解三角形应用举例（第一课时）
教学目标：
1. 通过对实例的解决，能够运用正弦定理和余弦定理等解三角形问题，解决三种测距问题：两个可到达但不可直接测量点之间的距离；一个可到达点到一个不可到达点之间的距离；两个不可到达点之间的距离。
2. 经历将测距问题转化为解三角形问题的过程，认识解实际应用问题的研究方法：分析-建模-求解-检验，能够类比解决实际问题。
3. 通过将具体问题抽象为实数学问题的过程与方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。在解决问题的过程中体会数学的应用价值，体验成功的愉悦。
教学重点：分析测距问题的实际背景，将其转化为数学模型，并利用正弦定理和余弦定理等解三角形相关问题。
教学难点：如何从实际问题中抽象出数学问题，从而找到测量距离问题的方法。 教学过程：
一、 提出问题，猜想建构
解三角形就是由已知边和角求未知边和角，而在现实世界中，进行实地测量时没有三角形需要构造三角形，可测的边和角分别需要经纬仪和卷尺度量，下面我们先来介绍一下经纬仪的使用。
问题1 已知要在一个湖的两岸A 、B 间架设一座桥，不过湖你能利用所学过的解三角形的相关知识和两个工具设计一个方案，测量出A 、B 两点之间的距离吗？ 学生经过思考与讨论后得出解决方案：
生：方案一
构造形似三角形或全等三角形，利用相似比或对应边相等计算得出A 、B 两点之间的距离。 生：方案二
构造直角三角形，利用解直角三角形相关知识计算得出出
A 、B 两点之间的距离。
生：方案三
构造一般三角形，测出两角及一边，利用正弦定理计算
得出A 、B 两点之间的距离
师：请对几位同学提出的方案进行评价。
生：在实际测量中，由于受制于地理环境，前两种方案的设想可能无法实现。这提醒我们，在实际测量中，首先要“可测”，然后要“可算”，有的方案虽然计算简单，但实际操作未必能如愿。
师：若出A 、B 两点间恰有一个小岛将两点间的视线遮挡，无法测出∠BAC ，及∠ABC 你还有其它的测量方案吗？
生：方案四
取某一点C , 测量得出
AC , BC 距离为b , a 以及
角C 为α，则
由余弦定理得：
AB =a 2+
b 2-2ab cos α
师生共同总结：在这个问题中两点不可视但都可到达，不能直接测量，但是我们可以通过构造三角形利用钢卷尺测得两边的长再利用经纬仪测得两边的夹角，利用余弦定理得到第三条边的长。
二、变式深化，建立模型
问题2如图，若将上面问题中的湖变为一条敞
开的大河，设A 、B 两点在河的两岸，要测量
这两点之间的距离，测量者在A 的同侧（无法
过河），给你测量工具：经纬仪（测角）与钢
卷尺(度量长度) ，请你设计一个方案，用文字
和公式写出计算A 、B 两点间距离的步骤。
学生经过思考与讨论后得出解决方案：
生： 取一测量点C ，构造三角形
可测得AC 的距离及角A 、C ，
设AC=b,A=,C=, 可测算得 B=， ,
应用正弦定理得。
师生共同总结： 通过变式1
的学习我们解决了一类测量问题——测算一个可到达点到一
个不可到达点之间的距离，可以通过构造三角形，利用正弦定理计算得实际问题的解。 设计意图：从获取数据开始，使学生亲身经历并体验如何将实际问题转化为数学问题，从而得到解决。在讨论过程中，引导学生利用所学知识分三步层层发掘，探寻解决问题的最佳方案，感受数学的应用价值、人文价值、美学价值。
问题3那么如果两个点都在河的另一岸，人又无法过河，这两点之间的距离又该如何测算呢？
分析：若在测量者所在这一侧取一个点C 构造一
个三角形ABC 来计算，发现只有一个角C 可测，
不满足“知三求三，且其中至少有一边”的要求，
此三角形无法求解。那么如果想办法求出边AC 、
BC 的长度，再利用余弦定理就可以求出AB 的长
度了。而用什么办法求出AC 、BC 的长度呢？—
—又回归到例1的问题即测算一个可到达点到一
个不可到达点之间的距离。
各组同学进行模拟演练：
生：方案一
如图，再各取两个点D 、E ，用例1方法分别构造和, 可以测得∠ACD 、∠ADC 、 ∠BCE 、∠BEC 、∠ACB 的大小以及CD 、CE 的长，
分别在和中利用正弦定理算出AC 、BC 的长度，然后
再利用余弦定理就可以求出AB 的长度。
师：请同学们想一想还有没有别的测量方法？
生：方案二
如图，再取一点D ，用例1方法分别构造分别在和和, 利用正弦定理算出AC 、BC 的长度，
若测得测得CD= a ， 并且在C 、D 两点分别测得
∠BCA=，∠
ACD=, ∠
CDB=, ∠
BDA=,
在
，应用正弦定理得
，
. 和
计算出AC 和BC 后，再在
中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离。 ,
