第五章 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计

第五章 数字滤波器

5-3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计

一、概述

数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：

H (z ) =r =0N

1 + a z - k

∑

M

b r z -r

k

k =1

∑

-π-π

H (z ) =∑h (n ) z -n

n =0

N -1

低通

H (ej ω)

-π

高通

H (ej ω)

2ω

带通

H (ej ω)

ω

2带阻

H (ej ω)

ω

2ω

理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性

2 数字滤波器的技术要求

我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e jω) 用下式表示：

j ωj ωj Ω(ω)

(e H ) = H (e ) e

通带内和阻带内允许的衰减一般用dB 数表示，通带内允许的最大衰减用αp 表示，阻带内允许的最小衰减用αs 表示，αp 和αs 分别定义为：

dB

H (e )

j ωp

αp =20lg αs =20lg

H (e j 0)

H (e j 0)

j ωs

H (e )

dB

如将|H(ej0)|归一化为1，则表示成：

j ωp

αp =-20lg H (e ) dB

j ω

αs =-20lg H (e ) dB

s

3. 数字滤波器设计方法概述

IIR 滤波器和FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。IIR 滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 二、模拟滤波器的设计

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。

图5-21理想滤波器的幅频特性

1. 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法

模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp, αs 和Ωs 。其中Ωp 和Ωs 分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp 是通带Ω(=0~Ωp) 中的最大衰减系数，αs 是阻带Ω≥Ωs 的最小衰减系数，αp 和αs 一般用dB 数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：

H a (j Ω) α p = 10lg

2

H a (j Ωp )

2

H a (j Ω)

αs =10lg 2

H a (j Ωs )

如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp 和αs 表示为

2

α = - 10lg H (j Ω)

p

a

p

2

2

αs =-10lg H a (j Ωs )

以上技术指标用图表示。图中Ωc 称为3dB 截止频率，因

H a (j Ωc ) =-20lg H a (j Ωc ) =3dB

低通滤波器的幅度特性

滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp 和αs ，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此

2

H a (j Ω) =H a (s ) G (-s )

s =j Ω

*

=H a (j Ω) H a (j Ω)

2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：

12

H a (j Ω) =

1 + ( ) 2 N Ωc

图5-23特沃斯幅度特性和N 的关系

将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s 的函数：

1 H a (s ) H a (-s ) =

2N

1+( j Ω)

c

此式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点sk 用下式表示：

s k =(-1) (j Ωc ) =Ωc e

(6.2.8)

12N 12k +1j π(+) 22N

图5-24 三阶巴特沃斯滤波器极点分布

为形成稳定的滤波器，2N 个极点中只取s 平面左半平面的N 个极点构成Ha(s)，而右半平面的N 个极点构成Ha(s)。 Ha(s)的表示式为

设N=3，极点有6个，它们分别为

N Ωc

H a (s ) =

∏(s -s )

k

k =0

s 0=Ωc e s 1=-Ωc s 2=Ωc e s 3=Ωc e s 4=Ωc s 5=Ωc e

2j 3

2-j 31-j 3

1j 3

取s 平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：

H a (s ) =22

j π-j π

( s - Ω 3 )( s - Ω 3 ) s + Ω)(

c

c

c

Ω3a

由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB 截止频率Ωc 归一化，归一化后的Ha(s)表示为

1

N -1

s s (-k ) ∏

k =0 Ω c Ω c

H a (s ) =

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc 。 令λ=Ω/Ωc ，λ称为归一化频率；令p=jλ，p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为

1 H a (p ) =N -1

∏ ( p - p k )

k =0

式中，pk 为归一化极点，用下式表示：

p k =e , k =0,1, ⋅⋅⋅, N -1

将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p 的N 阶多项式，用下式表示：

Ωp 2N a p /10

1+( ) = 10

Ωc

12k +1j π(+) 22N

将Ω=Ωs 代入(6.2.6)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入(6.2.4)式中，得到：

