微分中值定理及其应用

本科生毕业论文（设计）

系（院）数学与信息科学学院 专 业数学与应用数学

论文题目

学生姓名贾孙鹏

指导教师 黄宽娜（副教授）

班级11级数应1班

学号 11290056

完成日期：2015年4月

微分中值定理及其应用

贾孙鹏

数学与信息科学学院 数学与应用数学 11290056

【摘要】 微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。

【关键词】微分中值定理 应用 辅助函数

1引言

微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（ Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。

2柯西与微分中值定理

2.1柯西的证明

首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存 在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将g(x)的导数定义为

g(xh)g(h)

当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在

h

错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于：

定理： 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，f(x)在[a,b]上有最小和最大值C,B则会有下面的

f(b)f(a)CB

ba

以下是柯西对上式的证明

分析: 当时在证明的时候Cauchy用和表示很小的数。把区间a,b划分为:

ax0x1x2.....xnb

（i表示相邻区间长度且i）

f(x)

f(xi)f(x)

f(x)

i

对于划分的小区间我们有

Cf(x0)

f(x1)f(x0)

f(x0)B

x1x0f(x2)f(x1)

f(x1)B

x2x1f(B)f(xn1)

f(xn1)B

Bxn1

Cf(x1)

Cf(xn1)

整理得

C

f(x1)f(x0)f(x2)f(x1)...f(B)f(xn1)

B

x1x0x2x1...Bxn1

C

f(b)f(a)

B

ba

就可以有这样如果g(x)和它的导函数[a,b]在上连续，则

f[x0(x0(ba)]

f(x)f(a)

（01）

ba

2.2柯西证明分析

[柯西在做此证明的时候，假设了f(x)具有连续性，这样就保证了导函数具有介值性。但是当时他没有认识到此时的f(x)

已经具有了连续性]。华东师范第

三版《数学分析》教材中给出的达布定理就说明了导函数的连续性质。而且柯西的这种证明方法对于一些函数并不实用，比如说具有有限个间断点的函数（这类函数也是连续的），说明柯西对连续和一致连续在开始阶段还不太明白所以认识存在缺

陷，到1840它才区分开来。公式中x0(ba)逐渐的用来代替了，这样看来这个量就不太明确，这样就证明了微分中值定理。这里我介绍这种方式主要是因为再后来科学家都用这种方式来证明微分中值定理，原因是这种方式很严格。随着认识的深入，到后来微分中值定理证明到后来就基本成熟了。由上面的例子也可以看出一个概念思想的产生，被接受是困难的。这就需要我们深入的去探究。

3 微分中值定理

3.1 微分中值定理不同形式。

我这里简单的描述几种不同的中值定理。

罗尔中值定理：函数f在闭区间[a,b]连续，在其开区间可导，并在a,b的值相等 ，

则在(a,b)内至少有一点使得

）f（=0。

拉格朗日定理：若函数f在闭区间[a,b]连续，在其开区间可导，则在可其区间至少

有一点使的得

f()

f(b)（fa)

ba

柯西中值定理：函数f和g在[a,b]上连续，在其开区间可导。函数g在其开区间内有

g(x)0则

f()f(）bf(a)



g()g(b)g(a)

泰勒微分中值：函数f在x0的某开区间(a,b)内有阶导数，则对任意x有

f(x0)fn(x0)2

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)...(xx0)n

2!n!

3.2 几何意义

(1)罗尔几何意义

罗尔定理的几何意义：在连续可导的曲线上，若端点值相等则在曲线上存在水平曲线。

（2）拉格朗日微分中值的几何意义

拉格朗日微分中值定理：表示在连续可导的曲线上若它们的端点的函数值不相等，则在曲线上存在一点出的切线平行函数两端点连线。

（3）柯西微分中值定理几何意义

柯西中值微分中值定理：表示由函数f(x)和g(x)确定的参数方程上至少存在一点，并在这点的切线平行于曲线端点出的连线3.3 微分中值定理不同形式间的关系

首先这几种不同形式的中值定理都给出了函数与其导数之间的关系，都做了定量的刻化，这对导数的应用起着推动性作用。同时也描述出了函数整体与局部之间的关系。

它们之间所不同的是，罗尔微分中值定理是基础。同时也是构造辅助函数的基本原理。若罗尔定理的条件去掉f(a)f(b)则推广成了拉格朗日微分中值定理，反之则罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况。我们来看拉格朗微分表诉的意思就是

yf(xx)x

这就是导数与函数值增量之间的关系如多我们更详细的表示：

f()

f(b)（fa)ba

这就表示的是平均变化率和瞬时变化率之间的关系。如果要表示两个函数之间变化率的关系就推广到了柯西微分中值定理。这是表诉上的推广。二有反过来柯西中值定理的特例就是朗格朗日微分定理。前面研究的只是函数值与其一阶导数之间的关系。若果推广到了阶则是泰勒定理（就是对函数反复的运用拉格朗日中值定理）。其中对于柯西中值定理应用最典型的就是罗必达法则。对泰勒定理的应用时马克劳林公式。

