高等数学笔记系统

前言

笔记规则

==

—— 表示定义

—— 收敛 —— 发散

所感所悟

平时要适当练习,不然复习周鸭梨很大!

平时的练习注意应写在一个本子上比较方便管理。如果老师作业多则写在纸上用活页文件夹装订。

考试技巧

考试做完题最重要的是... 再把题读一遍,确保没有读错题的。(读题时用气声,不要陷入惯性思维不能发现错误!)

第一章 函数与极限

初等函数==由五类基本初等函数经过有限次加减乘除及复合运算并能用一个式子表达的函数。

定理(个人成果) 设f (x ) 、g (x ) 是初等函数,则在f (x ) 、g (x ) 的公共定义域内,

⎧f (x ), x >x 01x -x 0h (x ) =⎨=[f (x ) +g (x ) +(f (x ) -g (x ))]也是初等函数。其中

x -x 0⎩g (x ), x

x -x 0

称为定界系数。 注意:显然该函数存在断点!

x -x 0

1⎧

Max(A,B)=(A+B +A -B ⎪⎪2最值函数==⎨ ⎪Min(A,B)=1(A+B -A -B ⎪⎩2

÷cos x ⎧→tan 2x =sec 2x -1⎪−−−22

三角函数定理sin x +cos x =1⎨

÷sin 2x 22

→cot x =csc x -1⎪⎩−−−

f (x ) →a ⎫g (x ) b

指数函数极限原则⎬⇒f (x ) →a

g (x ) →b ⎭

2

隐蔽的函数关系

x +

=-x (

-1

⇒I n (+1) =-I n ( +1)

第二章 导数与微分

第三章 微分中值定理与导数应用 第四章 不定积分

第五章 定积分

三角积分

说明:n 、m ∈Z

三角积分1 原理:循环区间内积分为0 三角积分2 原理:奇偶函数之积

π

-

⎰πcos nx d x =⎰πsin nx d x =0

-

-

ππ

⎰πc o s m x

s i n n x d =x 0

三角积分3 原理:积化和差后,利用三角积分1证明:

π⎧0, m ≠n

cos mx scos nx d x =sin mx ssin nx d x = ⎨⎰-π⎰-π

⎩π, m =n π

三角积分4 原理:与三角积分3相似,积化和差后,利用三角积分1证明:

π

cos mx scos nx d x =⎰

π

⎧0, m ≠n

sin mx ssin nx d x =⎨

π, m =n ⎩

π

π

三角积分5 原理:利用分部积分法求出递推关系I n =

2

cos nx d x =⎰2sin nx d x =0

⎧n -1n -3

⋅⋅⎪n -1⎪n n -2

I n =I n -2 I n =⎨

n ⎪n -1⋅n -3⋅

⎪n n -2⎩42

⋅⋅1(n 为奇数)53 31ππ⋅⋅n 为偶数), I 0=4222

第六章 定积分的应用

极坐标扇形面积

A =⎰

βα

1

[ϕ(θ)]2d θ 2

旋转体体积

V =⎰π[f (θ)]2d x

a b

曲线弧长

第七章 微分方程

微分方程基本概念

微分方程==未知函数及其导数的关系式。

微分方程的阶==微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。 微分方程的解==能使微分方程恒成立的函数。

微分方程的通解==含有与微分方程阶数相同个数的任意常数的解。 微分方程的特解==确定了通解中的常数后的解。

可分离变量微分方程

可分离变量的微分方程==形式:g (x )dy =f (x )dx (隐式)通解==G (x )=F (x )+c

解法

分离函数变量→两端积分→(解出y )

齐次方程

齐次方程==能化成

dy dx =ϕ(y

x

) 的微分方程。 解法

y =ux →

dy dy dx =u +x dx

dy dx =ϕ(y x ) →u +x du du dx du dx dx =ϕ(u ) →ϕ(u ) -u =x →⎰ϕ(u ) -u =⎰x

代入u =y

x 即可。

一阶线性微分方程

一阶非齐次线性方程==形式:

dy

dx

+P (x ) y =Q (x ) 若Q (x ) =0则为一阶齐次线性方程。

解法

一阶齐次线性方程

分离变量:

dy

y

=-P (x ) dx 两端积分:In y =-⎰

P (x ) d x +C 1

化简 :y =C e -⎰

P (x )d x

(c =±e c 1) 一阶非齐次线性方程

常数变易法:y =e -⎰P (x )d x (⎰

Q (x )e ⎰P (x )d x

d x +C )

注意 第一个指数积分有负号!

可降价的高阶微分方程

高阶微分方程==二阶及以上的微分方程。

解法

y (n ) =f (x ) 型

连续积分n 次即可。

y ''=f (x , y ') 型

将y '看作y ,遂降级为一阶微分方程。

y ''=f (y , y ') 型

将y 看作自变量,y '为因变量,y ''=y '

d y '

为一阶导数与因变量之积,化为一阶微分方程。 d y

求出y 、y '的关系后,再将y 作因变量求解。

高阶线性微分方程

二阶齐次线性方程==形式:y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =0

定理

齐次、非齐次解的关系

齐通=C 1奇特+C 2奇特(两个奇特须线性无关) 非齐通=齐通+非齐特→齐通=非齐通-非齐特 非奇特=奇特+非齐特→奇特=非齐特-非齐特 应用 由3个线性无关的非齐特可求出非齐通:

y =(C 1(y 1-y 3) +C 2(y 2-y 3)) +y 3

奇特

齐通

非齐通

奇特

非齐特

线性组合定理

如果函数y 1(x ) 与y 2(x ) 是二阶齐次线性微分方程的解,那么

y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x )

也是该方程的解。(其中C 1、C 2为任意常数)

即,n 阶齐次方程只须获得n 个特解(线性无关)即可求出其通解。

和函数定理

若非齐次线性方程右端f (x ) 为两函数之和,即

y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) +f 2(x )

而y *(x ) 、y *12(x ) 分别为方程

y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) 与 y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 2(x )

的特解,那么y *(x ) +y *

12(x ) 是原方程的特解。

常系数齐次微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程== y ''+py '+qy =0

解法

解的形式:y =e rx

代入得 :(r 2+pr +q )e rx =0

第一步

特征方程:r 2+pr +q =0

第二步

求解特征方程

第三步

r 1、r 2是两个不相等实根:y =C 1e r 1x +C r 2e 2x

r 1、r 2是两个相等实根 :y =(C 1+C 2x )e r 1x

r 1、r 2是两个共轭复根 :y =e αx (C 1cos(βx ) +C 2sin(βx ))

