梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）在梯形内部平移一腰。
例1（如图1）已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。求证：
证明：过点D作DM//AB交BC于点M。
因为 AD//BC DM//AB 所以AB=DM
因为 BA=DC 所以 DM=DC
DMC=B B=C
DMC=C B=C
（2）梯形外平移一腰
例2 （如图2）在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延长DC交BE于F
求证:EF=FB
证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G
∴四边形ABGD是平行四边形 ∴AD=BG
∵□ACED中，AD∥CE AD=CE
∴CE∥BG且CE=BG ∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4 ∴⊿ECF≌⊿BGF ∴:EF=FB
(3)梯形内平移两腰
例3 （如图3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C
解：过E作EM∥AB,EN∥CD,分别交BC于M,N得□ABME ,□NCDE
∴AE=BM DE=CN, ∵AE=DE ∴BM=CN
又∵BF=CF ∴FM=FN ∵EF⊥BC ∴EM=EN ∴∠1=∠2
∵EM∥AB,EN∥CD, ∴∠1=∠B , ∠2=∠C
∴∠B=∠C
(4)延长两腰
例4（如图4）在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC。
求证：梯形ABCD是等腰梯形。
证明：延长BA,CD交于点E
∵∠B=∠C ∴BE=CE
∵AD∥BC ∴∠EAD=∠B ∠EDA=∠C
∵∠B=∠C ∴∠EAD=∠EDA
∴AB=CD
结论得证
（5）过梯形上底的两端点向下底作高
例5（如图5）在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面积。
解：过点D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.
根据等腰梯形的轴对称性可知，AE=BF.
∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB
∴四边形CDEF是矩形 ∴DC=EF
∴AE=
∴ DE= (AB-EF)= (AB-CD)=3 ==4
∴ =(2+8)x4=20
(6)平移对角线
例6求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。
已知：（如图6）在梯形ABCD中，AD∥BC,对角线AC=BD
求证：AB=DC
证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形。
∴AC=DE ∵DE=AC=DB ∴∠DBC=∠E ∠ACB=∠E
∴∠DBC=∠ACB
又∵BD=CA BC=CB
∴⊿ABC≌⊿DCB
∴AB=DC
（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
例7（如图7）在梯形ABCD中，AD∥BC, E、F分别为AB、CD的中点，
求证：
EF=(AD+BC)
证明：连接AF并延长交BC的延长线于点G.
先证⊿ADF≌⊿GCF 得 AD=CG DF=FC
易证
EF= BG=(AD+BC)
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
例8（如图8）在梯形ABCD中，AD∥BC, E为CD的中点，
求证：S
=
证明：过点E作MN∥AB交BC于N，交AD的延长线于M
易证⊿NCE≌⊿MDE,从而推出S
∵□ABNM和⊿ABE中，它们同底同高，
∴S
= S=2S =
∴
(9)作中位线
例9（如图9））在梯形ABCD中，AB∥CD,M为AD的中点，AB+CD=BC
求证：BM⊥CM
证明：过点M作MN∥AB交BC于点N
∵M为AD的中点，∴MN是梯形ABCD的中位线
∴MN=
（AB+CD） ∵AB+CD=BC
∴MN=BC
∴⊿BCM是直角三角形
∴BM⊥CM
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7 求∠B的度数
解：过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD为平行四边形
∴AD = EC， CD = AE
∵AB = CD = 4,
AD = 3, BC = 7
∴BE = AE = AB = 4
∴△ABE为等边三角形
∴∠B = 60o
从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形. 例：已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90o，BD = BC，BD交AC于O
求证：CO = CD 证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形
∴AE = DF ∵AB = AC，AE⊥BC，∠BAC = 90°，
∴AE = BE = CE = BC，∠ACB = 45°
∵BC = BD
∴AE = DF = BD
又∵DF⊥BC
∴∠DBC = 30°
∵BD = BC
∴∠BDC =∠BCD=(180°－∠DBC)= 75°
∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30o＋45o = 75°
∴∠BDC =∠DOC
∴CO = CD
从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC = 10，DE⊥BC于E
求DE的长.
解：过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形
∴AC = DF， AD = CF
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴AC = DB
∴BD = FD
∵DE⊥BC
∴BE = EF = BF
= (BC＋CF) = (BC＋AD)
= ×10 = 5
∵AC∥DF，BD⊥AC
∴BD⊥DF
∵BE = FE
∴DE = BE = EF = BF = 5
答：DE的长为5.
