7.1投影的基本知识
7.1.1投影的概念
1. 投影的概念
当物体在光线的照射下，地面或者墙面上会形成物体的影子，随着光线照射的角度以及光源与物体距离的变化，其影子的位置与形状也会发生变化。人们从光线、形体与影子之间的关系中，经过科学的归纳总结，形成了形体投影的原理以及投影作图的方法。
光线照射物体产生的影子可以反映出物体的外形轮廓。如图7.1(a)所示，光线照射物体将物体的各个顶点和棱线在平面上产生影像，物体顶点与棱线的影像连线组成了一个能够反映物体外形形状的图形，这个图形为物体的影子。
如图7.1(b)所示，在投影理论中，人们将物体称为形体，表示光线的线为投射线，光线的照射方向为投射线的透射方向，落影的平面称为投影面，产生的影子称为投影。用投影表示形体的形状与大小的方法为投影法，用投影法画出的形体图形称为投影图。
形体产生投影必须具备三个条件：形体、投影面与投射线，三者缺一不可，称为投影的三要素。
(a)影子 (b)投影
图7.1 影子与投影
2. 投影法的分类
投影法分为平行投影法与中心投影法两大类，这两种方法主要区别是形体与投射中心距离的不同。
a. 中心投影法
当投射中心与投影面的距离有限远时，所有的投射线均从投射中心一点S 发出，所形成的投影称为中心投影，这种投影的方法为中心投影法，如图7.2所示。
中心投影的大小由投影面、空间形体以及投射中心之间的相对位置来确定，当投影面和投射中心的距离确定后，形体投影的大小随着形体与投影面的距离而发生变化。中心投影法作出的投影图，不能够准确反映形体尺寸的大小，度量性较差。
b. 平行投影法
当投射中心距离形体无穷远时，投射线可以看作是一组平行线，这种投影的方法称为平行投影法，所得的形体投影称为平行投影。根据投射线与投影面的相对位置不同，又可以分为斜投影法与正投影法，如图7.3(a)(b)所示
(a)斜投影法 (b)正投影法
图7.3 平行投影法
投射线倾斜于投影面时所作出的平行投影称为斜投影，如图7.3(a)所示。投射线垂直于投影面时所作出的平行投影称为正投影，如图7.3(b)所示。平行投影有投影面与投射方向确定，当投射方向一定时，空间形体与投影面的距离对平行投影的大小无影响。
在正投影中，形体平面与投影面相互平行，其投影能够反映平面的真实形状与大小，且和平面与投影面的距离无关，因此工程图样通常采用正投影方法表达。
3. 工程上常用的投影图
在工程中，由于表达的目的和被表达的对象特性不同，采用的投影图也不一样，常用的投影分为以下四种。
a. 透视投影图
透视投影图又称为透视图，它是采用中心投影法绘制的单面投影图，如图7.4所示的房屋的透视图，透视图的优点是比较符合视觉规律、图形形象生动、立体感强，但是缺点是作图复杂，度量性也较差，在工程设计常作为辅助读图的图样，用与作为建筑或者是工业产品的展示图。
图7.4 透视投影图
b. 轴测投影图
轴测投影图简称轴测图，是按照平行投影法将形体及确定的空间位置的直角坐标系，投影到选定的投影面上所得的单面投影图，如图7.5所示。轴测图的优点是立体感强，直观性好，缺点是不能反映物体各个表面的准确形状，度量性差，作图方法比较复杂，在工程上常用做辅助读图的图样。
图7.5 轴测投影图
c. 正投影图
正投影图是采用正投影法向两个或者两个以上的相互垂直的投影面作投影，并将所得投影展开到同一个平面上得到的图样，如图7.6所示。正投影的优点是作图简便，度量性好，在工程中应用最广泛，缺点是直观性较差。
图7.6正投影图
d. 标高投影图
标高投影图是用正投影法绘制的带有高度数字标记的单面正投影图，在工程勘察、军事
