高二数学必修5知识点
1、正弦定理的变形公式：
①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ；（R 是三角形外接圆半径） ②sin A=
a 2R
，sin B=
b 2R
，sin C =
c 2R
；
③a :b :c =sin A:sin B:sin C ； ④
a +b +c sin A+sin B+sin C
=
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
．
2、余弦定理：
在∆ABC 中，有a 2=b 2+c 2-2bc cos A，b 2=a 2+c 2-2ac cos B，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ． 3、余弦定理的推论：cos A=
b +c -a
2bc
2
2
2
，cos B=
a +c -b
2ac
222
，cos C =
a +b -c
2ab
222
．
4、若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则a n =a 1+(n -1)d ．
5、通项公式的变形：①a n =a m +(n -m )d ； ②d =
a n -a m n -m
．
21、若{a n }是等差数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N*），则a m +a n =a p +a q ；
若{a n }是等差数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N*），则2a n =a p +a q ． 22、等差数列的前n 项和的公式：①S n =23、等差数列的前n 项和的性质：
①若项数为2n (n ∈N*)，则S 2n =n (a n +a n +1)，且S 偶-S 奇=nd ，
S 奇S 偶
=a n a n +1=
n n -1
n (a 1+a n )
2
； ②S n =na 1+
n (n -1)2
d ．
．
②若项数为2n -1(n ∈N)，则S 2n -1=(2n -1)a n ，且S 奇-S 偶=a n ，
*
S 奇S 偶
（其中S 奇=na n ，S 偶=(n -1)a n ）．
26、若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，则a n =a 1q n -1． 27、通项公式的变形：①a n =a m q n -m ；②q n -m =
a n a m
．
28、若{a n }是等比数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N*），则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；
若{a n }是等比数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N*），则a n 2=a p ⋅a q ．
⎧na 1(q =1)⎪
29、等比数列{a n }的前n 项和的公式：S n =⎨a 1(1-q n )a -a q ．
1n =(q ≠1)⎪
1-q 1-q ⎩
30、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为2n (n ∈N*)，则
S 偶S 奇
=q
． ②S n +m =S n +q n ⋅S m ．
③S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列．
32、不等式的性质：⑦a >b >0⇒a n >b n (n ∈N, n >1)
⑧a >b >0⇒
>
n ∈N, n >1)．
38、在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P(x 0, y 0)． ①若B>0，Ax 0+By 0+C >0，则点P(x 0, y 0)在直线Ax +By +C =0的上方． ②若B>0，Ax 0+By 0+C
①若B>0，则Ax +By +C >0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；Ax +By +C
Ax +By +C =0下方的区域．
41、设a 、b 是两个正数，则平均数．
42、基本不等式：
a +b 2
称为正数a 、b
称为正数a 、b 的几何
若a >0，b >
0，则a +b ≥
，即
2
2
a +b 2
≥，当且仅当a =b 时等号成立。
2
⎛a +b ⎫
43、常用的基本不等式：①a +b ≥2ab (a , b ∈R )；②ab ≤ ⎪
⎝2⎭
(a >0, b >0)；
2
③ab ≤
a +b 2
22
(a , b ∈R )；④
a +b 2
22
⎛a +b ⎫≥ ⎪⎝2⎭
(a , b ∈R )．
44、极值定理：设x 、y 都为正数，则有
⑴若x +y =s （和为定值），则当x =y 时，积xy 取得最大值
s 4
2
．
⑵若xy =p （积为定值），则当x =y 时，和x +
y 取得最小值．
高二数学选修1－1知识点
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝p ，则⌝q ”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝q ，则⌝p ”. 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 真 真 真 假 假 真 假 假
四种命题的真假性之间的关系：
否命题 真 假 真 假 逆否命题
真 真 假 假
（如原命题和逆否命题、逆命题和否命题均(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
同真假） (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∧q ．
当p 、q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；
当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题．
用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∨q ．
