二次函数与几何综合
授课时间：预计预计5月12日—15日
教学目标： 1、会做二次函数与三角形的综合题
2、会做二次函数与四边形的综合题
3、会做二次函数与圆的综合题
教学重难点：二次函数与几何体结合的应用题 教学过程：
1．（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式；
(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．
2． (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -
m -125m
x +x +m 2-3m +2
44
与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n ) 在这条抛物线上。
(1) 求点B 的坐标；
(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动)
当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求
OP 的长；
若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动) 。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动) 。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分
别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。
3．
4．（10贵州遵义）如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的顶点坐
标为Q (2, -1)，且与y 轴交于点C (0, 3)，与x 轴交于A 、B 两
点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴， 交AC 于点D ．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x
轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
5．（10湖北黄冈）已知抛物线y =ax +bx +c (a ≠0) 顶点为C （1，1）且过原点O. 过抛物线上一点P （x ，
y ）向直线y =
5
作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. 4
34
(1）求字母a ，b ，c 的值；
(2）在直线x ＝1上有一点F (1,) ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM
为正三角形；
6．（10辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．
(1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； (2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
(3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值? 若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
(4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并．．
指出相等的邻边；若不存在，说明理由．．
y
A F
O M
D
E C
N (－6，－4)
7．已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点． (1）求这个函数关系式； (2）如图所示，设二次函数y =ax 2+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以．．线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；
(3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y =ax 2+x +1
上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．
8．（10重庆潼南）如图, 已知抛物线y =
12
x +bx +c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐2
标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；
(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点
D 的坐标；
(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说
明理由.
9． (10山东临沂）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-
1
，0) 、 2
B (2，0) 两点，且与y 轴交于点C ；
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四
点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点
为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P
10．（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点A (-10，)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3). 以
AB 为直径作⊙M ，过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，并与⊙M 的切线AE 相交于点
E ，连结DM 并延长交⊙M 于点N ，连结AN 、AD .
(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD
的面积为求直线PD 的函数关系式；
(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于△DAN 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
11．(10山东省淄博) 已知直角坐标系中有一点A （－4，3），点B 在x 轴上，△AOB 是等腰三角形．
(1）求满足条件的所有点B 的坐标；
(2）求过O 、A 、B 三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；
(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P ，使得以O ，A ，B ，P 四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P 的坐标及相应梯形的面积．
12． (10广西河池）
如图，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠OAB =90，点O 为坐标原点，点A 在上，对角线OB ，AC 相交于点M ，OA =AB =4，OA =2CB ． (1）线段OB 的长为 ，点C 的坐标为 ； x 轴的正半轴
(2）求△OCM 的面积；
(3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式； (4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F 为该 抛物线上的点，且以A ，O ，F ，
E 为平行四边形，求点F 的坐标．
教学反思：
二次函数与几何综合
授课时间：预计预计5月12日—15日
教学目标： 1、会做二次函数与三角形的综合题
2、会做二次函数与四边形的综合题
3、会做二次函数与圆的综合题
教学重难点：二次函数与几何体结合的应用题 教学过程：
1．（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式；
(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．
2． (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -
m -125m
x +x +m 2-3m +2
44
与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n ) 在这条抛物线上。
(1) 求点B 的坐标；
(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动)
当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求
OP 的长；
若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动) 。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动) 。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分
别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。
3．
4．（10贵州遵义）如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的顶点坐
标为Q (2, -1)，且与y 轴交于点C (0, 3)，与x 轴交于A 、B 两
点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴， 交AC 于点D ．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x
轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
5．（10湖北黄冈）已知抛物线y =ax +bx +c (a ≠0) 顶点为C （1，1）且过原点O. 过抛物线上一点P （x ，
y ）向直线y =
5
作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. 4
34
(1）求字母a ，b ，c 的值；
(2）在直线x ＝1上有一点F (1,) ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM
为正三角形；
6．（10辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．
(1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； (2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
(3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值? 若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
(4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并．．
指出相等的邻边；若不存在，说明理由．．
y
A F
O M
D
E C
N (－6，－4)
7．已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点． (1）求这个函数关系式； (2）如图所示，设二次函数y =ax 2+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以．．线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；
(3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y =ax 2+x +1
上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．
8．（10重庆潼南）如图, 已知抛物线y =
12
x +bx +c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐2
标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；
(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点
D 的坐标；
(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说
明理由.
9． (10山东临沂）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-
1
，0) 、 2
B (2，0) 两点，且与y 轴交于点C ；
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四
点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点
为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P
10．（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点A (-10，)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3). 以
AB 为直径作⊙M ，过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，并与⊙M 的切线AE 相交于点
E ，连结DM 并延长交⊙M 于点N ，连结AN 、AD .
(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD
的面积为求直线PD 的函数关系式；
(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于△DAN 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
11．(10山东省淄博) 已知直角坐标系中有一点A （－4，3），点B 在x 轴上，△AOB 是等腰三角形．
(1）求满足条件的所有点B 的坐标；
(2）求过O 、A 、B 三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；
(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P ，使得以O ，A ，B ，P 四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P 的坐标及相应梯形的面积．
12． (10广西河池）
如图，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠OAB =90，点O 为坐标原点，点A 在上，对角线OB ，AC 相交于点M ，OA =AB =4，OA =2CB ． (1）线段OB 的长为 ，点C 的坐标为 ； x 轴的正半轴
(2）求△OCM 的面积；
(3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式； (4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F 为该 抛物线上的点，且以A ，O ，F ，
E 为平行四边形，求点F 的坐标．
教学反思：