作战中，常用来绘制地形图、建筑总平面图。如图7.7所示，标高投影图用间隔相等的水平截面截切地形，其交线为等高线，通过作出等高线在水平面上的正投影，并标出高程数字，即为标高投影图，从而反映该出的地形情况。
图7.6 标高投影图
7.1.2三面正投影图
1. 正投影的特性
在工程图样中，最常用的为正投影，正投影有以下几种特性。
a. 实形性
若线段或者平面图形平行于投影面，则其投影反映线段的实际长度或者是平面图形的实形，如图7.8所示，正投影法的这一性质称为实形性。
(a)线段 (b)平面图形
图7.8 正投影的实形性
b. 积聚性
若直线或平面图形垂直于投影面时，则直线积聚为一点，如图7.9(a)所示，平面的投影积聚为一直线，如图7.9(b)所示，正投影的这种性质称为积聚性。此时，直线上的所有点必全落在直线的积聚投影上，平面上的所有直线必落在平面的积聚投影上。
(a)线段 (b)平面图形
图7.9正投影的积聚性
c. 类似性
当直线或者平面既不平行也不垂直于投影面即当直线或者平面图形倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但其投影的长度小于直线段的实际长度，如图7.10(a)所示；平面图形的投影为平面图形，但其投影小于实形且与实形类似，如图7.10(b)所示。正投影的这种性质称之为类似性。
图7.10正投影的类似性
d. 平行性
互相平行的两直线在同一个投影面上的投影仍然平行，且两线段之比等于其投影长度之比，正投影的这种性质称为平行等比性。如图7.11所示，若AB ∥CD ，则ab ∥cd ，且AB:CD =ab:cd。
图7.11正投影的平行性
e. 定比性
直线上一点将直线段的长度等于它们的投影长度之比，这种特性称为定比性，如图7.12所示，ab 为AB 在投影面上的投影，AC ︰CB=ac︰cb 。
图7.12正投影的平行性
f. 从属性
几何元素的从属关系在投影中不会发生变化，如属于直线上的点的投影必定属于直线的投影，这种特性称为投影的从属性，如图7.13所示，C 在直线AB 上，则C 点的投影c 在直线AB 的投影ab 上。
图7.13正投影的从属性
2. 三面正投影的形成
图7.14 物体的一面投影图
用正投影表达空间形体的方法的优点是绘图过程简单，投影能够反映实形，且度量方便；
但一个投影面只能反映平行于投影面的两个坐标方向的形体大小和形状，并不能反映出这个形体各个表面及其整体的形状和大小。如图7.14所示，两个不同的形体，在同一个投影面的投影图是相同的，因此只用一个投影图并不能表达形体的真实形状与大小。
如果将形体放置在三个两两相互垂直的投影面内，分别用三组相互平行的透射线进行投影，就可以获得形体在三个投影面的正投影，如图7.15所示，这样就比较完整的反映出形体各个面的形状与大小。
图7.15 物体的三面投影图
三个相互垂直的投影面，构成了三面投影体系，如图7.16所示。在三面投影体系中，水平投影面简称水平面或者H 面, 在其上的投影称为水平投影；正面投影面简称正平面或者V 面，在其上的投影称为正面投影；侧面投影面简称侧平面或者W 面，在其上的投影称为侧面投影；三个投影面的交线OX ，OY ，OZ 称为投影轴，共同交于原点O ，分别表示形体长宽高的三个测量方向，同样两两相互垂直。
图7.16 三面投影体系
3. 三面正投影的展开
将形体置于三面投影体系中，分别由上向下投射获得水平投影，由前向后投射获得正面投影，由左向右投射获得侧面投影，如图7.17所示房屋的三面的投影。
将三个相互垂直的投影面展开，令V 面保持不动，H 面围绕OX 轴向下旋转90°，W 面围绕OZ 轴向右旋转90°，保证了三个投影面共面，如图7.18（a ）（b ）所示房屋的三面投影展开。
