双星及多星问题
1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。
2．两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者重心连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，以下关于双星的说法中正确的是 （ ）
A 它们做圆周运动的角速度与其质量成反比 B 它们做圆周运动的线速度与其质量成反比 C 它们所受向心力与其质量成反比 D 它们做圆周运动的半径与其质量成反比
3．宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互问的万有引力作用下，绕球心连线的某点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法错误的是 ( )
A．双星间的万有引力减小 B．双星圆周运动的角速度增大 C．双星圆周运动的周期增大 D．双星圆周运动的半径增大
4．月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为
A 1：6400 B 1：80 C 80：1 D 6400：1
5．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由于文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为
（ ）
4π2r134π2r2(r−r1)
2
GT2A． B．GT
4π2r3
C．GT
2
4π2r2r1
D．GT
6．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7：1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的 A．轨道半径约为卡戎的
11
B．角速度大小约为卡戎的 77
C．线速度大小约为卡戎的7倍速 D．向心力大小约为卡戎的7倍
7．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
n3n3n2n
TTA． B． C． D． kkkk
8．如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。 A． 求两星球做圆周运动的周期。
B． 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
9. 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
10．太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则（ ） A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为T=4πRC．三角形三星系统中星体间的距离为L=D．三角形三星系统的角速度相同
。
11．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星ABC组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．稳定的三星系统存在的构成形式有四种设想：第一种是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．第二种是三颗星位于等腰直角三角形的三个顶点，并以三边中线的交点为圆心做圆周运动．第三种是三颗星位于等腰直角三角形的三个顶点，并以斜边中点为圆心做圆周运动．第四种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一圆轨道上运行．
（1）试判断稳定的三星系统可能存在的构成形式为 ．（填写图形下面的序号）
（2）设每个星体的质量均为m．星体的运动周期为T，根据你所选择的形式求出星体A与B和B与C之间的距离应为多少？
12．（2015春•沈阳校级期末）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在一种运动形式：三颗星体在互相之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为ABC三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，则下列说法中正确的有（ ） A．A星体受到的B、C两星体万有引力的合力充当A星体圆周运动的向心力 B．B、C两星体圆周运动的半径相同 C．A星体受到的合力大小为
G
D．B星体受到的合力大小为G
13．（2016春•洛阳校级月考）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求： （1）A星体所受合力大小FA； （2）B星体所受合力大小FB； （3）C星体的轨道半径RC； （4）三星体做圆周运动的周期T．
14．（2015•大连二模）宇宙空间有一些星系距离其它星体的距离非常遥远，可以忽略其它星系对它们的作用．今有四颗星体组成一稳定星系，在万有引力作用下运行，其中三颗星体A、B、C位于边长为a的正三角形的三个顶点上，沿外接圆轨道做匀速圆周运动，第四颗星体D位于三角形外接圆圆心，四颗星体的质量均为m，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ） A．星体A受到的向心力为（3+
）
B．星体A受到的向心力为（3+2）
C．星体B运行的周期为2πaD．星体B运行的周期为2πa
15．（2012•辽宁校级二模）宇宙中存在一些离其它恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．稳定的四星系统存在多种形式，其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动；另一种如图所示，四颗恒星始终位于同一直线上，均围绕中点O做匀速圆周运动．已知万有引力常量为G，求：
（1）已知第一种形式中的每颗恒星质量均为m，正方形边长为L，求其中一颗恒星受到的合力． （2）已知第二种形式中的两外侧恒星质量均为m、两内侧恒星质量均为M，四颗恒星始终位于同一直线，且相邻恒星之间距离相等．求内侧恒星质量M与外侧恒星质量m的比值．
16．（2015春•吉安校级月考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1，如图（1）所示．另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个项点上，第四颗星刚好位于三角形的中心不动，三颗星沿等边三角形的半径为a的外接圆的圆形轨道运行，其运动周期为T2，如图（2）所示．试求两种形式下，星体运动的周期之比
？
17．（2012春•下城区校级期中）有一颗人造地球卫星，绕地球做匀速圆周运动．卫星与地心的距离为地球半径R0的2倍，卫星圆形轨道平面与地球赤道平面重合．卫星上的太阳能收集板可以把光能转化为电能，已知地球表面重力加速度为g，近似认为太阳光是平行光，试估算：卫星绕地球一周，太阳能收集板工作的时间．
追及和相遇
1．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。该行星与地球的公转半径比为
2
N+
1
2
NA．
()3
B.