常系数非齐次微分方程

二阶常系数非齐次微分方程==y ''+py '+y =f (x ) 求解方法:求出齐次方程的通解即非齐次方程的特解即可

求特解方法

f (x ) =e λx P m (x ) 型

y *=x k Q m (x )e λx

令k =0,将y *代入微分方程,使其左端与右端同次数系数相同,解出解的所有常系数。 其中按照λ是否为特征根方程的解决定k 值:

λ2+p λ+y ≠0时:k =0

λ2+p λ+y =0、2λ+p ≠0时:k =1 λ2+p λ+y =0、2λ+p =0时:k =2 f (x ) =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型 y *=x k e λx [R l (x )cos ωx +R n (x )sin ωx ]

令k =0,将y *代入微分方程,使其左端与右端同次数系数相同,解出解的所有常系数。 根据λ+ωi 不是、是特征方程的单根依次取0、1

第八章 空间几何

向量及其线性运算

向量概念==有方向、有大小的量 单位向量==模=1的向量 零向量==模=0的向量 向量a 、b 夹角记作:(a,b ) 向量平行==向量共线

定理:a ≠0b //a⇔存在唯一实数λ,使b =λa 四象、八卦

方向角与方向余弦

方向角==非零向量r 与3条坐标轴夹角α、β、γ称为向量r 的方向角。 方向余弦==方向角的余弦

(cosα,cos β, cos γ) =

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1

向量的投影

向量在平面的投影==是其投影向量的模长(是一个数而非向量!)

r 在平面u 上的投影记作Pr j u r 或r (r ) u

性质1:r (r ) u =r cos ϕ 性质2:(a +b ) u =(a ) u +(b ) u 性质3:(λa ) u =λ(a ) u

数量积、向量积、混合积 数量积(点积、内积)

满足交换律、分配率、数与向量的结合律

向量积(叉积、外积)

a ⨯b =a b sin θ,结果为向量,方向垂直于原向量所在平面,与原向量按顺序满足右手规

则。

i

a ⨯b =a x

b x

j a y b y

k a z b z

满足变号交换律、分配率、数与向量的结合律

混合积

a x

[abc ]=(a ⨯b ) ⋅c =b x

c x

a y b y c y

a z b z c z

表示平行六面体体积,可以用于判定3向量或4点共面。

曲面及其方程 旋转曲面

旋转曲面==一条平面曲线绕该平面上的一条特定直线旋转一周所形成的曲面。 旋转轴==以上特定直线。

柱面

柱面==平行直线l 沿特定轨迹C 移动所形成的轨迹。 准线==以上C 。 母线==以上l 。

二次曲面

二次曲面==

经验 z 正为球面,否则有常数y 正为单叶,y 负为双叶;无常数有二次项为圆锥,有一次项为抛物面,y 正为椭圆,y 负为双曲。

空间曲线及其方程 空间曲线一般方程

⎧F (x , y , z ) =0

⎩G (x , y , z ) =0

空间曲线参数方程

⎧x =x (t ) ⎪

⎨y =y (t ) ⎪z =z (t ) ⎩

螺线

⎧x =a cos ωt ⎪

⎨y =b sin ωt ⎪z =vt ⎩

空间曲线在坐标面上的投影

以在z 轴投影为例,将曲线方程消去变量z 后与z=0联立即可。

平面与直线 方程

说明

为直线l 的方向向量。

夹角定理

cos(a , b ) =

a ⋅b a b

应用:二面角(余弦)、线面角(正弦)、线线角(余弦)

影长定理

MM 1⋅s

s

d 表示MM 1在直s 上的投影。 d =

应用 平行面距离、异面直线距离。

射长定理 [FYH]

MM 1⨯s

d =

s

d 表示MM 1在S 垂直的平面上的投影。

线面关系

直线一般式转化为对称式

直线一般式的两个平面的法向量叉乘即得直线的方向向量啦! 注意 前后两项都是“\”为正对角线,中间一个是“/”为正对角线!

直线、平面的平行、垂直

直线夹角、面面夹角

cos θ=

s 1⋅s 2s 1⋅s 2

、cos θ=

s 1⋅s 2s 1⋅s 2

线面夹角

sin θ=

s 1⋅s 2s 1⋅s 2

点到直线距离

d =

MM 1⨯s s

=

点、线、面到面距离

d =

MM 1⋅n

n

判断两面平行与重合

A 1B 1C 1D 1

==≠

A 2B 2D 2D 2A B C D 重合:1=1=1=1

A 2B 2D 2D 2

平行:

求异面直线的距离

d =

(s 1⨯s 2)⨯M 1M 2

s 1⨯s 2

射长定理的应用!

判断二直线、三向量或四点共面

说明 本方法是“求异面直线的距离”的特殊形式。

点在面上的投影

要点:

点和其投影所成向量平行于法向量。 投影在平面上。

线在面上投影

要点:

构建过线平面簇。 构造平面垂直于原平面。 二面联立得直线。

求垂直于已知二向量的向量

叉乘即可。

平行面距离公式

d =

第九章 多元函数微分法

第一节 多元函数基本概念

聚点==边界内的点+边界上的点

多元函数有极限==以任何方式趋近于指定点,极限均为A 。 多元函数有连续性==有极限且极限等于函数值。 间断点==不连续的点

性质1(有界性与最大值、最小值定理) 有界闭区间D 上的多元连续函数必在D 上有界且取得最值。

性质2(介值定理) 有界闭区间D 上的多元连续函数必取得介于最大最小值之间的任何值。 性质3(一致连续性定理) 有界闭区间D 上的多元连续函数必在D 上一致连续。(一致连续与普通连续的区别?不懂)

求极限

遇到求lim f (x , y ) 极限时,令y =kx ,代入求极限,若求出定值且不为∞则极限存在为该

x →0

y →0

值,否则极限不存在。

第二节 偏导数

偏导数==固定y ,对x 的导数。记作

∂z ∂f 、、z x 。 ∂x ∂x

高阶偏导数求导顺序与表达式关系:分母从左往右,求导顺序从前到后。

定理: 如果函数的混合偏导数在某区域D 内连续,则D 内求导结果与求导顺序无关。

第三节 全微分

全微分==dz =

∂z ∂z ∆x +∆y ∂x ∂y

成立要求 偏导连续>可微>连续、可导

注意 连续与可导没有关系!

定理2(充分条件) 如果函数偏导数均在某点连续,则改点可微。

第四节 多元复合函数求导法则

链式求导法则:对求导起点到求导终点的所有路径进行求导。

虚拟函数的求导 [FYH]

数!

注意 根据考察,书上绝大部分虚拟函数符号下标都是用字母。由于不确定用数字是否能获得老师认可,所以应当尽量使用字母!

