专题研究
ＪｏＵＲＮＡ≥淼翥勰淼。‰眦ＧＥ
ＪＯＵＲＮＡＬ０ＦＨＥＮＡＮＴＥＸＴＩＬＥＣＯＬＬＥＧＥ
…１ｚ㈣年。月ｚ’……Ｗ０．日出版７一
导函数连续性定理及其推论
邓书显１，于红霞２
（１．河南纺织高等专科学校，河南郑州４５０００７；２．河南化工学校，河南郑州４５００４２）
摘要：本文通过对导数极限定理的进一步论证，推出导函数的极限及其连续性的一个特点，得到了关于
导函数连续性的定理，进而给出了函数可导的一个新的充要条件。
关键词：极限；导数；单侧导数；分界点
中图分类号：０１７２．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００８—８３８５（２００１）０３—００３９一０２
１
导函数的极限及其连续性
本定理说明：若函数的导函数在该点的单侧极
限存在，那么函数在该点存在着与单侧极限相等的关于导数存在问题，一般高等数学书中仅作如
单侧导数。即ｆ＋７（ａ）一ｆ’（ａ＋ｏ）或ｆ’（ａ）一ｆ７（ａ—
下叙述：
ｏ）。
引理ｙ—ｆ（ｘ）在某点ｘ。处可导的充分必要条看一个例子：ｆ（ｘ）＝ａｒｃｓｉｎｘ在区间［一１，１］上
件是：ｆ＋７（ｘ。）一ｆ一’（ｘ。）。
连续，在（一１，１）内可导，且
由此为我们提供了判断函数在某点不可导的方ｆ
法，其典型例子如：ｙ—ＩｘＩ
７（ｘ）一—＝兰，ｘ∈（一１，１）
１
￣／１一ｘ。
对导函数的极限及其连续性，一般数学书上都
当ｘ一一ｌ＋ｏ时，ｆ７（ｘ）一ｏ。，从图１上看，即在
没有涉及到，为此我们进行研究推导得出以下结论：
点（一１，一兀／２）处存在垂直于ｘ轴的切线。同理，定理１设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，且在（ａ，ｆ（ｘ）在ｘ一１处有垂直于ｘ轴的切线。
ｂ）内存在有限的导数ｆ７（ｘ）。若其导函数ｆ７（ｘ）在ａ
又如：函数ｆ（ｘ）一ｘ＋／１一ｘ２ａｒｃｃｏｓｘ在区间
点存在右极限（有穷或无穷），即１ｉｍｆ７（ｘ）一Ａ（或［一１，１］上连续，在（一１，１）内有
。Ｃ）记为为ｆ７（ａ＋ｏ），则ｆ（ｘ）在ａ点存在右导数ｆ’＋ｆ’（ｘ）一—三兰＝ａｒｃｃｏｓｘ，ｘ∈（一１，１）
（ａ），且ｆ＋７（ａ）一１ｉｍｆ７（ｘ）。对于ｂ点的左侧有类似￣／１一ｘ２
结果。
当ｘ一１一。时，ｆ７（ｘ）一一１，从而ｆ（ｘ）在ｘ一１证明：考虑［ａ，ａ＋△ｘ］区间（△ｘ＞ｏ），由假设ｆ处存在单侧导数ｆ一７（１）一一１。
（ｘ）在［ａ，ａ＋△ｘ］上连续，在（ａ，ａ＋△ｘ）内可导，由
由定理１，我们可以得到如下的定理２：
拉格朗日中值定理：
定理２设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内连续，且ｆ（ｘ）在除ｘ。丛生尘掣二巡：尸（以＋护△ｚ）
（ｘ。∈（ａ＇ｂ））外的各点可导，且１ｉｍｆ７（ｘ）存在，则
ｘ－．ｘ０
￡土工
ｆ（ｘ）在ｘ。点也可导，且ｆ’（ｘ。）＝１ｉｍｆ’（ｘ）。
（０＜０＜１）
ｏ—ｘ０
令△ｘ一十０，由ｆ７（ｘ）右极限的存在性和右导数
证明：由１ｉｍｆ’（ｘ）存在知
１ｉｍ
ｆ７（ｘ）一１ｉｍ
ｘ‘＋ｘｏ
ｘ—ｘｏ十Ｏ
ｘ—ｘｏ—Ｏ
定义，并注意到０＜０＜１，得１ｉｍｆ７（ｘ）一１ｉｍｆ’（ａ＋
ｆ７（ｘ）一１ｉｍｆ’（ｘ）
ｘ—ａ十０
△ｘ一＋０
ｘ÷ｘｏ一０
。△ｘ）一１ｉｍ丛生－宴上』盟一厂＋，（以）
△ｘ一＋０［ｊ』
得
由定理１知
ｆ＋’（ｘ。）一１ｉｍｆ’（ｘ）一１ｉｍｆ７（ｘ）
ｆ一７（ｘ。）一
证。
＊收稿日期：２００卜一０４—２３
作者简介：邓书显（１９６４一）．男．河南南阳人．讲师，主要研究代数学。
万
方数据・３９・
邓书显于红霞导函数连续性定理及其推论
１ｉｍｆ’（ｘ）一１ｉｍｆ７（ｘ）
ｘ＿．ｘｏ—Ｏ
ｘ—ｘｏ
从而ｆ＋７（ｘ。）一ｆ一７（ｘ。）一ｌｉｍｆ７（ｘ）故ｆ（ｘ）在ｘ。
Ｘ—ｘｏ
处可导，并有ｌｉｍｆ７（ｘ）一ｆ７（ｘ。）成立。
Ｘ—ｘ。
本定理阐述了函数在某点的导数与其导函数在