()3
NN−1
N+13N3
2C．()
D.
()2
NN−1
2．经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏
离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径为（ ）
B．R=
A． R=RR0
t0
t0−T
C． R=R02
t0t0
D．R=R0 2
(t0−T0)t0−T0
3．如图，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M（M?m1,M?m2）.在C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比ra:rb=1:4,则它们的周期之比Ta:Tb=______;从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
4． A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，已知恒星质量为m′，恒星对行星的引力远大于得星间的引力，两行星的轨道半径r1＜r2。若在某一时刻两行星相距最近，试求： （1）再经过多少时间两行星距离又最近？ （2）再经过多少时间两行星距离最远？
5．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是( )
轨道半径(AU)
地球 1.0
火星 1.5
木星 5.2
土星 9.5
天王星 19
海王星 30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
6．（2012春•修水县校级月考）在地球赤道上空，有一颗卫星，其运动轨道面与赤道面共面，运行方向与地球自转方向相同，已知地球半径为R，卫星离地高度为2R，地球表面的重力加速度为g （1）在该卫星正下方地面上的人看来，该卫星向什么方向运行？（不需论述） （2）该卫星运行的周期为多少？
（3）若赤道上空有另外一颗卫星，其离地高度为3R，运动轨道面与赤道面共面，运行方向与地球自转方向相同，在某时刻两卫星连线的延长线通过地心，求至少经多长时间，两卫星连线的延长线再一次通过地心？
7．（2015春•舒城县期末）人造地球卫星P绕地球球心作匀速圆周运动，距地球球心的距离为r，地球的质量为M，引力常量为G． （1）求卫星P绕地球运行周期；
（2）现有另一地球卫星Q，Q绕地球运行的周期是卫星P绕地球运行周期的8倍，且P、Q的运行轨迹位于同一平面内，如图所示，求卫星P、Q在绕地球运行过程中，两星间相距最近时的距离多大；
（3）若第（2）问的卫星Q与卫星P在某时刻相距最近，求此后经多长时间P、Q、地球三者共线．
8．（2013春•盐湖区校级期中）一颗在赤道上空运行的人造地球卫星，其轨道半径为r=2R（R为地球半径），卫星的运动方向与地球的自转方向相同，已知地球的自转周期为T，地球表面的重力加速度为g． （1）求人造卫星绕地球运转的周期；
（2）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它至少绕过多长时间再次通过该建筑物的正上方．
综合问题
1．（2015春•沈阳校级期末）现有一颗质量为m的人造地球卫星以半径r1的圆轨道环绕地球匀速飞行．已知地球质量为M，万有引力常量为G． （1）求：该卫星运行的线速度．
（2）如果该卫星做匀速圆周运动的轨道半径增大为r2，求：则卫星上的发动机所消耗的最小能量．（假设卫星质量始终不变，不计空气阻力及其它星体的影响．物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能．若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m0的质点到质量为M0的引力源中心的距离为r0，其万有引力势能Ep=﹣G
，式中G为引力常量．）
2．（2014•合肥二模）设地球半径为R，引力常量为G，地球质量为M，（1）求地球第一宇宙速度v1；
≈1.6．
（2）以地球第一宇宙速度绕地球做匀速圆周运动的卫星运动周期T1≈1.5h，求地球同步卫星离地高度； （3）质量为m的物体与地心的距离为r时，物体和地球间引力势能可表示为Ep=﹣
（设物体在离地
球无限远处的势能为零），其中G为引力常量，M为地球质量．当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度．证明：第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2=
3．（2010•平南县校级三模）理论研究表明，物体在地球附近都受到地球对它的万有引力作用，具有引力势能．选物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能可表示为Ep=﹣
（其中G为万有引力常
v1．
量，M为地球质量，m为物体的质量，r是物体到地心的距离）．现有一质量mʹ′的人造卫星绕地球做圆周运动周期T．若要从地面上将这颗卫星发射成功，则至少需做多少功？（已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G，且忽略空气阻力对卫星发射的影响）
4．2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”
落月两大航天工程。某航天爱好者提出
“玉兔
”回家的设想：如图，将携带“玉兔
”的返回系统由月球表面发射到高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“
玉兔
”质量为速度为量，A．
。以月面为零势能面，“玉兔”在高度的引力势能可表示为
，月球半径为
，月面的重力加
为引力常
，其中
为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为
B．
C．
D．
9．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面的高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上各处在日照条件下的情况都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星的摄像机至少应拍摄地面上的弧长是多少？设太阳光为平行光，地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转周期为T0．