全微分形式的不变性

全微分形式的不变性==不论是自变量还是中间变量,指定函数的全微分形式相同。(如下)

⎧z =f (u , v )

∂z ∂z ∂z ∂z ⎪

u =ϕ(x , y ) ⇒d z =d u +d v =d x +d y ⎨

∂u ∂v ∂x ∂y ⎪v =ψ(x , y )

第五节 隐函数求导法则 单方程

隐函数求导公式

F ∂z

=-x (F x 为隐函数对x 求导结果) ∂x F z

整导法

对函数进行整体求导,并解方程得到结果。

高阶偏导数

记得要先求出低阶对应偏导数,后续需要代入消元。

方程组

整导法 [FYH]

该方法用于求导及求极值

第六节 多元函数微分学的几何应用 一元向量值函数及其导数

定义

若:

r =x i +y j +z k

f (t ) =ϕ(t ) i +ψ(t ) j +ω(t ) k

r =f (t ) 为一元向量值函数

一元向量值函数==自变量为数,因变量为向量。

性质

其极限存在性、连续性、可导性、求导法则类似普通函数。

空间曲线的切线及法平面

切线:求出导数,利用直线对称式即可求出。 法平面:求出导数,利用平面点法式即可求出。

曲面的切平面与法线

求出法向量

⎧x =ϕ(t ) ⎪

设在曲面F 上的任意曲线Γ,其参数方程为:⎨y =ψ(t )

⎪z =ω(t ) ⎩

该曲线在点M(x 0, y 0,z 0) 处方向向量恒垂直于改点F 法向量,得:F[ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )]≡0 对自变量t 求导得:F x (x 0, y 0, z 0) ϕ'(t ) +F y (x 0, y 0, z 0) ψ'(t ), +F z (x 0, y 0, z 0) ω'(t ) =0 所以法向量为:n (Fx (x 0, y 0,z 0) ,F y (x 0, y 0,z 0),F z (x 0, y 0,z 0))

第八节 多元函数的极值及其求法

驻点==使f x (x , y ) =f y (x , y ) =0同时成立的点。

极值

定理1(必要条件) 设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 有偏导数且有极值,则f x (x 0, y 0) =0,

f y (x 0, y 0) =0。

定理2(充分条件) 设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又f x (x 0, y 0) =0,f y (x 0, y 0) =0,令f xx (x 0, y 0) =A 、f xy (x 0, y 0) =B 、

f yy (x 0, y 0) =C ,则:

AC -B 2>0 AC -B 2

AC -B 2=0

有极值,A

不能确定,须另作讨论

条件极值→拉格朗日乘数法

求⎨

⎧z =f (x , y )

中f (x , y ) 的极值点

⎩ϕ(x , y ) =0

d z d y ⎧

z =f (x , y ) →=f +f |x =x 0=0x y ⎪d x d x d y ⎪

对f 求导,并由ϕ求解出得⎨

ϕd y d x ⎪ϕ(x , y ) =0→=-x |x =x 0

d x ϕy ⎪⎩

f y d y ϕd y

代入f 化简后令=-λ得f x +f y =0→f x -f y x =0→f x +λϕx =0 d x d x ϕy ϕy

⎧f x +λϕx =0⎪

联立⎨f y +λϕy =0解出x 0、y 0、λ即得到可能极值点(x 0, y 0)

⎩ϕ=0

第十章 重积分

二重积分的概念和性质 概念

重积分==

∑f (ξ, η) ∆σ⎰⎰f (x , y )d σ=lim λ

D

→0

i

i

i =1

n

i

被积函数f (x , y ) ;被积表达式f (x , y )d σ;面积元素d σ;积分变量x 、y ;积分区域D ;积分和lim

λ→0

∑f (ξ, η) ∆σ

i

i

i =1

n

i

性质

性质1 二重积分算数分配率 性质2 二重积分积分区域分配率 性质3

⎰⎰d σ=⎰⎰1⋅d σ

D

D

性质4 如果在区间D 上,f (x , y ) ≤ϕ(x , y ) 则

⎰⎰f (x , y )d σ≤⎰⎰ϕ(x , y )d σ

D

D

性质5 设M 、m 分别为f (x , y ) 在区间D 上的最大/小值,σ是D 的面积,则

m σ≤⎰⎰f (x , y )d σ≤M σ

D

性质6 二重积分中值定理

二重积分计算法 画出积分区域

无论题目是否给出重积分表达式,都应当画出积分区域。

如果未给出表达式则应考虑选用极坐标还是直角坐标,作为X 还是Y 型积分区域;如果已给出表达式则应考虑是否需要转换积分顺序。

积分限的划分

直角坐标系

X 型积分区域==左右平齐,积分时先y 后x 。 Y 型积分区域==上下平齐,积分时先x 后y 。

b

⎰⎰

D

f (x , y )d σ=⎰[⎰

a

ϕ2(x )

ϕ1(x)

f (x , y )d y ]dx =⎰d x ⎰

a

b

ϕ2(x )

ϕ1(x)

f (x , y )d y

极坐标系

⎧x =ρcos θ

⎩y =ρsin θ

ππ

注意 原点为圆心时,积分上下限为-π~π;原点为圆周时,积分上下限为-~

22

当积分限为圆形,且原点为积分限圆心或圆周,优先考虑使用极坐标。⎨

⎰⎰f (x , y )d σ=⎰⎰f (ρcos θ, ρsin ρ) ρd ρd θ=⎰d θ⎰

D

D

β

ϕ2(θ)

α

ϕ1(θ)

f (ρcos θ, ρsin ρ) ρd ρ

注意 ρd ρ中前一个ρ要乘进被积函数中计算!

拆分法 拼合法 对称积分限

注意考察函数的对称性简化计算。函数的对称性有时体现在函数的一部分,积分限的对称性也是如此,对这一部分使用对称性化简也可大大简化计算。

第十二章 无穷级数

常数项级数概念和性质

级数的部分和数列==s n ,代表级数

∑u 前n 项的和。

i i =1

定义 若部分和数列极限为s ,则称该级数收敛,s 为级数的和。若部分和数列无极限,则称该级数发散。(在相同值上下震动的级数也为发散!)