该点处的极限的关系，并得到了导函数的连续性，即只要其导函数的极限存在，那么其导函数就一定是
连续的。而对于一般的函数若在某点极限存在时，并
不能保证它在该点是连续的，这是导函数的一个特点。因此，我们把定理２称为导函数连续性定理。２
重要结论
由定理１及定理２，我们可推出如下的结论。定理３若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且在ｘ。（ｘ。∈
（ａ，ｂ））点其导函数存在单侧极限ｆ７（ｘ。＋ｏ）和ｆ’（ｘ。
一ｏ），则有ｆ７（ｘ。＋ｏ）一ｆ’（ｘ。一ｏ）且ｆ’（ｘ）在ｘ。点连续。
事实上，由ｆ７（ｘ。）存在及定理１，我们可推得
ｆ７（ｘ。＋ｏ）一ｆ７（ｘ。一ｏ）从而ｆ７（ｘ）在ｘ。点的极限存
在，由定理２即可得ｆ７（ｘ）在ｘ。点连续。
下面给出函数在某点可导的充要条件：
定理４函数ｙ—ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内除ｘ。（ｘ。∈（ａ，ｂ））外的各点可导，且其导函数
ｆ７（ｘ）在ｘ。点存在左右单侧极限，那么ｆ（ｘ）在ｘ。点
可导的充分必要条件是ｆ７（ｘ）在ｘ。处的左右极限相等，即ｆ７（ｘ。＋ｏ）一ｆ７（ｘ。一ｏ）。
证明：若ｆ（ｘ）在ｘ。点可导，由题设条件，我们就
可得
ｆ＋７（ｘ。）＝ｆ一’（ｘ。）一ｆ７（ｘ。），由定理１得ｆ’（ｘ。＋ｏ）一ｆ＋’（ｘ。）
ｆ’（ｘ。一ｏ）＝ｆ一７（ｘ。）
因
此ｆ’（ｘ。＋ｏ）＝ｆ’（ｘ。一ｏ）一ｆ’（ｘ。）。
其充分性则由定理１、２直接得到。
定理４是通过对函数的导函数的考察，来判断函数在某点是否可导，并求出导数。这对于分段函数在分界点处可导情况的讨论，用此定理是非常有效的。为我们考察函数在某点的可导性提供了一种新
的方法，而且比原来的仅依据导数定义去判别的方法更简便。３
实例分析
例如：现考察ｆ（ｘ）＝Ｉｘｌ在ｘ—ｏ处的可导性。ｃｘ，一｛一：
ｘ＞Ｏ由于ｒ７
ｘ＜Ｏ
・４０・
万
方数据故有ｆ７（＋０）一１，ｆ７（一０）一一１由定理３知ｆ’（ｏ）不存在。
又女日：设ｆ（Ｘ）一０１鬟试确定常数ａ
又如：设ｆ（ｘ）一｛Ｉａｘ十ｌ
．．
ｘ乒Ｕ
、一．试确定常数ａ使得ｆ（ｘ）可导。
显然’有ｆ，（Ｘ）一譬
显然，有ｆ’（ｘ）一｛
、关键是在ｘ—ｏ处
Ｉａ
嚣关键是在Ｘ＿０处
Ｘ）Ｕ
的可导性。
因为ｆ７（＋ｏ）一ａ，ｆ’（一ｏ）＝１，欲使ｆ（ｘ）在ｘ—Ｏ处可导，由定理３只须ａ一１即可，并且此时ｆ７（ｘ）还是连续的。
又如：
ｆｘ２＋２ｘ＋２
ｘ≤０
设ｆ（ｘ）一｛
１２￣／２
一（其中ｘ
ｓｉｎ（ｘ＋①）ｘ＞０
＜西＜２丌）
我们确定出能使ｆ（ｘ）在ｘ—ｏ点可导的中值。显然，
ｆ２ｘ＋２
ｘ＜０
设ｆ’（ｘ）一＜
１２／２
一ｃｏｓ（ｘ＋①）ｘ＞０
有ｆ７（ｏ＋ｏ）一２√２ｃｏｓ①，ｆ７（ｏ—ｏ）一２，欲使
ｆ（ｘ）在ｘ—ｏ处可导，应有ｃ。ｓ垂一』手，故①一｛或
中一孥，且ｆ，（ｘ）在ｘ—ｏ处连续。又设：ｆ（ｘ）＝
１ｎｘ
Ｉ，我们考察在ｘ一１处的可导性。
ｘ＞・由于ｆ７（ｘ）＝｜｛
ｆ｛卜｛
ｘ＜，
从而ｆ’（１＋０）一１，ｆ’（１一Ｏ）一一１，所以ｆ（ｘ）在
ｘ一１处是不可导的。
再女日：我们求ｆ（ｘ）一芒，兰在ｘ一，
点的导数。
事实上，ｆ，（ｘ）一Ｊ专
ｘ＞１Ｉ
１
ｘ＜１
由于１ｉｍｆ７（ｘ）＝１，所以ｆ７（１）一ｌ。
综上所述，利用定理４我们很容易求出分段函
数在分界点处的导数。为高等数学的教与学提供了一个极为新颖而有效的方法。
（下转第４９页）
［责任编辑朱保林］
李钦霞谈鲁迅小说中的点睛之笔
们首先看到的是华老栓愚昧、善良而怯弱的灵魂。
排出满把银的和铜的”，“孑Ｌ乙己抓出九文大钱”或康大叔作为反动统治阶级的刽子手，与华老栓“被小伙计抓去九文大钱”，而华老栓则是“把一包洋在“抓”与被“抓”中形成了鲜明的对比：他一只手摊钱往刽子手那儿一扔”，这样一来，就必然造成人物
开向买主索钱，一只手撮着人血馒头要塞给买主，完
性格的紊乱，简直是非牛非马令人费解了。福楼拜对
