两角和与差的正弦.余弦和正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

 

了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，选用恰当的公式解决问题； 正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值．

重点难点：

 

重点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用． 难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用．

学习策略：



学好本节内容，要借助向量的数量积这个好的工具来解决问题，掌握两角和的余弦公式的推导，灵活运用两角和与差正弦、余弦和正切公式，并熟练地掌握公式的“正用”、“逆用”和“变形应用”。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

1.

单位圆与三角函数线

圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N．以A为原点建立y轴与y轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点T（或T），则有向线段0M、0N、AT（或AT）分别叫作的 线、 线、 线，统称为三角函数线.有向线段：既有 又有 的线段． 2.向量坐标与点坐标的关系

当向量起点在原点时，定义向量坐标为 坐标，即若A(x，y)，则OA=( ， )． 3.平面向量的数量积

平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量



a

与

b

，它们的夹角是



，则数量

1 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666

叫a与b的数量积，记作ab，即有ab= ．

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。

详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#342630

知识点一：两角和与差正弦、余弦公式

差角的余弦公式：对于任意角,，有

cos(

)

简记作： ；

和角的余弦公式：对于任意角,，有cos() 简记作： ；

差角的正弦公式：对于任意角,，有sin() 简记作： ；

和角的正弦公式：对于任意角,，有sin() 简记作： ． 要点诠释：

学习公式C，S还应注意以下几点： (1)，为任意角；

(2)两角和或差的三角函数公式是当,中有一个角为 的整数倍时，用诱导公式较为简便，不要再用 展开．

知识点二：两角和与差的正切公式

差角的正切公式：tan() ，简记作： ； 和角的正切公式：tan() ，简记作： ．

要点诠释：

(1)推导两角和的正切公式的关键步骤是把公式tan()

sin()

的右

cos()

边分子、分母都除以 ，从而“ ”，导出了 ． (2)学习两角和与差的正切公式应注意使每个角的 都有意义．

2 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666

经典例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#342630

类型一：三角函数的化简、求值

例1．计算

oooo

（1

）sin72cos42cos72sin42

（2）cos105 （3）tan15

思路点拨：（1）直接利用两角和与差的正弦公式，（2）中1056045，（3）中

o

154530，利用两角和与差的余弦、正切公式展开计算．

总结升华：

举一反三： 【变式1】 求值 （1）cos15 （2）cos

33

cossinsin 510510

1tan15o

（3）

1tan15o

思路点拨:

在（1）中154530，在（2）中解析： （1） （2） （3）



5



3

，在（3）中1tan45 102

【变式2】

计算sin40(tan10的值。 思路点拨:

即可求解。

总结升华：

类型二：给值求值问题：

3，x, 求sinx的值； 424



思路点拨：本题可以采用sinxsinx，把sinx展开，也可

4444

例2．

已知cosx







以采用把cosx





22

展开与sinx＋cosx＝1联立方程组，求得sinx的值，在求的过程4

中都需要注意范围． 解： 法一： 法二：

总结升华：

举一反三： 【变式1】

已知cosθ＝－思路点拨:

求tan（θ－

33

，且θ∈（π，），则tan（θ－）的值为多少?

245



）的值可以把三角函数展开转化为求tanθ，而tanθ可以由sinθ 4

利用同角三角函数的基本关系式求得．

【变式2】 已知

tantantan

tantan

3

,且cos4

0,求sin3

思路点拨:

在解决三角函数的求值问题时，一定要注意灵活运用公式. 在本题中，涉及



与及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。

类型三：给值求角问题：

例3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的 终边分别与单位圆相交于A、

B两点．已知A、B

(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 思路点拨:

本题需要利用三角函数的定义求出三角函 数的值，利用三角函数的值进行确定角的大小．

．

总结升华： 举一反三： 【变式1】

已知0,求2α－β的值． 思路点拨:

求2α－β的值需要求出tan(2α－β)，而2(），可以利用 tan α＝tan[(α－β)＋β]求出tan α，进而可以求出tan(2α－β)． 【变式2】

已知A、B

均为钝角，且sinA

11

(0,)，，且，， tan()tan274

，sinBA＋B等于 ( ) 57579A． B． C．或 D．

44444

思路点拨:

由于A、B均为钝角，则π＜A＋B＜2π，确定A＋B的值选取余弦值可以确定

出角的大小．

三、总结与测评

要要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。 相关内容请参看网校资源ID：#tbjx8#342630

2．化简的常用方法：

①直接应用公式进行 ；

②切割 ，异名 ，异角 ； ③三角公式的 等． 3．化简要求：

①能求出值的应 ； ②使三角函数种数 ； ③使 尽量少；

④尽量使 不含三角函数； ⑤尽量使 不含三角函数．

模拟考试系统进行相关知识现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和

点的测试。

知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

测评系统分数： 模拟考试系统分数：

如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#342630做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。

1．三角函数和、差公式的实质是用“单角”的三角函数表示“复角”的三角函数．

成果测评

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

网○校○重○要○资○源 ○

知识导学：两角和与差的正弦、余弦和正切公式（ID：#342630）

视听课堂：两角和差的三角函数（ID：#26919）、两角和与差的三角函数公式（一）（ID：#12337）、两角和与差的正弦、余弦、正切（ID：#12875）

更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用。

对本知识的学案导学的使用率：

□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） □ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右） □ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________

请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

 

了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，选用恰当的公式解决问题； 正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值．

重点难点：

 

重点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用． 难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用．

学习策略：



学好本节内容，要借助向量的数量积这个好的工具来解决问题，掌握两角和的余弦公式的推导，灵活运用两角和与差正弦、余弦和正切公式，并熟练地掌握公式的“正用”、“逆用”和“变形应用”。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

1.