当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作⌝p ．
若p 是真命题，则⌝p 必是假命题；若p 是假命题，则⌝p 必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M中任意一个x ，有p (x )成立”，记作“∀x ∈M，p (x )”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M中的一个x ，使p (x )成立”，记作“∃x ∈M，p (x )”．
10、全称命题p ：∀x ∈M，p (x )，它的否定⌝p ：∃x ∈M，⌝p (x )．全称命题的否定是特称命题．
11、平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数（大于F 1F 2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 范围
x a
22
y a
22
+
y b
22
=1(a >b >0)
+
x b
22
=1(a >b >0)
-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b
-b ≤x ≤b
且-a ≤y ≤a
A1(-a , 0)、A2(a , 0) A1(0, -a )、A2(0, a ) B1(-b , 0)、B2(b , 0)
顶点
B1(0, -b )、B2(0, b )
轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
短轴的长=2b 长轴的长=2a
F 1(-c , 0)、F 2(c , 0)
2
2
F 1(0, -c )、F 2(0, c )
2
F 1F 2=2c (c =a -b )
关于x 轴、y 轴、原点对称
c a
e ==0
a
2
准线方程
x =±
a
2
c
y =±
c
13*、设M是椭圆上任一点，点M到F 1对应准线的距离为d 1，点M到F 2对应准线的距离为d 2，则
MF 1d 1
=MF 2d 2
=e ．
14、平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F 1F 2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
15、双曲线的几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
a
2
y a
22
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >0)
-
x b
22
=1(a >0, b >0)
x ≤-a
或x ≥a ，y ∈R y ≤-a 或y ≥a ，x ∈R
A1(-a , 0)、A2(a , 0) A1(0, -a )、A2(0, a )
虚轴的长=2b 实轴的长=2a
F 1(-c , 0)、F 2(c , 0)
2
2
F 1(0, -c )、F 2(0, c )
2
F 1F 2=2c (c =a +b )
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
e =
c a =
e >1)
a
2
准线方程 渐近线方程
x =±
c
b a x
y =±
c
a b x
y =±y =±
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 17、设M是双曲线上任一点，点M到F 1对应准线的距离为d 1，点M到F 2对应准线的距离为d 2，则
MF 1d 1
=
MF 2d 2
=e ．
18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．
19、抛物线的几何性质：
y
2
=2px
y
2
=-2px p >0)
x
2
=2py p >0)
x
2
=-2py p >0)
标准方程
(
图形
p >0) ( ( (
顶点
(0, 0)
轴
p ⎫⎛
F 0, -⎪
2⎭⎝
对称轴
⎛p ⎫
F , 0⎪⎝2⎭
x
轴
p ⎛⎫
F -, 0⎪
2⎝⎭
p ⎫⎛
F 0, ⎪
2⎭⎝
y
焦点
准线方程
x =-
p 2
x =
p 2
y =-
p 2
y =
p 2
离心率 e =1
范围
x ≥0
x ≤0
y ≥0
y ≤0
20*、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，即AB=2p ． 21*、焦半径公式：
若点P(x 0, y 0)在抛物线y 2=2px (p >0)上，焦点为F ，则PF =x 0+
p 2
；
p 2
若点P(x 0, y 0)在抛物线y 2=-2px (p >0)上，焦点为F ，则PF =-x 0+若点P(x 0, y 0)在抛物线x 2=2py (p >0)上，焦点为F ，则PF =y 0+
p 2
；
；
p 2
若点P(x 0, y 0)在抛物线x 2=-2py (p >0)上，焦点为F ，则PF =-y 0+22、若某个问题中的函数关系用f (x )表示，问题中的变化率用式子
f
．
(x 2)-f (x 1)
x 2-x 1
=
∆f ∆x
表示，则式子
f
(x 2)-f (x 1)
x 2-x 1
称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．
f
23、函数f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是lim
∆x →0
(x 2)-f (x 1)
x 2-x 1
=lim
∆f ∆x
∆x →0
，则称它为函数y =f (x )
在x =x 0处的导数，记作f '(x 0)或y 'x =x ，即：f '(x 0)=lim
f (x 0+∆x )-f (x 0)
∆x
．
∆x →0
24、函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y =f (x )在点P(x 0, f (x 0))处的切线的斜率．曲线y =f ()x 在点P(x 0, f (x 0))处的切线的斜率是f '(x 0)，切线的方程为
y -f (0x )='(f
x =x 0．
)x (x 0处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为-x )0．若函数在x
25、若当x 变化时，f '(x )是x 的函数，则称它为f (x )的导函数（导数），记作f '(x )或y '，即f '(x )=y '=lim