全是一副贪婪攫取的强盗架势，残杀了革命者，还要
他的学生莫泊桑说：“无论你所要讲的是什么，真正
贩卖烈士的鲜血；刚刚砍过人头的手，马上又在赤裸
能够表现它的句子只有一句，真正适用的动词和形
裸的现金交易中“抓”获洋钱。这急不可耐、饿虎扑食
容词也只有一个，就是那最准确的一句，最准确的一
般的一“抓”，彻底地坦露了康大叔的凶心和贪欲、残个动词和形容词。其它类似的却很多。而你必须把
忍和骄横、贪婪和卑鄙。鲁迅先生一个“抓”字，就包这惟一的句子、惟一的动词、惟一的形容词找出来。”蕴了两个不同人物的灵魂，真是一字透神韵。
鲁迅先生就把这惟一的东西找出来了，特别是把惟设想，如果用一般的常用的动词“付”、“交”
一的动词找出来了。可以看出鲁迅先生的点睛之笔，
“给”、“拿”、“放”等，描绘阿Ｑ、孔乙己和华老栓三个
融汇了古今中外文学的精密性和神韵感。鲁迅先生
人物的付钱方式，那么就必然模糊了人物的个性特可谓是人化入骨的点睛技巧的大师。
征，也必然丧失个性的神韵感而味同嚼蜡。再设想，［责任编辑李中华］
如果把这三个人物的付钱方式调换一下，变成“阿Ｑ
ＡＢｒｉｅｆＣｏｍｍｅｎｔ
ｏｎ
ｔｈｅ“Ｓｔｒｉｋｉｎ２”ＤｅｖｉｃｅｓｉｎＩ。ｕｘｕｎ’ｓＮｏｖｅＩｓ
ＬＩＱｉｎ—ｘｉａ
（ＺｈｅｎｇｚｈｏＭＩｎｓｔｉｔＨｔｅ《０Ｉ。ｉｇｈｔＩ祝ｄＨｓｔｒｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏ乩４５０００２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉ。ｕｘｕｎｗａｓｅｘｐｅｒｔ
ａｔ
ｕｓｉｎｇｔｈｅａｐｔｗｏｒｄａｄｄｅｄ
ｔｏ
ｃｌｉｎｃｈｔｈｅｐｏｉｎｔ．Ｈｅｄｉｓｐｌａｙｅｄ
ｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒ’ｓ
ｄｅｓｔｉｎｙａｎｄｐｅｒｓｏｎａｌｉｔｙｔｈｒｏｕｇｈｈｉｓ
ｆａｃｉａｌ
ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ，
ｌａｎｇｕａｇｅ
ａｎｄａｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ
ｗｅｒｅ
ｅｘ—
ｐｒｅｓｓｅｄ
ｕｓｕａｌｌｙｂｙ
ｏｎｅ
ｗｏｒｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｉ。ｕｘｕｎ；ｎｏｖｅｌ；ａｎａｐｔｗｏｒｄａｄｄｅｄ
ｔｏ
ｃｌｉｎｃｈｔｈｅｐｏｉｎｔ
（上接第４０页）
参考文献
［３］Ｇ・克莱鲍尔．数学分析［Ｍ］．上海科学技术出
［１］河琛．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，
版社，１９８１．
１９８５．
［４］格・马・菲赫金哥尔茨．数学分析原理［Ｍ］．北
［２］Ｒ・柯朗，Ｆ・约翰．微积分和数学分析引论
京：人民教育出版社，１９８１．
［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８５．
’Ｉ’ｈｅ’Ｉ’ｈｅｏｒｅｍｏｆＤｅｒｉＶａｔｉＶｅＦ’ｕｎｃｔｉｏｎ（：ｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｎｄＩｔｓｌｎｆｅｒｅｎｃｅ
ＤＥＮＧＳｈｕ—ｘｉａｎｌ，ＹＵＨＯｎｇ—ｘｉａ２
（１．ＨｃｎａｎＴｅｚｔｉｆｅＣｏｉ｝ｅｇｅ，ＺｈｅｎｇｚｈｏＭ４５００Ｑ１，Ｃｈｉｎｎ；２．ＨｅｎｎｎＣｈｅ＇ｎｉｃａｌ
Ｉｎｄ珑ｓｔｒｙＳｃｈｏｏｌ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏ珑
４５００４２，（？丘？舰乜）Ａｂｓｔｒａｃｔ
