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课时提升作业(二)
直 观 图
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2014·绍兴高一检测) 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的直观图中，底面ABCD 的直观图一定是( )
A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形
【解析】选D. 底面ABCD 是正方形，在直观图中角与边的长度会改变，但对边的平行性不变，一定是平行四边形.
2.(2014·亳州高一检测) 如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(
)
【解析】选C. 直观图中有一条边与y ′轴平行，两条边与x ′轴平行，所以该图形为直角梯形.
3. (2014·锦州高一检测) 如图，△ABC 的斜二测直观图为等腰Rt △A ′B ′C ′，其中A ′B ′=2，则△ABC 的面积为(
)
A.2 B.4 C.2
D.4
【解题指南】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是2，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2
倍，得到结果.
【解析】选D. 因为等腰Rt △C ′A ′B ′是一平面图形的直观图，直角边长为 A ′B ′=2，所以直角三角形的面积是×2×2=2， 因为平面图形与直观图的面积的比为2所以原平面图形的面积是2×2
=4
. ∶1，
4. 水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形 A ′B ′C ′，则△ABC 是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形
【解析】选C. 直观图是正三角形，三角形的底角为60°，大于45°，原图中有一个角大于90°，是钝角三角形.
5.(2014·榆林高一检测) 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是
(
)
【解析】选A. 直观图中正方形的边长为1，故对角线长为对角线的长为2
.
，所以在原图中一
【举一反三】本例条件不变，则原图的周长为__________. 【解析】原图中一条边长为1，另一条边长为×2=8. 答案：8
6.(2014·银川高一检测) 如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′=2，则△AOB 的边OB 上的高为( ) A.2 B.4 C.2
D.4
=3，故周长为(1+3)
【解析】选D. 因为直观图与原图形中边OB 长度不变， S 原图形=2
S 直观图，
××2〃O ′B ′，
所以有〃OB 〃h=2所以h=4
.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5m ，10 m，四棱锥的高为8m ，若按1∶500
的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高
和棱锥的高应分别为______________. 【解析】根据斜二测画法规则求解. 答案：4cm ，0.5cm ，2cm ，1.6cm
8.(2014·聊城高一检测) 已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______________.
【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm).在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5cm. 答案：5cm
9. 已知△ABC 的水平放置的直观图是等腰的Rt △A ′B ′C ′，且∠A ′=90°， A ′B ′=
(如图) ，则△ABC 的面积是
________.
【解析】根据斜二测画法的规则，画出△ABC ，如图所示， 其中BC=B′C ′=2，AB=2A′B ′=2所以S △ABC =×2答案：2
×2=2
.
，∠ABC=90°，
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2014·济宁高一检测) 用斜二测画法作出长为4，宽为3的矩形的直观图. 【解析】画法：(1)如图①在已知矩形ABCD 中，取AB ，AD 所在边为x 轴、y 轴，相交于O 点(O与A 重合) ；画对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′=45
°，如
图②.
(2)在x ′轴上取点A ′(A′与O ′重合) ，B ′使A ′B ′=AB，在y ′轴上取D ′，使A ′D ′=AD ，过D ′作D ′C ′平行于x ′轴，且等于A ′B ′的长.
(3)去掉辅助线，连接C ′B ′所得四边形A ′B ′C ′D ′就是矩形ABCD 的直观图
.
11.(2014·丽水高一检测) 有一棱柱，其底面为边长为3cm 的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm ，试画出此棱柱的直观图.
【解析】(1)画轴. 如图(1)所示，画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy= 45°，∠xOz=90°.
(2)画底面. 以点O 为中点，在x 轴上画MN=3cm，在y 轴上画PQ=cm ，分别过点M ，N 作y 轴的平行线，过点P ，Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，则四边形ABCD 就是该棱柱的底面.
(3)画侧棱. 过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.
(4)成图. 顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，A ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线) ，就得到棱柱的直观图，如图(2)所示
.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2014·佛山高一检测) 下列说法正确的是( ) A. 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B. 梯形的直观图可能是平行四边形 C. 矩形的直观图可能是梯形 D. 正方形的直观图是平行四边形
【解析】选D. 对于A. 若两条直线中一条平行于x 轴，一条平行于y 轴，则直观图中两直线的夹角为45°，故A 错，原图中平行的线段在直观图中也平行，故B ，C 错.