f (x +∆x )-f (x )
∆x
．
∆x →0
26、基本初等函数的导数公式：
(1)若f (x )=c ，则
n -1
f '(x )=0； (2)若f (x )=x n (x ∈Q *)，则f '(x )=nx ；
(3)若f (x )=sin x ，则(5)若f (x )=a x ，则
f '(x )=cos x ； (4)若f (x )=cos x ，则f '(x )=-sin x ；
x x x
f '(x )=a ln a ； (6)若f (x )=e ，则f '(x )=e ；
(7)若f (x )=log a x ，则f '(x )=
27、导数运算法则：
'(1) ⎡⎣f (x )±g (x )⎤⎦
1x ln a
； (8)若f (x )=ln x ，则f '(x )=
1x
．
'=f '(x )±g '(x )； (2) ⎡⎣f (x )⋅g (x )⎤⎦=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )
'
⎡f (x )⎤f '(x )g (x )-f (x )g '(x )
(g (x )≠0)． (3)⎢⎥=2
g x ⎡⎣()⎦⎣g (x )⎤⎦
28*、对于两个函数y =f (u )和u =g (x )，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数y =f (u )和u =f (x )的复合函数，记作y =f (g (x ))．
复合函数y =f (g (x ))的导数与函数y =f (u )，u =g (x )的导数间的关系是
'⋅u 'y '=y u
x x ． 如：f (x ) =e
2x
，f '(x ) =2e 2x 。
29、在某个区间(a , b )内，若f '(x )>0，则函数y =f (x )在这个区间内单调递增；
若f '(x )
反之，在某个区间(a , b )内，若函数y =f (x )在这个区间内单调递增，则f '(x )≥0；
若函数y =f (x )在这个区间内单调递减，则f '(x )≤0．
30、函数在点a 的函数值f (a )比在点a “附近”其他点的函数值都大，则称a 为函数y =f (x )的极大值点，f (a )称为函数y =f (x )的极大值； f (a )比在点a 附近其他点的函数值都小，则称a 为函数y =f (x )的极小值点，f (a )称为函数y =f (x )的极小值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
31、求函数y =f (x )的极值的方法是：解方程f '(x )=0．当f '(x 0)=0时：
(1)如果在x 0附近的左侧f '(x )>0，右侧f '(x )0，那么f (x 0)是极小值．
(2)如果在x 0附近的左侧
32、求函数y =f (x )在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤是：
(1)求函数y =f (x )在(a , b )内的极值；
(2)将函数y =f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
高二数学必修5知识点
1、正弦定理的变形公式：
①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ；（R 是三角形外接圆半径） ②sin A=
a 2R
，sin B=
b 2R
，sin C =
c 2R
；
③a :b :c =sin A:sin B:sin C ； ④
a +b +c sin A+sin B+sin C
=
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
．
2、余弦定理：
在∆ABC 中，有a 2=b 2+c 2-2bc cos A，b 2=a 2+c 2-2ac cos B，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ． 3、余弦定理的推论：cos A=
b +c -a
2bc
2
2
2
，cos B=
a +c -b
2ac
222
，cos C =
a +b -c
2ab
222
．
4、若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则a n =a 1+(n -1)d ．
5、通项公式的变形：①a n =a m +(n -m )d ； ②d =
a n -a m n -m
．
21、若{a n }是等差数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N*），则a m +a n =a p +a q ；
若{a n }是等差数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N*），则2a n =a p +a q ． 22、等差数列的前n 项和的公式：①S n =23、等差数列的前n 项和的性质：
①若项数为2n (n ∈N*)，则S 2n =n (a n +a n +1)，且S 偶-S 奇=nd ，
S 奇S 偶
=a n a n +1=
n n -1
n (a 1+a n )
2
； ②S n =na 1+
n (n -1)2
d ．
．
②若项数为2n -1(n ∈N)，则S 2n -1=(2n -1)a n ，且S 奇-S 偶=a n ，
*
S 奇S 偶
（其中S 奇=na n ，S 偶=(n -1)a n ）．
26、若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，则a n =a 1q n -1． 27、通项公式的变形：①a n =a m q n -m ；②q n -m =
a n a m
．
28、若{a n }是等比数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N*），则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；
若{a n }是等比数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N*），则a n 2=a p ⋅a q ．
⎧na 1(q =1)⎪
29、等比数列{a n }的前n 项和的公式：S n =⎨a 1(1-q n )a -a q ．
1n =(q ≠1)⎪