：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｅａｌｓｆｕｒｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｌｉｍｉｔｔｈｅｏｒｅｍａｎｄｄｅｒｉｖｅｓ
ａ
ｆｅａｔｕｒｅｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｌｉｍｉｔａｎｄｉｔｓｃｏｍｔｉｎｕｉｔｙ，ｂｖｗｈｉｃｈｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｄｒａｗｎ．Ｔｈｉｓ
ｇｉｖｅｓ
ａ
ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｎｅｗｃｏｎｄｉｔｉｏｎｔｏｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｍｉｔ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｏｎｅ—ｓｉｄｅｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｄｅｍａｒｃａｔｉｏｎｐｏｉｎｔ
万
方数据・４９・
导函数连续性定理及其推论
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
邓书显， 于红霞， DENG Shu-xian， YU Hong-xia
邓书显,DENG Shu-xian(河南纺织高等专科学校,河南,郑州,450007)， 于红霞,YU Hong-xia(河南化工学校,河南,郑州,450042)河南纺织高等专科学校学报
JOURNAL OF HENAN TEXTILE COLLEGE2001，""(3)1次
参考文献(4条)1. 河琛 数学分析 1985
2. R·柯朗. F·约翰 微积分和数学分析引论 19853. G·克莱鲍尔 数学分析 1981
4. 格·马·菲赫金哥尔茨 数学分析原理 1981
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引证文献(1条)
1. 高来斌. 王田娥 关于函数可导的一个充要条件[期刊论文]-长春工程学院学报（自然科学版） 2006(4)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_hnfzgdzkxxxb200103015.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：8e4d2f56-59d2-4732-ab60-9dcc01629005
下载时间：2010年8月8日
专题研究
ＪｏＵＲＮＡ≥淼翥勰淼。‰眦ＧＥ
ＪＯＵＲＮＡＬ０ＦＨＥＮＡＮＴＥＸＴＩＬＥＣＯＬＬＥＧＥ
…１ｚ㈣年。月ｚ’……Ｗ０．日出版７一
导函数连续性定理及其推论
邓书显１，于红霞２
（１．河南纺织高等专科学校，河南郑州４５０００７；２．河南化工学校，河南郑州４５００４２）
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导函数连续性的定理，进而给出了函数可导的一个新的充要条件。
关键词：极限；导数；单侧导数；分界点
中图分类号：０１７２．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００８—８３８５（２００１）０３—００３９一０２
１
导函数的极限及其连续性
本定理说明：若函数的导函数在该点的单侧极
限存在，那么函数在该点存在着与单侧极限相等的关于导数存在问题，一般高等数学书中仅作如
单侧导数。即ｆ＋７（ａ）一ｆ’（ａ＋ｏ）或ｆ’（ａ）一ｆ７（ａ—
下叙述：
ｏ）。
引理ｙ—ｆ（ｘ）在某点ｘ。处可导的充分必要条看一个例子：ｆ（ｘ）＝ａｒｃｓｉｎｘ在区间［一１，１］上
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连续，在（一１，１）内可导，且