4 微分中值定理的推广

4.1 微分中值定理的新形式

定义1若函数f(x)在开区间(a,b)内可导且有

xa

limf(x)f(a0)f(a)f(b)f(b0)limf(x)存在。则在

xa

(a,b)内至少有，有f()0.

定理2 若函数f(x)在开区间(a,b)内可导且

xa

limf(x)f(a0)f(a),limf(x)f(b0)f(b)则在(a,b)内至 

xb

有一点，有f()

f(b)f(a)

ba

4.2 有限个函数微分中值定理

（罗尔定理推广） 若函数f1(x),f2(x)...fn(x)在闭区间[a,b]上连续，在其开区上

可导，且fi(a)fi(b),i1,2,3...n则在(a,b)内至少有一点有：

i,j1

[

n

（fia)（fib)

1]fj()0

fj(b)f（a)j

证明：根据题意设函数

H(x)[

i,j1

n

fi(b)fi(a)

1]fj(x)在[a,b]连续，在其开区间可微，并且有

fj(b)fj(a）

n

H(b)H(a)[

i,j1

fi(b)fi(a)

1][fj(b)fj(a)]

fj(b)fj(a）

[fi(b)fi(a)][fj(b)fj(a)]0

i,j1

n

所以H(b)H(a)有罗尔中值定理至少有一点

i,j1

[

n

（fia)（fib)

1]fj()H()0

fj(b)f（ja)

若将上面的fi(a)fi(b),i1,2,3...n去掉，其余条件不变则会得到：若函数

f1(x),f2(x)...fn(x)在闭区间[a,b]上连续，在其开区间上则在(a,b)内至少有一点使

i,j1k1

kj

(F)(FF)f()0

k

i

j

j

nn

关于多元函数的微分中值定理这里就不例举出来了

5微分中值定理的应用

5.1微分中值定理在等式中的应用。

微分中值中最基本的结论是f(x)C,C为常数的充分必要条件是f(x)0。 来看下面这个基础例子：

例1 若g(x)在R上可到导，而且g(x)g(x)，g(0)1证明g(x)ex。

分析：题目是不是就需要证明

g(x)g(x)

1也就是证明是一个常数。然后根据题目中的条件来求解。xx

ee

证明：构

造辅助函数

g(x)(x)x

e

g(x)exexg(x)

(x)0 2x

e，

(x)C(0)

g(0)1e0

g(x)ex

注意：若题目证明的等式两边是积分，要证明他们相等。方式就是构造函数

p(x)=左边函数—右边函数，证明p(x)的导数等于0就可以了。

例2 已知g(x)在[0,t]上连续，证明下面的积分式子成立：



t

2

t

t

g(x)dx20

g(x2)dx

证明：令(t)tg(x2)dx2tt

g(x2)dx则

(t)g(t2)g(t2)(1)2g(t2)0

(t)C(0)0 所以要求证明的式子成立

例3若g(x)在闭区间[a,b]连续，在其开区间内有2阶导数.证明存在

g(b)2g(

ab

)g(a)(ba)2g(d)d(a,b),使得4

。 证明：由已知得到:

g(b)2g(

ab

2)g(a) [g(b)g(ab2)][g(ab

2

)g(a)]

[g(abbaabba22)g(2)][g(a2

)g(a)]

构造辅助函数(x)g(xba

2

)g(x)则有上式等于 (ab2)(a)

()ba2[g（+baba

2)g()]2

g(d)baba

22

g(c)

(ba)2

4

（d(a,b)

5.2微分值定理在不等式中的应用.