余项==r n =s -s n

特殊级数

等比级数

u n =aq n

q

1-q

(记住此公式!) q ≥1发散

常数幂级数

u n =an p

p

p ≥-1时发散

特别的 a=1,p=-1时为调和级数(发散),是敛散边界。

性质

性质1

级数的数乘

应用 级数各项乘以非0常数,敛散性不变。

性质2

在公共收敛域内,级数符合加法分配率

收敛+收敛=收敛

应用

收敛+发散=发散

发散+发散=可能发散,也可能收敛!(交错项级数相加抵消)性质3

级数中加上、减去、改变有限项,不该变其收敛性。

性质4

仅充分条件 对收敛级数的任意项加括号后形成的新的级数仍收敛,且和不变。 应用

收敛并项仍收敛 并项发散必发散

性质5

仅必要条件 若级数收敛,则其一般项趋于0 。

常数项级数审敛法

正项级数==各项均为正数或零的级数。 交错项级数==各项是正负交错的级数。

柯西审敛原理

p →∞, ε→∞-1, ∃n ⇒u n +1+u n +2+... u n +p

正项级数审敛法

1基本审敛法 正项级数收敛⇔部分和数列有界(非正项不一定成立:震动型) 2比较审敛法 ∀n , u n ≤v n ⇒ u n 发散则v n 发散,v n 收敛则u n 收敛。 3极限比较审敛法(常用) 令lim

u n

=l ,0≤l

v n 发散则u n 发散。

4比值审敛法(最常用) 令lim 收敛也可能发散。

5根值审敛法 是比值审敛法的推论

l i =ρ,ρ>1⇒发散;ρ

n u n +1

=ρ,ρ>1⇒发散;ρ

n →∞u n

可能收敛也可能发散。

说明

5个审敛法对非正项级数的均不成立!!(易错)

n 定理1反例 u n =(-1)

定理2反例 u n

a 条件∑n ⎪n =1

⎪u n u n +1⎪b n ⇒u =a +b 定理3、4反例 a n ,此时,lim =1lim =-1 ⎬n n n

n →∞u n →∞v n n ⎪∞

⎪b n ∑⎪n =1⎭

定理5 未发现反例,不做讨论。

交错级数审敛法

莱布尼兹定理 ∀n , u n ≥u n +1; l i m u n =

n →∞

⇒0级数收敛,且s n ≤u 1。

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛==级数条件收敛==级数

∑u ∑u

n =1n =1

n

各项绝对值所构成的正项级数

∑u

n =1

n

收敛。

n

收敛,但各项绝对值所构成的正项级数

∑u

n =1

n

发散。

定理 若级数绝对收敛,则级数收敛。

附加定理

级数的夹逼准则

⎫⎪

n =1∞⎪⎪定理 a n

⎪n =1∞

⎪b n ∑⎪n =1⎭

∑a n

0

⎪∞

⎬⇒∑(c n -a n )

(b -a ) n =1∑n n ⎪证明 n =1⎭

∑a

n =1

n

∞⎪⎪

⎬⇒∑

c n

n =1⎪⎪⎪⎭

说明 证明法构造了两个新的差值级数(这种方法在函数题中挺常见),是个不错的思维。

综合审敛法 [FYH]

审敛程序

判断u n →0? 无穷替换

无穷比阶,x -1为分界点。

(到此已判断出敛散性,以下两步用于求幂函数收敛半径) 分部求比值。 取倒验端点。

比阶数轴

q (

x p (≤-1) ↑

a

In(x )

x p (>-1) ↑

q (>1) ↑x

x !

x x

q (>1) x

p (>1) ↑

定理 有限个低阶式通过有限次四则运算后的结果仍远小于高阶式。 证明 最后两项的大小关系:

q (x +1)

p p p p p -1

q (x +1) -x q (x +1) -x q x (x +1) x +1

lim =lim =lim =lim =∞

x p x →∞x →∞x x →∞e ⋅(x +1) x →∞x q () ⋅(x +1) x x x

p

∴q (>1) x

p (>1) ↑

x x

幂级数

函数项级数==级数的每一项都为一个函数表达式。 幂级数==∀n , u n (x ) =a n x n ,即各项均为幂函数的级数。 收敛点==x =x 0时

∑u (x ) 收敛,则称x

n n =1

为收敛点。

发散点==x =x 0时

∑u (x ) 发散,则称x

n n =1

为收敛点。

收敛域==全体收敛点的集合 发散域==全体发散点的集合 和函数==

∑u (x )

n n =1

和函数

定理 若幂级数的和函数在其收敛域内连续,则

⎧两端求导

'→f n (x ) =∑u n '(x ) ⎪−−−−∞

⎪n =1

(右端为逐项求导/积分)此定理常用f n (x ) =∑u n (x ) ⇒⎨∞

n =1两端积分⎪−−−−→F n (x ) =∑U n (x )

⎪n =1⎩

于求幂级数的和函数。

敛散域定理

∑u (x )

n

n =1

⇒∀x

n =1

∑u (x )

n

n =1

⇒∀x >x 0, ∑u n (x )

n =1

推论 ∃R ⇒(x

∑u (x )

n n =1

);(x >R ⇒∑u n (x ) ) (当x=R时可能发散也可能

n =1

收敛区间==(-R ,R )(与收敛域相比,收敛区间无条件去除端点)

应用 如果关于收敛中心对称的两个点敛散性不同,则这两个点为收敛域边界!

比值审敛法幂级数推论

a n +1a n

⎧+∞ρ=0⎪⎪1

=ρ⇒R =⎨0

⎪ρ⎪ρ=∞⎩0

lim

x →∞

注意 当x 指数非自然数增长时该推论不可用,须使用比值审敛法直接推导。 技巧 应用综合审敛法!

函数展开成幂级数

函数能展开成幂级数==在指定函数某个区间内,存在某幂级数的和函数为该函数。

1(n )

f (x 0)(x -x 0) n ∑n =0n ! ∞

1(n )

泰勒展开式==f (x ) =∑f (x 0)(x -x 0) n , x ∈U (x 0) (比泰勒级数多了自变量限定)

n =0n !

定理 函数能展开成泰勒级数⇔泰勒公式余项lim R (x ) n =0,(R (x ) n =f (x ) -s n (x ) )

泰勒级数==f (x ) =

n →∞

5个重要函数的幂级数

e =∑

x

1n

x n ! n =0

(-1) k 2k 积分(-1) k 2k +1

cos x =∑x −−−→sin x =∑x

2k ! (2k +1)! k =0k =0∞∞

1(-1) n -1n 积分n n

=∑(-1) x −−−→In(1+x ) =∑x 1+x n =0n n =0

麦克劳林展开式

麦克劳林展开式==即泰勒展开式中x 0=0的情形:f (x ) =

1(n )

f (0)x n (x

求麦克劳林展开式步骤

代入求出各阶导数(x =0)时通式,若出现某阶在x =0处导数不存在则停止求导,说明该函数该处不可展开为求麦克劳林展开式。 写出幂级数并求出收敛半径R 。

考察在收敛区间上余项的极限是否为0,若是则求得幂级数展开式,若不是则无。

前言

笔记规则

==

—— 表示定义

—— 收敛 —— 发散

所感所悟

平时要适当练习,不然复习周鸭梨很大!

