平面几何3--托勒密定理及应用

平面几何（3）----托勒密定理及应用

托勒密定理：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积

推论1（三弦定理）如果A是圆上任意一点，AB，AC，AD是该圆上顺次的三条弦，则ACsinBADABsinCADADsinCAB

推论2（四角定理）四边形ABCD内接于O，则

sinADCsinBADsinABDsinBDCsinADBsinDBC

直线上的托勒密定理（或欧拉定理）若A，B，C，D为一直线上依次排序的四点，则ABCDBCADACBD

四边形中的托勒密定理：设ABCD为任意凸四边形，则

ABCDBCADACBD,

当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号

托勒密定理的逆定理：在凸四边形ABCD中，若ABCDBCADACBD，则A，B，C，D四点共圆

例1：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C的大小成等比数列，且b2a2ac，则角B的弧度数等于多少？

例2：凸四边形ABCD中，ABC60o,BADBCD90o，AB=2 ，CD=1，对角线AC，BD交于点O，如图，求sinAOB

例3：如图，在锐角ABC的BC边上有两点E，F，满足BAECAF,作FMAB于M，FNAC于N，延长AE交ABC的外接圆于点D，证明：四边形AMDN与ABC的面积相等.

例4：如图，在ABC中，A60o，ABAC,点O是外心，两条高BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，HF上，且满足BM=CN，求

值

例5：若有四个圆都与第五个圆内切，第一个与第二个圆的外公切线长用l12表示，其他前四个圆中的两两的外公切线也用同样的方法来标记，且前四个圆以顺时针的顺序排列，试证明依次以l12,l23,l34,l41为边长，以l13,l24为对角线所构成的凸四边的四个顶点共圆.

MHNH的OH

例6：经过XOY的平分线上的一点A，任作一直线与OX及OY分别相交于P,Q，求证：

例7：圆内接六边形ABCDEF的对角线共点的充要条件是ABCDEF1 BCDEFA11为定值 OPOQ