由此为我们提供了判断函数在某点不可导的方ｆ
法，其典型例子如：ｙ—ＩｘＩ
７（ｘ）一—＝兰，ｘ∈（一１，１）
１
￣／１一ｘ。
对导函数的极限及其连续性，一般数学书上都
当ｘ一一ｌ＋ｏ时，ｆ７（ｘ）一ｏ。，从图１上看，即在
没有涉及到，为此我们进行研究推导得出以下结论：
点（一１，一兀／２）处存在垂直于ｘ轴的切线。同理，定理１设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，且在（ａ，ｆ（ｘ）在ｘ一１处有垂直于ｘ轴的切线。
ｂ）内存在有限的导数ｆ７（ｘ）。若其导函数ｆ７（ｘ）在ａ
又如：函数ｆ（ｘ）一ｘ＋／１一ｘ２ａｒｃｃｏｓｘ在区间
点存在右极限（有穷或无穷），即１ｉｍｆ７（ｘ）一Ａ（或［一１，１］上连续，在（一１，１）内有
。Ｃ）记为为ｆ７（ａ＋ｏ），则ｆ（ｘ）在ａ点存在右导数ｆ’＋ｆ’（ｘ）一—三兰＝ａｒｃｃｏｓｘ，ｘ∈（一１，１）
（ａ），且ｆ＋７（ａ）一１ｉｍｆ７（ｘ）。对于ｂ点的左侧有类似￣／１一ｘ２
结果。
当ｘ一１一。时，ｆ７（ｘ）一一１，从而ｆ（ｘ）在ｘ一１证明：考虑［ａ，ａ＋△ｘ］区间（△ｘ＞ｏ），由假设ｆ处存在单侧导数ｆ一７（１）一一１。
（ｘ）在［ａ，ａ＋△ｘ］上连续，在（ａ，ａ＋△ｘ）内可导，由
由定理１，我们可以得到如下的定理２：
拉格朗日中值定理：
定理２设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内连续，且ｆ（ｘ）在除ｘ。丛生尘掣二巡：尸（以＋护△ｚ）
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ｘ－．ｘ０
￡土工
ｆ（ｘ）在ｘ。点也可导，且ｆ’（ｘ。）＝１ｉｍｆ’（ｘ）。
（０＜０＜１）
ｏ—ｘ０
令△ｘ一十０，由ｆ７（ｘ）右极限的存在性和右导数
证明：由１ｉｍｆ’（ｘ）存在知
１ｉｍ
ｆ７（ｘ）一１ｉｍ
ｘ‘＋ｘｏ
ｘ—ｘｏ十Ｏ
ｘ—ｘｏ—Ｏ
定义，并注意到０＜０＜１，得１ｉｍｆ７（ｘ）一１ｉｍｆ’（ａ＋
ｆ７（ｘ）一１ｉｍｆ’（ｘ）
ｘ—ａ十０
△ｘ一＋０
ｘ÷ｘｏ一０
。△ｘ）一１ｉｍ丛生－宴上』盟一厂＋，（以）
△ｘ一＋０［ｊ』
得
由定理１知
ｆ＋’（ｘ。）一１ｉｍｆ’（ｘ）一１ｉｍｆ７（ｘ）
ｆ一７（ｘ。）一
证。
＊收稿日期：２００卜一０４—２３
作者简介：邓书显（１９６４一）．男．河南南阳人．讲师，主要研究代数学。
万
方数据・３９・
邓书显于红霞导函数连续性定理及其推论
１ｉｍｆ’（ｘ）一１ｉｍｆ７（ｘ）
ｘ＿．ｘｏ—Ｏ
ｘ—ｘｏ
从而ｆ＋７（ｘ。）一ｆ一７（ｘ。）一ｌｉｍｆ７（ｘ）故ｆ（ｘ）在ｘ。
Ｘ—ｘｏ
处可导，并有ｌｉｍｆ７（ｘ）一ｆ７（ｘ。）成立。
Ｘ—ｘ。
本定理阐述了函数在某点的导数与其导函数在
该点处的极限的关系，并得到了导函数的连续性，即只要其导函数的极限存在，那么其导函数就一定是
连续的。而对于一般的函数若在某点极限存在时，并
不能保证它在该点是连续的，这是导函数的一个特点。因此，我们把定理２称为导函数连续性定理。２
重要结论
由定理１及定理２，我们可推出如下的结论。定理３若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且在ｘ。（ｘ。∈
（ａ，ｂ））点其导函数存在单侧极限ｆ７（ｘ。＋ｏ）和ｆ’（ｘ。
一ｏ），则有ｆ７（ｘ。＋ｏ）一ｆ’（ｘ。一ｏ）且ｆ’（ｘ）在ｘ。点连续。
事实上，由ｆ７（ｘ。）存在及定理１，我们可推得
ｆ７（ｘ。＋ｏ）一ｆ７（ｘ。一ｏ）从而ｆ７（ｘ）在ｘ。点的极限存
在，由定理２即可得ｆ７（ｘ）在ｘ。点连续。
下面给出函数在某点可导的充要条件：
定理４函数ｙ—ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内除ｘ。（ｘ。∈（ａ，ｂ））外的各点可导，且其导函数
ｆ７（ｘ）在ｘ。点存在左右单侧极限，那么ｆ（ｘ）在ｘ。点
