方法与技巧
二元函数极限的求法
冯英杰 李丽霞
2
X
12
(1河北化工医药职业技术学院 河北石家庄 050031河北科技大学应用数学系 河北石家庄 050018)
函数的极限是高等数学中非常重要的内容, 关于一元函数的极限及其求法, 各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 两者之间既有联系又有区别。例如, 在极限运算法则上, 它们是一致的, 但随着变量个数的增加, 二元函数极限比一元函数极限变得复杂得多, 但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详细, 使初学者感
到不便掌握。为此, 我们就有关问题讨论如下。
一 二元函数的极限
定义 设函数f (x , y ) 在区域D 内有定义, P 0(x 0, y 0) 是D 的内点, 如果对于任意给定的正数, 总存在正数D , 使得对于D 内且适合不等式E
0
(x -x 0) 2+(y -y 0) 2
的一切点P (x , y ) , 都有ûf (x , y ) -A û
y →y
00
注 二重极限存在, 是指P (x , y ) 以任何方式趋于P 0(x 0, y 0) 时, 函数都无限接近于A , 因此, 如果P (x , y ) 以某一特殊方式, 例如沿着一条定直线趋于P 0(x 0, y 0) 时, 即使函数无限接近于某一确定值, 还不能由此断定函数的极限存在, 但如果当P (x , y ) 以不同方式趋于P 0(x 0, y 0) 时, 函数趋于不同的值, 则可断定这函数当x →x 0, y →y 0时极限不存在。
二 二元函数极限的求法
(一) 利用连续性求函数的极限
设y =f (x , y ) 为二元初等函数, P 0(x 0, y 0) 是其定义区域内的点, 则有x lim f (x , y ) =f (x 0, y 0) →x
y →y
x y 例1 求lim x →01+x +y y →0
xy 解 f (x , y ) =为初等函数, (0, 0) 是其定义区域内的点, 故原式=f (0, 0) =0
1+x +y
(二) E -D 法
3例2 讨论f (x , y ) =2在(0, 0) 点的极限
x +y 2
解 (1) 可先令y =mx , 考虑f (x , y ) 沿此直线趋于(0, 0) 时的极限
42
lim f (x , y ) =lim =lim x =0x →0x →0x (1+m ) x →01+m y =mx
:
注意:因为此路径为特殊路径, 故不能据此说明lim =0x →0x +y
y →0
(2) 再用定义判定0即为其极限. 对任给的E >0, 取D =时有x 2≤x 2+y 2
333322由于û2-0û≤ûû=ûx û即有û2û≤ûx û
1. 通过分子或分母有理化, 把未定式极限转化为定式极限
例3 求lim x →0
xy +1-1y →0解 lim x →0
y →0
3
2E , 当0
(x -0) +(y -0)
=lim =lim (→0x →0(xy +1) -1xy +1-1x y →0y →0
2
xy +1+1) =2
2. 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论例4 求lim x →3(x -3) +(y -2) y →2解
lim =lim [(x -3) ], x →3(x -3) +(y -2) x →3(x -3) +(y -2) y →2y →2
2
û≤为有界变量, 又而û(x -3) =0, 故原式=0。lim x →32(x -3) +(y -2) y →2
3. 不等式放大法22
例5 求lim x →0y →0
222解 由0≤≤=ûx û+ûy û→0(x →0, y →0) , 可得原式=0
4. 等价无穷小代换33例6 求lim x →0x +y y →0
解 因为x →0, y →0时x 3+y 3→0, 所以sin (x 3+y 3) ～x 3+y 3, 故
3322
原式=lim =(-+) =0lim x x y y x →0x →0x +y y →0y →05. 通过变量代换, 将二重极限向一元函数中的已知极限转化例7 求x lim (x +y ) e →+∞
y →+∞
2
2
-(x +y )
222解 原式=x lim [(x +y ) 22].→+∞e x +2xy +y y →+∞
2222因x >0, y >0时, 2≤1。令x +y =t , 则x lim 2û(x +y ) =lim t =lim t =lim t =0, →+∞t →+∞e t →+∞e t →+∞e x +2xy +y e y →+∞故原式=0
2
例8 求lim (1+x ) x →∞
y →0
(下转第43页)
第6卷第1期 杨桂元:用行列式求通过定点的曲线与曲面方程 43
x +y
2
222
x x 1x 2x 3
n
y y 1y 2y 3
1111=0
x 1+y 1
2
x 22+y 2
x 3+y 3
2
22