Ω

1+(s ) 2N =10a s /10

Ω c

由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：

() =

Ωs

= ΩΩ=令 λ sp s / p , k sp

则N 由下式表示：

lg k sp

N =-

lg λ sp

N

Ωp

用上式求出的N 可能有小数部分，应取大于等于N 的最小整数。关于3dB 截止频率Ωc ，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：

0.1a p

-

Ω c = Ω p (10 - 1) 由(6.2.15)式得到：

Ωc =Ωs (10-1)

0.1a s

-12N

12N

总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：

(1)根据技术指标Ωp, αp, Ωs 和αs ，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N 。 (2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk ，将pk 代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。

(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc 代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。

例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。

解 (1) 确定阶数N 。

k sp ==0.02422πf λsp ==2.4

2πf p N =-

lg 0.0242

=4.25,

lg 2.4

N =5

(2)其极点为

归一化传输函数为

s 0=e

3j π5

,

s 1=e s 3=e

4j 5

s 2=e , s 4=e

7j 5

j π

6j 5

H a (p ) =

1

∏(p -

p )

k

k =0

4

表 巴特沃斯归一化低通滤波器参数

上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：

极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

H a (p ) =

1

p 5+b 4p 4+b 3p 3+b 2p 2+b 1p +b 0

式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361

(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB 截止频率Ωc 。 按照(6.2.17)式，得到：

Ωc =Ωp (10

0.1a p

-1)

-

12N

=2π 5.2755krad /s

将Ωc 代入(6.2.18)式，得到：

Ωs =Ωc (10

0.1a s

-1)

-

12N

=2π 10.525krad /s

将p=s/Ωc 代入Ha(p)中得到：

Ω5c

H a (s ) =5

423

s +b 4Ωc s +b 3Ωc s +b 2Ω3c s 2+b 1Ω4c s +b 0Ω5c

我们这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N 为奇数与偶数时的切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω) 表示：

12

A 2(Ω) =H a (j Ω) =

2

1 + ε 2 C N ()

Ωp

图5-25 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性

式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp 称为通带截止频率。令λ=Ω/Ωp ，称为对Ωp 的归一化频率。CN(x)称为N 阶切比雪夫多项式，定义为

当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x；

⎧⎪cos(N arccos x ), x ≤1

C N (x ) =⎨

⎪⎩ch (N Archx ), x ≥1

当N=2时，C2(x)=2x 21； 当N=3时，C3(x)=4x 33x。

由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为

C N+1(x)=2xCN (x)CN-1(x) 图5-27示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见：

(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；

(2)当|x|

(3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x 单调上升。

图5-27 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线

平方幅度函数与三个参数即ε, Ωp 和N 有关。其中ε与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹δ用下式表示：

A 2(Ω) max

δ=10lg 2

A ( Ω ) min 因此

A 2(Ω) max =1,(Ω) min =

1

1+ε2

δ=10lg(1+ε2) ε2=100.1δ-1

图5-28 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A 2(Ω) 曲线

设阻带的起始点频率(阻带截止频率) 用Ωs 表示，在Ωs 处的A2(Ωs) 用(6.2.19)式确定：

s

) ΩP

2

1+ε2C N (

A 2(Ωs ) =

1

令λs=Ωs/Ωp ，由λs>1，有

可以解出

C N (λs ) =ch [NArch (λs )]=

N = s

⎫⎪⎧1

Ωs =Ωp ⎨Arch ⎬ ⎩N ⎪⎭

3dB 截止频率用Ωc 表示， 21

A (Ωc ) =

2

按照(6.2.19)式，有

通常取λc>1，因此

2

C N (λc ) =±2ε2C N (λc ) =1, λc =

Ωc

Ωp

1

ε

=ch [NArch (λc )]

上式中仅取正号，得到3dB 截止频率计算公式：

11 Ωc =Ωp ch [Arch ()]

N ε 以上Ωp, ε和N 确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp 。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。 设Ha(s)的极点为si=ζi+jΩi ，可以证明：