平时的练习注意应写在一个本子上比较方便管理。如果老师作业多则写在纸上用活页文件夹装订。

考试技巧

考试做完题最重要的是... 再把题读一遍,确保没有读错题的。(读题时用气声,不要陷入惯性思维不能发现错误!)

第一章 函数与极限

初等函数==由五类基本初等函数经过有限次加减乘除及复合运算并能用一个式子表达的函数。

定理(个人成果) 设f (x ) 、g (x ) 是初等函数,则在f (x ) 、g (x ) 的公共定义域内,

⎧f (x ), x >x 01x -x 0h (x ) =⎨=[f (x ) +g (x ) +(f (x ) -g (x ))]也是初等函数。其中

x -x 0⎩g (x ), x

x -x 0

称为定界系数。 注意:显然该函数存在断点!

x -x 0

1⎧

Max(A,B)=(A+B +A -B ⎪⎪2最值函数==⎨ ⎪Min(A,B)=1(A+B -A -B ⎪⎩2

÷cos x ⎧→tan 2x =sec 2x -1⎪−−−22

三角函数定理sin x +cos x =1⎨

÷sin 2x 22

→cot x =csc x -1⎪⎩−−−

f (x ) →a ⎫g (x ) b

指数函数极限原则⎬⇒f (x ) →a

g (x ) →b ⎭

2

隐蔽的函数关系

x +

=-x (

-1

⇒I n (+1) =-I n ( +1)

第二章 导数与微分

第三章 微分中值定理与导数应用 第四章 不定积分

第五章 定积分

三角积分

说明:n 、m ∈Z

三角积分1 原理:循环区间内积分为0 三角积分2 原理:奇偶函数之积

π

-

⎰πcos nx d x =⎰πsin nx d x =0

-

-

ππ

⎰πc o s m x

s i n n x d =x 0

三角积分3 原理:积化和差后,利用三角积分1证明:

π⎧0, m ≠n

cos mx scos nx d x =sin mx ssin nx d x = ⎨⎰-π⎰-π

⎩π, m =n π

三角积分4 原理:与三角积分3相似,积化和差后,利用三角积分1证明:

π

cos mx scos nx d x =⎰

π

⎧0, m ≠n

sin mx ssin nx d x =⎨

π, m =n ⎩

π

π

三角积分5 原理:利用分部积分法求出递推关系I n =

2

cos nx d x =⎰2sin nx d x =0

⎧n -1n -3

⋅⋅⎪n -1⎪n n -2

I n =I n -2 I n =⎨

n ⎪n -1⋅n -3⋅

⎪n n -2⎩42

⋅⋅1(n 为奇数)53 31ππ⋅⋅n 为偶数), I 0=4222

第六章 定积分的应用

极坐标扇形面积

A =⎰

βα

1

[ϕ(θ)]2d θ 2

旋转体体积

V =⎰π[f (θ)]2d x

a b

曲线弧长

第七章 微分方程

微分方程基本概念

微分方程==未知函数及其导数的关系式。

微分方程的阶==微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。 微分方程的解==能使微分方程恒成立的函数。

微分方程的通解==含有与微分方程阶数相同个数的任意常数的解。 微分方程的特解==确定了通解中的常数后的解。

可分离变量微分方程

可分离变量的微分方程==形式:g (x )dy =f (x )dx (隐式)通解==G (x )=F (x )+c

解法

分离函数变量→两端积分→(解出y )

齐次方程

齐次方程==能化成

dy dx =ϕ(y

x

) 的微分方程。 解法

y =ux →

dy dy dx =u +x dx

dy dx =ϕ(y x ) →u +x du du dx du dx dx =ϕ(u ) →ϕ(u ) -u =x →⎰ϕ(u ) -u =⎰x

代入u =y

x 即可。

一阶线性微分方程

一阶非齐次线性方程==形式:

dy

dx

+P (x ) y =Q (x ) 若Q (x ) =0则为一阶齐次线性方程。

解法

一阶齐次线性方程

分离变量:

dy

y

=-P (x ) dx 两端积分:In y =-⎰

P (x ) d x +C 1

化简 :y =C e -⎰

P (x )d x

(c =±e c 1) 一阶非齐次线性方程

常数变易法:y =e -⎰P (x )d x (⎰

Q (x )e ⎰P (x )d x

d x +C )

注意 第一个指数积分有负号!

可降价的高阶微分方程

高阶微分方程==二阶及以上的微分方程。

解法

y (n ) =f (x ) 型

连续积分n 次即可。

y ''=f (x , y ') 型

将y '看作y ,遂降级为一阶微分方程。

y ''=f (y , y ') 型

将y 看作自变量,y '为因变量,y ''=y '

d y '

为一阶导数与因变量之积,化为一阶微分方程。 d y

求出y 、y '的关系后,再将y 作因变量求解。

高阶线性微分方程

二阶齐次线性方程==形式:y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =0

定理

齐次、非齐次解的关系

齐通=C 1奇特+C 2奇特(两个奇特须线性无关) 非齐通=齐通+非齐特→齐通=非齐通-非齐特 非奇特=奇特+非齐特→奇特=非齐特-非齐特 应用 由3个线性无关的非齐特可求出非齐通:

y =(C 1(y 1-y 3) +C 2(y 2-y 3)) +y 3

奇特

齐通

非齐通

奇特

非齐特

线性组合定理

如果函数y 1(x ) 与y 2(x ) 是二阶齐次线性微分方程的解,那么

y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x )

也是该方程的解。(其中C 1、C 2为任意常数)

即,n 阶齐次方程只须获得n 个特解(线性无关)即可求出其通解。

和函数定理

若非齐次线性方程右端f (x ) 为两函数之和,即

y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) +f 2(x )

而y *(x ) 、y *12(x ) 分别为方程

y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) 与 y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 2(x )

的特解,那么y *(x ) +y *

12(x ) 是原方程的特解。

常系数齐次微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程== y ''+py '+qy =0

解法

解的形式:y =e rx

代入得 :(r 2+pr +q )e rx =0

第一步

特征方程:r 2+pr +q =0

第二步

求解特征方程

第三步

r 1、r 2是两个不相等实根:y =C 1e r 1x +C r 2e 2x

r 1、r 2是两个相等实根 :y =(C 1+C 2x )e r 1x

r 1、r 2是两个共轭复根 :y =e αx (C 1cos(βx ) +C 2sin(βx ))