.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.
例：已知，如图，在四边形ABCD中，有AB = DC，∠B =∠C，AD＜BC 求证：四边形ABCD等腰梯形
证明：延长BA、CD，它们交于点E
∵∠B =∠C
∴EB = EC
又∵AB = DC
∴AE =DE
∴∠EAD =∠EDA
∵∠E＋∠EAD＋∠EDA = 180°
∠B＋∠C＋∠E = 180°
∴∠EAD =∠B
∴AD∥BC
∵AD≠BC，∠B =∠C
∴四边形ABCD等腰梯形
（此题还可以过一顶点作AB或CD的平行线；也可以过A、D作BC的垂线）
有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形. 例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F
求证：S梯形ABCD = EF•AB 证明：过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形
∵EF⊥AB
∴S□ABNM = AB•EF
∵AD∥BC
∴∠M =∠MNC
又∵DE = CE ∠1 =∠2
∴△CEN≌△DEM
∴S△CEN = S△DEM ∴S梯形ABCD = S五边形ABNED＋S△CEN = S五边形ABNED＋S△DEM = S梯形ABCD = EF•AB
有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形. 例：已知,如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC 求证：∠AEC = 3∠DAE 证明：连结BE并延长交AD的延长线于N
∵AD∥BC
∴∠3 =∠N
又∵∠1 =∠2 ED = EC ∴△DEN≌△CEB
∴BE = EN DN = BC
∵AB⊥AD ∴AE = EN = BE
∴∠N =∠DAE
∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE
∵DE = BC BC = DN
∴DE = DN
∴∠N =∠1
∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE
∴∠2 =∠DAE
∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE
即∠AEC = 3∠DAE
梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线. 例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC
求证：∠B =∠C
证明：过E作EM∥AB, EN∥CD,交BC于M、N，则得□ABME，□NCDE ∴AE = BM，AB∥= EM，DE = CN，CD = NE
∵AE = DE ∴BM = CN
又∵BF = CF
∴FM = FN
又∵EF⊥BC
∴EM = EN
∴∠1 =∠2
∵AB∥EM， CD∥
EN
∴∠1 =∠B ∠2 =∠C
∴∠B = ∠C
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）在梯形内部平移一腰。
例1（如图1）已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。求证：
证明：过点D作DM//AB交BC于点M。
因为 AD//BC DM//AB 所以AB=DM
因为 BA=DC 所以 DM=DC
DMC=B B=C
DMC=C B=C
（2）梯形外平移一腰
例2 （如图2）在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延长DC交BE于F
求证:EF=FB
证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G
∴四边形ABGD是平行四边形 ∴AD=BG
∵□ACED中，AD∥CE AD=CE
∴CE∥BG且CE=BG ∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4 ∴⊿ECF≌⊿BGF ∴:EF=FB
(3)梯形内平移两腰
例3 （如图3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C
解：过E作EM∥AB,EN∥CD,分别交BC于M,N得□ABME ,□NCDE
∴AE=BM DE=CN, ∵AE=DE ∴BM=CN
又∵BF=CF ∴FM=FN ∵EF⊥BC ∴EM=EN ∴∠1=∠2
∵EM∥AB,EN∥CD, ∴∠1=∠B , ∠2=∠C
∴∠B=∠C
(4)延长两腰
例4（如图4）在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC。
求证：梯形ABCD是等腰梯形。
证明：延长BA,CD交于点E
∵∠B=∠C ∴BE=CE
∵AD∥BC ∴∠EAD=∠B ∠EDA=∠C
∵∠B=∠C ∴∠EAD=∠EDA
∴AB=CD
结论得证
（5）过梯形上底的两端点向下底作高
例5（如图5）在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面积。
解：过点D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.
根据等腰梯形的轴对称性可知，AE=BF.
∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB
∴四边形CDEF是矩形 ∴DC=EF
∴AE=
∴ DE= (AB-EF)= (AB-CD)=3 ==4
∴ =(2+8)x4=20
(6)平移对角线
例6求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。
已知：（如图6）在梯形ABCD中，AD∥BC,对角线AC=BD
求证：AB=DC
证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形。
∴AC=DE ∵DE=AC=DB ∴∠DBC=∠E ∠ACB=∠E
∴∠DBC=∠ACB
又∵BD=CA BC=CB
∴⊿ABC≌⊿DCB
∴AB=DC
（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
例7（如图7）在梯形ABCD中，AD∥BC, E、F分别为AB、CD的中点，
求证：
EF=(AD+BC)
证明：连接AF并延长交BC的延长线于点G.