2.(2014·北京高一检测) 一个三角形在其直观图中对应一个边长为4的正三角形，则原三角形的面积为( ) A.8
B.8
C.4
D.4
【解题指南】利用直观图面积与原图面积比为【解析】选A.S 直观图=×4×4×=4由
=，得S 原图=8
.
.
∶4解答.
【变式训练】若一个正三角形的边长为4，则其直观图的面积为________. 【解析】S 原图=×4×4×=4由答案：
=，得S 直观图=4
×
=
， .
3. 如图，矩形A ′B ′C ′D ′是水平放置的图形ABCD 的直观图，其中A ′B ′=6，A ′D ′=2，则图形ABCD 为( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【解析】选C. 将直观图还原如图所示，AB=A′B ′=6， AE=2A′E ′=4
，
DE=D′E ′=2，DC=6， 则在Rt △ADE 中， AD=
=6，
所以四边形ABCD 为菱形.
【误区警示】本题学生易由于只看到AB CD ，忘了判断AD 与AB 的关系得四边形ABCD 为平行四边形而出错.
4.(2014·宿州高一检测) 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，OC ⊥DC ，原平面图形的面积为(
)
A.1+ B.2+C.2+ D.1+
【解题指南】解答本题的关键是求原梯形的高，下底边长，故应过A 作AE ⊥
BC
于E.
【解析】选C. 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由题意知DC ∥AE ，AD ∥EC ， 所以四边形ADCE 为矩形.
所以EC=AD=1，由∠ABC=45°，AB=AD=1知BE=，
所以原平面图形是梯形且上下两底长分别为1和1+，高为2，所以原平面图形的面积为×
×2=2+.
二、填空题(每小题4分，共12分)
5.(2014·蚌埠高二检测) △ABC 的面积为10，以它的一边所在直线为x 轴画直观图后，其直观图的面积为__________. 【解析】如图所示为△ABC 的原图形和直观图
.
作A ′D ′⊥B ′C ′于D ′，则A ′D ′为直观图B ′C ′边上的高，易求得 A ′D ′=AO ，
所以S △A ′B ′C ′
=S △ABC
=×10=答案：
.
6. 如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是
________.
【解题指南】可大致画出其直观图进行判断，首先由三角形形状进行直观判断，形状确定后可求出相应角度、长度判断.
【解析】根据斜二测画法知在(1)(2)(4)中，正三角形的顶点A ，B 都在x 轴上，点C 由AB 边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于(3)，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等. 答案：(3)
三、解答题 (每小题12分，共24分)
7. 如图是水平放置的由正方形ABCE 和正三角形CDE 所构成的平面图形，请画出它的直观图
.
【解析】画法：(1)以AB 边所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x ′轴和y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′
=45°(如图(2)).
(2)在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′=AB；分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′=AE ，B ′C ′=BC ；在y ′轴上截取O ′D ′=OD. (3)连接E ′D ′，D ′C ′，C ′E ′，并擦去辅助线x ′轴和y ′轴以及O ′点，便得到平面图形水平放置的直观图(如图
(3)).
8. 画出一个正四棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为6cm ，8cm ，高为4cm 的正四棱台).
【解题指南】先画出上、下底面(正方形) 的直观图，然后画出整个正四棱台的直观图.
【解析】(1)画下底面，画x 轴，y 轴，使∠xOy=45°， 以O 为中点，在x 轴上取线段EF ，使得EF=8cm.
在y 轴上取线段GH ，使得GH=EF ，GH 的中点为O ，再过G ，H 分别作AB ∥EF ，CD ∥EF ，AB=EF=CD=8cm，且使得AB 的中点为G ，CD 的中点为H ，连接AD ，BC ，这样就得到了正四棱台的下底面的直观图. (2)画z 轴. 三轴相交于点O ，使z 轴与x 轴成90°.
(3)画上底面，在z 轴上截取线段OO 1=4cm，过O 1点作O 1x ′∥Ox ，O 1y ′∥Oy ，则∠x ′O 1y ′=45°.
建立坐标系x ′O 1y ′，在x ′O 1y ′中画出上底面的直观图A 1B 1C 1D 1.
(4)再连接AA 1，BB 1，CC 1，DD 1，并擦去辅助线及相关点，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②).