常系数非齐次微分方程

二阶常系数非齐次微分方程==y ''+py '+y =f (x ) 求解方法:求出齐次方程的通解即非齐次方程的特解即可

求特解方法

f (x ) =e λx P m (x ) 型

y *=x k Q m (x )e λx

令k =0,将y *代入微分方程,使其左端与右端同次数系数相同,解出解的所有常系数。 其中按照λ是否为特征根方程的解决定k 值:

λ2+p λ+y ≠0时:k =0

λ2+p λ+y =0、2λ+p ≠0时:k =1 λ2+p λ+y =0、2λ+p =0时:k =2 f (x ) =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型 y *=x k e λx [R l (x )cos ωx +R n (x )sin ωx ]

令k =0,将y *代入微分方程,使其左端与右端同次数系数相同,解出解的所有常系数。 根据λ+ωi 不是、是特征方程的单根依次取0、1

第八章 空间几何

向量及其线性运算

向量概念==有方向、有大小的量 单位向量==模=1的向量 零向量==模=0的向量 向量a 、b 夹角记作:(a,b ) 向量平行==向量共线

定理:a ≠0b //a⇔存在唯一实数λ,使b =λa 四象、八卦

方向角与方向余弦

方向角==非零向量r 与3条坐标轴夹角α、β、γ称为向量r 的方向角。 方向余弦==方向角的余弦

(cosα,cos β, cos γ) =

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1

向量的投影

向量在平面的投影==是其投影向量的模长(是一个数而非向量!)

r 在平面u 上的投影记作Pr j u r 或r (r ) u

性质1:r (r ) u =r cos ϕ 性质2:(a +b ) u =(a ) u +(b ) u 性质3:(λa ) u =λ(a ) u

数量积、向量积、混合积 数量积(点积、内积)

满足交换律、分配率、数与向量的结合律

向量积(叉积、外积)

a ⨯b =a b sin θ,结果为向量,方向垂直于原向量所在平面,与原向量按顺序满足右手规

则。

i

a ⨯b =a x

b x

j a y b y

k a z b z

满足变号交换律、分配率、数与向量的结合律

混合积

a x

[abc ]=(a ⨯b ) ⋅c =b x

c x

a y b y c y

a z b z c z

表示平行六面体体积,可以用于判定3向量或4点共面。

曲面及其方程 旋转曲面

旋转曲面==一条平面曲线绕该平面上的一条特定直线旋转一周所形成的曲面。 旋转轴==以上特定直线。

柱面

柱面==平行直线l 沿特定轨迹C 移动所形成的轨迹。 准线==以上C 。 母线==以上l 。

二次曲面

二次曲面==

经验 z 正为球面,否则有常数y 正为单叶,y 负为双叶;无常数有二次项为圆锥,有一次项为抛物面,y 正为椭圆,y 负为双曲。

空间曲线及其方程 空间曲线一般方程

⎧F (x , y , z ) =0

⎩G (x , y , z ) =0

空间曲线参数方程

⎧x =x (t ) ⎪

⎨y =y (t ) ⎪z =z (t ) ⎩

螺线

⎧x =a cos ωt ⎪

⎨y =b sin ωt ⎪z =vt ⎩

空间曲线在坐标面上的投影

以在z 轴投影为例,将曲线方程消去变量z 后与z=0联立即可。

平面与直线 方程

说明

为直线l 的方向向量。

夹角定理

cos(a , b ) =

a ⋅b a b

应用:二面角(余弦)、线面角(正弦)、线线角(余弦)

影长定理

MM 1⋅s

s

d 表示MM 1在直s 上的投影。 d =

应用 平行面距离、异面直线距离。

射长定理 [FYH]

MM 1⨯s

d =

s

d 表示MM 1在S 垂直的平面上的投影。

线面关系

直线一般式转化为对称式

直线一般式的两个平面的法向量叉乘即得直线的方向向量啦! 注意 前后两项都是“\”为正对角线,中间一个是“/”为正对角线!

直线、平面的平行、垂直

直线夹角、面面夹角

cos θ=

s 1⋅s 2s 1⋅s 2

、cos θ=

s 1⋅s 2s 1⋅s 2

线面夹角

sin θ=

s 1⋅s 2s 1⋅s 2

点到直线距离

d =

MM 1⨯s s

=

点、线、面到面距离

d =

MM 1⋅n

n

判断两面平行与重合

A 1B 1C 1D 1

==≠

A 2B 2D 2D 2A B C D 重合:1=1=1=1

A 2B 2D 2D 2

平行:

求异面直线的距离

d =

(s 1⨯s 2)⨯M 1M 2

s 1⨯s 2

射长定理的应用!

判断二直线、三向量或四点共面

说明 本方法是“求异面直线的距离”的特殊形式。

点在面上的投影

要点:

点和其投影所成向量平行于法向量。 投影在平面上。

线在面上投影

要点:

构建过线平面簇。 构造平面垂直于原平面。 二面联立得直线。

求垂直于已知二向量的向量

叉乘即可。

平行面距离公式

d =

第九章 多元函数微分法

第一节 多元函数基本概念

聚点==边界内的点+边界上的点

多元函数有极限==以任何方式趋近于指定点,极限均为A 。 多元函数有连续性==有极限且极限等于函数值。 间断点==不连续的点

性质1(有界性与最大值、最小值定理) 有界闭区间D 上的多元连续函数必在D 上有界且取得最值。

性质2(介值定理) 有界闭区间D 上的多元连续函数必取得介于最大最小值之间的任何值。 性质3(一致连续性定理) 有界闭区间D 上的多元连续函数必在D 上一致连续。(一致连续与普通连续的区别?不懂)

求极限

遇到求lim f (x , y ) 极限时,令y =kx ,代入求极限,若求出定值且不为∞则极限存在为该

x →0

y →0

值,否则极限不存在。

第二节 偏导数

偏导数==固定y ,对x 的导数。记作

∂z ∂f 、、z x 。 ∂x ∂x

高阶偏导数求导顺序与表达式关系:分母从左往右,求导顺序从前到后。

定理: 如果函数的混合偏导数在某区域D 内连续,则D 内求导结果与求导顺序无关。

第三节 全微分

全微分==dz =

∂z ∂z ∆x +∆y ∂x ∂y

成立要求 偏导连续>可微>连续、可导

注意 连续与可导没有关系!

定理2(充分条件) 如果函数偏导数均在某点连续,则改点可微。

第四节 多元复合函数求导法则

链式求导法则:对求导起点到求导终点的所有路径进行求导。

虚拟函数的求导 [FYH]

数!

注意 根据考察,书上绝大部分虚拟函数符号下标都是用字母。由于不确定用数字是否能获得老师认可,所以应当尽量使用字母!