实际上微分中值定理可以解决一些不等式的问题，使一些问题解决起来就比较方便。我们来看下面这个题目

x2

例题 1 让我们证明In(1x)x,x0

2

x2

证明：我们令f(x)In(1x),g(x)x则就是求f(x)g(x)f(0)g(0)

2

对f(x),g(x)用在（0,1）上用柯西中值定理有：

f(x)f(x)f(0)f()

，（0,1)

）g(x)g(x)g(0)g（

就是证明 ：f()g()，即

f()12

=1+）1g（1+

当0x,

）2f（

0,即1 1g()

所以原式成立。

从上面我们可以看出，用微分中值定理来解决一些不等式的问题比较简单，达到很好的效果。和以前方式比起来更简单，更加快的得到我们所需要的结果。

例 2估值计算In2的值，使其误差不超过0.001. 解：对In(1+X)进行泰勒展开

n

x2x3xn1n1xn

In(1x)x...(1)(1),01,x1n1

23n(n1)(1x)

当x=-1时，

1111n

In21+...+（-1)n1(1）n+1

23n(n1)(1+）

当n=7时有

R7(1)

11

0.01

8(1)8828

所以求得In2的值等于

1111

In21..0.760

2347

例 3 若f(x)和g(x)在闭区间内可导，它们在a的端点值相等，在开区间

(a,b)f(x)g(x)则f(x)g(x)

=f(x)-g(x)>0 证明：设(x)f(x)g(x)则:（x)

所以构造的函数是增函数。

a)=f(a)-g(a)=0(x)连续，而且（

任意的对于x属于（a,b）有

(x)(a)即f(x)-g(x)>0.

f(x)g(x)

5.3 证明根的存在性

例题1 若g(x)在闭区间[a,b]上连续，在其开区间可导，证明：在（a,b）内

2x[g(b)g(a)](b2a2)g(x)至少存在一个根

证明：令(x)=[g(b)-g(a)]x2(b2a2)g(x)

构造的函数在[a,b]内连续，在其开区间可导。

(a)g(b)a2b2g(a)(b).

用罗尔定理有至少有点

2[g(b)g(a)](b2a2)g()

在（a,b）原方程至少有一根存在。

注意：在证明根的存在性的时候，能够构造出我们所需要的函数。这样对解

决问题比较有利用。

例2 设g(x)在非负区间可导，并且有下面的关系式子:g(x)k0,g(0)0.

证g(x)0,在（0，）内有唯一实根

分析：讨论根的存在性可以用零点定理，罗尔定理和拉格朗日中值

定理，此题目如果使用零点定理则还需要找a一点使得g(a)0

证明：（1）首先证明根的存在性质.

对于g(x)我们在[0,x]上用拉格朗日中值定理

g(x)k0,

有g(x)-g(0)=g()xkx,0

limg(x),

x

就存在一点x0,使得g(x0)0,有g(0)0,有零点定理有存在（0，x0)(0,)使g()=0.

（2）唯一性。

由g(x)k0,我们可以知道g(x)单调增加

我们就可以知道g(x)=0,就只有一个根。

例 3：f(x)在[0,1]上可微，证明一定存在属于(0,1)中的点使的

g()=2[f(1)f(0)]

分析：我们来看这个问题，我们对证明的式子变形有：

f(1)f(0)f()



102

我们构造F(x)x2与f(x)运用柯西中值定理有

这个问题就分析到这里，接下来的工作就可以套用公式就可以完成了。 证明根的存在性，是微分中值定理中比较重要的作用。要学会用中值定理去证明问题，就要学会从问题的结论出发。看出式子运用的是什么形式的中值定理。

并能构造出辅函数。这样的话要解决根的存在性的问题就比较简单了。接下来我们来看哈微分中值定理在求极限方面的应用。文章一开始我们提到过有罗比达法则，但事实上有些问题用起来比较麻烦，可以直接的运用微分中值定理。 5.4 微分中值定理在求极限方面的应用

例1: 求极限

exee

lim

xtanxxtanex

这个问题用罗比达法则，求导量就比较大我们可以根据问题形式构造辅助函数来解决问题。

解：设f(x)=et，(x)tant 在[ex,xx]用柯西中值定理有

exee



tanxxtanex

x

x

xx

e

ecos,(exxx) 2

cos

当xe，eee时有：

原式=limecosecose.e

e

2

ee

2

e

由此题目我们可以看出。运用微分中值定理解决问题比较简单，可以达到事半攻倍的效果。

例2 求极限：

lim

e(12x)x0In(1x2)

x

1

2

分析：此题目运用罗比达法则就比较简单。其他中值定理的形式在此题目表现

的不明显

解：用In(1+x2)x2(x0)有

ex(12x)lim

x0

111

ex(12x)x2

limlime(12x)

x0x0In(1x2)x22x

x

12

lim

e(12x)x02



2

12

微分中值定理在求极限上的运用就是罗比达法则和直接运用公式，我

们要具体问题具体分析。

5.5 微分中中值定理在级数方面的应用。

例 1 设g(x)在点x=0的某领域内有二阶连续导数，并且有下面的极限：



g(x)1lim0,证明g()绝对收敛。x0xnn1

分析：由于g(x)在x=0有二阶导数，我们可以考略用拉格朗日泰勒公式。写出g(x)在x=0的一阶泰勒展开。在求出g(x)的表达式，最后做出判断。

证明：lim

x0

g(x)