1-q 1-q ⎩
30、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为2n (n ∈N*)，则
S 偶S 奇
=q
． ②S n +m =S n +q n ⋅S m ．
③S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列．
32、不等式的性质：⑦a >b >0⇒a n >b n (n ∈N, n >1)
⑧a >b >0⇒
>
n ∈N, n >1)．
38、在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P(x 0, y 0)． ①若B>0，Ax 0+By 0+C >0，则点P(x 0, y 0)在直线Ax +By +C =0的上方． ②若B>0，Ax 0+By 0+C
①若B>0，则Ax +By +C >0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；Ax +By +C
Ax +By +C =0下方的区域．
41、设a 、b 是两个正数，则平均数．
42、基本不等式：
a +b 2
称为正数a 、b
称为正数a 、b 的几何
若a >0，b >
0，则a +b ≥
，即
2
2
a +b 2
≥，当且仅当a =b 时等号成立。
2
⎛a +b ⎫
43、常用的基本不等式：①a +b ≥2ab (a , b ∈R )；②ab ≤ ⎪
⎝2⎭
(a >0, b >0)；
2
③ab ≤
a +b 2
22
(a , b ∈R )；④
a +b 2
22
⎛a +b ⎫≥ ⎪⎝2⎭
(a , b ∈R )．
44、极值定理：设x 、y 都为正数，则有
⑴若x +y =s （和为定值），则当x =y 时，积xy 取得最大值
s 4
2
．
⑵若xy =p （积为定值），则当x =y 时，和x +
y 取得最小值．
高二数学选修1－1知识点
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝p ，则⌝q ”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝q ，则⌝p ”. 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 真 真 真 假 假 真 假 假
四种命题的真假性之间的关系：
否命题 真 假 真 假 逆否命题
真 真 假 假
（如原命题和逆否命题、逆命题和否命题均(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
同真假） (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∧q ．
当p 、q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；
当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题．
用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∨q ．
当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作⌝p ．
若p 是真命题，则⌝p 必是假命题；若p 是假命题，则⌝p 必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M中任意一个x ，有p (x )成立”，记作“∀x ∈M，p (x )”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M中的一个x ，使p (x )成立”，记作“∃x ∈M，p (x )”．
10、全称命题p ：∀x ∈M，p (x )，它的否定⌝p ：∃x ∈M，⌝p (x )．全称命题的否定是特称命题．
11、平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数（大于F 1F 2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 范围
x a
22
y a
22
+
y b
22
=1(a >b >0)
+
x b
22
=1(a >b >0)
-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b
-b ≤x ≤b
且-a ≤y ≤a
A1(-a , 0)、A2(a , 0) A1(0, -a )、A2(0, a ) B1(-b , 0)、B2(b , 0)
顶点
B1(0, -b )、B2(0, b )
轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
短轴的长=2b 长轴的长=2a
F 1(-c , 0)、F 2(c , 0)
2
2
F 1(0, -c )、F 2(0, c )
2
F 1F 2=2c (c =a -b )
关于x 轴、y 轴、原点对称
c a
e ==0
a
2
准线方程
x =±
a
2
c
y =±
c
13*、设M是椭圆上任一点，点M到F 1对应准线的距离为d 1，点M到F 2对应准线的距离为d 2，则
MF 1d 1
=MF 2d 2
=e ．
14、平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F 1F 2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
15、双曲线的几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
a
2
y a
22
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >0)
-
x b
22
=1(a >0, b >0)
x ≤-a
或x ≥a ，y ∈R y ≤-a 或y ≥a ，x ∈R
A1(-a , 0)、A2(a , 0) A1(0, -a )、A2(0, a )
虚轴的长=2b 实轴的长=2a
F 1(-c , 0)、F 2(c , 0)
2
2
F 1(0, -c )、F 2(0, c )
2
F 1F 2=2c (c =a +b )
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
e =
c a =
e >1)
a
2
