一次函数典型例题
例1. 判断下列函数中，哪些y 是x 的一次函数？哪些y 是x 的正比例函数？
⑴y ＝－x ＋1； ⑵； ⑶； ⑷；
⑸2x ＋3y ＝5； ⑹xy ＝4； ⑺.
分析：根据一次函数和正比例函数的定义来解答此题．
解：⑴y ＝x ＋1 ，⑶，⑸2x ＋3y ＝5中y 都是x 的一次函数，其中，又是正比例函数．
例2. 在同一坐标系中画下列函数的图象：⑴y ＝2x ＋4；⑵y ＝2x ．并回答：①两直线有何位置关系？②直线y ＝2x ＋4是由y ＝2x 经怎样平移而得？
分析：函数y ＝2x ＋4与y ＝2x 的图象都可用描点法描两个点而画出来．
解：⑴由y ＝2x ＋4知直线过（0，4）和（－2，0）两点；（2）由y ＝2x 知直线过原点和（1，2）两点，这两个函数的图象如下图：
由图象可知：①直线y ＝2x ＋4与y ＝2x 互相平行．
②直线y ＝2x ＋4可由直线y ＝2x 沿y 轴向上平移4个单位长度而得．
例3. （2006·新疆）如下图，把直线l 向上平移2个单位得到直线l ’，则l ’的表达式为（ ）
A. y＝x ＋l C. y＝x —l B. y＝－x 一1 D. y＝一x ＋1
分析：两直线平行则k 的值相同，向上平移2个单位，只需将原解析式常数项加2即可．
解：选D ．
例4. 等腰三角形的周长为20cm ，求底边长y cm与腰长x cm的函数关系式，并画出图象． 分析：求实际问题的函数关系式，就是列y 与x 的方程，再加以变形整理．因为实际问题的自变量取值有一定的限制，所以画出的图象只能是其中的一部分．
解：根据题意，得y ＝20－2x （5＜x ＜10）
其图象是过（5，10）和（10，0）两点的线段，如下图所示．
例5. 已知y ＋m 与x ＋n 成正比例（m 、n 为常数）：
⑴试说明y 是x 的一次函数；
⑵若x ＝－3时，y ＝5；x ＝2时，y ＝2．求函数关系式．
分析：（1）要说明y 是x 的—次函数，就要说明y 与x 满足形如y ＝kx ＋b （k ≠0，k 、b 为常数）的关系式．而题目中已知y ＋m 与x ＋n 成正比例，便可以设y ＋m ＝k （x ＋n ）（k ≠0，k 为常数），加以变形整理，便可得到y ＝kx ＋kn －m 的形式，其中是k ≠0，k 、n 、m 为常数，从而说明y 是x 的一次函数
⑵由⑴可知，y 是x 的一次函数，我们就可以设解析式为y ＝px ＋q （p ≠0，p 、q 为常数）代入已知条件，得p 、q 的方程，从而求出p 、q ，进而求出解析式．
解： ⑴设y ＋m ＝k （x ＋n ） （k ≠0，k 为常数），则y ＝kx ＋kn －m
因为其中是k ≠0，k 、m 、n 为常数，所以y 是x 的一次函数．
⑵因为y 是x 的一次函数，故设y ＝px ＋q （p ≠0，p 、q 为常数）．
根据题意，得
解得之
所以函数关系式为
．
例6. 一次函数的图象过（3，0），且与坐标轴所围成的图形的面积为9，求一次函数的函数关系式．
分析：题目已知了一个点的坐标，要求解析式还需根据另一条件“图象与两坐标轴所围成的三角形面积为9”去求出另一个点的坐标，注意另一个点的坐标的两种情况．
解：设一次函数的图象与x 轴交于A （3，0），与y 轴交于B （0，b ），则OA ＝3，
OB ＝｜b ｜
又因为
，所以
， 即：，解得：b ＝±6
所以B 的坐标为（0，6）或（0，－6）
设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0，k 、b 为常数），则
或
解之得
或
所以一次函数的解析式是y ＝－2x ＋6或y ＝2x －6．
例7. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝kbx 的图象在同一平面直角坐标系里，正确的是（ ）
分析：解这类题的关键是从能确定每个待定系数的符号的函数入手．可以根据正比例函
数确定k 、b 的正负情况再看一次函数的图象是否符合．
解：选B ．