0,且g(x)在x=0处可导数有g(0)=0,g(0)=0.x

11

g()x2g()x2,0x.2!2 1M

g(x)M，g(x)g()x2x2

22 g(x)g(0)g(0)x

11M1

当x,有g()

nn2n2

M11

由于收敛，由此可知g()收敛2

2nnn1n1



这节我们看到了微分中值定理在不同的方面都起着很重要的作用。我们要学好微分中值定理就要不断的归纳终结。解决这方面的问题关键就是在于要认清问题用的那种中值定理可以解决，适当的构造辅函数，这样问题就可以解决了。以上我们

介绍了未封闭中值定理在等式，不等式，根的存在性，求极限，估值计算等方面的应用。在接下来我们将去探讨中值点的问题，一提到中值点，我们就会去考略它受到了什么的影响，一遍能准确的去刻画中值点。我们开始来探讨中值点的最新研究的成果。

6 微分中值定理中值点的渐进性最新研究成果。

自从来微分中值定理提出以来，很多科学家就对中值点产生了浓厚的兴趣，他们不断深入的研究取得了很大的成就。 对于拉格朗日定理，Alfonso G. 6.1中值点的估算定理

定理 1：设函数f在闭区间[a,x]二阶可导，

(1)f在a处右连续。

(2)f0.

于是有:lim+

xa

Azpeitia得到了如下结论：

a

xa



1。 2

定理1推广：设函数f在闭区间[a,x]上存在直到n+1阶导数满足以下条件： (1) f(n1)在a处右连续

(2)f(i)(a)0,(i2,3,...,n),f

于是有：lim

xa

(n1)

(a)

0.

a

xa



对于柯西定理我们有

定理 2 ：设函数f,g在闭区[a,x]间阶梯可导，对于任意t属于[a,x] (1)g(t)0.

(2)f,g在a处右连续，f(a)g(a)-f(a)g(a)0.

我们有:lim

xa

a

xa



1 2

定理2的推广和定理1的推广得到的结论不同，只是条件不同这里就不加叙述了，有兴趣的同学下来可以查阅资料。 6.2 中值点的性质

对于满足朗格朗日的中值点，对于任意的x属于(a,b],当a固定式对于

lim

xa

a

xa



定理3：设f(x)在闭区[a,b]内可导，在其开区间连续f(x)在其开区间严格单

调有

（1）是x的单值函数，记：(x) （2）(x)是x单调增加函数。

定理4：设函数在闭区间[a,b]可导，开区间连续，f(x)在开区间有二阶导数。f(x)在（a,b）内保号。有：

（1）(x)是连续函数。

（2）(x)是x的可导函数。

(x)

f(x)f((x))

(xa)f((x))

中值点在几年的研究比较多，虽然在题目分析的时候不许要对中值点进行详细的讨论，但这些总激励着科学家不断地探索问题。这篇论文主要为了让大家对微分中值定理有能够深入的了解。能够熟练的掌握微分中值定理在不同方面的应用。

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系编 数学分析第四版 北京高等教育出版社 2010 [2]天京师范大学数学学院 杨雪婷 浅谈微分中值定理的应用 2011 [3]淮阴师范学院数学系 程希旺 微分中值定理渐进性研究新进展 2009 [4]同济大学应用数学 高等数学学 北京师范大学学出版社 2002 [5]潇树铁 微积分 上册(1)版：清华大学出版社 2002 [6]Sun Jiayong.Calcuus with Related Topics 西北工业大学出版社 1988 [7]王志平 高等数学大讲堂 大连 ，大连理工出版社。 2004

[8]钱昌本 高等数学范例分析 西安 西安交通大学出版 2004 [9]数学分析选讲 陈新亚 同济大学出版 2008 [10]Crabriel Klambauer Aspects of Galculus 1986

The Different Mean—Value Theorem and Its Application

Jia Sun-peng

(Department of Mathematics and Information Science, Mathematics and Applied Mathematics ,11290056)

Abatract: The different mean value theorem is not an important tool to research the

complex. It also a important content of mathematical analysis.we can solve the differential mean value theorem by constructing auxiliary functions to solve problem This paper mainly studies the relationship between the differential mean value theorem and different forms.also research its promotion. This article summarizes the differential meantial mean value theorem of limit in the book,root existence,application of series and so on.At the end of the mid point of the problem are discussed.