可导的充分必要条件是ｆ７（ｘ）在ｘ。处的左右极限相等，即ｆ７（ｘ。＋ｏ）一ｆ７（ｘ。一ｏ）。
证明：若ｆ（ｘ）在ｘ。点可导，由题设条件，我们就
可得
ｆ＋７（ｘ。）＝ｆ一’（ｘ。）一ｆ７（ｘ。），由定理１得ｆ’（ｘ。＋ｏ）一ｆ＋’（ｘ。）
ｆ’（ｘ。一ｏ）＝ｆ一７（ｘ。）
因
此ｆ’（ｘ。＋ｏ）＝ｆ’（ｘ。一ｏ）一ｆ’（ｘ。）。
其充分性则由定理１、２直接得到。
定理４是通过对函数的导函数的考察，来判断函数在某点是否可导，并求出导数。这对于分段函数在分界点处可导情况的讨论，用此定理是非常有效的。为我们考察函数在某点的可导性提供了一种新
的方法，而且比原来的仅依据导数定义去判别的方法更简便。３
实例分析
例如：现考察ｆ（ｘ）＝Ｉｘｌ在ｘ—ｏ处的可导性。ｃｘ，一｛一：
ｘ＞Ｏ由于ｒ７
ｘ＜Ｏ
・４０・
万
方数据故有ｆ７（＋０）一１，ｆ７（一０）一一１由定理３知ｆ’（ｏ）不存在。
又女日：设ｆ（Ｘ）一０１鬟试确定常数ａ
又如：设ｆ（ｘ）一｛Ｉａｘ十ｌ
．．
ｘ乒Ｕ
、一．试确定常数ａ使得ｆ（ｘ）可导。
显然’有ｆ，（Ｘ）一譬
显然，有ｆ’（ｘ）一｛
、关键是在ｘ—ｏ处
Ｉａ
嚣关键是在Ｘ＿０处
Ｘ）Ｕ
的可导性。
因为ｆ７（＋ｏ）一ａ，ｆ’（一ｏ）＝１，欲使ｆ（ｘ）在ｘ—Ｏ处可导，由定理３只须ａ一１即可，并且此时ｆ７（ｘ）还是连续的。
又如：
ｆｘ２＋２ｘ＋２
ｘ≤０
设ｆ（ｘ）一｛
１２￣／２
一（其中ｘ
ｓｉｎ（ｘ＋①）ｘ＞０
＜西＜２丌）
我们确定出能使ｆ（ｘ）在ｘ—ｏ点可导的中值。显然，
ｆ２ｘ＋２
ｘ＜０
设ｆ’（ｘ）一＜
１２／２
一ｃｏｓ（ｘ＋①）ｘ＞０
有ｆ７（ｏ＋ｏ）一２√２ｃｏｓ①，ｆ７（ｏ—ｏ）一２，欲使
ｆ（ｘ）在ｘ—ｏ处可导，应有ｃ。ｓ垂一』手，故①一｛或
中一孥，且ｆ，（ｘ）在ｘ—ｏ处连续。又设：ｆ（ｘ）＝
１ｎｘ
Ｉ，我们考察在ｘ一１处的可导性。
ｘ＞・由于ｆ７（ｘ）＝｜｛
ｆ｛卜｛
ｘ＜，
从而ｆ’（１＋０）一１，ｆ’（１一Ｏ）一一１，所以ｆ（ｘ）在
ｘ一１处是不可导的。
再女日：我们求ｆ（ｘ）一芒，兰在ｘ一，
点的导数。
事实上，ｆ，（ｘ）一Ｊ专
ｘ＞１Ｉ
１
ｘ＜１
由于１ｉｍｆ７（ｘ）＝１，所以ｆ７（１）一ｌ。
综上所述，利用定理４我们很容易求出分段函
数在分界点处的导数。为高等数学的教与学提供了一个极为新颖而有效的方法。
（下转第４９页）
［责任编辑朱保林］
李钦霞谈鲁迅小说中的点睛之笔
们首先看到的是华老栓愚昧、善良而怯弱的灵魂。
排出满把银的和铜的”，“孑Ｌ乙己抓出九文大钱”或康大叔作为反动统治阶级的刽子手，与华老栓“被小伙计抓去九文大钱”，而华老栓则是“把一包洋在“抓”与被“抓”中形成了鲜明的对比：他一只手摊钱往刽子手那儿一扔”，这样一来，就必然造成人物
开向买主索钱，一只手撮着人血馒头要塞给买主，完
性格的紊乱，简直是非牛非马令人费解了。福楼拜对
全是一副贪婪攫取的强盗架势，残杀了革命者，还要
他的学生莫泊桑说：“无论你所要讲的是什么，真正
贩卖烈士的鲜血；刚刚砍过人头的手，马上又在赤裸
能够表现它的句子只有一句，真正适用的动词和形
裸的现金交易中“抓”获洋钱。这急不可耐、饿虎扑食
容词也只有一个，就是那最准确的一句，最准确的一
般的一“抓”，彻底地坦露了康大叔的凶心和贪欲、残个动词和形容词。其它类似的却很多。而你必须把
忍和骄横、贪婪和卑鄙。鲁迅先生一个“抓”字，就包这惟一的句子、惟一的动词、惟一的形容词找出来。”蕴了两个不同人物的灵魂，真是一字透神韵。
鲁迅先生就把这惟一的东西找出来了，特别是把惟设想，如果用一般的常用的动词“付”、“交”
一的动词找出来了。可以看出鲁迅先生的点睛之笔，
“给”、“拿”、“放”等，描绘阿Ｑ、孔乙己和华老栓三个
融汇了古今中外文学的精密性和神韵感。鲁迅先生
人物的付钱方式，那么就必然模糊了人物的个性特可谓是人化入骨的点睛技巧的大师。
征，也必然丧失个性的神韵感而味同嚼蜡。再设想，［责任编辑李中华］
如果把这三个人物的付钱方式调换一下，变成“阿Ｑ