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课时提升作业(二)
直 观 图
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2014·绍兴高一检测) 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的直观图中，底面ABCD 的直观图一定是( )
A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形
【解析】选D. 底面ABCD 是正方形，在直观图中角与边的长度会改变，但对边的平行性不变，一定是平行四边形.
2.(2014·亳州高一检测) 如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(
)
【解析】选C. 直观图中有一条边与y ′轴平行，两条边与x ′轴平行，所以该图形为直角梯形.
3. (2014·锦州高一检测) 如图，△ABC 的斜二测直观图为等腰Rt △A ′B ′C ′，其中A ′B ′=2，则△ABC 的面积为(
)
A.2 B.4 C.2
D.4
【解题指南】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是2，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2
倍，得到结果.
【解析】选D. 因为等腰Rt △C ′A ′B ′是一平面图形的直观图，直角边长为 A ′B ′=2，所以直角三角形的面积是×2×2=2， 因为平面图形与直观图的面积的比为2所以原平面图形的面积是2×2
=4
. ∶1，
4. 水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形 A ′B ′C ′，则△ABC 是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形
【解析】选C. 直观图是正三角形，三角形的底角为60°，大于45°，原图中有一个角大于90°，是钝角三角形.
5.(2014·榆林高一检测) 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是
(
)
【解析】选A. 直观图中正方形的边长为1，故对角线长为对角线的长为2
.
，所以在原图中一
【举一反三】本例条件不变，则原图的周长为__________. 【解析】原图中一条边长为1，另一条边长为×2=8. 答案：8
6.(2014·银川高一检测) 如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′=2，则△AOB 的边OB 上的高为( ) A.2 B.4 C.2
D.4
=3，故周长为(1+3)
【解析】选D. 因为直观图与原图形中边OB 长度不变， S 原图形=2
S 直观图，
××2〃O ′B ′，
所以有〃OB 〃h=2所以h=4
.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5m ，10 m，四棱锥的高为8m ，若按1∶500
的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高
和棱锥的高应分别为______________. 【解析】根据斜二测画法规则求解. 答案：4cm ，0.5cm ，2cm ，1.6cm
8.(2014·聊城高一检测) 已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______________.
【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm).在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5cm. 答案：5cm
9. 已知△ABC 的水平放置的直观图是等腰的Rt △A ′B ′C ′，且∠A ′=90°， A ′B ′=
(如图) ，则△ABC 的面积是
________.
【解析】根据斜二测画法的规则，画出△ABC ，如图所示， 其中BC=B′C ′=2，AB=2A′B ′=2所以S △ABC =×2答案：2
×2=2
.
，∠ABC=90°，
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2014·济宁高一检测) 用斜二测画法作出长为4，宽为3的矩形的直观图. 【解析】画法：(1)如图①在已知矩形ABCD 中，取AB ，AD 所在边为x 轴、y 轴，相交于O 点(O与A 重合) ；画对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′=45
°，如
图②.
(2)在x ′轴上取点A ′(A′与O ′重合) ，B ′使A ′B ′=AB，在y ′轴上取D ′，使A ′D ′=AD ，过D ′作D ′C ′平行于x ′轴，且等于A ′B ′的长.
(3)去掉辅助线，连接C ′B ′所得四边形A ′B ′C ′D ′就是矩形ABCD 的直观图
.
11.(2014·丽水高一检测) 有一棱柱，其底面为边长为3cm 的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm ，试画出此棱柱的直观图.
【解析】(1)画轴. 如图(1)所示，画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy= 45°，∠xOz=90°.
(2)画底面. 以点O 为中点，在x 轴上画MN=3cm，在y 轴上画PQ=cm ，分别过点M ，N 作y 轴的平行线，过点P ，Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，则四边形ABCD 就是该棱柱的底面.
(3)画侧棱. 过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.
(4)成图. 顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，A ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线) ，就得到棱柱的直观图，如图(2)所示
.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2014·佛山高一检测) 下列说法正确的是( ) A. 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B. 梯形的直观图可能是平行四边形 C. 矩形的直观图可能是梯形 D. 正方形的直观图是平行四边形
【解析】选D. 对于A. 若两条直线中一条平行于x 轴，一条平行于y 轴，则直观图中两直线的夹角为45°，故A 错，原图中平行的线段在直观图中也平行，故B ，C 错.