(a) (b)
图7.18 房屋的三面投影展开
展开后，H 面位于V 面的正下方，W 面位于V 面的正右方，按照此种方式配置投影时，在图样上可以不标记出投影面、投影轴的名称，这种方式获得的视图又称为三视图。
4. 三面正投影的特性
任何一个形体都有上、下、前、后、左、右六个方向的形状与大小，在三面投影图中可以，每个投影图可以反映四个方向的情况，即V 面反映上、下、左、右的情况；H 面反映前、后、左、右的情况；W 面反映上、下、前、后的情况，如图7.19（a ）（b ）所示。
(a) (b)
图7.19 投影图和物体的位置对应关系
形体具有长、宽、高三个方向的尺度，在三面投影体系中，形体的长度是形体最左最右两点间平行于X 轴方向的距离，V 面反映形体的正面形状以及形体的长度和高度；宽度最前最后两点间平行于Y 轴方向的距离，H 面反映形体的水平面形状以及形体的长度和宽度；高度是最上最下两点间平行于Z 轴方向的距离，W 面反映形体的左面形状以及形体的宽度和高度，如图7.19（a ）所示。V 、H 两投影左右对正，长度相等，称为“长对正”；V 、W 两投影上下平齐，高度相等，称为“高平齐”，H 、W 两投影前后对应，高度相等，称为“宽相等”，统称为正投影的三等规律。
图7.20 投影图的三等规律
5. 基本几何体的三面正投影图
工程建筑中，许多形体是由一些基本形体经过一定的叠加或者切割组合而构成的，基本形体根据其表面几何性质又可分为平面立体如曲面立体，表面全部由平面围成的基本形体称为平面立体，常见的有棱柱、棱锥等，其实体模型和三面投影图如表7-1所示；表面全部由曲面或者由曲面与平面共同围成的基本形体称为曲面立体，常见的有圆柱、圆锥、球等，其实体模型和三面投影图如表7-2所示。
7.1投影的基本知识
7.1.1投影的概念
1. 投影的概念
当物体在光线的照射下，地面或者墙面上会形成物体的影子，随着光线照射的角度以及光源与物体距离的变化，其影子的位置与形状也会发生变化。人们从光线、形体与影子之间的关系中，经过科学的归纳总结，形成了形体投影的原理以及投影作图的方法。
光线照射物体产生的影子可以反映出物体的外形轮廓。如图7.1(a)所示，光线照射物体将物体的各个顶点和棱线在平面上产生影像，物体顶点与棱线的影像连线组成了一个能够反映物体外形形状的图形，这个图形为物体的影子。
如图7.1(b)所示，在投影理论中，人们将物体称为形体，表示光线的线为投射线，光线的照射方向为投射线的透射方向，落影的平面称为投影面，产生的影子称为投影。用投影表示形体的形状与大小的方法为投影法，用投影法画出的形体图形称为投影图。
形体产生投影必须具备三个条件：形体、投影面与投射线，三者缺一不可，称为投影的三要素。
(a)影子 (b)投影
图7.1 影子与投影
2. 投影法的分类
投影法分为平行投影法与中心投影法两大类，这两种方法主要区别是形体与投射中心距离的不同。
a. 中心投影法
当投射中心与投影面的距离有限远时，所有的投射线均从投射中心一点S 发出，所形成的投影称为中心投影，这种投影的方法为中心投影法，如图7.2所示。
中心投影的大小由投影面、空间形体以及投射中心之间的相对位置来确定，当投影面和投射中心的距离确定后，形体投影的大小随着形体与投影面的距离而发生变化。中心投影法作出的投影图，不能够准确反映形体尺寸的大小，度量性较差。
b. 平行投影法
当投射中心距离形体无穷远时，投射线可以看作是一组平行线，这种投影的方法称为平行投影法，所得的形体投影称为平行投影。根据投射线与投影面的相对位置不同，又可以分为斜投影法与正投影法，如图7.3(a)(b)所示