师生共同分析评价两种测量方案：方案一图形清晰，计算方便，但要取三个不同的测量点，实际操作中工作量大；方案二只需取两个测量点就可以了，实际工作量小，但得到的图形线段交叉，给计算带来干扰。两个方案各有千秋。因此在实际测量中要以“可测、可算”为基本原则，既要考虑实际工作量，又要兼顾计算，最好两全其美。
师生共同总结：（1）通过例2的学习我们又解决了一类测量问题——测算两个不可到达点之间的距离。
（2）在测量中，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1中的AC, 例2中的CD 。在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度。一般来说，基线越长，精确度越高。
设计意图：深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，加强学生的合作意识，培养学生探寻解决问题的方法的思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。
三、拓展思维，自我提升
练习1：一个晴朗的夜空，明月高悬，我们仰望夜空，不禁会有无限遐想，李白就曾经作诗“举头望明月，低头思故乡”，假设美丽的嫦娥在寒冷的月宫也思念故乡了，你能根据所学知识设计一个方案，帮助嫦娥计算她从月球返回到北京的近似距离。
生：仿例1完成，只不过从水平到铅直的变化。
师：从古至今人们试图用各种方法测量地月之间的距离，直到1671年两位法国科学家用三角测量法第一次比较精确地得到了地月之间的近似距离为385400km, 当然是随着科学技术的发展，我们还有一些更加先进与准确的测量距离的方法。有兴趣的同学可以去查阅一下相关的资料。
练习2：如果你在海上航行，请你设计一个测量海上两个小岛间距离的方法。
设计意图：回应章节引言所提出的疑问，让学生体会小定理可以解决大问题，在解题的过程中体验成功的愉悦。
四、归纳反思，总结提炼
1. 本节课我们解决了几类测量距离的问题？
2. 回顾两个测量问题的解决过程大致分为几个步骤进行？
学生总结，教师帮助归纳整理得出如下四个阶段：
设计意图：回顾反思，对所学习内容进行归纳总结
五、课后作业：《目标检测》P56-1、2、3、4，《必修5》P19-5、6、7，P24-6、7。
解三角形应用举例（第一课时）
教学目标：
1. 通过对实例的解决，能够运用正弦定理和余弦定理等解三角形问题，解决三种测距问题：两个可到达但不可直接测量点之间的距离；一个可到达点到一个不可到达点之间的距离；两个不可到达点之间的距离。
2. 经历将测距问题转化为解三角形问题的过程，认识解实际应用问题的研究方法：分析-建模-求解-检验，能够类比解决实际问题。
3. 通过将具体问题抽象为实数学问题的过程与方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。在解决问题的过程中体会数学的应用价值，体验成功的愉悦。
教学重点：分析测距问题的实际背景，将其转化为数学模型，并利用正弦定理和余弦定理等解三角形相关问题。
教学难点：如何从实际问题中抽象出数学问题，从而找到测量距离问题的方法。 教学过程：
一、 提出问题，猜想建构
解三角形就是由已知边和角求未知边和角，而在现实世界中，进行实地测量时没有三角形需要构造三角形，可测的边和角分别需要经纬仪和卷尺度量，下面我们先来介绍一下经纬仪的使用。
问题1 已知要在一个湖的两岸A 、B 间架设一座桥，不过湖你能利用所学过的解三角形的相关知识和两个工具设计一个方案，测量出A 、B 两点之间的距离吗？ 学生经过思考与讨论后得出解决方案：
生：方案一
构造形似三角形或全等三角形，利用相似比或对应边相等计算得出A 、B 两点之间的距离。 生：方案二
构造直角三角形，利用解直角三角形相关知识计算得出出
A 、B 两点之间的距离。
生：方案三
构造一般三角形，测出两角及一边，利用正弦定理计算
得出A 、B 两点之间的距离
师：请对几位同学提出的方案进行评价。
生：在实际测量中，由于受制于地理环境，前两种方案的设想可能无法实现。这提醒我们，在实际测量中，首先要“可测”，然后要“可算”，有的方案虽然计算简单，但实际操作未必能如愿。
师：若出A 、B 两点间恰有一个小岛将两点间的视线遮挡，无法测出∠BAC ，及∠ABC 你还有其它的测量方案吗？
生：方案四
取某一点C , 测量得出
AC , BC 距离为b , a 以及
角C 为α，则
由余弦定理得：
AB =a 2+
b 2-2ab cos α
师生共同总结：在这个问题中两点不可视但都可到达，不能直接测量，但是我们可以通过构造三角形利用钢卷尺测得两边的长再利用经纬仪测得两边的夹角，利用余弦定理得到第三条边的长。