对于n 次多项式y =a 0+a 1x +a 2x +…+a n x , 可由其图像上的n +1个横坐标互不相同的点(x 1, y 1) , (x 2, y 2) , …, (x n , y n ) , (x n +1, y n +1) 所惟一确定。这是因为, 这n +1个点均满足n 次多项式,
故
n
a 0+a 1x 1+a 2x 21+…+a n x 1=y 1
a 0+a 1x 2+a 2x 2+…+a n x 2=y 2 …………………
n a 0+a 1x n +a 2x 2n +…+a n x n =y n
2n
a 0+a 1x n +1+a 2x n +1+…+a n x n +1=y n +1
这是一个含有n +1个方程, 以a 0, a 1, a 2, …, a n 为未知量的线性方程组, 其系数行列式
11
D =
…11
x 1x 2…x n x n +1
x 1x 22…x 2n x 2n +1
2
2n
…………
x 1x n 2…x n n
n
…x n n +1
是一个范德蒙行列式, 当x 1, x 2, …, x n , x n +1互不相同时, D ≠0, 由克莱姆法则, 可以惟一地解出a 0,
2n
a 1, a 2, …, a n 。所以, n 次多项式y =a 0+a 1x +a 2x +…+a n x , 可由其图象上的n +1个横坐标互不相同的点(x 1, y 1) , (x 2, y 2) , …, (x n , y n ) , (x n +1, y n +1) 所惟一确定。该多项式方程的行列式形式为
1x x 2…x n y
11…11
(上接第33页)
) x ]) x
=解 原式=x lim [(1+(1+lim →∞x →∞x x y →0y →0
1+
x 1x 2…x n x n +
1
x 21x 22…x 2n x n +1
2
……………
x n 1x n 2…x n n x n +1
n
y 1y 2…y n y n +1
=0
=e 1=e
6. 取对数法
22x
例9 求lim (x +y ) x →0
y →0
22
y
解 设u =(x +y ) lim x →0
y →0
22x y
22
22222222
, 则ln u =x y ln (x +y ) =(+) (+) , 而lim =x →0x +y x +y x y ln x y y →0
2
2
2
2
y →0
t →0
+y x
=0。令x 2+y 2=t , 知lim (x 2+y 2) ln(x 2+y 2) =lim t ln t =0, 故原式=e 0=1。x →0+
方法与技巧
二元函数极限的求法
冯英杰 李丽霞
2
X
12
(1河北化工医药职业技术学院 河北石家庄 050031河北科技大学应用数学系 河北石家庄 050018)
函数的极限是高等数学中非常重要的内容, 关于一元函数的极限及其求法, 各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 两者之间既有联系又有区别。例如, 在极限运算法则上, 它们是一致的, 但随着变量个数的增加, 二元函数极限比一元函数极限变得复杂得多, 但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详细, 使初学者感
到不便掌握。为此, 我们就有关问题讨论如下。
一 二元函数的极限
定义 设函数f (x , y ) 在区域D 内有定义, P 0(x 0, y 0) 是D 的内点, 如果对于任意给定的正数, 总存在正数D , 使得对于D 内且适合不等式E
0
(x -x 0) 2+(y -y 0) 2
的一切点P (x , y ) , 都有ûf (x , y ) -A û
y →y
00
注 二重极限存在, 是指P (x , y ) 以任何方式趋于P 0(x 0, y 0) 时, 函数都无限接近于A , 因此, 如果P (x , y ) 以某一特殊方式, 例如沿着一条定直线趋于P 0(x 0, y 0) 时, 即使函数无限接近于某一确定值, 还不能由此断定函数的极限存在, 但如果当P (x , y ) 以不同方式趋于P 0(x 0, y 0) 时, 函数趋于不同的值, 则可断定这函数当x →x 0, y →y 0时极限不存在。
二 二元函数极限的求法
(一) 利用连续性求函数的极限
设y =f (x , y ) 为二元初等函数, P 0(x 0, y 0) 是其定义区域内的点, 则有x lim f (x , y ) =f (x 0, y 0) →x
y →y
x y 例1 求lim x →01+x +y y →0
xy 解 f (x , y ) =为初等函数, (0, 0) 是其定义区域内的点, 故原式=f (0, 0) =0
1+x +y
(二) E -D 法
3例2 讨论f (x , y ) =2在(0, 0) 点的极限
x +y 2
解 (1) 可先令y =mx , 考虑f (x , y ) 沿此直线趋于(0, 0) 时的极限
42
lim f (x , y ) =lim =lim x =0x →0x →0x (1+m ) x →01+m y =mx
:
注意:因为此路径为特殊路径, 故不能据此说明lim =0x →0x +y
y →0
(2) 再用定义判定0即为其极限. 对任给的E >0, 取D =时有x 2≤x 2+y 2
333322由于û2-0û≤ûû=ûx û即有û2û≤ûx û
1. 通过分子或分母有理化, 把未定式极限转化为定式极限
例3 求lim x →0
xy +1-1y →0解 lim x →0
y →0
3
2E , 当0
(x -0) +(y -0)
=lim =lim (→0x →0(xy +1) -1xy +1-1x y →0y →0
2
xy +1+1) =2
2. 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论例4 求lim x →3(x -3) +(y -2) y →2解
lim =lim [(x -3) ], x →3(x -3) +(y -2) x →3(x -3) +(y -2) y →2y →2
2
û≤为有界变量, 又而û(x -3) =0, 故原式=0。lim x →32(x -3) +(y -2) y →2
3. 不等式放大法22
例5 求lim x →0y →0
222解 由0≤≤=ûx û+ûy û→0(x →0, y →0) , 可得原式=0
4. 等价无穷小代换33例6 求lim x →0x +y y →0
解 因为x →0, y →0时x 3+y 3→0, 所以sin (x 3+y 3) ～x 3+y 3, 故
3322
原式=lim =(-+) =0lim x x y y x →0x →0x +y y →0y →05. 通过变量代换, 将二重极限向一元函数中的已知极限转化例7 求x lim (x +y ) e →+∞
y →+∞
2
2
-(x +y )
222解 原式=x lim [(x +y ) 22].→+∞e x +2xy +y y →+∞
2222因x >0, y >0时, 2≤1。令x +y =t , 则x lim 2û(x +y ) =lim t =lim t =lim t =0, →+∞t →+∞e t →+∞e t →+∞e x +2xy +y e y →+∞故原式=0
2
例8 求lim (1+x ) x →∞
y →0
(下转第43页)
第6卷第1期 杨桂元:用行列式求通过定点的曲线与曲面方程 43
x +y
2
222
x x 1x 2x 3
n
y y 1y 2y 3
1111=0
x 1+y 1
2
x 22+y 2
x 3+y 3
2
22
对于n 次多项式y =a 0+a 1x +a 2x +…+a n x , 可由其图像上的n +1个横坐标互不相同的点(x 1, y 1) , (x 2, y 2) , …, (x n , y n ) , (x n +1, y n +1) 所惟一确定。这是因为, 这n +1个点均满足n 次多项式,
故
n
a 0+a 1x 1+a 2x 21+…+a n x 1=y 1
a 0+a 1x 2+a 2x 2+…+a n x 2=y 2 …………………
n a 0+a 1x n +a 2x 2n +…+a n x n =y n
2n
a 0+a 1x n +1+a 2x n +1+…+a n x n +1=y n +1
这是一个含有n +1个方程, 以a 0, a 1, a 2, …, a n 为未知量的线性方程组, 其系数行列式
11
D =
…11
x 1x 2…x n x n +1
x 1x 22…x 2n x 2n +1
2
2n
…………
x 1x n 2…x n n
n
…x n n +1
是一个范德蒙行列式, 当x 1, x 2, …, x n , x n +1互不相同时, D ≠0, 由克莱姆法则, 可以惟一地解出a 0,
2n
a 1, a 2, …, a n 。所以, n 次多项式y =a 0+a 1x +a 2x +…+a n x , 可由其图象上的n +1个横坐标互不相同的点(x 1, y 1) , (x 2, y 2) , …, (x n , y n ) , (x n +1, y n +1) 所惟一确定。该多项式方程的行列式形式为
1x x 2…x n y
11…11
(上接第33页)
) x ]) x
=解 原式=x lim [(1+(1+lim →∞x →∞x x y →0y →0
1+
x 1x 2…x n x n +
1
x 21x 22…x 2n x n +1
2
……………
x n 1x n 2…x n n x n +1
n
y 1y 2…y n y n +1
=0
=e 1=e
6. 取对数法
22x
例9 求lim (x +y ) x →0
y →0
22
y
解 设u =(x +y ) lim x →0
y →0
22x y
22
22222222
, 则ln u =x y ln (x +y ) =(+) (+) , 而lim =x →0x +y x +y x y ln x y y →0
2
2
2
2
y →0
t →0
+y x
=0。令x 2+y 2=t , 知lim (x 2+y 2) ln(x 2+y 2) =lim t ln t =0, 故原式=e 0=1。x →0+