《参数方程的概念》教学案2
教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：
根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。 教学难点：
根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳
四、教学过程
参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t ⎧x ＝f t ⎪的函数：⎨①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y ) ⎪y ＝g t ⎩
都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程．
思考探究
曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？
【提示】 联系x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度.
典型例题
⎧⎪x ＝1＋2t 已知曲线C 的参数方程是⎨(t 为参数，a ∈R ) ，点M (－3,4) 在曲线C 上． 2⎪y ＝at ⎩
(1)求常数a 的值；
(2)判断点P (1,0)、Q (3，－1) 是否在曲线C 上？
【思路探究】 (1)将点M 的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x ，y ，消去参数t ，求a 即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
⎧⎪x ＝1＋2t ，【自主解答】 (1)将M (－3,4) 的坐标代入曲线C 的参数方程⎨得2⎪y ＝at ，⎩
⎧⎪－3＝1＋2t ，⎨消去参数t ，得a ＝1. 2⎪4＝at ，⎩
⎧x ＝1＋2t ，⎪(2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎨ 2⎪y ＝t ，⎩
把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，
⎧⎪ 3＝1＋2t ，－1) 代入方程组，得到⎨这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上． 2⎪－1＝t ，⎩
规律方法
点与曲线的位置关系
满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．
(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y ) ＝0，若点M (x 1，y 1) 在曲线上，则点M (x 1，y 1) 的坐标是方程f (x ，y ) ＝0的解，即有f (x 1，y 1) ＝0，若点N (x 2，y 2) 不在曲线上，则点N (x 2，y 2) 的坐标不是方程f (x ，y ) ＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0.
⎧⎪x ＝f t (2)对于曲线C 的参数方程⎨(t 为参数) ，若点M (x 1，y 1) 在曲线上， ⎪y ＝g t ⎩
《参数方程的概念》教学案2
教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：
根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。 教学难点：
根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳
四、教学过程
参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t ⎧x ＝f t ⎪的函数：⎨①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y ) ⎪y ＝g t ⎩
都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程．
思考探究
曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？
【提示】 联系x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度.
典型例题
⎧⎪x ＝1＋2t 已知曲线C 的参数方程是⎨(t 为参数，a ∈R ) ，点M (－3,4) 在曲线C 上． 2⎪y ＝at ⎩
(1)求常数a 的值；
(2)判断点P (1,0)、Q (3，－1) 是否在曲线C 上？
【思路探究】 (1)将点M 的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x ，y ，消去参数t ，求a 即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
⎧⎪x ＝1＋2t ，【自主解答】 (1)将M (－3,4) 的坐标代入曲线C 的参数方程⎨得2⎪y ＝at ，⎩
⎧⎪－3＝1＋2t ，⎨消去参数t ，得a ＝1. 2⎪4＝at ，⎩
⎧x ＝1＋2t ，⎪(2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎨ 2⎪y ＝t ，⎩
把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，
⎧⎪ 3＝1＋2t ，－1) 代入方程组，得到⎨这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上． 2⎪－1＝t ，⎩
规律方法
点与曲线的位置关系
满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．
(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y ) ＝0，若点M (x 1，y 1) 在曲线上，则点M (x 1，y 1) 的坐标是方程f (x ，y ) ＝0的解，即有f (x 1，y 1) ＝0，若点N (x 2，y 2) 不在曲线上，则点N (x 2，y 2) 的坐标不是方程f (x ，y ) ＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0.
⎧⎪x ＝f t (2)对于曲线C 的参数方程⎨(t 为参数) ，若点M (x 1，y 1) 在曲线上， ⎪y ＝g t ⎩