牛顿环测透镜的曲率半径

牛顿环测透镜的曲率半径

Name:shachaofei

Number:100104229



Major: Mechanical Engineering and automation

摘要(The abstract)

牛顿环实验在大学物理实验中有着十分重要的地位，为了得到精确的数据，我们需要在处理数据时采用合理的方式。

Newton ring experiment in university physics experiment has a very important position, in order to get the accurate data, we need to adopt the reasonable manner when processing data.

 引言

处理该实验的测量数据长采用逐差法，最小二乘法，加权平均以及其它方法，因为该实验测量是非等精度的测量，逐差法可以很好的克服实验的系统误差，但是没有按照数据的处理原则去对待非等精度的测量，该方法虽然被广泛的使用，但是处理的结果并不是很理想，最小二乘法回避了非等精度性的困难，但是它没有考虑实验的系统误差，所以用该方法来处理实验得到的数据也不是很理想的。基于以上两中方法的利弊，本实验可以采用加权平均法来处理实验数据，它既考虑了如何消除实验的系统误差，又按照了数据处理原则来处理非等精度的测量，因此它是处理牛顿环实验数据的较为理想的方法。但是该方法并不常用，究其原因是加权平均法中要计算的数据较多，公式较多，较传统的方法要复杂的多，因此不被广泛的应用，下面将探讨如何简化加权平均法，并利用MATLAB编制出了相应的数据的处理程序。

 关键字：牛顿环实验、加权平均法、非等精度实验数据的处理。 Keywords: the Newton ring experiment, the weighted average method, the

precision of experimental data processing

 实验仪器：测量显微镜，钠光光源，牛顿环仪，牛顿环和劈尖装置。

 实验原理

牛顿环装置是由一块曲率半径较大的平凸玻璃透镜，将其凸面放在一块光学玻璃平板（平晶）上构成的，如图2所示。平凸透镜的凸面与玻璃平板之间形成一层空气薄膜，其厚度从中心接触点到边缘逐渐增加。若以平行单色光垂直照射到牛顿环上，则经空气层上、下表面反射的二光束存在光程差，它们在平凸透镜的凸面相遇后，将发生干涉。其干涉图样是以玻璃接触点为中心的一系列明暗相间的同心圆环（如图3所示），称为牛顿环。由于同一干涉环上各处的空气层厚度是相同的，因此称为等厚干涉。

图2 牛顿环装置

图3 干涉圆环

与k级条纹对应的两束相干光的光程差为

2d



2 (1)



d为第k级条纹对应的空气膜的厚度；2为半波损失。



由干涉条件可知，当=(２ｋ＋１) 2（ｋ＝0，1，2，3，...） 时，干涉条纹为暗条纹，即

2d



2

(2k1)



2得 k2

d

（2）

设透镜的曲率半径为Ｒ，与接触点Ｏ相距为ｒ处空气层的厚度为ｄ，由图2所示几何关系可得

R

2

(Rd)r

22

R2Rdd

22

r

2

由于Ｒ>>ｄ，则 d2可以略去

d

r

2

2R （3）

由(23-2)和(23-3)式可得第ｋ级暗环的半径为：

rk2Rd2R

2

k2

kR

(4)

由(4)式可知，如果单色光源的波长已知，只需测出第k级暗环的半径ｒm，即可算出平凸透镜的曲率半径Ｒ；反之，如果Ｒ已知，测出ｒm后，就可计算出入射单色光波的波长。但是由于平凸透镜的凸面和光学平玻璃平面不可能是理想的点接触；接触压力会引起局部弹性形变，使接触处成为一个圆形平面，干涉环中心为一暗斑；或者空气间隙层中有了尘埃等因素的存在使得在暗环公式中附加了一项光程差，假设附加厚度为a（有灰尘时a > 0，受压变形时a

2(da)



2

由暗纹条件

d

2(da)



2

(2k1)



2

k

2

a

得

k

2

将上式代人（4）得r22Rd2R(a)kR2Ra

上式中的a不能直接测量，但可以取两个暗环半径的平方差来消除它，例如去第

m环和第n环，对应半径为rmmR-2Ra

2

rn

2

nR• -2Ra

rmrnR(mn)

2

2

2

两式相减可得

2

所以透镜的曲率半径为R

rmrn

(mn)

（5）

DmDn

2

2

又因为暗环的中心不易确定，故取暗环的直径计R（6）

4(mn)

 实验数据处理：

定义

[DkDkm]

2

2

2

为m个相邻牛顿换直径平方差的测量精度，由误差传

2

2

2

2

递推倒可以得到：

[DkDkm]0.0002(DkDkm)

2

由此可见，当k

2

2

取不同的值的时候，

[DkDkm]