例8. 已知：点（2，m ）和（－3，n ）都在直线y ＝－3x ＋1上，试比较m 和n 的大小，你能想出几种判断的方法？
分析：思路一：分别求出m 和n 的值．
思路二：根据一次函数的增减性比较．
思路三：画出图象草图，把（2，m ）、（－3，n ）描出来再比较．
解：方法一：根据题意，得
m ＝－3×2＋1＝－5
n ＝－3×（－3）＋1＝10
所以m
方法二：在y ＝－3x ＋1中，
因为是k ＝－3
所以y 随x 增大而减小，
而2>－3
所以m
方法三：如下图所示是直线y ＝－3x ＋1的示意图，由图象可知：m
例9. 已知点A （2，2）、B （－4，3）：
⑴在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最短；
⑵在X 轴上求一点Q ，使QA ＋QB 最短．
分析：⑴如图1所示，连结AB 交y 轴于点P ，由几何知识可知点P 就是使PA ＋PB 最短的点，因此，我们可先求出直线AB 的解析式，再求出它与y 轴的交点．
⑵如图2所示，画点B 关于x 轴的对称点B ＇，连结AB ＇交x 轴于Q ，由几何知识可知，点Q 就是使QA ＋QB 最短的点．要求这一点的坐标，就是要求直线AB ，与x 轴的交
点坐标，可先求出直线AB ＇的解析式，已知A 的坐标，只需再求出B ＇，而B ＇与B 关于x 轴对称，且B （－4，3），所以B ＇（－4，－3）．
图1 图2
解：（1）连结AB 交y 轴于P ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0，k 、b 为常数），根据题意得
解之得
所以直线AB 的解析式为
由x ＝0，得， ．
所以．
（2）如图2，画B 关于x 轴的对称点，则点为（－4，－3），连
Q ．设直线的解析式为y ＝mx ＋n （m ≠0，m 、n 为常数），则
交x 轴于
，解之得
所以直线令y ＝0，则
所以Q 的坐标为（
的解析式为 ，0）．
一次函数典型例题
例1. 判断下列函数中，哪些y 是x 的一次函数？哪些y 是x 的正比例函数？
⑴y ＝－x ＋1； ⑵； ⑶； ⑷；
⑸2x ＋3y ＝5； ⑹xy ＝4； ⑺.
分析：根据一次函数和正比例函数的定义来解答此题．
解：⑴y ＝x ＋1 ，⑶，⑸2x ＋3y ＝5中y 都是x 的一次函数，其中，又是正比例函数．
例2. 在同一坐标系中画下列函数的图象：⑴y ＝2x ＋4；⑵y ＝2x ．并回答：①两直线有何位置关系？②直线y ＝2x ＋4是由y ＝2x 经怎样平移而得？
分析：函数y ＝2x ＋4与y ＝2x 的图象都可用描点法描两个点而画出来．
解：⑴由y ＝2x ＋4知直线过（0，4）和（－2，0）两点；（2）由y ＝2x 知直线过原点和（1，2）两点，这两个函数的图象如下图：
由图象可知：①直线y ＝2x ＋4与y ＝2x 互相平行．
②直线y ＝2x ＋4可由直线y ＝2x 沿y 轴向上平移4个单位长度而得．
例3. （2006·新疆）如下图，把直线l 向上平移2个单位得到直线l ’，则l ’的表达式为（ ）
A. y＝x ＋l C. y＝x —l B. y＝－x 一1 D. y＝一x ＋1
分析：两直线平行则k 的值相同，向上平移2个单位，只需将原解析式常数项加2即可．
解：选D ．
例4. 等腰三角形的周长为20cm ，求底边长y cm与腰长x cm的函数关系式，并画出图象． 分析：求实际问题的函数关系式，就是列y 与x 的方程，再加以变形整理．因为实际问题的自变量取值有一定的限制，所以画出的图象只能是其中的一部分．
解：根据题意，得y ＝20－2x （5＜x ＜10）
其图象是过（5，10）和（10，0）两点的线段，如下图所示．
例5. 已知y ＋m 与x ＋n 成正比例（m 、n 为常数）：
⑴试说明y 是x 的一次函数；
⑵若x ＝－3时，y ＝5；x ＝2时，y ＝2．求函数关系式．