二、变式深化，建立模型
问题2如图，若将上面问题中的湖变为一条敞
开的大河，设A 、B 两点在河的两岸，要测量
这两点之间的距离，测量者在A 的同侧（无法
过河），给你测量工具：经纬仪（测角）与钢
卷尺(度量长度) ，请你设计一个方案，用文字
和公式写出计算A 、B 两点间距离的步骤。
学生经过思考与讨论后得出解决方案：
生： 取一测量点C ，构造三角形
可测得AC 的距离及角A 、C ，
设AC=b,A=,C=, 可测算得 B=， ,
应用正弦定理得。
师生共同总结： 通过变式1
的学习我们解决了一类测量问题——测算一个可到达点到一
个不可到达点之间的距离，可以通过构造三角形，利用正弦定理计算得实际问题的解。 设计意图：从获取数据开始，使学生亲身经历并体验如何将实际问题转化为数学问题，从而得到解决。在讨论过程中，引导学生利用所学知识分三步层层发掘，探寻解决问题的最佳方案，感受数学的应用价值、人文价值、美学价值。
问题3那么如果两个点都在河的另一岸，人又无法过河，这两点之间的距离又该如何测算呢？
分析：若在测量者所在这一侧取一个点C 构造一
个三角形ABC 来计算，发现只有一个角C 可测，
不满足“知三求三，且其中至少有一边”的要求，
此三角形无法求解。那么如果想办法求出边AC 、
BC 的长度，再利用余弦定理就可以求出AB 的长
度了。而用什么办法求出AC 、BC 的长度呢？—
—又回归到例1的问题即测算一个可到达点到一
个不可到达点之间的距离。
各组同学进行模拟演练：
生：方案一
如图，再各取两个点D 、E ，用例1方法分别构造和, 可以测得∠ACD 、∠ADC 、 ∠BCE 、∠BEC 、∠ACB 的大小以及CD 、CE 的长，
分别在和中利用正弦定理算出AC 、BC 的长度，然后
再利用余弦定理就可以求出AB 的长度。
师：请同学们想一想还有没有别的测量方法？
生：方案二
如图，再取一点D ，用例1方法分别构造分别在和和, 利用正弦定理算出AC 、BC 的长度，
若测得测得CD= a ， 并且在C 、D 两点分别测得
∠BCA=，∠
ACD=, ∠
CDB=, ∠
BDA=,
在
，应用正弦定理得
，
. 和
计算出AC 和BC 后，再在
中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离。 ,
师生共同分析评价两种测量方案：方案一图形清晰，计算方便，但要取三个不同的测量点，实际操作中工作量大；方案二只需取两个测量点就可以了，实际工作量小，但得到的图形线段交叉，给计算带来干扰。两个方案各有千秋。因此在实际测量中要以“可测、可算”为基本原则，既要考虑实际工作量，又要兼顾计算，最好两全其美。
师生共同总结：（1）通过例2的学习我们又解决了一类测量问题——测算两个不可到达点之间的距离。
（2）在测量中，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1中的AC, 例2中的CD 。在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度。一般来说，基线越长，精确度越高。
设计意图：深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，加强学生的合作意识，培养学生探寻解决问题的方法的思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。
三、拓展思维，自我提升
练习1：一个晴朗的夜空，明月高悬，我们仰望夜空，不禁会有无限遐想，李白就曾经作诗“举头望明月，低头思故乡”，假设美丽的嫦娥在寒冷的月宫也思念故乡了，你能根据所学知识设计一个方案，帮助嫦娥计算她从月球返回到北京的近似距离。
生：仿例1完成，只不过从水平到铅直的变化。
师：从古至今人们试图用各种方法测量地月之间的距离，直到1671年两位法国科学家用三角测量法第一次比较精确地得到了地月之间的近似距离为385400km, 当然是随着科学技术的发展，我们还有一些更加先进与准确的测量距离的方法。有兴趣的同学可以去查阅一下相关的资料。
练习2：如果你在海上航行，请你设计一个测量海上两个小岛间距离的方法。
设计意图：回应章节引言所提出的疑问，让学生体会小定理可以解决大问题，在解题的过程中体验成功的愉悦。
四、归纳反思，总结提炼
1. 本节课我们解决了几类测量距离的问题？
2. 回顾两个测量问题的解决过程大致分为几个步骤进行？
学生总结，教师帮助归纳整理得出如下四个阶段：
设计意图：回顾反思，对所学习内容进行归纳总结
五、课后作业：《目标检测》P56-1、2、3、4，《必修5》P19-5、6、7，P24-6、7。