03.换元法

03、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件

x+y1-根2≥-c c≥根2-1

SS

（3）均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

22

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,



]。 2

（4）增量换元

若题目的已知中有形如ab的条件，则可考虑设abt,t0，将问题进行转化。此法称为增量换元，也叫设差换元。它的作用是将不等条件转化为相等条件，使得式子方便地进行运算变形。 已知x,y,z(0,1)，且xyz2. 求证

xyyzxz1

证明由x,y,z(0,1),　存在,,(0,1),　且

x1,y1,z1由【简解】设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；

2

2

13x

5. 方程＝3的解是_______________。

13x

【简解】设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝

x

2

1

，所以x＝－1； 3

6.不等式log2(2－1) ²log2(2

xx

x1

－2)〈2的解集是_______________。

【简解】设log2(2－1)＝y，则y(y＋1)

5

,log23)。 4

二、举例分析：

例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求2

2

2

2

1

＋

1的值。（93年全

求|

≤1∴ 39S－160S＋100≤0 解得：

2

1010

≤S≤ 133

∴

1Smax

＋

1Smin

＝

313168

＋＝＝ 1010105

2

2

2

2

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sin

α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换

元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝S＋t、y＝S－t，减少了元的个数，

2

2

2

2

22

问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。

本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,

2

2

2

52

]，所以S＝(a－b)＋

3

A

＝

【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以

112

＋＝－ cosAcosCcosB

11

＝－22，设＝－2＋m，＝－2－m ，

cosAcosC

所以cosA＝

11，cosC＝，两式分别相加、相减得：

2m2m

cosA＋cosC＝2cos

ACACAC2cos＝cos＝2， 222m2ACACAC2m

sin＝－sin＝2， 222m2

cosA－cosC＝－2sin

即：sin

AC222m2AC2AC4

＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m

22222m2(m2)

12

t＝-2时，取最小值：－2a－22a－

2

12

当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a＋22a－ ；

2

1

当0

2

12(0a)1222

∴ f(x)的最小值为－2a－22a－，最大值为。

2122

2a22a(a)22

【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx²cosx的内在联系，将

三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-

,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分a

t，

题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方

程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

xsinθcos2θ10cosθsin2θ

例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。 222

xyx2y3(xy)y

【解】 设

sinθcosθ22222

＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,xy

y210k2x210k2x2k2y210

代入②式得： 2＋＝＝ 即：2＋2＝

33xx3(x2y2)yy2

1xx

21

设2＝t，则t＋＝10 , 解得：t＝3或 ∴＝±3或±

t334

θ即： 代入不等式x＋y－k>0得：

y14sinθ

3cosθ＋4sinθ－k>0，即k

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区

域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。

22

16(x1)9(y1)144

当直线与椭圆相切时，方程组

xyk0

有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以

x

y D C

03、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件

x+y1-根2≥-c c≥根2-1

SS

（3）均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

22

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,



]。 2

（4）增量换元

若题目的已知中有形如ab的条件，则可考虑设abt,t0，将问题进行转化。此法称为增量换元，也叫设差换元。它的作用是将不等条件转化为相等条件，使得式子方便地进行运算变形。 已知x,y,z(0,1)，且xyz2. 求证

xyyzxz1

证明由x,y,z(0,1),　存在,,(0,1),　且

x1,y1,z1由【简解】设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；

2

2

13x

5. 方程＝3的解是_______________。

13x

【简解】设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝

x

2

1

，所以x＝－1； 3

6.不等式log2(2－1) ²log2(2

xx

x1

－2)〈2的解集是_______________。

【简解】设log2(2－1)＝y，则y(y＋1)

5

,log23)。 4

二、举例分析：

例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求2

2

2

2

1

＋

1的值。（93年全

求|

≤1∴ 39S－160S＋100≤0 解得：

2

1010

≤S≤ 133

∴

1Smax

＋

1Smin

＝

313168

＋＝＝ 1010105

2

2

2

2

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sin

α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换

元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝S＋t、y＝S－t，减少了元的个数，

2

2

2

2

22

问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。

本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,

2

2

2

52

]，所以S＝(a－b)＋

3

A

＝

【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以

112

＋＝－ cosAcosCcosB

11

＝－22，设＝－2＋m，＝－2－m ，

cosAcosC

所以cosA＝

11，cosC＝，两式分别相加、相减得：

2m2m

cosA＋cosC＝2cos

ACACAC2cos＝cos＝2， 222m2ACACAC2m

sin＝－sin＝2， 222m2

cosA－cosC＝－2sin

即：sin

AC222m2AC2AC4

＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m

22222m2(m2)

12

t＝-2时，取最小值：－2a－22a－

2

12

当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a＋22a－ ；

2

1

当0

2

12(0a)1222

∴ f(x)的最小值为－2a－22a－，最大值为。

2122

2a22a(a)22

【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx²cosx的内在联系，将

三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-

,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分a

t，

题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方

程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

xsinθcos2θ10cosθsin2θ

例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。 222

xyx2y3(xy)y

【解】 设

sinθcosθ22222

＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,xy

y210k2x210k2x2k2y210

代入②式得： 2＋＝＝ 即：2＋2＝

33xx3(x2y2)yy2

1xx

21

设2＝t，则t＋＝10 , 解得：t＝3或 ∴＝±3或±

t334

θ即： 代入不等式x＋y－k>0得：

y14sinθ

3cosθ＋4sinθ－k>0，即k

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区

域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。

22

16(x1)9(y1)144

当直线与椭圆相切时，方程组

xyk0

有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以

x

y D C