10．（2016春•宜昌月考）月球自转一周的时间与月球绕地球运行一周的时间相等，都为T0．我国的“嫦娥二号”探月卫星于2010年10月成功进入绕月运行的“极月圆轨道”，这一圆形轨道通过月球南北两极上空，距月面的高度为h．若月球质量为m月，月球半径为R，引力常量为G． （1）求“嫦娥二号”绕月运行的加速度为多大？
（2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥二号”将绕月运行多少圈？
（3）“嫦娥二号”携带了一台CCD摄像机（摄像机拍摄不受光照影响），随着卫星的飞行，摄像机将对月球表面进行连续拍摄．要求在月球自转一周的时间内，将月面各处全部拍摄下来，摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少是多少？
11．（2005•肇庆模拟）欧洲开发的全球卫星定位系统“伽利略计划”进入部署和使用阶段．首颗卫星将于2005年升空．“伽利略计划”将发射30颗卫星，该系统采用的是“移动卫星”，它与电视转播采用的“地球同步卫星”不同．同步卫星的轨道平面与地球赤道平面重合，轨道离地面高度只能为一确定的值h1，转动周期等于地球的自转周期T0；移动卫星的轨道平面、离地面的高度都可以改变，相应的转动周期也可以不同．设某颗移动卫星沿通过地球的南北两极的圆形轨道运行，离地面高度为h2，地球半径为R． （1）该移动卫星连续两次通过地球北极点上空时的时间间隔是多少？
（2）该移动卫星某时刻恰好位于赤道上空，那么它下一次通过赤道上空时，地球转过的角度是多少？
12． 2004年1月4日美国“勇气”号火星车在火星表面成功登陆，登陆时间选择在6 万年来火星距地球最近的一次，火星与地球之间的距离仅有5580万千米，火星车在登陆前绕火星做圆周运动，距火星表面高度为H，火星半径为R，绕行N圈的时间为t。求：
（1）若地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为T地、T火，试比较它的大小；
（2）求火星的平均密度（用R、H、N、t、万有引力常星G表示）；
（3）火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球上接收到的第一张照片大约是火星车多少秒前拍摄的。
13．（2009年天津卷12）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
(1) 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；
(2) 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对
Mm(设粒子在离黑洞无R
限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7×10-‐11N·m2/kg2，光速c=3.0×108m/s，太阳质量Ms=2.0×1030kg，太阳半径Rs=7.0×108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-‐G在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。
14．（2008年全国二25）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
15．（2016•大庆模拟）我国发射的“嫦娥一号”卫星发射后首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，通过加速再进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地心最近距离为L1，最远距离为L2，卫星快要到达月球时，依靠火箭的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，成为环月球卫星，最终在离月心距离L3的“绕月轨道”上飞行．已知地球半径为R，月球半径为r，地球表面重力加速度为g，月球表面的重力加速度为g/6，求：
（1）卫星在“停泊轨道”上运行的线速度；
（2）卫星在“绕月轨道”上运行的线速度．
（3）假定卫星在“绕月轨道”上运行的周期内为T，卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该一个周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）．
16．已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h，卫星B沿半径为r(r＜h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
(1)卫星B做圆周运动的周期；
(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)．
双星及多星问题
1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。
2．两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者重心连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，以下关于双星的说法中正确的是 （ ）
A 它们做圆周运动的角速度与其质量成反比 B 它们做圆周运动的线速度与其质量成反比 C 它们所受向心力与其质量成反比 D 它们做圆周运动的半径与其质量成反比
3．宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互问的万有引力作用下，绕球心连线的某点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法错误的是 ( )
A．双星间的万有引力减小 B．双星圆周运动的角速度增大 C．双星圆周运动的周期增大 D．双星圆周运动的半径增大