222

也不同，所以该实验是非等

2

2

精度的测量，应该用加权平均法处理该实验的数据，不妨令

X

k

DkDkm

，由于本实验的

m20,所以X

k

DkDk20

，且Xk相应的权重

为

ak

1

[DkDk20]

(akXk)

ak

222



1

[Xk]，

2

X

k

所以加权平均值为： ，

很明显，X1,X2..........Xn,都是非等精度的测量值，其对应的权值分别为：

a1,a2...........an

，所以

X

k

的均方差误差为：

S



k

[ak(X

k

Xk)]

2

X

(n1)ak

，

由此可见，

R

(DkDkm)

4m

SX

22



Xk

4m，

S

R



k

4m

R

最终的结果为： RRS

 实验数据处理MATLAB 程序

function DP(D)

L=D(1,:);n=numel(L); c=0.0002;X=0;m=20,k=2,

h=5893*power(10,-7);S3=0;S4=0; for i=1:n;

a(i)=D(1,i)-D(2,i); b(i)=D(3,i)-D(4,i); x(i)=a(i)^2-b(i)^2; y(i)=a(i)^2+b(i)^2; p(i)=1/(c*y(i)); end

for i=1:n;

X=X+(p(i)*x(i))/sum(p(:)); end for i=i:n;

S3=S3+p(i)*(x(i)-X)^2; S4=S4+p(i); end

S1=(S3/(S4*(n-1)))^0.5; R=X/(4*m*h*1000), S=k*S1/(4*m*h*1000),

 数据处理举例

应用上述MATLAB程序处理该实验数据得到的结果为：

m =20

k =2 R =2.3502 S =0.0381

其中m为该实验所采用的级差，k为不确定度的扩展系数，R为侧得的透镜

的曲率半径的平均值，S为不确定度。

所以该透镜的曲率半径为：

RRS2.3500.038

(单位：m)

(扩展系数为

：k2)

参考文献：

姚安居，吴庆州.大学物理实验.中国矿业大学出版社, 2008. 丁慎训，张连芳.物理实验教程.北京: 清华大学出版社, 2002. 李相银，王海林.大学物理实验. 北京:高等教育出版社, 2004 . 姚安居，郭宏志.大学物理实验教程. 北京:兵器工业出版社, 1996. 李相银，姚安居.大学实验物理教程. 南京:东南大学出版社, 2000. 吕思骅，段家忯.基础物理实验. 北京:北京大学出版社,2002.

潘仁培，董宝昌.物理实验教学参考书. 北京: 高等教育出版社, 1990.

牛顿环测透镜的曲率半径

Name:shachaofei

Number:100104229



Major: Mechanical Engineering and automation

摘要(The abstract)

牛顿环实验在大学物理实验中有着十分重要的地位，为了得到精确的数据，我们需要在处理数据时采用合理的方式。

Newton ring experiment in university physics experiment has a very important position, in order to get the accurate data, we need to adopt the reasonable manner when processing data.

 引言

处理该实验的测量数据长采用逐差法，最小二乘法，加权平均以及其它方法，因为该实验测量是非等精度的测量，逐差法可以很好的克服实验的系统误差，但是没有按照数据的处理原则去对待非等精度的测量，该方法虽然被广泛的使用，但是处理的结果并不是很理想，最小二乘法回避了非等精度性的困难，但是它没有考虑实验的系统误差，所以用该方法来处理实验得到的数据也不是很理想的。基于以上两中方法的利弊，本实验可以采用加权平均法来处理实验数据，它既考虑了如何消除实验的系统误差，又按照了数据处理原则来处理非等精度的测量，因此它是处理牛顿环实验数据的较为理想的方法。但是该方法并不常用，究其原因是加权平均法中要计算的数据较多，公式较多，较传统的方法要复杂的多，因此不被广泛的应用，下面将探讨如何简化加权平均法，并利用MATLAB编制出了相应的数据的处理程序。

 关键字：牛顿环实验、加权平均法、非等精度实验数据的处理。 Keywords: the Newton ring experiment, the weighted average method, the

precision of experimental data processing

 实验仪器：测量显微镜，钠光光源，牛顿环仪，牛顿环和劈尖装置。

 实验原理

牛顿环装置是由一块曲率半径较大的平凸玻璃透镜，将其凸面放在一块光学玻璃平板（平晶）上构成的，如图2所示。平凸透镜的凸面与玻璃平板之间形成一层空气薄膜，其厚度从中心接触点到边缘逐渐增加。若以平行单色光垂直照射到牛顿环上，则经空气层上、下表面反射的二光束存在光程差，它们在平凸透镜的凸面相遇后，将发生干涉。其干涉图样是以玻璃接触点为中心的一系列明暗相间的同心圆环（如图3所示），称为牛顿环。由于同一干涉环上各处的空气层厚度是相同的，因此称为等厚干涉。