(a)斜投影法 (b)正投影法
图7.3 平行投影法
投射线倾斜于投影面时所作出的平行投影称为斜投影，如图7.3(a)所示。投射线垂直于投影面时所作出的平行投影称为正投影，如图7.3(b)所示。平行投影有投影面与投射方向确定，当投射方向一定时，空间形体与投影面的距离对平行投影的大小无影响。
在正投影中，形体平面与投影面相互平行，其投影能够反映平面的真实形状与大小，且和平面与投影面的距离无关，因此工程图样通常采用正投影方法表达。
3. 工程上常用的投影图
在工程中，由于表达的目的和被表达的对象特性不同，采用的投影图也不一样，常用的投影分为以下四种。
a. 透视投影图
透视投影图又称为透视图，它是采用中心投影法绘制的单面投影图，如图7.4所示的房屋的透视图，透视图的优点是比较符合视觉规律、图形形象生动、立体感强，但是缺点是作图复杂，度量性也较差，在工程设计常作为辅助读图的图样，用与作为建筑或者是工业产品的展示图。
图7.4 透视投影图
b. 轴测投影图
轴测投影图简称轴测图，是按照平行投影法将形体及确定的空间位置的直角坐标系，投影到选定的投影面上所得的单面投影图，如图7.5所示。轴测图的优点是立体感强，直观性好，缺点是不能反映物体各个表面的准确形状，度量性差，作图方法比较复杂，在工程上常用做辅助读图的图样。
图7.5 轴测投影图
c. 正投影图
正投影图是采用正投影法向两个或者两个以上的相互垂直的投影面作投影，并将所得投影展开到同一个平面上得到的图样，如图7.6所示。正投影的优点是作图简便，度量性好，在工程中应用最广泛，缺点是直观性较差。
图7.6正投影图
d. 标高投影图
标高投影图是用正投影法绘制的带有高度数字标记的单面正投影图，在工程勘察、军事
作战中，常用来绘制地形图、建筑总平面图。如图7.7所示，标高投影图用间隔相等的水平截面截切地形，其交线为等高线，通过作出等高线在水平面上的正投影，并标出高程数字，即为标高投影图，从而反映该出的地形情况。
图7.6 标高投影图
7.1.2三面正投影图
1. 正投影的特性
在工程图样中，最常用的为正投影，正投影有以下几种特性。
a. 实形性
若线段或者平面图形平行于投影面，则其投影反映线段的实际长度或者是平面图形的实形，如图7.8所示，正投影法的这一性质称为实形性。
(a)线段 (b)平面图形
图7.8 正投影的实形性
b. 积聚性
若直线或平面图形垂直于投影面时，则直线积聚为一点，如图7.9(a)所示，平面的投影积聚为一直线，如图7.9(b)所示，正投影的这种性质称为积聚性。此时，直线上的所有点必全落在直线的积聚投影上，平面上的所有直线必落在平面的积聚投影上。
(a)线段 (b)平面图形
图7.9正投影的积聚性
c. 类似性
当直线或者平面既不平行也不垂直于投影面即当直线或者平面图形倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但其投影的长度小于直线段的实际长度，如图7.10(a)所示；平面图形的投影为平面图形，但其投影小于实形且与实形类似，如图7.10(b)所示。正投影的这种性质称之为类似性。
图7.10正投影的类似性
d. 平行性
互相平行的两直线在同一个投影面上的投影仍然平行，且两线段之比等于其投影长度之比，正投影的这种性质称为平行等比性。如图7.11所示，若AB ∥CD ，则ab ∥cd ，且AB:CD =ab:cd。
图7.11正投影的平行性
e. 定比性
直线上一点将直线段的长度等于它们的投影长度之比，这种特性称为定比性，如图7.12所示，ab 为AB 在投影面上的投影，AC ︰CB=ac︰cb 。
