动手操作、动脑思考“悟”数学
数学广角 “ 鸽巢问题”教学案例
武昌区傅家坡小学 郑韩荣 《教材分析》：
鸽巢问题又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由19世纪的德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理，还有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单形象地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。教材将鸽巢问题作为《义务教育课程标准实验教科书数学》小学六年级数学下册第68页数学广角中的内容，通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。
教学目标：1.经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”,会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。2.通过操作发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。3.通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重点：经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”。
教学难点：理解“鸽巢问题”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。 《教学设计》
一、课前游戏导入。
师:同学们在我们上课之前,先做个小游戏:老师这里准备了4把椅子,请5个学上来,听清要求,老师说开始以后,请你们5个都坐在椅子上,每个人必须都坐下,好吗?(好)。这时教师面向全体,背对那5个人。师:开始。师:都坐下了吗?师:我没有看到他们坐的情况,但是我敢肯定地说:“不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗?
师:老师为什么能做出准确的判断呢?道理是什么?这其中蕴含着一个有趣的数学原理,这节课我们就一起来研究这个原理。
二、操作探究
(一)教学例1
1.出示题目:把4枝铅笔放进3个杯子里,怎么放?有几种不同的放法?师:请你自己动手摆一摆。谁来展示一下你摆放的情况?(指名摆)根据学生摆的情况,师板书各种情况(4,0,0) (3,1,0) (2,2,0) (2,1,1)
观察每一种摆法中装得最多的杯子里小棒的根数，你有什么发现？（4、3、2、2）
想一想5个人坐到4把椅子上，不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学，那4枝铅笔放进3个杯子里呢？（不管怎么放,总有一个杯子里至少有2枝笔 ）是这样吗?谁还有这样的发现,再说一说。
“总有”是什么意思?生:一定有
“至少”有2枝什么意思? 装得最多的杯子里小棒的根数,要么是2枝, 要么是3枝, 要么是4枝。师:就是不能少于2枝。
师:把4枝笔饭放进3个杯子里,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作现了这个结论。
那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?学生思考——组内交流——汇报师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
如果每个杯子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个杯子里,总有一个杯子里至少有2枝铅笔。
师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)师:同学们自己说说看,同位之间边演示边说一说好吗?
师:这种分法,实际就是先怎么分的? （平均分）为什么要先平均分?(组织学生讨论)
先平均分,余下1枝,不管放在那个杯子里,一定会出现“总有一个杯子里一定至少有2枝”
这种思考方法其实是从最不利的情况来考虑，先平均分，每个杯子里都放一枝，就可以使放得较多的这个杯子里的铅笔尽可能的少。这样，就能很快得出不管怎么放，总有一个杯子里至少放进2枝铅笔。
那么把5枝笔放进4个杯子里呢?(可以结合操作,说一说)
师:哪位同学能把你的想法汇报一下,生一边演示一边说)5枝铅笔放在4个杯子里,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2枝铅笔。你能用算式把这种想法表示出来吗？（5÷4=1„„1 1+1=2）
师:把6枝笔放进5个杯子里呢?还用摆吗?
生:6枝铅笔放在5个杯子里,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2枝铅笔。 师:把7枝笔放进6个杯子里呢?把8枝笔放进7个杯子里呢?
把9枝笔放进8个杯子里呢?„„你发现什么?同桌互相说一遍。
2.解决问题。
(1)课件出示:7只鸽子飞回5个鸽笼,至少有——只鸽子要飞进同一个 鸽笼里,为什么?(学生活动—独立思考自主探究)
(2)交流、说理活动。
师:谁能说说为什么? 许多同学没有再摆学具,证明这个结论是正确的,用的什么方法?
(二)教学例2
1.出示题目:把5本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?把7本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
把9本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书? (留给学生思考的空间,师巡视了解各种情况)
2.学生汇报。 5÷2=2本„„1本(商加1) 7÷2=3本„„1本(商加1) 9÷2=4本„„1本(商加1)
师:观察板书你能发现什么?
同学们的这一发现,称为“鸽巢问题”,“鸽巢问题”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”，就是常说的“抽屉原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢问题”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。
3.解决问题。71页第3题。(独立完成,交流反馈)
三、全课小结
说说这节课你有什么收获？略
四、应用原理解决问题
1、任意13人中，至少有两人的出生月份相同。为什么？
2、任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。为什么？
3、这里有一副扑克牌,去掉了两张王牌,还剩52张,我请五位同学每人任意抽1张,听清要求,不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下,同种花色的至少有几张?为什么?