ＡＢｒｉｅｆＣｏｍｍｅｎｔ
ｏｎ
ｔｈｅ“Ｓｔｒｉｋｉｎ２”ＤｅｖｉｃｅｓｉｎＩ。ｕｘｕｎ’ｓＮｏｖｅＩｓ
ＬＩＱｉｎ—ｘｉａ
（ＺｈｅｎｇｚｈｏＭＩｎｓｔｉｔＨｔｅ《０Ｉ。ｉｇｈｔＩ祝ｄＨｓｔｒｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏ乩４５０００２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉ。ｕｘｕｎｗａｓｅｘｐｅｒｔ
ａｔ
ｕｓｉｎｇｔｈｅａｐｔｗｏｒｄａｄｄｅｄ
ｔｏ
ｃｌｉｎｃｈｔｈｅｐｏｉｎｔ．Ｈｅｄｉｓｐｌａｙｅｄ
ｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒ’ｓ
ｄｅｓｔｉｎｙａｎｄｐｅｒｓｏｎａｌｉｔｙｔｈｒｏｕｇｈｈｉｓ
ｆａｃｉａｌ
ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ，
ｌａｎｇｕａｇｅ
ａｎｄａｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ
ｗｅｒｅ
ｅｘ—
ｐｒｅｓｓｅｄ
ｕｓｕａｌｌｙｂｙ
ｏｎｅ
ｗｏｒｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｉ。ｕｘｕｎ；ｎｏｖｅｌ；ａｎａｐｔｗｏｒｄａｄｄｅｄ
ｔｏ
ｃｌｉｎｃｈｔｈｅｐｏｉｎｔ
（上接第４０页）
参考文献
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［１］河琛．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，
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京：人民教育出版社，１９８１．
［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８５．
’Ｉ’ｈｅ’Ｉ’ｈｅｏｒｅｍｏｆＤｅｒｉＶａｔｉＶｅＦ’ｕｎｃｔｉｏｎ（：ｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｎｄＩｔｓｌｎｆｅｒｅｎｃｅ
ＤＥＮＧＳｈｕ—ｘｉａｎｌ，ＹＵＨＯｎｇ—ｘｉａ２
（１．ＨｃｎａｎＴｅｚｔｉｆｅＣｏｉ｝ｅｇｅ，ＺｈｅｎｇｚｈｏＭ４５００Ｑ１，Ｃｈｉｎｎ；２．ＨｅｎｎｎＣｈｅ＇ｎｉｃａｌ
Ｉｎｄ珑ｓｔｒｙＳｃｈｏｏｌ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏ珑
４５００４２，（？丘？舰乜）Ａｂｓｔｒａｃｔ
：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｅａｌｓｆｕｒｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｌｉｍｉｔｔｈｅｏｒｅｍａｎｄｄｅｒｉｖｅｓ
ａ
ｆｅａｔｕｒｅｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｌｉｍｉｔａｎｄｉｔｓｃｏｍｔｉｎｕｉｔｙ，ｂｖｗｈｉｃｈｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｄｒａｗｎ．Ｔｈｉｓ
ｇｉｖｅｓ
ａ
ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｎｅｗｃｏｎｄｉｔｉｏｎｔｏｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｍｉｔ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｏｎｅ—ｓｉｄｅｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｄｅｍａｒｃａｔｉｏｎｐｏｉｎｔ