全微分形式的不变性

全微分形式的不变性==不论是自变量还是中间变量,指定函数的全微分形式相同。(如下)

⎧z =f (u , v )

∂z ∂z ∂z ∂z ⎪

u =ϕ(x , y ) ⇒d z =d u +d v =d x +d y ⎨

∂u ∂v ∂x ∂y ⎪v =ψ(x , y )

第五节 隐函数求导法则 单方程

隐函数求导公式

F ∂z

=-x (F x 为隐函数对x 求导结果) ∂x F z

整导法

对函数进行整体求导,并解方程得到结果。

高阶偏导数

记得要先求出低阶对应偏导数,后续需要代入消元。

方程组

整导法 [FYH]

该方法用于求导及求极值

第六节 多元函数微分学的几何应用 一元向量值函数及其导数

定义

若:

r =x i +y j +z k

f (t ) =ϕ(t ) i +ψ(t ) j +ω(t ) k

r =f (t ) 为一元向量值函数

一元向量值函数==自变量为数,因变量为向量。

性质

其极限存在性、连续性、可导性、求导法则类似普通函数。

空间曲线的切线及法平面

切线:求出导数,利用直线对称式即可求出。 法平面:求出导数,利用平面点法式即可求出。

曲面的切平面与法线

求出法向量

⎧x =ϕ(t ) ⎪

设在曲面F 上的任意曲线Γ,其参数方程为:⎨y =ψ(t )

⎪z =ω(t ) ⎩

该曲线在点M(x 0, y 0,z 0) 处方向向量恒垂直于改点F 法向量,得:F[ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )]≡0 对自变量t 求导得:F x (x 0, y 0, z 0) ϕ'(t ) +F y (x 0, y 0, z 0) ψ'(t ), +F z (x 0, y 0, z 0) ω'(t ) =0 所以法向量为:n (Fx (x 0, y 0,z 0) ,F y (x 0, y 0,z 0),F z (x 0, y 0,z 0))

第八节 多元函数的极值及其求法

驻点==使f x (x , y ) =f y (x , y ) =0同时成立的点。

极值

定理1(必要条件) 设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 有偏导数且有极值,则f x (x 0, y 0) =0,

f y (x 0, y 0) =0。

定理2(充分条件) 设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又f x (x 0, y 0) =0,f y (x 0, y 0) =0,令f xx (x 0, y 0) =A 、f xy (x 0, y 0) =B 、

f yy (x 0, y 0) =C ,则:

AC -B 2>0 AC -B 2

AC -B 2=0

有极值,A

不能确定,须另作讨论

条件极值→拉格朗日乘数法

求⎨

⎧z =f (x , y )

中f (x , y ) 的极值点

⎩ϕ(x , y ) =0

d z d y ⎧

z =f (x , y ) →=f +f |x =x 0=0x y ⎪d x d x d y ⎪

对f 求导,并由ϕ求解出得⎨

ϕd y d x ⎪ϕ(x , y ) =0→=-x |x =x 0

d x ϕy ⎪⎩

f y d y ϕd y

代入f 化简后令=-λ得f x +f y =0→f x -f y x =0→f x +λϕx =0 d x d x ϕy ϕy

⎧f x +λϕx =0⎪

联立⎨f y +λϕy =0解出x 0、y 0、λ即得到可能极值点(x 0, y 0)

⎩ϕ=0

第十章 重积分

二重积分的概念和性质 概念

重积分==

∑f (ξ, η) ∆σ⎰⎰f (x , y )d σ=lim λ

D

→0

i

i

i =1

n

i

被积函数f (x , y ) ;被积表达式f (x , y )d σ;面积元素d σ;积分变量x 、y ;积分区域D ;积分和lim

λ→0

∑f (ξ, η) ∆σ

i

i

i =1

n

i

性质

性质1 二重积分算数分配率 性质2 二重积分积分区域分配率 性质3

⎰⎰d σ=⎰⎰1⋅d σ

D

D

性质4 如果在区间D 上,f (x , y ) ≤ϕ(x , y ) 则

⎰⎰f (x , y )d σ≤⎰⎰ϕ(x , y )d σ

D

D

性质5 设M 、m 分别为f (x , y ) 在区间D 上的最大/小值,σ是D 的面积,则

m σ≤⎰⎰f (x , y )d σ≤M σ

D

性质6 二重积分中值定理

二重积分计算法 画出积分区域

无论题目是否给出重积分表达式,都应当画出积分区域。

如果未给出表达式则应考虑选用极坐标还是直角坐标,作为X 还是Y 型积分区域;如果已给出表达式则应考虑是否需要转换积分顺序。

积分限的划分

直角坐标系

X 型积分区域==左右平齐,积分时先y 后x 。 Y 型积分区域==上下平齐,积分时先x 后y 。

b

⎰⎰

D

f (x , y )d σ=⎰[⎰

a

ϕ2(x )

ϕ1(x)

f (x , y )d y ]dx =⎰d x ⎰

a

b

ϕ2(x )

ϕ1(x)

f (x , y )d y

极坐标系

⎧x =ρcos θ

⎩y =ρsin θ

ππ

注意 原点为圆心时,积分上下限为-π~π;原点为圆周时,积分上下限为-~

22

当积分限为圆形,且原点为积分限圆心或圆周,优先考虑使用极坐标。⎨

⎰⎰f (x , y )d σ=⎰⎰f (ρcos θ, ρsin ρ) ρd ρd θ=⎰d θ⎰

D

D

β

ϕ2(θ)

α

ϕ1(θ)

f (ρcos θ, ρsin ρ) ρd ρ

注意 ρd ρ中前一个ρ要乘进被积函数中计算!

拆分法 拼合法 对称积分限

注意考察函数的对称性简化计算。函数的对称性有时体现在函数的一部分,积分限的对称性也是如此,对这一部分使用对称性化简也可大大简化计算。

第十二章 无穷级数

常数项级数概念和性质

级数的部分和数列==s n ,代表级数

∑u 前n 项的和。

i i =1

定义 若部分和数列极限为s ,则称该级数收敛,s 为级数的和。若部分和数列无极限,则称该级数发散。(在相同值上下震动的级数也为发散!)