Key words:The different mean value theorem Applications Auxiliary function

本科生毕业论文（设计）

系（院）数学与信息科学学院 专 业数学与应用数学

论文题目

学生姓名贾孙鹏

指导教师 黄宽娜（副教授）

班级11级数应1班

学号 11290056

完成日期：2015年4月

微分中值定理及其应用

贾孙鹏

数学与信息科学学院 数学与应用数学 11290056

【摘要】 微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。

【关键词】微分中值定理 应用 辅助函数

1引言

微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（ Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。

2柯西与微分中值定理

2.1柯西的证明

首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存 在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将g(x)的导数定义为

g(xh)g(h)

当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在

h

错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于：

定理： 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，f(x)在[a,b]上有最小和最大值C,B则会有下面的

f(b)f(a)CB

ba

以下是柯西对上式的证明

分析: 当时在证明的时候Cauchy用和表示很小的数。把区间a,b划分为:

ax0x1x2.....xnb

（i表示相邻区间长度且i）

f(x)

f(xi)f(x)

f(x)

i

对于划分的小区间我们有

Cf(x0)

f(x1)f(x0)

f(x0)B

x1x0f(x2)f(x1)

f(x1)B

x2x1f(B)f(xn1)

f(xn1)B

Bxn1

Cf(x1)

Cf(xn1)

整理得

C

f(x1)f(x0)f(x2)f(x1)...f(B)f(xn1)

B

x1x0x2x1...Bxn1

C

f(b)f(a)

B

ba

就可以有这样如果g(x)和它的导函数[a,b]在上连续，则

f[x0(x0(ba)]

f(x)f(a)

（01）

ba

2.2柯西证明分析

[柯西在做此证明的时候，假设了f(x)具有连续性，这样就保证了导函数具有介值性。但是当时他没有认识到此时的f(x)

已经具有了连续性]。华东师范第

三版《数学分析》教材中给出的达布定理就说明了导函数的连续性质。而且柯西的这种证明方法对于一些函数并不实用，比如说具有有限个间断点的函数（这类函数也是连续的），说明柯西对连续和一致连续在开始阶段还不太明白所以认识存在缺

陷，到1840它才区分开来。公式中x0(ba)逐渐的用来代替了，这样看来这个量就不太明确，这样就证明了微分中值定理。这里我介绍这种方式主要是因为再后来科学家都用这种方式来证明微分中值定理，原因是这种方式很严格。随着认识的深入，到后来微分中值定理证明到后来就基本成熟了。由上面的例子也可以看出一个概念思想的产生，被接受是困难的。这就需要我们深入的去探究。

3 微分中值定理

3.1 微分中值定理不同形式。

我这里简单的描述几种不同的中值定理。

罗尔中值定理：函数f在闭区间[a,b]连续，在其开区间可导，并在a,b的值相等 ，

则在(a,b)内至少有一点使得

）f（=0。

拉格朗日定理：若函数f在闭区间[a,b]连续，在其开区间可导，则在可其区间至少

有一点使的得

f()

f(b)（fa)

ba

柯西中值定理：函数f和g在[a,b]上连续，在其开区间可导。函数g在其开区间内有

g(x)0则

f()f(）bf(a)



g()g(b)g(a)

泰勒微分中值：函数f在x0的某开区间(a,b)内有阶导数，则对任意x有

f(x0)fn(x0)2

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)...(xx0)n

2!n!

3.2 几何意义

(1)罗尔几何意义

罗尔定理的几何意义：在连续可导的曲线上，若端点值相等则在曲线上存在水平曲线。

（2）拉格朗日微分中值的几何意义

拉格朗日微分中值定理：表示在连续可导的曲线上若它们的端点的函数值不相等，则在曲线上存在一点出的切线平行函数两端点连线。

（3）柯西微分中值定理几何意义

柯西中值微分中值定理：表示由函数f(x)和g(x)确定的参数方程上至少存在一点，并在这点的切线平行于曲线端点出的连线3.3 微分中值定理不同形式间的关系

首先这几种不同形式的中值定理都给出了函数与其导数之间的关系，都做了定量的刻化，这对导数的应用起着推动性作用。同时也描述出了函数整体与局部之间的关系。

它们之间所不同的是，罗尔微分中值定理是基础。同时也是构造辅助函数的基本原理。若罗尔定理的条件去掉f(a)f(b)则推广成了拉格朗日微分中值定理，反之则罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况。我们来看拉格朗微分表诉的意思就是

yf(xx)x

这就是导数与函数值增量之间的关系如多我们更详细的表示：

f()

f(b)（fa)ba

这就表示的是平均变化率和瞬时变化率之间的关系。如果要表示两个函数之间变化率的关系就推广到了柯西微分中值定理。这是表诉上的推广。二有反过来柯西中值定理的特例就是朗格朗日微分定理。前面研究的只是函数值与其一阶导数之间的关系。若果推广到了阶则是泰勒定理（就是对函数反复的运用拉格朗日中值定理）。其中对于柯西中值定理应用最典型的就是罗必达法则。对泰勒定理的应用时马克劳林公式。