先证⊿ADF≌⊿GCF 得 AD=CG DF=FC
易证
EF= BG=(AD+BC)
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
例8（如图8）在梯形ABCD中，AD∥BC, E为CD的中点，
求证：S
=
证明：过点E作MN∥AB交BC于N，交AD的延长线于M
易证⊿NCE≌⊿MDE,从而推出S
∵□ABNM和⊿ABE中，它们同底同高，
∴S
= S=2S =
∴
(9)作中位线
例9（如图9））在梯形ABCD中，AB∥CD,M为AD的中点，AB+CD=BC
求证：BM⊥CM
证明：过点M作MN∥AB交BC于点N
∵M为AD的中点，∴MN是梯形ABCD的中位线
∴MN=
（AB+CD） ∵AB+CD=BC
∴MN=BC
∴⊿BCM是直角三角形
∴BM⊥CM
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7 求∠B的度数
解：过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD为平行四边形
∴AD = EC， CD = AE
∵AB = CD = 4,
AD = 3, BC = 7
∴BE = AE = AB = 4
∴△ABE为等边三角形
∴∠B = 60o
从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形. 例：已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90o，BD = BC，BD交AC于O
求证：CO = CD 证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形
∴AE = DF ∵AB = AC，AE⊥BC，∠BAC = 90°，
∴AE = BE = CE = BC，∠ACB = 45°
∵BC = BD
∴AE = DF = BD
又∵DF⊥BC
∴∠DBC = 30°
∵BD = BC
∴∠BDC =∠BCD=(180°－∠DBC)= 75°
∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30o＋45o = 75°
∴∠BDC =∠DOC
∴CO = CD
从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC = 10，DE⊥BC于E
求DE的长.
解：过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形
∴AC = DF， AD = CF
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴AC = DB
∴BD = FD
∵DE⊥BC
∴BE = EF = BF
= (BC＋CF) = (BC＋AD)
= ×10 = 5
∵AC∥DF，BD⊥AC
∴BD⊥DF
∵BE = FE
∴DE = BE = EF = BF = 5
答：DE的长为5.
.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.
例：已知，如图，在四边形ABCD中，有AB = DC，∠B =∠C，AD＜BC 求证：四边形ABCD等腰梯形
证明：延长BA、CD，它们交于点E
∵∠B =∠C
∴EB = EC
又∵AB = DC
∴AE =DE
∴∠EAD =∠EDA
∵∠E＋∠EAD＋∠EDA = 180°
∠B＋∠C＋∠E = 180°
∴∠EAD =∠B
∴AD∥BC
∵AD≠BC，∠B =∠C
∴四边形ABCD等腰梯形
（此题还可以过一顶点作AB或CD的平行线；也可以过A、D作BC的垂线）
有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形. 例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F
求证：S梯形ABCD = EF•AB 证明：过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形
∵EF⊥AB
∴S□ABNM = AB•EF
∵AD∥BC
∴∠M =∠MNC
又∵DE = CE ∠1 =∠2
∴△CEN≌△DEM
∴S△CEN = S△DEM ∴S梯形ABCD = S五边形ABNED＋S△CEN = S五边形ABNED＋S△DEM = S梯形ABCD = EF•AB
有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形. 例：已知,如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC 求证：∠AEC = 3∠DAE 证明：连结BE并延长交AD的延长线于N
∵AD∥BC
∴∠3 =∠N
又∵∠1 =∠2 ED = EC ∴△DEN≌△CEB
∴BE = EN DN = BC
∵AB⊥AD ∴AE = EN = BE
∴∠N =∠DAE
∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE
∵DE = BC BC = DN
∴DE = DN
∴∠N =∠1
∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE
∴∠2 =∠DAE
∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE
即∠AEC = 3∠DAE
梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线. 例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC
求证：∠B =∠C
证明：过E作EM∥AB, EN∥CD,交BC于M、N，则得□ABME，□NCDE ∴AE = BM，AB∥= EM，DE = CN，CD = NE
∵AE = DE ∴BM = CN
又∵BF = CF
∴FM = FN
又∵EF⊥BC
∴EM = EN
∴∠1 =∠2
∵AB∥EM， CD∥
EN
∴∠1 =∠B ∠2 =∠C
∴∠B = ∠C