余项==r n =s -s n

特殊级数

等比级数

u n =aq n

q

1-q

(记住此公式!) q ≥1发散

常数幂级数

u n =an p

p

p ≥-1时发散

特别的 a=1,p=-1时为调和级数(发散),是敛散边界。

性质

性质1

级数的数乘

应用 级数各项乘以非0常数,敛散性不变。

性质2

在公共收敛域内,级数符合加法分配率

收敛+收敛=收敛

应用

收敛+发散=发散

发散+发散=可能发散,也可能收敛!(交错项级数相加抵消)性质3

级数中加上、减去、改变有限项,不该变其收敛性。

性质4

仅充分条件 对收敛级数的任意项加括号后形成的新的级数仍收敛,且和不变。 应用

收敛并项仍收敛 并项发散必发散

性质5

仅必要条件 若级数收敛,则其一般项趋于0 。

常数项级数审敛法

正项级数==各项均为正数或零的级数。 交错项级数==各项是正负交错的级数。

柯西审敛原理

p →∞, ε→∞-1, ∃n ⇒u n +1+u n +2+... u n +p

正项级数审敛法

1基本审敛法 正项级数收敛⇔部分和数列有界(非正项不一定成立:震动型) 2比较审敛法 ∀n , u n ≤v n ⇒ u n 发散则v n 发散,v n 收敛则u n 收敛。 3极限比较审敛法(常用) 令lim

u n

=l ,0≤l

v n 发散则u n 发散。

4比值审敛法(最常用) 令lim 收敛也可能发散。

5根值审敛法 是比值审敛法的推论

l i =ρ,ρ>1⇒发散;ρ

n u n +1

=ρ,ρ>1⇒发散;ρ

n →∞u n

可能收敛也可能发散。

说明

5个审敛法对非正项级数的均不成立!!(易错)

n 定理1反例 u n =(-1)

定理2反例 u n

a 条件∑n ⎪n =1

⎪u n u n +1⎪b n ⇒u =a +b 定理3、4反例 a n ,此时,lim =1lim =-1 ⎬n n n

n →∞u n →∞v n n ⎪∞

⎪b n ∑⎪n =1⎭

定理5 未发现反例,不做讨论。

交错级数审敛法

莱布尼兹定理 ∀n , u n ≥u n +1; l i m u n =

n →∞

⇒0级数收敛,且s n ≤u 1。

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛==级数条件收敛==级数

∑u ∑u

n =1n =1

n

各项绝对值所构成的正项级数

∑u

n =1

n

收敛。

n

收敛,但各项绝对值所构成的正项级数

∑u

n =1

n

发散。

定理 若级数绝对收敛,则级数收敛。

附加定理

级数的夹逼准则

⎫⎪

n =1∞⎪⎪定理 a n

⎪n =1∞

⎪b n ∑⎪n =1⎭

∑a n

0

⎪∞

⎬⇒∑(c n -a n )

(b -a ) n =1∑n n ⎪证明 n =1⎭

∑a

n =1

n

∞⎪⎪

⎬⇒∑

c n

n =1⎪⎪⎪⎭

说明 证明法构造了两个新的差值级数(这种方法在函数题中挺常见),是个不错的思维。

综合审敛法 [FYH]

审敛程序

判断u n →0? 无穷替换

无穷比阶,x -1为分界点。

(到此已判断出敛散性,以下两步用于求幂函数收敛半径) 分部求比值。 取倒验端点。

比阶数轴

q (

x p (≤-1) ↑

a

In(x )

x p (>-1) ↑

q (>1) ↑x

x !

x x

q (>1) x

p (>1) ↑

定理 有限个低阶式通过有限次四则运算后的结果仍远小于高阶式。 证明 最后两项的大小关系:

q (x +1)

p p p p p -1

q (x +1) -x q (x +1) -x q x (x +1) x +1

lim =lim =lim =lim =∞

x p x →∞x →∞x x →∞e ⋅(x +1) x →∞x q () ⋅(x +1) x x x

p

∴q (>1) x

p (>1) ↑

x x

幂级数

函数项级数==级数的每一项都为一个函数表达式。 幂级数==∀n , u n (x ) =a n x n ,即各项均为幂函数的级数。 收敛点==x =x 0时

∑u (x ) 收敛,则称x

n n =1

为收敛点。

发散点==x =x 0时

∑u (x ) 发散,则称x

n n =1

为收敛点。

收敛域==全体收敛点的集合 发散域==全体发散点的集合 和函数==

∑u (x )

n n =1

和函数

定理 若幂级数的和函数在其收敛域内连续,则

⎧两端求导

'→f n (x ) =∑u n '(x ) ⎪−−−−∞

⎪n =1

(右端为逐项求导/积分)此定理常用f n (x ) =∑u n (x ) ⇒⎨∞

n =1两端积分⎪−−−−→F n (x ) =∑U n (x )

⎪n =1⎩

于求幂级数的和函数。

敛散域定理

∑u (x )

n

n =1

⇒∀x

n =1

∑u (x )

n

n =1

⇒∀x >x 0, ∑u n (x )

n =1

推论 ∃R ⇒(x

∑u (x )

n n =1

);(x >R ⇒∑u n (x ) ) (当x=R时可能发散也可能

n =1

收敛区间==(-R ,R )(与收敛域相比,收敛区间无条件去除端点)

应用 如果关于收敛中心对称的两个点敛散性不同,则这两个点为收敛域边界!

比值审敛法幂级数推论

a n +1a n

⎧+∞ρ=0⎪⎪1

=ρ⇒R =⎨0

⎪ρ⎪ρ=∞⎩0

lim

x →∞

注意 当x 指数非自然数增长时该推论不可用,须使用比值审敛法直接推导。 技巧 应用综合审敛法!

函数展开成幂级数

函数能展开成幂级数==在指定函数某个区间内,存在某幂级数的和函数为该函数。

1(n )

f (x 0)(x -x 0) n ∑n =0n ! ∞

1(n )

泰勒展开式==f (x ) =∑f (x 0)(x -x 0) n , x ∈U (x 0) (比泰勒级数多了自变量限定)

n =0n !

定理 函数能展开成泰勒级数⇔泰勒公式余项lim R (x ) n =0,(R (x ) n =f (x ) -s n (x ) )

泰勒级数==f (x ) =

n →∞

5个重要函数的幂级数

e =∑

x

1n

x n ! n =0

(-1) k 2k 积分(-1) k 2k +1

cos x =∑x −−−→sin x =∑x

2k ! (2k +1)! k =0k =0∞∞

1(-1) n -1n 积分n n

=∑(-1) x −−−→In(1+x ) =∑x 1+x n =0n n =0

麦克劳林展开式

麦克劳林展开式==即泰勒展开式中x 0=0的情形:f (x ) =

1(n )

f (0)x n (x

求麦克劳林展开式步骤

代入求出各阶导数(x =0)时通式,若出现某阶在x =0处导数不存在则停止求导,说明该函数该处不可展开为求麦克劳林展开式。 写出幂级数并求出收敛半径R 。

考察在收敛区间上余项的极限是否为0,若是则求得幂级数展开式,若不是则无。


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