2.(2014·北京高一检测) 一个三角形在其直观图中对应一个边长为4的正三角形，则原三角形的面积为( ) A.8
B.8
C.4
D.4
【解题指南】利用直观图面积与原图面积比为【解析】选A.S 直观图=×4×4×=4由
=，得S 原图=8
.
.
∶4解答.
【变式训练】若一个正三角形的边长为4，则其直观图的面积为________. 【解析】S 原图=×4×4×=4由答案：
=，得S 直观图=4
×
=
， .
3. 如图，矩形A ′B ′C ′D ′是水平放置的图形ABCD 的直观图，其中A ′B ′=6，A ′D ′=2，则图形ABCD 为( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【解析】选C. 将直观图还原如图所示，AB=A′B ′=6， AE=2A′E ′=4
，
DE=D′E ′=2，DC=6， 则在Rt △ADE 中， AD=
=6，
所以四边形ABCD 为菱形.
【误区警示】本题学生易由于只看到AB CD ，忘了判断AD 与AB 的关系得四边形ABCD 为平行四边形而出错.
4.(2014·宿州高一检测) 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，OC ⊥DC ，原平面图形的面积为(
)
A.1+ B.2+C.2+ D.1+
【解题指南】解答本题的关键是求原梯形的高，下底边长，故应过A 作AE ⊥
BC
于E.
【解析】选C. 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由题意知DC ∥AE ，AD ∥EC ， 所以四边形ADCE 为矩形.
所以EC=AD=1，由∠ABC=45°，AB=AD=1知BE=，
所以原平面图形是梯形且上下两底长分别为1和1+，高为2，所以原平面图形的面积为×
×2=2+.
二、填空题(每小题4分，共12分)
5.(2014·蚌埠高二检测) △ABC 的面积为10，以它的一边所在直线为x 轴画直观图后，其直观图的面积为__________. 【解析】如图所示为△ABC 的原图形和直观图
.
作A ′D ′⊥B ′C ′于D ′，则A ′D ′为直观图B ′C ′边上的高，易求得 A ′D ′=AO ，
所以S △A ′B ′C ′
=S △ABC
=×10=答案：
.
6. 如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是
________.
【解题指南】可大致画出其直观图进行判断，首先由三角形形状进行直观判断，形状确定后可求出相应角度、长度判断.
【解析】根据斜二测画法知在(1)(2)(4)中，正三角形的顶点A ，B 都在x 轴上，点C 由AB 边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于(3)，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等. 答案：(3)
三、解答题 (每小题12分，共24分)
7. 如图是水平放置的由正方形ABCE 和正三角形CDE 所构成的平面图形，请画出它的直观图
.
【解析】画法：(1)以AB 边所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x ′轴和y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′
=45°(如图(2)).
(2)在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′=AB；分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′=AE ，B ′C ′=BC ；在y ′轴上截取O ′D ′=OD. (3)连接E ′D ′，D ′C ′，C ′E ′，并擦去辅助线x ′轴和y ′轴以及O ′点，便得到平面图形水平放置的直观图(如图
(3)).
8. 画出一个正四棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为6cm ，8cm ，高为4cm 的正四棱台).
【解题指南】先画出上、下底面(正方形) 的直观图，然后画出整个正四棱台的直观图.
【解析】(1)画下底面，画x 轴，y 轴，使∠xOy=45°， 以O 为中点，在x 轴上取线段EF ，使得EF=8cm.
在y 轴上取线段GH ，使得GH=EF ，GH 的中点为O ，再过G ，H 分别作AB ∥EF ，CD ∥EF ，AB=EF=CD=8cm，且使得AB 的中点为G ，CD 的中点为H ，连接AD ，BC ，这样就得到了正四棱台的下底面的直观图. (2)画z 轴. 三轴相交于点O ，使z 轴与x 轴成90°.
(3)画上底面，在z 轴上截取线段OO 1=4cm，过O 1点作O 1x ′∥Ox ，O 1y ′∥Oy ，则∠x ′O 1y ′=45°.
建立坐标系x ′O 1y ′，在x ′O 1y ′中画出上底面的直观图A 1B 1C 1D 1.
(4)再连接AA 1，BB 1，CC 1，DD 1，并擦去辅助线及相关点，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②).
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