4．月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为
A 1：6400 B 1：80 C 80：1 D 6400：1
5．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由于文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为
（ ）
4π2r134π2r2(r−r1)
2
GT2A． B．GT
4π2r3
C．GT
2
4π2r2r1
D．GT
6．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7：1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的 A．轨道半径约为卡戎的
11
B．角速度大小约为卡戎的 77
C．线速度大小约为卡戎的7倍速 D．向心力大小约为卡戎的7倍
7．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
n3n3n2n
TTA． B． C． D． kkkk
8．如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。 A． 求两星球做圆周运动的周期。
B． 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
9. 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
10．太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则（ ） A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为T=4πRC．三角形三星系统中星体间的距离为L=D．三角形三星系统的角速度相同
。
11．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星ABC组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．稳定的三星系统存在的构成形式有四种设想：第一种是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．第二种是三颗星位于等腰直角三角形的三个顶点，并以三边中线的交点为圆心做圆周运动．第三种是三颗星位于等腰直角三角形的三个顶点，并以斜边中点为圆心做圆周运动．第四种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一圆轨道上运行．
（1）试判断稳定的三星系统可能存在的构成形式为 ．（填写图形下面的序号）
（2）设每个星体的质量均为m．星体的运动周期为T，根据你所选择的形式求出星体A与B和B与C之间的距离应为多少？
12．（2015春•沈阳校级期末）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在一种运动形式：三颗星体在互相之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为ABC三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，则下列说法中正确的有（ ） A．A星体受到的B、C两星体万有引力的合力充当A星体圆周运动的向心力 B．B、C两星体圆周运动的半径相同 C．A星体受到的合力大小为
G
D．B星体受到的合力大小为G
13．（2016春•洛阳校级月考）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求： （1）A星体所受合力大小FA； （2）B星体所受合力大小FB； （3）C星体的轨道半径RC； （4）三星体做圆周运动的周期T．
14．（2015•大连二模）宇宙空间有一些星系距离其它星体的距离非常遥远，可以忽略其它星系对它们的作用．今有四颗星体组成一稳定星系，在万有引力作用下运行，其中三颗星体A、B、C位于边长为a的正三角形的三个顶点上，沿外接圆轨道做匀速圆周运动，第四颗星体D位于三角形外接圆圆心，四颗星体的质量均为m，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ） A．星体A受到的向心力为（3+
）
B．星体A受到的向心力为（3+2）
C．星体B运行的周期为2πaD．星体B运行的周期为2πa
15．（2012•辽宁校级二模）宇宙中存在一些离其它恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．稳定的四星系统存在多种形式，其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动；另一种如图所示，四颗恒星始终位于同一直线上，均围绕中点O做匀速圆周运动．已知万有引力常量为G，求：
（1）已知第一种形式中的每颗恒星质量均为m，正方形边长为L，求其中一颗恒星受到的合力． （2）已知第二种形式中的两外侧恒星质量均为m、两内侧恒星质量均为M，四颗恒星始终位于同一直线，且相邻恒星之间距离相等．求内侧恒星质量M与外侧恒星质量m的比值．
16．（2015春•吉安校级月考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1，如图（1）所示．另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个项点上，第四颗星刚好位于三角形的中心不动，三颗星沿等边三角形的半径为a的外接圆的圆形轨道运行，其运动周期为T2，如图（2）所示．试求两种形式下，星体运动的周期之比
？
17．（2012春•下城区校级期中）有一颗人造地球卫星，绕地球做匀速圆周运动．卫星与地心的距离为地球半径R0的2倍，卫星圆形轨道平面与地球赤道平面重合．卫星上的太阳能收集板可以把光能转化为电能，已知地球表面重力加速度为g，近似认为太阳光是平行光，试估算：卫星绕地球一周，太阳能收集板工作的时间．
追及和相遇
1．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。该行星与地球的公转半径比为
2
N+
1
2
NA．
()3
B.