单位圆与三角函数线

圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N．以A为原点建立y轴与y轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点T（或T），则有向线段0M、0N、AT（或AT）分别叫作的 线、 线、 线，统称为三角函数线.有向线段：既有 又有 的线段． 2.向量坐标与点坐标的关系

当向量起点在原点时，定义向量坐标为 坐标，即若A(x，y)，则OA=( ， )． 3.平面向量的数量积

平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量



a

与

b

，它们的夹角是



，则数量

1 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666

叫a与b的数量积，记作ab，即有ab= ．

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。

详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#342630

知识点一：两角和与差正弦、余弦公式

差角的余弦公式：对于任意角,，有

cos(

)

简记作： ；

和角的余弦公式：对于任意角,，有cos() 简记作： ；

差角的正弦公式：对于任意角,，有sin() 简记作： ；

和角的正弦公式：对于任意角,，有sin() 简记作： ． 要点诠释：

学习公式C，S还应注意以下几点： (1)，为任意角；

(2)两角和或差的三角函数公式是当,中有一个角为 的整数倍时，用诱导公式较为简便，不要再用 展开．

知识点二：两角和与差的正切公式

差角的正切公式：tan() ，简记作： ； 和角的正切公式：tan() ，简记作： ．

要点诠释：

(1)推导两角和的正切公式的关键步骤是把公式tan()

sin()

的右

cos()

边分子、分母都除以 ，从而“ ”，导出了 ． (2)学习两角和与差的正切公式应注意使每个角的 都有意义．

2 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666

经典例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#342630

类型一：三角函数的化简、求值

例1．计算

oooo

（1

）sin72cos42cos72sin42

（2）cos105 （3）tan15

思路点拨：（1）直接利用两角和与差的正弦公式，（2）中1056045，（3）中

o

154530，利用两角和与差的余弦、正切公式展开计算．

总结升华：

举一反三： 【变式1】 求值 （1）cos15 （2）cos

33

cossinsin 510510

1tan15o

（3）

1tan15o

思路点拨:

在（1）中154530，在（2）中解析： （1） （2） （3）



5



3

，在（3）中1tan45 102

【变式2】

计算sin40(tan10的值。 思路点拨:

即可求解。

总结升华：

类型二：给值求值问题：

3，x, 求sinx的值； 424



思路点拨：本题可以采用sinxsinx，把sinx展开，也可

4444

例2．

已知cosx







以采用把cosx





22

展开与sinx＋cosx＝1联立方程组，求得sinx的值，在求的过程4

中都需要注意范围． 解： 法一： 法二：

总结升华：

举一反三： 【变式1】

已知cosθ＝－思路点拨:

求tan（θ－

33

，且θ∈（π，），则tan（θ－）的值为多少?

245



）的值可以把三角函数展开转化为求tanθ，而tanθ可以由sinθ 4

利用同角三角函数的基本关系式求得．

【变式2】 已知

tantantan

tantan

3

,且cos4

0,求sin3

思路点拨:

在解决三角函数的求值问题时，一定要注意灵活运用公式. 在本题中，涉及



与及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。

类型三：给值求角问题：

例3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的 终边分别与单位圆相交于A、

B两点．已知A、B

(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 思路点拨:

本题需要利用三角函数的定义求出三角函 数的值，利用三角函数的值进行确定角的大小．

．

总结升华： 举一反三： 【变式1】

已知0,求2α－β的值． 思路点拨:

求2α－β的值需要求出tan(2α－β)，而2(），可以利用 tan α＝tan[(α－β)＋β]求出tan α，进而可以求出tan(2α－β)． 【变式2】

已知A、B

均为钝角，且sinA

11

(0,)，，且，， tan()tan274

，sinBA＋B等于 ( ) 57579A． B． C．或 D．

44444

思路点拨:

由于A、B均为钝角，则π＜A＋B＜2π，确定A＋B的值选取余弦值可以确定

出角的大小．

三、总结与测评

要要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。 相关内容请参看网校资源ID：#tbjx8#342630

2．化简的常用方法：

①直接应用公式进行 ；

②切割 ，异名 ，异角 ； ③三角公式的 等． 3．化简要求：

①能求出值的应 ； ②使三角函数种数 ； ③使 尽量少；

④尽量使 不含三角函数； ⑤尽量使 不含三角函数．

模拟考试系统进行相关知识现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和

点的测试。

知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

测评系统分数： 模拟考试系统分数：

如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#342630做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。

1．三角函数和、差公式的实质是用“单角”的三角函数表示“复角”的三角函数．

成果测评

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

网○校○重○要○资○源 ○

知识导学：两角和与差的正弦、余弦和正切公式（ID：#342630）

视听课堂：两角和差的三角函数（ID：#26919）、两角和与差的三角函数公式（一）（ID：#12337）、两角和与差的正弦、余弦、正切（ID：#12875）

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对本知识的学案导学的使用率：

□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） □ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右） □ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________

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