4 微分中值定理的推广

4.1 微分中值定理的新形式

定义1若函数f(x)在开区间(a,b)内可导且有

xa

limf(x)f(a0)f(a)f(b)f(b0)limf(x)存在。则在

xa

(a,b)内至少有，有f()0.

定理2 若函数f(x)在开区间(a,b)内可导且

xa

limf(x)f(a0)f(a),limf(x)f(b0)f(b)则在(a,b)内至 

xb

有一点，有f()

f(b)f(a)

ba

4.2 有限个函数微分中值定理

（罗尔定理推广） 若函数f1(x),f2(x)...fn(x)在闭区间[a,b]上连续，在其开区上

可导，且fi(a)fi(b),i1,2,3...n则在(a,b)内至少有一点有：

i,j1

[

n

（fia)（fib)

1]fj()0

fj(b)f（a)j

证明：根据题意设函数

H(x)[

i,j1

n

fi(b)fi(a)

1]fj(x)在[a,b]连续，在其开区间可微，并且有

fj(b)fj(a）

n

H(b)H(a)[

i,j1

fi(b)fi(a)

1][fj(b)fj(a)]

fj(b)fj(a）

[fi(b)fi(a)][fj(b)fj(a)]0

i,j1

n

所以H(b)H(a)有罗尔中值定理至少有一点

i,j1

[

n

（fia)（fib)

1]fj()H()0

fj(b)f（ja)

若将上面的fi(a)fi(b),i1,2,3...n去掉，其余条件不变则会得到：若函数

f1(x),f2(x)...fn(x)在闭区间[a,b]上连续，在其开区间上则在(a,b)内至少有一点使

i,j1k1

kj

(F)(FF)f()0

k

i

j

j

nn

关于多元函数的微分中值定理这里就不例举出来了

5微分中值定理的应用

5.1微分中值定理在等式中的应用。

微分中值中最基本的结论是f(x)C,C为常数的充分必要条件是f(x)0。 来看下面这个基础例子：

例1 若g(x)在R上可到导，而且g(x)g(x)，g(0)1证明g(x)ex。

分析：题目是不是就需要证明

g(x)g(x)

1也就是证明是一个常数。然后根据题目中的条件来求解。xx

ee

证明：构

造辅助函数

g(x)(x)x

e

g(x)exexg(x)

(x)0 2x

e，

(x)C(0)

g(0)1e0

g(x)ex

注意：若题目证明的等式两边是积分，要证明他们相等。方式就是构造函数

p(x)=左边函数—右边函数，证明p(x)的导数等于0就可以了。

例2 已知g(x)在[0,t]上连续，证明下面的积分式子成立：



t

2

t

t

g(x)dx20

g(x2)dx

证明：令(t)tg(x2)dx2tt

g(x2)dx则

(t)g(t2)g(t2)(1)2g(t2)0

(t)C(0)0 所以要求证明的式子成立

例3若g(x)在闭区间[a,b]连续，在其开区间内有2阶导数.证明存在

g(b)2g(

ab

)g(a)(ba)2g(d)d(a,b),使得4

。 证明：由已知得到:

g(b)2g(

ab

2)g(a) [g(b)g(ab2)][g(ab

2

)g(a)]

[g(abbaabba22)g(2)][g(a2

)g(a)]

构造辅助函数(x)g(xba

2

)g(x)则有上式等于 (ab2)(a)

()ba2[g（+baba

2)g()]2

g(d)baba

22

g(c)

(ba)2

4

（d(a,b)

5.2微分值定理在不等式中的应用.