准线方程 渐近线方程
x =±
c
b a x
y =±
c
a b x
y =±y =±
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 17、设M是双曲线上任一点，点M到F 1对应准线的距离为d 1，点M到F 2对应准线的距离为d 2，则
MF 1d 1
=
MF 2d 2
=e ．
18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．
19、抛物线的几何性质：
y
2
=2px
y
2
=-2px p >0)
x
2
=2py p >0)
x
2
=-2py p >0)
标准方程
(
图形
p >0) ( ( (
顶点
(0, 0)
轴
p ⎫⎛
F 0, -⎪
2⎭⎝
对称轴
⎛p ⎫
F , 0⎪⎝2⎭
x
轴
p ⎛⎫
F -, 0⎪
2⎝⎭
p ⎫⎛
F 0, ⎪
2⎭⎝
y
焦点
准线方程
x =-
p 2
x =
p 2
y =-
p 2
y =
p 2
离心率 e =1
范围
x ≥0
x ≤0
y ≥0
y ≤0
20*、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，即AB=2p ． 21*、焦半径公式：
若点P(x 0, y 0)在抛物线y 2=2px (p >0)上，焦点为F ，则PF =x 0+
p 2
；
p 2
若点P(x 0, y 0)在抛物线y 2=-2px (p >0)上，焦点为F ，则PF =-x 0+若点P(x 0, y 0)在抛物线x 2=2py (p >0)上，焦点为F ，则PF =y 0+
p 2
；
；
p 2
若点P(x 0, y 0)在抛物线x 2=-2py (p >0)上，焦点为F ，则PF =-y 0+22、若某个问题中的函数关系用f (x )表示，问题中的变化率用式子
f
．
(x 2)-f (x 1)
x 2-x 1
=
∆f ∆x
表示，则式子
f
(x 2)-f (x 1)
x 2-x 1
称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．
f
23、函数f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是lim
∆x →0
(x 2)-f (x 1)
x 2-x 1
=lim
∆f ∆x
∆x →0
，则称它为函数y =f (x )
在x =x 0处的导数，记作f '(x 0)或y 'x =x ，即：f '(x 0)=lim
f (x 0+∆x )-f (x 0)
∆x
．
∆x →0
24、函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y =f (x )在点P(x 0, f (x 0))处的切线的斜率．曲线y =f ()x 在点P(x 0, f (x 0))处的切线的斜率是f '(x 0)，切线的方程为
y -f (0x )='(f
x =x 0．
)x (x 0处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为-x )0．若函数在x
25、若当x 变化时，f '(x )是x 的函数，则称它为f (x )的导函数（导数），记作f '(x )或y '，即f '(x )=y '=lim
f (x +∆x )-f (x )
∆x
．
∆x →0
26、基本初等函数的导数公式：
(1)若f (x )=c ，则
n -1
f '(x )=0； (2)若f (x )=x n (x ∈Q *)，则f '(x )=nx ；
(3)若f (x )=sin x ，则(5)若f (x )=a x ，则
f '(x )=cos x ； (4)若f (x )=cos x ，则f '(x )=-sin x ；
x x x
f '(x )=a ln a ； (6)若f (x )=e ，则f '(x )=e ；
(7)若f (x )=log a x ，则f '(x )=
27、导数运算法则：
'(1) ⎡⎣f (x )±g (x )⎤⎦
1x ln a
； (8)若f (x )=ln x ，则f '(x )=
1x
．
'=f '(x )±g '(x )； (2) ⎡⎣f (x )⋅g (x )⎤⎦=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )
'
⎡f (x )⎤f '(x )g (x )-f (x )g '(x )
(g (x )≠0)． (3)⎢⎥=2
g x ⎡⎣()⎦⎣g (x )⎤⎦
28*、对于两个函数y =f (u )和u =g (x )，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数y =f (u )和u =f (x )的复合函数，记作y =f (g (x ))．
复合函数y =f (g (x ))的导数与函数y =f (u )，u =g (x )的导数间的关系是
'⋅u 'y '=y u
x x ． 如：f (x ) =e
2x
，f '(x ) =2e 2x 。
29、在某个区间(a , b )内，若f '(x )>0，则函数y =f (x )在这个区间内单调递增；
若f '(x )
反之，在某个区间(a , b )内，若函数y =f (x )在这个区间内单调递增，则f '(x )≥0；
若函数y =f (x )在这个区间内单调递减，则f '(x )≤0．
30、函数在点a 的函数值f (a )比在点a “附近”其他点的函数值都大，则称a 为函数y =f (x )的极大值点，f (a )称为函数y =f (x )的极大值； f (a )比在点a 附近其他点的函数值都小，则称a 为函数y =f (x )的极小值点，f (a )称为函数y =f (x )的极小值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
31、求函数y =f (x )的极值的方法是：解方程f '(x )=0．当f '(x 0)=0时：
(1)如果在x 0附近的左侧f '(x )>0，右侧f '(x )0，那么f (x 0)是极小值．
(2)如果在x 0附近的左侧
32、求函数y =f (x )在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤是：
(1)求函数y =f (x )在(a , b )内的极值；
(2)将函数y =f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．