矩阵的F范数的组合作为新的鲁棒性度量，对标准线性系统和广义线性系统提出了修正的Sehur-Newton算法。此算法不仅可以满足实际工程应用中的更多要求，还具有更容易求取初始值的优点。更进一步地，在本算法的Newton迭代中，每一步的Jacobi矩阵均具有良好的条件数，我们可以充分利用其结构特点来加速算法。而大量的数值试验也证明，修正的Schur-Newton算法可以保证求得的闭环系统矩阵具有最小的新的鲁棒性度量值，而且求得的状态反馈矩阵的F范数亦很小。
8.期刊论文 张长青. 杨锋. 孟祖浩. 黄永宣. ZHANG Chang-qing. YANG Feng. MENG Zu-hao. HUANG Yong-xuan 锅炉汽温控制状态反馈极点配置的两种简易设计方法 -中国电机工程学报2006,26(9)
状态反馈极点配置对于大惯性锅炉汽温对象来讲是一种有效的控制方法.该文针对锅炉汽温的动态特性及控制方式的特点,提出了两种基于代数运算的简易极点配置方法,其一据二项式定理,将被控对象整定为时间常数可成倍减小的多阶惯性环节;其二利用代数运算实现了极点的任意配置.该配置方法避免了采用常规极点配置方法时较为繁琐的矩阵运算,便于工程应用,且极点配置过程以减小汽温对象的惯性时间和加快对象的响应过程为核心,有直观的工程物理意义.最后,利用某300MW火电机组汽温模型,验证了该极点配置方法的有效性和优越性.
9.会议论文 于海华. 王子华. 段广仁 广义线性系统P-D状态反馈极点配置
本文基于正则广义线性系统的受限等价变换,提出一种广义线性系统比例-微分状态反馈极点配置方法,该方法直接将单输入广义线性系统的极点配置到指定集合.在此基础上,将多输入广义线性系统的极点配置问题转化为单输入广义线性系统的极点配置问题.所提出的方法计算简单,易于编程实现.数值算例说明了该方法的有效性.
10.学位论文 任小红 广义系统状态空间综合与状态估计研究 2003
广义系统是一类有着广泛实际背景的控制系统,近年来对广义系统的研究有了迅速的发展,然而,目前不论是理论研究还是方法设计几乎都集中在奇异矩阵是方阵且分解式是标准分解的情形.该文首次提出了非方形广义系统的概念,利用矩阵的奇异值分解理论和矩阵的广义逆,讨论了广义系统的状态空间综合和广义随机系统的状态估计问题.利用广义系统的奇异值标准形式,研究了广义线性系统、非线性系统的状态反馈和极点配置问题,广义线性系统的输出反馈和极点配置问题,广义线性系统二次最优控制问题和广义随机系统的状态估计问题;该文还基于广义线性系统的Lyapunov方程和Riccati方程,研究了广义线性系统的渐近稳定性和镇定问题.主要结果如下:1、分别就奇异矩阵是方形和非方形两种情形,利用矩阵的奇异值分解理论,讨论了广义线性系统和广义非线性系统的状态反馈和极点配置问题,得到了广义线性系统极点配置的一种简便易行的方法.2、就奇异矩阵是方形和非方形两种情形,利用矩阵的奇异值分解和矩阵的广义逆,讨论了广义线性系统的输出反馈和极点配置问题,所采用的方法在目前有关广义线性系统的输出反馈和极点配置的研究中尚属首次,得到的反馈阵形式简单、易行.3、基于广义线性系统的Lyapunov方程,讨论了广义线性系统的渐近稳定性和镇定问题,得到了广义连续、离散线性系统渐近稳定的重要条件和相应的镇定方法.4、利用矩阵的奇异值分解理论,讨论了广义线性系统的二次指标最优控制问题,导出了解的存在性及其明确表示,并且分析了最优反馈控制系统的特性.5、分别就奇异矩阵是方形和非方形两种情形利用矩阵的奇异值分解和矩阵的广义逆,讨论了广义随机线性系统的状态估计问题,通过将系统分解成两个子系统,估计子系统的状态,得到了广义随机线性系统的最优一步预测递推方程和最优一步滤波递推方程.此种方法简便且计算量小.
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下载时间：2010年12月21日