()3
NN−1
N+13N3
2C．()
D.
()2
NN−1
2．经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏
离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径为（ ）
B．R=
A． R=RR0
t0
t0−T
C． R=R02
t0t0
D．R=R0 2
(t0−T0)t0−T0
3．如图，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M（M?m1,M?m2）.在C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比ra:rb=1:4,则它们的周期之比Ta:Tb=______;从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
4． A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，已知恒星质量为m′，恒星对行星的引力远大于得星间的引力，两行星的轨道半径r1＜r2。若在某一时刻两行星相距最近，试求： （1）再经过多少时间两行星距离又最近？ （2）再经过多少时间两行星距离最远？
5．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是( )
轨道半径(AU)
地球 1.0
火星 1.5
木星 5.2
土星 9.5
天王星 19
海王星 30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
6．（2012春•修水县校级月考）在地球赤道上空，有一颗卫星，其运动轨道面与赤道面共面，运行方向与地球自转方向相同，已知地球半径为R，卫星离地高度为2R，地球表面的重力加速度为g （1）在该卫星正下方地面上的人看来，该卫星向什么方向运行？（不需论述） （2）该卫星运行的周期为多少？
（3）若赤道上空有另外一颗卫星，其离地高度为3R，运动轨道面与赤道面共面，运行方向与地球自转方向相同，在某时刻两卫星连线的延长线通过地心，求至少经多长时间，两卫星连线的延长线再一次通过地心？
7．（2015春•舒城县期末）人造地球卫星P绕地球球心作匀速圆周运动，距地球球心的距离为r，地球的质量为M，引力常量为G． （1）求卫星P绕地球运行周期；
（2）现有另一地球卫星Q，Q绕地球运行的周期是卫星P绕地球运行周期的8倍，且P、Q的运行轨迹位于同一平面内，如图所示，求卫星P、Q在绕地球运行过程中，两星间相距最近时的距离多大；
（3）若第（2）问的卫星Q与卫星P在某时刻相距最近，求此后经多长时间P、Q、地球三者共线．
8．（2013春•盐湖区校级期中）一颗在赤道上空运行的人造地球卫星，其轨道半径为r=2R（R为地球半径），卫星的运动方向与地球的自转方向相同，已知地球的自转周期为T，地球表面的重力加速度为g． （1）求人造卫星绕地球运转的周期；
（2）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它至少绕过多长时间再次通过该建筑物的正上方．
综合问题
1．（2015春•沈阳校级期末）现有一颗质量为m的人造地球卫星以半径r1的圆轨道环绕地球匀速飞行．已知地球质量为M，万有引力常量为G． （1）求：该卫星运行的线速度．
（2）如果该卫星做匀速圆周运动的轨道半径增大为r2，求：则卫星上的发动机所消耗的最小能量．（假设卫星质量始终不变，不计空气阻力及其它星体的影响．物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能．若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m0的质点到质量为M0的引力源中心的距离为r0，其万有引力势能Ep=﹣G
，式中G为引力常量．）
2．（2014•合肥二模）设地球半径为R，引力常量为G，地球质量为M，（1）求地球第一宇宙速度v1；
≈1.6．
（2）以地球第一宇宙速度绕地球做匀速圆周运动的卫星运动周期T1≈1.5h，求地球同步卫星离地高度； （3）质量为m的物体与地心的距离为r时，物体和地球间引力势能可表示为Ep=﹣
（设物体在离地
球无限远处的势能为零），其中G为引力常量，M为地球质量．当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度．证明：第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2=
3．（2010•平南县校级三模）理论研究表明，物体在地球附近都受到地球对它的万有引力作用，具有引力势能．选物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能可表示为Ep=﹣
（其中G为万有引力常
v1．
量，M为地球质量，m为物体的质量，r是物体到地心的距离）．现有一质量mʹ′的人造卫星绕地球做圆周运动周期T．若要从地面上将这颗卫星发射成功，则至少需做多少功？（已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G，且忽略空气阻力对卫星发射的影响）
4．2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”
落月两大航天工程。某航天爱好者提出
“玉兔
”回家的设想：如图，将携带“玉兔
”的返回系统由月球表面发射到高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“
玉兔
”质量为速度为量，A．
。以月面为零势能面，“玉兔”在高度的引力势能可表示为
，月球半径为
，月面的重力加