板书设计
鸽巢问题
物体 抽屉 总有一个抽屉里有（ ）个物体
铅笔 杯子 总有一个杯子里有（ ）支铅笔
鸽子 笼子 总有一个笼子里有（ ）个物体 书 抽屉 总有一个抽屉里有（ ）本书
4 3 2
5 ÷ 4 = 1„1 1＋1=2 7 ÷ 5 = 1„2 1＋1=2
5 ÷ 2 = 2„1 2＋1=3
m ÷ n = 【m/n】 或者【m/n】＋1
《教学反思》
一、创设情情境，激发学生的学习兴趣。
在导入新课时，以“五人坐四把椅子”的游戏，激发学生的兴趣，初步感受至少有两位同学相同的现象，这个游戏虽简单却能真实的反映“鸽巢问题”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。为学生学习新知做好心理上的准备，使学生一开始就以一种跃跃欲试的愉悦状态投入到整堂课的学习当中。
二、自主探究 合作交流。
在活动设计中，我着重让学生通过分组动手实验，猜测验证、观察分析等一系列的数学活动，使学生在从具体到抽象的探究过程中建立了数学模型。4枝铅笔放进3个文具盒的结果早就可想而知，但让学生通过放一放、想一想、议一议的过程，把抽象的说理用具体的实物演示出来，化抽象为具体，发现并描述、理解了最简单的“鸽巢问题”。鸽巢问题实际上是研究每一种放法中最多数目的最小值。先让学生摆出所有情况观察得出结论，再启发学生只摆一种情况如何摆？讨论为什么这样摆？实际上是在怎样分？这种思考方法其实是从最不利的情况来考虑，先平均分，每个杯子里都放一枝，就可以使放得较多的这个杯子里的铅笔尽可能的少。这样，就能很快得出不管怎么放，总有一个杯子里至少放进2枝铅笔。由平均分引出用除法算式表示可以说水到渠成！注重学生对“总是„„、至少„„”的描述，加深对鸽巢问题的理解。教师把学生带入了广阔的探究空间，让学生从简单到复杂通过亲身体验，实际操作，合作交流等形式，让学生在充分的参与中去感悟、带着问题去思考、去实践、去推理。对于学生的探究，教师引导学生用自己喜欢的方法尝试体现“以人为本”的教学思想，学生的思维不受约束，有利于培养学生的思维能力。
在探究内容的呈现及板书中，一方面从简单的数据开始摆放，有助于学生的操作和观察、理解，也有助于调动所有的学生积极参与进来。另一方面，注重层次性，先以物体数比抽屉数多1的三种情况，让学生从中发现规律:只要物体数比抽屉数多1，总有一个抽屉里至少放进两个物体；再者注意物体数量变，抽屉数量不变，及物体数量变，抽屉数量不变的设计，无意识中呈现每一种情况，有利于学生发现“只要物体数比抽屉数多，总有一个抽屉里至少放进两个物体的结论也成立”。从板书的呈现上更直观地发现“至少数=商+1”的规律。
三、联系生活 拓展运用
注重练习设计“多样化“练习，是学生在老师的指导下，巩固和运用知识，形成技能，技巧并提高能力的一种教学方法。要让全体学生计算达到熟练，思维得到发展，就必须加强针对性的练习。学了“鸽巢问题”有什么用？能解决生活中的什么问题，这就要求在教学中要注重联系学生的生活实际。在试一试环节里，我设计了一组简单、真实的生活情境，“1、任意13人中，至少有两人的出生月份相同。为什么？2、任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。为什么？3、这里有一副扑克牌,去掉了两张王牌,还剩52张,我请五位同学每人任意抽1张,听清要求,不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下,同种花色的至少有几张?为什么?”让学生用学过的知识来解释这些现象，有效的将学生的自主探究学习延伸到课外，而且充分联系生活实际编题，衔接自然，板书得当，与小结时的知识链接前后呼应。体现了“数学来源于生活，又还原于生活”的理念。
学生对为什么把这节课研究的问题叫“鸽巢问题”、“鸽笼原理”, “鸽巢原理”一目了然。
动手操作、动脑思考“悟”数学
数学广角 “ 鸽巢问题”教学案例
武昌区傅家坡小学 郑韩荣 《教材分析》：
鸽巢问题又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由19世纪的德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理，还有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单形象地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。教材将鸽巢问题作为《义务教育课程标准实验教科书数学》小学六年级数学下册第68页数学广角中的内容，通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。
教学目标：1.经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”,会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。2.通过操作发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。3.通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重点：经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”。
教学难点：理解“鸽巢问题”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。 《教学设计》
一、课前游戏导入。
师:同学们在我们上课之前,先做个小游戏:老师这里准备了4把椅子,请5个学上来,听清要求,老师说开始以后,请你们5个都坐在椅子上,每个人必须都坐下,好吗?(好)。这时教师面向全体,背对那5个人。师:开始。师:都坐下了吗?师:我没有看到他们坐的情况,但是我敢肯定地说:“不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗?
