随机变量的概率分布与期望
一、知识回顾
1．随机变量
那么这样的变量X 叫随机变量，随机变量常用大写拉丁字母X 、Y 、Z （或用小写希腊字母ξ、η、ζ）表示. 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为 型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列
离散型随机变量：设离散型随机变量ξ可能取的值为：x 1, x 2, , x i ,
ξ取每一个值x 1(i =1, 2, ) 的概率P (ξ=x i ) =p i ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的
离散型随机变量X 的分布列的性质：
（1） （
2）
3．二点分布
如果随机变量X 的分布列为P (x =k ) =p , k =1,2. 其中0
一般的，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有n 件，从所有物品中任取M 件（M
≤N ），这M 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为
. P(X=m)=(0≤m ≤l , l 为n 与M 中较小的数）
我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，
n 的超几何分布，记作 ． 5．条件概率
一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A ) >0，
我们把 称为在事件A 发
生的条件下，事件B 发生的条件概率。一般把P (B A ) 读作“ ”． 注:古典概型中，若用n (A ) 表示事件A 中基本事件的个数，则P (B A ) =6．事件的独立性
设A ，B 为两个事件，如果P (B A ) =P (B ) ，则称事件A 与事件B 相互独立，并把A ，B 这两个事件叫做相互独立事件. 事件A 、B 相互独立的充要条件为 .
注: ①一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B , A 与B ，A 与B .
P (AB ) n (AB )
. =
P (A ) n (A )
②如果事件A 1, A 2, , A n 相互独立, 那么P (A 1⋅A 2 A n ) =
④在解题过程中，要明确事件中的“至少一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知
两个事件A 、B ，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么： A 、B 中至少有一个发生的事件为A+B； A 、B 都发生的事件为AB A 、B 都不发生的事件为A 、B 恰有一个发生的事件为A 、B 中至多有一个发生的事件为7．二项分布：
；
；
+
.
(1)一般地，在相同条件下，重复地做n 次试验称为n 次独立重复试验．
(2)如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：P (ξ=k ) =C n p q
k
k
n -k
(其中k =0,1, , n , q =1-p )
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 ，其中n ，p 为参数，
k
并记C n p k q
n -k
=b (k ; n , p ) .
8．数学期望
当已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=x k ) =p k (k =1, 2, ) 时，则称
E ξ=为ξ的数学期望或平均数、均值.
数学期望又简称期望. 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
注: ①随机变量η=a ξ+b (a , b 为常数) 的数学期望：E η=E (a ξ+b ) = ;
②当离散型随机变量X B(n,p)时，E (X ) = ；
③当离散型随机变量X H (n , M , N ) 时，则E (X ) = .
9．方差、标准差：
当已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=x k ) =p k (k =1, 2, ) 时，则称
D ξ=ξ的方差.
显然D ξ≥
0，故σξ=
σξ为ξ的根方差或标准差. 随机变量ξ的方差与标准差都反
映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度. D ξ越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．注:①随机变量η=a ξ+b 的方差D (η) =D (a ξ+b ) =a D ξ. （a 、b 均为常数） ②期望与方差的转化：
2
D ξ=E ξ2-(E ξ) 2
③对二项分布ξ~B (n , p ) ，有D ξ= ④对超几何分布X H (n , M , N ) ，有D (X ) = .
二、基础自测
1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，
以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列、均值和方差．
2. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
3. 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0．8，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率．
三、典例精析
例1甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p>1/2)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5/9.
(1)求p 的值；
(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和数学期望E(X)．
例2 [2011•山东卷] 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5. 假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.
例3某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立
（1）记x （单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x 的分布列、均值和方差；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率
四、巩固练习
1. 已知随机变量只能取3个值：，，，其概率依次成等差数列，则这个数列的公差的取值范围是 . 2. 从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 . 3. 设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为
1，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发
9
生的概率相等，那么P （A ）为 .
4. 一个盒子中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数的期望= .
5. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且、，若，则称甲乙“心有灵犀”。现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 . 6. 一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的，评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”。某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜，请求该考生：
（1）得60分的概率；
（2）得多少分的可能性最大；
（3）所得分数的数学期望。
随机变量的概率分布与期望
一、知识回顾
1．随机变量
那么这样的变量X 叫随机变量，随机变量常用大写拉丁字母X 、Y 、Z （或用小写希腊字母ξ、η、ζ）表示. 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为 型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列
离散型随机变量：设离散型随机变量ξ可能取的值为：x 1, x 2, , x i ,
ξ取每一个值x 1(i =1, 2, ) 的概率P (ξ=x i ) =p i ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的
离散型随机变量X 的分布列的性质：
（1） （
2）
3．二点分布
如果随机变量X 的分布列为P (x =k ) =p , k =1,2. 其中0
一般的，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有n 件，从所有物品中任取M 件（M
≤N ），这M 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为
. P(X=m)=(0≤m ≤l , l 为n 与M 中较小的数）
我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，
n 的超几何分布，记作 ． 5．条件概率
一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A ) >0，
我们把 称为在事件A 发
生的条件下，事件B 发生的条件概率。一般把P (B A ) 读作“ ”． 注:古典概型中，若用n (A ) 表示事件A 中基本事件的个数，则P (B A ) =6．事件的独立性
设A ，B 为两个事件，如果P (B A ) =P (B ) ，则称事件A 与事件B 相互独立，并把A ，B 这两个事件叫做相互独立事件. 事件A 、B 相互独立的充要条件为 .
注: ①一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B , A 与B ，A 与B .
P (AB ) n (AB )
. =
P (A ) n (A )
②如果事件A 1, A 2, , A n 相互独立, 那么P (A 1⋅A 2 A n ) =
④在解题过程中，要明确事件中的“至少一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知
两个事件A 、B ，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么： A 、B 中至少有一个发生的事件为A+B； A 、B 都发生的事件为AB A 、B 都不发生的事件为A 、B 恰有一个发生的事件为A 、B 中至多有一个发生的事件为7．二项分布：
；
；
+
.
(1)一般地，在相同条件下，重复地做n 次试验称为n 次独立重复试验．
(2)如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：P (ξ=k ) =C n p q
k
k
n -k
(其中k =0,1, , n , q =1-p )
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 ，其中n ，p 为参数，
k
并记C n p k q
n -k
=b (k ; n , p ) .
8．数学期望
当已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=x k ) =p k (k =1, 2, ) 时，则称
E ξ=为ξ的数学期望或平均数、均值.
数学期望又简称期望. 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
注: ①随机变量η=a ξ+b (a , b 为常数) 的数学期望：E η=E (a ξ+b ) = ;
②当离散型随机变量X B(n,p)时，E (X ) = ；
③当离散型随机变量X H (n , M , N ) 时，则E (X ) = .
9．方差、标准差：
当已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=x k ) =p k (k =1, 2, ) 时，则称
D ξ=ξ的方差.
显然D ξ≥
0，故σξ=
σξ为ξ的根方差或标准差. 随机变量ξ的方差与标准差都反
映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度. D ξ越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．注:①随机变量η=a ξ+b 的方差D (η) =D (a ξ+b ) =a D ξ. （a 、b 均为常数） ②期望与方差的转化：
2
D ξ=E ξ2-(E ξ) 2
③对二项分布ξ~B (n , p ) ，有D ξ= ④对超几何分布X H (n , M , N ) ，有D (X ) = .
二、基础自测
1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，
以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列、均值和方差．
2. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
3. 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0．8，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率．
三、典例精析
例1甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p>1/2)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5/9.
(1)求p 的值；
(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和数学期望E(X)．
例2 [2011•山东卷] 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5. 假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.
例3某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立
（1）记x （单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x 的分布列、均值和方差；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率
四、巩固练习
1. 已知随机变量只能取3个值：，，，其概率依次成等差数列，则这个数列的公差的取值范围是 . 2. 从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 . 3. 设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为
1，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发
9
生的概率相等，那么P （A ）为 .
4. 一个盒子中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数的期望= .
5. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且、，若，则称甲乙“心有灵犀”。现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 . 6. 一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的，评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”。某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜，请求该考生：
（1）得60分的概率；
（2）得多少分的可能性最大；
（3）所得分数的数学期望。