为引力常
，其中
为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为
B．
C．
D．
9．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面的高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上各处在日照条件下的情况都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星的摄像机至少应拍摄地面上的弧长是多少？设太阳光为平行光，地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转周期为T0．
10．（2016春•宜昌月考）月球自转一周的时间与月球绕地球运行一周的时间相等，都为T0．我国的“嫦娥二号”探月卫星于2010年10月成功进入绕月运行的“极月圆轨道”，这一圆形轨道通过月球南北两极上空，距月面的高度为h．若月球质量为m月，月球半径为R，引力常量为G． （1）求“嫦娥二号”绕月运行的加速度为多大？
（2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥二号”将绕月运行多少圈？
（3）“嫦娥二号”携带了一台CCD摄像机（摄像机拍摄不受光照影响），随着卫星的飞行，摄像机将对月球表面进行连续拍摄．要求在月球自转一周的时间内，将月面各处全部拍摄下来，摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少是多少？
11．（2005•肇庆模拟）欧洲开发的全球卫星定位系统“伽利略计划”进入部署和使用阶段．首颗卫星将于2005年升空．“伽利略计划”将发射30颗卫星，该系统采用的是“移动卫星”，它与电视转播采用的“地球同步卫星”不同．同步卫星的轨道平面与地球赤道平面重合，轨道离地面高度只能为一确定的值h1，转动周期等于地球的自转周期T0；移动卫星的轨道平面、离地面的高度都可以改变，相应的转动周期也可以不同．设某颗移动卫星沿通过地球的南北两极的圆形轨道运行，离地面高度为h2，地球半径为R． （1）该移动卫星连续两次通过地球北极点上空时的时间间隔是多少？
（2）该移动卫星某时刻恰好位于赤道上空，那么它下一次通过赤道上空时，地球转过的角度是多少？
12． 2004年1月4日美国“勇气”号火星车在火星表面成功登陆，登陆时间选择在6 万年来火星距地球最近的一次，火星与地球之间的距离仅有5580万千米，火星车在登陆前绕火星做圆周运动，距火星表面高度为H，火星半径为R，绕行N圈的时间为t。求：
（1）若地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为T地、T火，试比较它的大小；
（2）求火星的平均密度（用R、H、N、t、万有引力常星G表示）；
（3）火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球上接收到的第一张照片大约是火星车多少秒前拍摄的。
13．（2009年天津卷12）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
(1) 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；
(2) 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对
Mm(设粒子在离黑洞无R
限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7×10-‐11N·m2/kg2，光速c=3.0×108m/s，太阳质量Ms=2.0×1030kg，太阳半径Rs=7.0×108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-‐G在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。
14．（2008年全国二25）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
15．（2016•大庆模拟）我国发射的“嫦娥一号”卫星发射后首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，通过加速再进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地心最近距离为L1，最远距离为L2，卫星快要到达月球时，依靠火箭的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，成为环月球卫星，最终在离月心距离L3的“绕月轨道”上飞行．已知地球半径为R，月球半径为r，地球表面重力加速度为g，月球表面的重力加速度为g/6，求：
（1）卫星在“停泊轨道”上运行的线速度；
（2）卫星在“绕月轨道”上运行的线速度．
（3）假定卫星在“绕月轨道”上运行的周期内为T，卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该一个周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）．
16．已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h，卫星B沿半径为r(r＜h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
(1)卫星B做圆周运动的周期；
(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)．