实际上微分中值定理可以解决一些不等式的问题，使一些问题解决起来就比较方便。我们来看下面这个题目

x2

例题 1 让我们证明In(1x)x,x0

2

x2

证明：我们令f(x)In(1x),g(x)x则就是求f(x)g(x)f(0)g(0)

2

对f(x),g(x)用在（0,1）上用柯西中值定理有：

f(x)f(x)f(0)f()

，（0,1)

）g(x)g(x)g(0)g（

就是证明 ：f()g()，即

f()12

=1+）1g（1+

当0x,

）2f（

0,即1 1g()

所以原式成立。

从上面我们可以看出，用微分中值定理来解决一些不等式的问题比较简单，达到很好的效果。和以前方式比起来更简单，更加快的得到我们所需要的结果。

例 2估值计算In2的值，使其误差不超过0.001. 解：对In(1+X)进行泰勒展开

n

x2x3xn1n1xn

In(1x)x...(1)(1),01,x1n1

23n(n1)(1x)

当x=-1时，

1111n

In21+...+（-1)n1(1）n+1

23n(n1)(1+）

当n=7时有

R7(1)

11

0.01

8(1)8828

所以求得In2的值等于

1111

In21..0.760

2347

例 3 若f(x)和g(x)在闭区间内可导，它们在a的端点值相等，在开区间

(a,b)f(x)g(x)则f(x)g(x)

=f(x)-g(x)>0 证明：设(x)f(x)g(x)则:（x)

所以构造的函数是增函数。

a)=f(a)-g(a)=0(x)连续，而且（

任意的对于x属于（a,b）有

(x)(a)即f(x)-g(x)>0.

f(x)g(x)

5.3 证明根的存在性

例题1 若g(x)在闭区间[a,b]上连续，在其开区间可导，证明：在（a,b）内

2x[g(b)g(a)](b2a2)g(x)至少存在一个根

证明：令(x)=[g(b)-g(a)]x2(b2a2)g(x)

构造的函数在[a,b]内连续，在其开区间可导。

(a)g(b)a2b2g(a)(b).

用罗尔定理有至少有点

2[g(b)g(a)](b2a2)g()

在（a,b）原方程至少有一根存在。

注意：在证明根的存在性的时候，能够构造出我们所需要的函数。这样对解

决问题比较有利用。

例2 设g(x)在非负区间可导，并且有下面的关系式子:g(x)k0,g(0)0.

证g(x)0,在（0，）内有唯一实根

分析：讨论根的存在性可以用零点定理，罗尔定理和拉格朗日中值

定理，此题目如果使用零点定理则还需要找a一点使得g(a)0

证明：（1）首先证明根的存在性质.

对于g(x)我们在[0,x]上用拉格朗日中值定理

g(x)k0,

有g(x)-g(0)=g()xkx,0

limg(x),

x

就存在一点x0,使得g(x0)0,有g(0)0,有零点定理有存在（0，x0)(0,)使g()=0.

（2）唯一性。

由g(x)k0,我们可以知道g(x)单调增加

我们就可以知道g(x)=0,就只有一个根。

例 3：f(x)在[0,1]上可微，证明一定存在属于(0,1)中的点使的

g()=2[f(1)f(0)]

分析：我们来看这个问题，我们对证明的式子变形有：

f(1)f(0)f()



102

我们构造F(x)x2与f(x)运用柯西中值定理有

这个问题就分析到这里，接下来的工作就可以套用公式就可以完成了。 证明根的存在性，是微分中值定理中比较重要的作用。要学会用中值定理去证明问题，就要学会从问题的结论出发。看出式子运用的是什么形式的中值定理。

并能构造出辅函数。这样的话要解决根的存在性的问题就比较简单了。接下来我们来看哈微分中值定理在求极限方面的应用。文章一开始我们提到过有罗比达法则，但事实上有些问题用起来比较麻烦，可以直接的运用微分中值定理。 5.4 微分中值定理在求极限方面的应用

例1: 求极限

exee

lim

xtanxxtanex

这个问题用罗比达法则，求导量就比较大我们可以根据问题形式构造辅助函数来解决问题。

解：设f(x)=et，(x)tant 在[ex,xx]用柯西中值定理有

exee



tanxxtanex

x

x

xx

e

ecos,(exxx) 2

cos

当xe，eee时有：

原式=limecosecose.e

e

2

ee

2

e

由此题目我们可以看出。运用微分中值定理解决问题比较简单，可以达到事半攻倍的效果。

例2 求极限：

lim

e(12x)x0In(1x2)

x

1

2

分析：此题目运用罗比达法则就比较简单。其他中值定理的形式在此题目表现

的不明显

解：用In(1+x2)x2(x0)有

ex(12x)lim

x0

111

ex(12x)x2

limlime(12x)

x0x0In(1x2)x22x

x

12

lim

e(12x)x02



2

12

微分中值定理在求极限上的运用就是罗比达法则和直接运用公式，我

们要具体问题具体分析。

5.5 微分中中值定理在级数方面的应用。

例 1 设g(x)在点x=0的某领域内有二阶连续导数，并且有下面的极限：



g(x)1lim0,证明g()绝对收敛。x0xnn1

分析：由于g(x)在x=0有二阶导数，我们可以考略用拉格朗日泰勒公式。写出g(x)在x=0的一阶泰勒展开。在求出g(x)的表达式，最后做出判断。

证明：lim

x0

g(x)