万
方数据・４９・
导函数连续性定理及其推论
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
邓书显， 于红霞， DENG Shu-xian， YU Hong-xia
邓书显,DENG Shu-xian(河南纺织高等专科学校,河南,郑州,450007)， 于红霞,YU Hong-xia(河南化工学校,河南,郑州,450042)河南纺织高等专科学校学报
JOURNAL OF HENAN TEXTILE COLLEGE2001，""(3)1次
参考文献(4条)1. 河琛 数学分析 1985
2. R·柯朗. F·约翰 微积分和数学分析引论 19853. G·克莱鲍尔 数学分析 1981
4. 格·马·菲赫金哥尔茨 数学分析原理 1981
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3.会议论文 鲁亚男. 刘欣 浅析函数的单侧导数与导函数的单侧极限 2006
常见的分段函数由于它在除分段点外的小区间内的每段函数都是初等函数，所以，它们在这些小区间内都是连续，可导的。而要研究整个分段函数在其定义域内是否连续，可导，关键要看它在分段点处的连续性与可导性。其中，连续性的判别相对较简单，而分段点处可导性的判别就要用到单测导数的定义，通常情况下，这类问题相对复杂。在学生中易出现的错误是直接将分段点代入导函数求分段导数，从而判断在该点处是否可导。对于这种做法，有时结果上是正确的，但缺少必要的理论基础。本文通过对函数的单侧导数与其导函数的单侧极限之间的关系的研究，得到结论：对于在分段点处的单测邻域内连续，可导的函数，如果其导函数的单测极限存在的话，则其单测导数就等于导函数的单测极限。从而给出了一个在满足上述情况下的求分段函数在分段点处单测极限的方法——直接讲分段点代入导函数印可。但必须要注意的是，上述条件是充分非必要条件，当导函数的单测极限不存在时，不能用此方法来运算。反例见本文中例3。
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6.学位论文 段碧 高中生导数概念认知状况的调查研究 2008
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导数的概念是微积分的核心概念之一，而导数的教学定位以及如何进行导数的教与学成为数学教育工作者研究的一个重要课题。但是目前对导数教与学的研究主要是在宏观上对导数及其应用的教学与实践进行指导，缺少关注导数概念教学的细致的实证研究。
基于这一点，本论文尝试探讨高中生对导数概念的认知状况，以便使导数概念的教学更切合学生的实际认知水平，也为高中数学教材的处理提供建设性的意见。
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问题1、高中生对导数概念的认知状况通过测试，本文从瞬时变化率、导数的物理意义、导数的几何意义、导数形式化定义、可导与连续的关系、导数的简单应用六个方面来分析学生对导数概念的认知状况。通过问卷调查，了解学生极限思想认知状况、微积分历史了解情况和学习兴趣和意愿。
问题2、高中生认知导数概念时表现出来的困难及成因初探通过对调查结果的分析，寻找高中生对导数概念的主要认知困难，然后从学生原有的认知结构、导数概念形成的历史过程、课程设计以及教学过程与评价等方面来分析其原因。
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引证文献(1条)
1. 高来斌. 王田娥 关于函数可导的一个充要条件[期刊论文]-长春工程学院学报（自然科学版） 2006(4)
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下载时间：2010年8月8日