(一) 不等关系与不等式
1. 比较原理：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a
(1)做差法: a >b ⇔a -b >0；a
2．不等式的性质：
（1）对称性:a >b ⇔b a （2）传递性:a >b , b >c ⇒，a >c （3）可加性:a >b ⇔. a +c >b +c 移项法则:a +b >c ⇔a >c -b
推论：同向不等式可加. a >b , c >d ⇒ a +c >b +d （4）可乘性:a >b , c >0⇒ac >bc ，a >b , c b >0, c >d >0⇒ac >bd 推论2：可乘方(正):a >b >0⇒ a n >b n ` (n ∈N , n ≥2)
*
(5) 可开方(正):a >b >0⇒
> (n ∈N , n ≥2)
*
(二) 一元二次不等式及其解法
一. 解不等式的有关理论
（1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；
（2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称
为不等式的同解变形；
（3） 解不等式时应进行同解变形；
（4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。
二. 一元二次不等式的解集
c
三. 解一元二次不等式的基本步骤：
（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数；尝试用“十字相乘法”分解因式； （2） 计算∆=b 2-4ac :结合二次函数的图象特征写出解集。
（3） 四. 高次不等式解法：
尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解 （注意每个因式的最高次项的系数要求为正数） 五. 分式不等式的解法：
分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；
(三) 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
(一) 二元一次不等式表示的区域
对于直线Ax +By +C =0(A>0)
当B>0时, Ax +By +C >0表示直线Ax +By +C =0; Ax +By +C
当B0表示直线Ax +By +C =0下方区域; Ax +By +C
（二）线性规划
(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件. z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数. 由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.
(3)那么，满足线性约束条件的解（x , y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域. 在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域. 其中可行解（x 1, y 1）和（x 2, y 2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得; 而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1. 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2. 设z =0，画出直线l 0.
3. 观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解. 4. 最后求得目标函数的最大值及最小值.
(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.
（2）求线性规划的最优解 (四) 基本不等式
1. 基本形式:a , b ∈R , 则a 2+b 2≥2ab ; a >0, b >0,
则a +b ≥当且仅当a =b 时
等号成立.
2求最值:当ab 为定值时, a +b , a +b 有最小值; 当a +b 或a 2+b 2为定值时, ab 有最大值(a >0, b >0).
2
2
a +b ≤≤3. 拓展：若a >0, b >0时
, 当且仅当a =b 时等号成立. 2+a b
2
(一) 不等关系与不等式
1. 比较原理：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a
(1)做差法: a >b ⇔a -b >0；a
2．不等式的性质：
（1）对称性:a >b ⇔b a （2）传递性:a >b , b >c ⇒，a >c （3）可加性:a >b ⇔. a +c >b +c 移项法则:a +b >c ⇔a >c -b
推论：同向不等式可加. a >b , c >d ⇒ a +c >b +d （4）可乘性:a >b , c >0⇒ac >bc ，a >b , c b >0, c >d >0⇒ac >bd 推论2：可乘方(正):a >b >0⇒ a n >b n ` (n ∈N , n ≥2)
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(5) 可开方(正):a >b >0⇒
> (n ∈N , n ≥2)
*
(二) 一元二次不等式及其解法
一. 解不等式的有关理论
（1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；
（2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称
为不等式的同解变形；
（3） 解不等式时应进行同解变形；
（4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。
二. 一元二次不等式的解集
c
三. 解一元二次不等式的基本步骤：
（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数；尝试用“十字相乘法”分解因式； （2） 计算∆=b 2-4ac :结合二次函数的图象特征写出解集。
（3） 四. 高次不等式解法：
尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解 （注意每个因式的最高次项的系数要求为正数） 五. 分式不等式的解法：
分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；
(三) 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
(一) 二元一次不等式表示的区域
对于直线Ax +By +C =0(A>0)
当B>0时, Ax +By +C >0表示直线Ax +By +C =0; Ax +By +C
当B0表示直线Ax +By +C =0下方区域; Ax +By +C
（二）线性规划
(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件. z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数. 由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.
(3)那么，满足线性约束条件的解（x , y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域. 在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域. 其中可行解（x 1, y 1）和（x 2, y 2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得; 而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1. 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2. 设z =0，画出直线l 0.
3. 观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解. 4. 最后求得目标函数的最大值及最小值.
(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.
（2）求线性规划的最优解 (四) 基本不等式
1. 基本形式:a , b ∈R , 则a 2+b 2≥2ab ; a >0, b >0,
则a +b ≥当且仅当a =b 时
等号成立.
2求最值:当ab 为定值时, a +b , a +b 有最小值; 当a +b 或a 2+b 2为定值时, ab 有最大值(a >0, b >0).
2
2
a +b ≤≤3. 拓展：若a >0, b >0时
, 当且仅当a =b 时等号成立. 2+a b
2