0,且g(x)在x=0处可导数有g(0)=0,g(0)=0.x

11

g()x2g()x2,0x.2!2 1M

g(x)M，g(x)g()x2x2

22 g(x)g(0)g(0)x

11M1

当x,有g()

nn2n2

M11

由于收敛，由此可知g()收敛2

2nnn1n1



这节我们看到了微分中值定理在不同的方面都起着很重要的作用。我们要学好微分中值定理就要不断的归纳终结。解决这方面的问题关键就是在于要认清问题用的那种中值定理可以解决，适当的构造辅函数，这样问题就可以解决了。以上我们

介绍了未封闭中值定理在等式，不等式，根的存在性，求极限，估值计算等方面的应用。在接下来我们将去探讨中值点的问题，一提到中值点，我们就会去考略它受到了什么的影响，一遍能准确的去刻画中值点。我们开始来探讨中值点的最新研究的成果。

6 微分中值定理中值点的渐进性最新研究成果。

自从来微分中值定理提出以来，很多科学家就对中值点产生了浓厚的兴趣，他们不断深入的研究取得了很大的成就。 对于拉格朗日定理，Alfonso G. 6.1中值点的估算定理

定理 1：设函数f在闭区间[a,x]二阶可导，

(1)f在a处右连续。

(2)f0.

于是有:lim+

xa

Azpeitia得到了如下结论：

a

xa



1。 2

定理1推广：设函数f在闭区间[a,x]上存在直到n+1阶导数满足以下条件： (1) f(n1)在a处右连续

(2)f(i)(a)0,(i2,3,...,n),f

于是有：lim

xa

(n1)

(a)

0.

a

xa



对于柯西定理我们有

定理 2 ：设函数f,g在闭区[a,x]间阶梯可导，对于任意t属于[a,x] (1)g(t)0.

(2)f,g在a处右连续，f(a)g(a)-f(a)g(a)0.

我们有:lim

xa

a

xa



1 2

定理2的推广和定理1的推广得到的结论不同，只是条件不同这里就不加叙述了，有兴趣的同学下来可以查阅资料。 6.2 中值点的性质

对于满足朗格朗日的中值点，对于任意的x属于(a,b],当a固定式对于

lim

xa

a

xa



定理3：设f(x)在闭区[a,b]内可导，在其开区间连续f(x)在其开区间严格单

调有

（1）是x的单值函数，记：(x) （2）(x)是x单调增加函数。

定理4：设函数在闭区间[a,b]可导，开区间连续，f(x)在开区间有二阶导数。f(x)在（a,b）内保号。有：

（1）(x)是连续函数。

（2）(x)是x的可导函数。

(x)

f(x)f((x))

(xa)f((x))

中值点在几年的研究比较多，虽然在题目分析的时候不许要对中值点进行详细的讨论，但这些总激励着科学家不断地探索问题。这篇论文主要为了让大家对微分中值定理有能够深入的了解。能够熟练的掌握微分中值定理在不同方面的应用。

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系编 数学分析第四版 北京高等教育出版社 2010 [2]天京师范大学数学学院 杨雪婷 浅谈微分中值定理的应用 2011 [3]淮阴师范学院数学系 程希旺 微分中值定理渐进性研究新进展 2009 [4]同济大学应用数学 高等数学学 北京师范大学学出版社 2002 [5]潇树铁 微积分 上册(1)版：清华大学出版社 2002 [6]Sun Jiayong.Calcuus with Related Topics 西北工业大学出版社 1988 [7]王志平 高等数学大讲堂 大连 ，大连理工出版社。 2004

[8]钱昌本 高等数学范例分析 西安 西安交通大学出版 2004 [9]数学分析选讲 陈新亚 同济大学出版 2008 [10]Crabriel Klambauer Aspects of Galculus 1986

The Different Mean—Value Theorem and Its Application

Jia Sun-peng

(Department of Mathematics and Information Science, Mathematics and Applied Mathematics ,11290056)

Abatract: The different mean value theorem is not an important tool to research the

complex. It also a important content of mathematical analysis.we can solve the differential mean value theorem by constructing auxiliary functions to solve problem This paper mainly studies the relationship between the differential mean value theorem and different forms.also research its promotion. This article summarizes the differential meantial mean value theorem of limit in the book,root existence,application of series and so on.At the end of the mid point of the problem are discussed.

Key words:The different mean value theorem Applications Auxiliary function