师:老师为什么能做出准确的判断呢?道理是什么?这其中蕴含着一个有趣的数学原理,这节课我们就一起来研究这个原理。
二、操作探究
(一)教学例1
1.出示题目:把4枝铅笔放进3个杯子里,怎么放?有几种不同的放法?师:请你自己动手摆一摆。谁来展示一下你摆放的情况?(指名摆)根据学生摆的情况,师板书各种情况(4,0,0) (3,1,0) (2,2,0) (2,1,1)
观察每一种摆法中装得最多的杯子里小棒的根数，你有什么发现？（4、3、2、2）
想一想5个人坐到4把椅子上，不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学，那4枝铅笔放进3个杯子里呢？（不管怎么放,总有一个杯子里至少有2枝笔 ）是这样吗?谁还有这样的发现,再说一说。
“总有”是什么意思?生:一定有
“至少”有2枝什么意思? 装得最多的杯子里小棒的根数,要么是2枝, 要么是3枝, 要么是4枝。师:就是不能少于2枝。
师:把4枝笔饭放进3个杯子里,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作现了这个结论。
那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?学生思考——组内交流——汇报师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
如果每个杯子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个杯子里,总有一个杯子里至少有2枝铅笔。
师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)师:同学们自己说说看,同位之间边演示边说一说好吗?
师:这种分法,实际就是先怎么分的? （平均分）为什么要先平均分?(组织学生讨论)
先平均分,余下1枝,不管放在那个杯子里,一定会出现“总有一个杯子里一定至少有2枝”
这种思考方法其实是从最不利的情况来考虑，先平均分，每个杯子里都放一枝，就可以使放得较多的这个杯子里的铅笔尽可能的少。这样，就能很快得出不管怎么放，总有一个杯子里至少放进2枝铅笔。
那么把5枝笔放进4个杯子里呢?(可以结合操作,说一说)
师:哪位同学能把你的想法汇报一下,生一边演示一边说)5枝铅笔放在4个杯子里,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2枝铅笔。你能用算式把这种想法表示出来吗？（5÷4=1„„1 1+1=2）
师:把6枝笔放进5个杯子里呢?还用摆吗?
生:6枝铅笔放在5个杯子里,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2枝铅笔。 师:把7枝笔放进6个杯子里呢?把8枝笔放进7个杯子里呢?
把9枝笔放进8个杯子里呢?„„你发现什么?同桌互相说一遍。
2.解决问题。
(1)课件出示:7只鸽子飞回5个鸽笼,至少有——只鸽子要飞进同一个 鸽笼里,为什么?(学生活动—独立思考自主探究)
(2)交流、说理活动。
师:谁能说说为什么? 许多同学没有再摆学具,证明这个结论是正确的,用的什么方法?
(二)教学例2
1.出示题目:把5本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?把7本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
把9本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书? (留给学生思考的空间,师巡视了解各种情况)
2.学生汇报。 5÷2=2本„„1本(商加1) 7÷2=3本„„1本(商加1) 9÷2=4本„„1本(商加1)
师:观察板书你能发现什么?
同学们的这一发现,称为“鸽巢问题”,“鸽巢问题”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”，就是常说的“抽屉原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢问题”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。
3.解决问题。71页第3题。(独立完成,交流反馈)
三、全课小结
说说这节课你有什么收获？略
四、应用原理解决问题
1、任意13人中，至少有两人的出生月份相同。为什么？
2、任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。为什么？
3、这里有一副扑克牌,去掉了两张王牌,还剩52张,我请五位同学每人任意抽1张,听清要求,不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下,同种花色的至少有几张?为什么?