图7.12正投影的平行性
f. 从属性
几何元素的从属关系在投影中不会发生变化，如属于直线上的点的投影必定属于直线的投影，这种特性称为投影的从属性，如图7.13所示，C 在直线AB 上，则C 点的投影c 在直线AB 的投影ab 上。
图7.13正投影的从属性
2. 三面正投影的形成
图7.14 物体的一面投影图
用正投影表达空间形体的方法的优点是绘图过程简单，投影能够反映实形，且度量方便；
但一个投影面只能反映平行于投影面的两个坐标方向的形体大小和形状，并不能反映出这个形体各个表面及其整体的形状和大小。如图7.14所示，两个不同的形体，在同一个投影面的投影图是相同的，因此只用一个投影图并不能表达形体的真实形状与大小。
如果将形体放置在三个两两相互垂直的投影面内，分别用三组相互平行的透射线进行投影，就可以获得形体在三个投影面的正投影，如图7.15所示，这样就比较完整的反映出形体各个面的形状与大小。
图7.15 物体的三面投影图
三个相互垂直的投影面，构成了三面投影体系，如图7.16所示。在三面投影体系中，水平投影面简称水平面或者H 面, 在其上的投影称为水平投影；正面投影面简称正平面或者V 面，在其上的投影称为正面投影；侧面投影面简称侧平面或者W 面，在其上的投影称为侧面投影；三个投影面的交线OX ，OY ，OZ 称为投影轴，共同交于原点O ，分别表示形体长宽高的三个测量方向，同样两两相互垂直。
图7.16 三面投影体系
3. 三面正投影的展开
将形体置于三面投影体系中，分别由上向下投射获得水平投影，由前向后投射获得正面投影，由左向右投射获得侧面投影，如图7.17所示房屋的三面的投影。
将三个相互垂直的投影面展开，令V 面保持不动，H 面围绕OX 轴向下旋转90°，W 面围绕OZ 轴向右旋转90°，保证了三个投影面共面，如图7.18（a ）（b ）所示房屋的三面投影展开。
(a) (b)
图7.18 房屋的三面投影展开
展开后，H 面位于V 面的正下方，W 面位于V 面的正右方，按照此种方式配置投影时，在图样上可以不标记出投影面、投影轴的名称，这种方式获得的视图又称为三视图。
4. 三面正投影的特性
任何一个形体都有上、下、前、后、左、右六个方向的形状与大小，在三面投影图中可以，每个投影图可以反映四个方向的情况，即V 面反映上、下、左、右的情况；H 面反映前、后、左、右的情况；W 面反映上、下、前、后的情况，如图7.19（a ）（b ）所示。
(a) (b)
图7.19 投影图和物体的位置对应关系
形体具有长、宽、高三个方向的尺度，在三面投影体系中，形体的长度是形体最左最右两点间平行于X 轴方向的距离，V 面反映形体的正面形状以及形体的长度和高度；宽度最前最后两点间平行于Y 轴方向的距离，H 面反映形体的水平面形状以及形体的长度和宽度；高度是最上最下两点间平行于Z 轴方向的距离，W 面反映形体的左面形状以及形体的宽度和高度，如图7.19（a ）所示。V 、H 两投影左右对正，长度相等，称为“长对正”；V 、W 两投影上下平齐，高度相等，称为“高平齐”，H 、W 两投影前后对应，高度相等，称为“宽相等”，统称为正投影的三等规律。
图7.20 投影图的三等规律
5. 基本几何体的三面正投影图
工程建筑中，许多形体是由一些基本形体经过一定的叠加或者切割组合而构成的，基本形体根据其表面几何性质又可分为平面立体如曲面立体，表面全部由平面围成的基本形体称为平面立体，常见的有棱柱、棱锥等，其实体模型和三面投影图如表7-1所示；表面全部由曲面或者由曲面与平面共同围成的基本形体称为曲面立体，常见的有圆柱、圆锥、球等，其实体模型和三面投影图如表7-2所示。