图2 牛顿环装置

图3 干涉圆环

与k级条纹对应的两束相干光的光程差为

2d



2 (1)



d为第k级条纹对应的空气膜的厚度；2为半波损失。



由干涉条件可知，当=(２ｋ＋１) 2（ｋ＝0，1，2，3，...） 时，干涉条纹为暗条纹，即

2d



2

(2k1)



2得 k2

d

（2）

设透镜的曲率半径为Ｒ，与接触点Ｏ相距为ｒ处空气层的厚度为ｄ，由图2所示几何关系可得

R

2

(Rd)r

22

R2Rdd

22

r

2

由于Ｒ>>ｄ，则 d2可以略去

d

r

2

2R （3）

由(23-2)和(23-3)式可得第ｋ级暗环的半径为：

rk2Rd2R

2

k2

kR

(4)

由(4)式可知，如果单色光源的波长已知，只需测出第k级暗环的半径ｒm，即可算出平凸透镜的曲率半径Ｒ；反之，如果Ｒ已知，测出ｒm后，就可计算出入射单色光波的波长。但是由于平凸透镜的凸面和光学平玻璃平面不可能是理想的点接触；接触压力会引起局部弹性形变，使接触处成为一个圆形平面，干涉环中心为一暗斑；或者空气间隙层中有了尘埃等因素的存在使得在暗环公式中附加了一项光程差，假设附加厚度为a（有灰尘时a > 0，受压变形时a

2(da)



2

由暗纹条件

d

2(da)



2

(2k1)



2

k

2

a

得

k

2

将上式代人（4）得r22Rd2R(a)kR2Ra

上式中的a不能直接测量，但可以取两个暗环半径的平方差来消除它，例如去第

m环和第n环，对应半径为rmmR-2Ra

2

rn

2

nR• -2Ra

rmrnR(mn)

2

2

2

两式相减可得

2

所以透镜的曲率半径为R

rmrn

(mn)

（5）

DmDn

2

2

又因为暗环的中心不易确定，故取暗环的直径计R（6）

4(mn)

 实验数据处理：

定义

[DkDkm]

2

2

2

为m个相邻牛顿换直径平方差的测量精度，由误差传

2

2

2

2

递推倒可以得到：

[DkDkm]0.0002(DkDkm)

2

由此可见，当k

2

2

取不同的值的时候，

[DkDkm]

222

也不同，所以该实验是非等

2

2

精度的测量，应该用加权平均法处理该实验的数据，不妨令

X

k

DkDkm

，由于本实验的

m20,所以X

k

DkDk20

，且Xk相应的权重

为

ak

1

[DkDk20]

(akXk)

ak

222



1

[Xk]，

2

X

k

所以加权平均值为： ，

很明显，X1,X2..........Xn,都是非等精度的测量值，其对应的权值分别为：

a1,a2...........an

，所以

X

k

的均方差误差为：

S



k

[ak(X

k

Xk)]

2

X

(n1)ak

，

由此可见，

R

(DkDkm)

4m

SX

22



Xk

4m，

S

R



k

4m

R

最终的结果为： RRS

 实验数据处理MATLAB 程序

function DP(D)

L=D(1,:);n=numel(L); c=0.0002;X=0;m=20,k=2,

h=5893*power(10,-7);S3=0;S4=0; for i=1:n;

a(i)=D(1,i)-D(2,i); b(i)=D(3,i)-D(4,i); x(i)=a(i)^2-b(i)^2; y(i)=a(i)^2+b(i)^2; p(i)=1/(c*y(i)); end

for i=1:n;

X=X+(p(i)*x(i))/sum(p(:)); end for i=i:n;

S3=S3+p(i)*(x(i)-X)^2; S4=S4+p(i); end

S1=(S3/(S4*(n-1)))^0.5; R=X/(4*m*h*1000), S=k*S1/(4*m*h*1000),

 数据处理举例

应用上述MATLAB程序处理该实验数据得到的结果为：

m =20

k =2 R =2.3502 S =0.0381

其中m为该实验所采用的级差，k为不确定度的扩展系数，R为侧得的透镜

的曲率半径的平均值，S为不确定度。

所以该透镜的曲率半径为：

RRS2.3500.038

(单位：m)

(扩展系数为

：k2)

参考文献：

姚安居，吴庆州.大学物理实验.中国矿业大学出版社, 2008. 丁慎训，张连芳.物理实验教程.北京: 清华大学出版社, 2002. 李相银，王海林.大学物理实验. 北京:高等教育出版社, 2004 . 姚安居，郭宏志.大学物理实验教程. 北京:兵器工业出版社, 1996. 李相银，姚安居.大学实验物理教程. 南京:东南大学出版社, 2000. 吕思骅，段家忯.基础物理实验. 北京:北京大学出版社,2002.

潘仁培，董宝昌.物理实验教学参考书. 北京: 高等教育出版社, 1990.