板书设计
鸽巢问题
物体 抽屉 总有一个抽屉里有（ ）个物体
铅笔 杯子 总有一个杯子里有（ ）支铅笔
鸽子 笼子 总有一个笼子里有（ ）个物体 书 抽屉 总有一个抽屉里有（ ）本书
4 3 2
5 ÷ 4 = 1„1 1＋1=2 7 ÷ 5 = 1„2 1＋1=2
5 ÷ 2 = 2„1 2＋1=3
m ÷ n = 【m/n】 或者【m/n】＋1
《教学反思》
一、创设情情境，激发学生的学习兴趣。
在导入新课时，以“五人坐四把椅子”的游戏，激发学生的兴趣，初步感受至少有两位同学相同的现象，这个游戏虽简单却能真实的反映“鸽巢问题”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。为学生学习新知做好心理上的准备，使学生一开始就以一种跃跃欲试的愉悦状态投入到整堂课的学习当中。
二、自主探究 合作交流。
在活动设计中，我着重让学生通过分组动手实验，猜测验证、观察分析等一系列的数学活动，使学生在从具体到抽象的探究过程中建立了数学模型。4枝铅笔放进3个文具盒的结果早就可想而知，但让学生通过放一放、想一想、议一议的过程，把抽象的说理用具体的实物演示出来，化抽象为具体，发现并描述、理解了最简单的“鸽巢问题”。鸽巢问题实际上是研究每一种放法中最多数目的最小值。先让学生摆出所有情况观察得出结论，再启发学生只摆一种情况如何摆？讨论为什么这样摆？实际上是在怎样分？这种思考方法其实是从最不利的情况来考虑，先平均分，每个杯子里都放一枝，就可以使放得较多的这个杯子里的铅笔尽可能的少。这样，就能很快得出不管怎么放，总有一个杯子里至少放进2枝铅笔。由平均分引出用除法算式表示可以说水到渠成！注重学生对“总是„„、至少„„”的描述，加深对鸽巢问题的理解。教师把学生带入了广阔的探究空间，让学生从简单到复杂通过亲身体验，实际操作，合作交流等形式，让学生在充分的参与中去感悟、带着问题去思考、去实践、去推理。对于学生的探究，教师引导学生用自己喜欢的方法尝试体现“以人为本”的教学思想，学生的思维不受约束，有利于培养学生的思维能力。
在探究内容的呈现及板书中，一方面从简单的数据开始摆放，有助于学生的操作和观察、理解，也有助于调动所有的学生积极参与进来。另一方面，注重层次性，先以物体数比抽屉数多1的三种情况，让学生从中发现规律:只要物体数比抽屉数多1，总有一个抽屉里至少放进两个物体；再者注意物体数量变，抽屉数量不变，及物体数量变，抽屉数量不变的设计，无意识中呈现每一种情况，有利于学生发现“只要物体数比抽屉数多，总有一个抽屉里至少放进两个物体的结论也成立”。从板书的呈现上更直观地发现“至少数=商+1”的规律。
三、联系生活 拓展运用
注重练习设计“多样化“练习，是学生在老师的指导下，巩固和运用知识，形成技能，技巧并提高能力的一种教学方法。要让全体学生计算达到熟练，思维得到发展，就必须加强针对性的练习。学了“鸽巢问题”有什么用？能解决生活中的什么问题，这就要求在教学中要注重联系学生的生活实际。在试一试环节里，我设计了一组简单、真实的生活情境，“1、任意13人中，至少有两人的出生月份相同。为什么？2、任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。为什么？3、这里有一副扑克牌,去掉了两张王牌,还剩52张,我请五位同学每人任意抽1张,听清要求,不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下,同种花色的至少有几张?为什么?”让学生用学过的知识来解释这些现象，有效的将学生的自主探究学习延伸到课外，而且充分联系生活实际编题，衔接自然，板书得当，与小结时的知识链接前后呼应。体现了“数学来源于生活，又还原于生活”的理念。
学生对为什么把这节课研究的问题叫“鸽巢问题”、“鸽笼原理”, “鸽巢原理”一目了然。