带我们走进快乐的数学世界
第1讲 奇偶性（一）
在以前我们已经接触过奇数和偶数了。对于奇数和偶数已经源源流长，在实际生活中被广泛的应用。因此我们要学好本节本领了。
规律：
1、奇数±奇数 =偶数 偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
奇数*奇数=奇数 奇数*偶数=偶数
偶数*偶数=偶数
2、连续两个整数中必是一个奇数和一个偶数。
3、整数可以分成奇数和偶数两大类. 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
精典例题：
例1 1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？
分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数. 但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性. 此题可以有两种解法。
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解法1：∵1+2+3+…+1993
又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，
∴原式的和是奇数。
解法2：∵1993÷2=996…1，
∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。
∵996个偶数之和一定是偶数，
又∵奇数个奇数之和是奇数，
∴997个奇数之和是奇数。
因为，偶数+奇数=奇数，
所以原式之和一定是奇数。
例2、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
解法1：∵相邻两个奇数相差2，
∴150是这个要求数的2倍。
∴这个数是150÷2=75。
解法2：设这个数为x ，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a ≥1）. 则有
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（2a+1）x-（2a-1）x=150，
2ax+x-2ax+x=150，
2x=150，
x=75。
∴这个要求的数是75。
例3、有7个小碗全部朝上放在桌子上，每次翻转其中的2
个，能否经过若干次翻转，使7个小碗全部口朝下？ 分析与解：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。
例4、 有m （m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
分析与解：当m 是奇数时，（m-1）是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，
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杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m 只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。
当m 是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从m= 4的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下：
由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于m 只杯子，当m 是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m 次，并且依次保持第1，2，…，m 只杯子不动，这样在m
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次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。
综上所述：m 只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m 是奇数时，无论翻转多少次，m 只杯子不可能全部改变初始状态；当m 是偶数时，翻转m 次，可以使m 只杯子全部改变初始状态。
思维冲浪——我实践
时间： 辅导教师1、1×2+3×4+5×6+……+99×100的结果是奇数还是偶数？为什么？
2、（1）2X+3Y=100，其中X 、y 都是自然数，主是奇数还是偶数
（2）、8a+5b=43，其中a 、b 是自然数，b 是奇数还是偶数？
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3、任意取出10个连续的自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
4、有5张扑克牌，正面向上，小明每次翻转其中的4张。那么他能在翻动若干次后，使5张牌的正面都向下吗？
4、放学回家，把原来开着的开关连续按了7次，这时灯是否亮着？
5、房间有6盏灯全部关着，每盏灯都有一个开关，每次拨动其中的5个开关，要使6盏灯全部点亮，你能做到吗？如果能做到要拨动多少次？
第二讲 奇偶性（二）
例1用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？
分析与解：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。
这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。
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要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。 要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。
例2 一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，…，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？
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分析与解：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。
以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面
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排在奇数页码上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。
例3 有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？
分析与解：大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。
因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。
从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：
（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。
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（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。 综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。
例4 一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？
分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。
1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，…
这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：
奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……
容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。 1000÷3=333……1，这串数的前1000个数有333
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组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。
例5、25个小狗排成5×5的方阵，如果想让每一个小狗与相邻的另一个小狗交换位置能成功吗？
解法分析：
思维冲浪——我实践
1. 在11，111，1111，11111，…这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？
2. 一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，…，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一
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页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？
3. 桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？
4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？
5. 学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？
6. 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？
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7. 将888件礼品分给若干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？
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第1讲 奇偶性（一）
在以前我们已经接触过奇数和偶数了。对于奇数和偶数已经源源流长，在实际生活中被广泛的应用。因此我们要学好本节本领了。
规律：
1、奇数±奇数 =偶数 偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
奇数*奇数=奇数 奇数*偶数=偶数
偶数*偶数=偶数
2、连续两个整数中必是一个奇数和一个偶数。
3、整数可以分成奇数和偶数两大类. 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
精典例题：
例1 1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？
分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数. 但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性. 此题可以有两种解法。
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解法1：∵1+2+3+…+1993
又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，
∴原式的和是奇数。
解法2：∵1993÷2=996…1，
∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。
∵996个偶数之和一定是偶数，
又∵奇数个奇数之和是奇数，
∴997个奇数之和是奇数。
因为，偶数+奇数=奇数，
所以原式之和一定是奇数。
例2、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
解法1：∵相邻两个奇数相差2，
∴150是这个要求数的2倍。
∴这个数是150÷2=75。
解法2：设这个数为x ，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a ≥1）. 则有
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（2a+1）x-（2a-1）x=150，
2ax+x-2ax+x=150，
2x=150，
x=75。
∴这个要求的数是75。
例3、有7个小碗全部朝上放在桌子上，每次翻转其中的2
个，能否经过若干次翻转，使7个小碗全部口朝下？ 分析与解：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。
例4、 有m （m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
分析与解：当m 是奇数时，（m-1）是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，
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杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m 只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。
当m 是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从m= 4的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下：
由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于m 只杯子，当m 是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m 次，并且依次保持第1，2，…，m 只杯子不动，这样在m
带我们走进快乐的数学世界
次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。
综上所述：m 只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m 是奇数时，无论翻转多少次，m 只杯子不可能全部改变初始状态；当m 是偶数时，翻转m 次，可以使m 只杯子全部改变初始状态。
思维冲浪——我实践
时间： 辅导教师1、1×2+3×4+5×6+……+99×100的结果是奇数还是偶数？为什么？
2、（1）2X+3Y=100，其中X 、y 都是自然数，主是奇数还是偶数
（2）、8a+5b=43，其中a 、b 是自然数，b 是奇数还是偶数？
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3、任意取出10个连续的自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
4、有5张扑克牌，正面向上，小明每次翻转其中的4张。那么他能在翻动若干次后，使5张牌的正面都向下吗？
4、放学回家，把原来开着的开关连续按了7次，这时灯是否亮着？
5、房间有6盏灯全部关着，每盏灯都有一个开关，每次拨动其中的5个开关，要使6盏灯全部点亮，你能做到吗？如果能做到要拨动多少次？
第二讲 奇偶性（二）
例1用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？
分析与解：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。
这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。
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要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。 要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。
例2 一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，…，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？
带我们走进快乐的数学世界
分析与解：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。
以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面
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排在奇数页码上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。
例3 有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？
分析与解：大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。
因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。
从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：
（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。
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（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。 综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。
例4 一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？
分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。
1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，…
这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：
奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……
容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。 1000÷3=333……1，这串数的前1000个数有333
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组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。
例5、25个小狗排成5×5的方阵，如果想让每一个小狗与相邻的另一个小狗交换位置能成功吗？
解法分析：
思维冲浪——我实践
1. 在11，111，1111，11111，…这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？
2. 一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，…，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一
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页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？
3. 桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？
4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？
5. 学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？
6. 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？
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7. 将888件礼品分给若干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？