分析：（1）要说明y 是x 的—次函数，就要说明y 与x 满足形如y ＝kx ＋b （k ≠0，k 、b 为常数）的关系式．而题目中已知y ＋m 与x ＋n 成正比例，便可以设y ＋m ＝k （x ＋n ）（k ≠0，k 为常数），加以变形整理，便可得到y ＝kx ＋kn －m 的形式，其中是k ≠0，k 、n 、m 为常数，从而说明y 是x 的一次函数
⑵由⑴可知，y 是x 的一次函数，我们就可以设解析式为y ＝px ＋q （p ≠0，p 、q 为常数）代入已知条件，得p 、q 的方程，从而求出p 、q ，进而求出解析式．
解： ⑴设y ＋m ＝k （x ＋n ） （k ≠0，k 为常数），则y ＝kx ＋kn －m
因为其中是k ≠0，k 、m 、n 为常数，所以y 是x 的一次函数．
⑵因为y 是x 的一次函数，故设y ＝px ＋q （p ≠0，p 、q 为常数）．
根据题意，得
解得之
所以函数关系式为
．
例6. 一次函数的图象过（3，0），且与坐标轴所围成的图形的面积为9，求一次函数的函数关系式．
分析：题目已知了一个点的坐标，要求解析式还需根据另一条件“图象与两坐标轴所围成的三角形面积为9”去求出另一个点的坐标，注意另一个点的坐标的两种情况．
解：设一次函数的图象与x 轴交于A （3，0），与y 轴交于B （0，b ），则OA ＝3，
OB ＝｜b ｜
又因为
，所以
， 即：，解得：b ＝±6
所以B 的坐标为（0，6）或（0，－6）
设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0，k 、b 为常数），则
或
解之得
或
所以一次函数的解析式是y ＝－2x ＋6或y ＝2x －6．
例7. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝kbx 的图象在同一平面直角坐标系里，正确的是（ ）
分析：解这类题的关键是从能确定每个待定系数的符号的函数入手．可以根据正比例函
数确定k 、b 的正负情况再看一次函数的图象是否符合．
解：选B ．
例8. 已知：点（2，m ）和（－3，n ）都在直线y ＝－3x ＋1上，试比较m 和n 的大小，你能想出几种判断的方法？
分析：思路一：分别求出m 和n 的值．
思路二：根据一次函数的增减性比较．
思路三：画出图象草图，把（2，m ）、（－3，n ）描出来再比较．
解：方法一：根据题意，得
m ＝－3×2＋1＝－5
n ＝－3×（－3）＋1＝10
所以m
方法二：在y ＝－3x ＋1中，
因为是k ＝－3
所以y 随x 增大而减小，
而2>－3
所以m
方法三：如下图所示是直线y ＝－3x ＋1的示意图，由图象可知：m
例9. 已知点A （2，2）、B （－4，3）：
⑴在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最短；
⑵在X 轴上求一点Q ，使QA ＋QB 最短．
分析：⑴如图1所示，连结AB 交y 轴于点P ，由几何知识可知点P 就是使PA ＋PB 最短的点，因此，我们可先求出直线AB 的解析式，再求出它与y 轴的交点．
⑵如图2所示，画点B 关于x 轴的对称点B ＇，连结AB ＇交x 轴于Q ，由几何知识可知，点Q 就是使QA ＋QB 最短的点．要求这一点的坐标，就是要求直线AB ，与x 轴的交
点坐标，可先求出直线AB ＇的解析式，已知A 的坐标，只需再求出B ＇，而B ＇与B 关于x 轴对称，且B （－4，3），所以B ＇（－4，－3）．
图1 图2
解：（1）连结AB 交y 轴于P ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0，k 、b 为常数），根据题意得
解之得
所以直线AB 的解析式为
由x ＝0，得， ．
所以．
（2）如图2，画B 关于x 轴的对称点，则点为（－4，－3），连
Q ．设直线的解析式为y ＝mx ＋n （m ≠0，m 、n 为常数），则
交x 轴于
，解之得
所以直线令y ＝0，则
所以Q 的坐标为（
的解析式为 ，0）．