数学中的折纸问题
1 折出黄金分割比
众所周知的分线段为黄金分割比：
5-12
≈0. 618。这是个美妙的比例，实质上是“将
线段为不相等的两段，使长段为全线段和短线段的比例中项”。黄金分割比的作图并不难，但步骤较为复杂
［2］
F
D E
C B G A
。如果用折纸的办法，
我们就可以轻轻松松地将它展示出来。如图1所示，将AD 折叠到AB 上，D 为正方形纸片EF 的中点，则为边BF 的黄金分割点［3］。
简证如下：令∠DAG ＝θ，由折纸的对称性知∠BAC ＝而求得：tan
θ
2=
5-12
BC AB
=
5-12
。也即C
图1
12
θ，又tan θ=
DG AG
=2，从
，即
BC AB
=
5-12
。
2 折出30°和60°角
对于我们当中经常折纸的人, 折出90°和45°角几乎是一种本能, 而折出30°和60°角，其中包含的数学内容就稍微难理解些。折
（1）
（2）
图2
（3）
出30°和60°角的方法主要是基于直角三角形的一个性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半
［4］
。
图2所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法。将左上角顶点折叠到右边长一条
14
（1）
（2）
图3
（3）
折痕上，可以在纸片
上边的中点产生三个相等的60°角。
如果我们再将右上角也折叠过来，使两个角的顶点重合，那么，此时右边的60°角就分成了两个30°角。如图3，当然，我们也可以直接将右上角顶点折叠到
1
图4
右边第一条
14
折痕上形成30°角。
其实，我们还可以像图4这样以正方形绝版的角或中心为顶点，折出60°或30°角。 注：将图3（2）一般化可以揭示一条重要性质：邻补角的平分线互相垂直，这就是2003年黑龙江省一道中考题［5］。
上面几种折法的几何证明就留给读者吧！ 3 将长方形纸片的成三等份
大多数人（包括笔者本人）将长方形纸片折成三等份的惯用方法是：先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的
13
；然后，将对边也折起来，根据三份是否重合来进行调整。当
然，这种折法里头蕴涵了朴素的极限思想；反复折叠中，一次比一次地趋近三等份。
另外一种完全不同的折法是：如图5，先将整张纸片沿对角线折叠；最后，过两条对角线的交点
X
D
E
F
X 折叠纸片，使CG 重叠在AG 上，则GC 为AC 的
13
。
A
B
图5
G C
充分利用相似三角形的性质是这种折法的核心，我们可以很容易证明它，此处不再赘述。
诚如文［1］所说：“观察、比较和分析折纸中的数学现象，有利于提高学生的感性认识和空间想像力”。的确，一张小小的纸片有时也能产生很大的教学价值，这不能不让人称奇。本文所列举的只是其中的“冰山一角”。让我们大家一起来充分发掘它，好好地利用它，让它大放异彩吧！
2
数学中的折纸问题
1 折出黄金分割比
众所周知的分线段为黄金分割比：
5-12
≈0. 618。这是个美妙的比例，实质上是“将
线段为不相等的两段，使长段为全线段和短线段的比例中项”。黄金分割比的作图并不难，但步骤较为复杂
［2］
F
D E
C B G A
。如果用折纸的办法，
我们就可以轻轻松松地将它展示出来。如图1所示，将AD 折叠到AB 上，D 为正方形纸片EF 的中点，则为边BF 的黄金分割点［3］。
简证如下：令∠DAG ＝θ，由折纸的对称性知∠BAC ＝而求得：tan
θ
2=
5-12
BC AB
=
5-12
。也即C
图1
12
θ，又tan θ=
DG AG
=2，从
，即
BC AB
=
5-12
。
2 折出30°和60°角
对于我们当中经常折纸的人, 折出90°和45°角几乎是一种本能, 而折出30°和60°角，其中包含的数学内容就稍微难理解些。折
（1）
（2）
图2
（3）
出30°和60°角的方法主要是基于直角三角形的一个性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半
［4］
。
图2所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法。将左上角顶点折叠到右边长一条
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（1）
（2）
图3
（3）
折痕上，可以在纸片
上边的中点产生三个相等的60°角。
如果我们再将右上角也折叠过来，使两个角的顶点重合，那么，此时右边的60°角就分成了两个30°角。如图3，当然，我们也可以直接将右上角顶点折叠到
1
图4
右边第一条
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折痕上形成30°角。
其实，我们还可以像图4这样以正方形绝版的角或中心为顶点，折出60°或30°角。 注：将图3（2）一般化可以揭示一条重要性质：邻补角的平分线互相垂直，这就是2003年黑龙江省一道中考题［5］。
上面几种折法的几何证明就留给读者吧！ 3 将长方形纸片的成三等份
大多数人（包括笔者本人）将长方形纸片折成三等份的惯用方法是：先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的
13
；然后，将对边也折起来，根据三份是否重合来进行调整。当
然，这种折法里头蕴涵了朴素的极限思想；反复折叠中，一次比一次地趋近三等份。
另外一种完全不同的折法是：如图5，先将整张纸片沿对角线折叠；最后，过两条对角线的交点
X
D
E
F
X 折叠纸片，使CG 重叠在AG 上，则GC 为AC 的
13
。
A
B
图5
G C
充分利用相似三角形的性质是这种折法的核心，我们可以很容易证明它，此处不再赘述。
诚如文［1］所说：“观察、比较和分析折纸中的数学现象，有利于提高学生的感性认识和空间想像力”。的确，一张小小的纸片有时也能产生很大的教学价值，这不能不让人称奇。本文所列举的只是其中的“冰山一角”。让我们大家一起来充分发掘它，好好地利用它，让它大放异彩吧！
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