2i -1⎧

δ=-Ωch ξsin() i p ⎪⎪2N , i =1,2,3, ⋅⋅⋅, N ⎨

2i -1

⎪ Ω i = Ω p ch ξ cos( )

⎪2N ⎩

式中

11ξ=Arsh ()

N ε

δi 2Ωi 2

+22=122

Ω p sh ξ Ω p sh ξ

上式是一个椭圆方程，长半轴为Ωpch ξ(在虚轴上) ，短半轴为Ωpsh ξ(在实轴上) 。令b Ωp 和a Ωp 分别表示长半轴和短半轴，可推导出：

11

-1N

N

a = ( β - β )

2

11 -1N

a =(β+βN )

2 β = 1 +

ε

图5-29 三阶切比雪夫滤波器的极点分布

设N=3，平方幅度函数的极点分布如图5-29所示(极点用X 表示) 。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即 输函数为

H a (p ) =

N -1

1

H a (p ) =N

c ( p - p )

∏

i =1

i

式中c 是待定系数。根据幅度平方函数式可导出：c=ε·2 N-1，得到归一化的传

1

N

ε⋅2(p -p i ) ∏ i =1 去归一化后的传输函数为

H a (s ) =N

N -1 ε ⋅2(s -p Ω)

ΩN p

∏

i =1

i p

按照以上分析，下面介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤。

1) 确定技术要求αp, Ωp, αs 和Ωs ，αp 是Ω=Ωp 时的衰减系数，αs 是Ω=Ωs 时的衰减系数，它们为

αp =10lg

1A (Ωp )

1 αs =10lg 2

A (Ωs )

这里αp 就是前面定义的通带波纹δ，归一化频率

2) 求滤波器阶数N 和参数ε

1 2

=1+εC N (λp ) 2

A (Ωp )

将以上两式代入，得到： 令

λp =1, λs =

Ωs

Ωp

1

=1+ε2C N (λs ) 2

A (Ωs )

10

0.1αp

=1+ε2C N (λp ) =1+ε2cos 2(n arccos1) =1+ε2

100.1αs =1+ε2C N (λs ) =1+ε2ch 2(NArch λs ) 100.1αs -1

=

ch 2(NArch λs ) 0.1p

10-1

-1

1

k =

-1

ch [NArch λ s ] = k 1

N 的最小整数。

按照(6.2.22)式求ε，这里αp=δ。 ε+2=100.1δ 3) 求归一化传输函数Ha(p)

为求Ha(p)，先求出归一化极点p k , k=1,2,:,N。

(2k -1) π(2k -1) π

p k =-ch ξsin[]+jch ξcos[]

2 N 2 N

Arch (k 1-1)

N =

Arch (λs )

这样，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出阶数N ，最后取大于等于

将极点pk 代入，得到：

1

H a (s ) =N -1

ε⋅2∏(p -p i )

i =1

4) 将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即

H ( ( s ) = H p )

a

a

p =s /Ωp

例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。 解：

(1) 滤波器的技术要求：α =0.1dB , Ω=2πf

p p p

αp =60dB , Ωs =2πf s

(2) 求阶数N 和ε：

(3) 求Ha(p):

H a (p ) =

0.1526⋅2

λp =1, λs =

f s

=4f p

Arch (k 1-1) N =

Arch (λs )

k 1==6553Arch (6553)9.47N ===4.6,

Arch (4)2.06

-1

N =5

ε===0.1526

1

(5-1)

∏

i =1

(p -p i )

求出N=5时的极点pi ，代入上式，得到：

11

H a (p ) =⋅

2.442(p +0.5389)(p 2+0.3331p +1.1949) p 2+0.8720p +0.6359

(4)将Ha(p)去归一化，得到： H a (s ) =H a (p )

p =s /Ωp

=

1

(s +1.0158⨯107)(s 2+6.2788⨯106s +4.2459⨯1014)

1

2

s +1.6437⨯107s +2.2595⨯1014

4. 模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计

图 低通与高通滤波器的幅度特性

为了防止符号混淆，先规定一些符号如下： 1) 低通到高通的频率变换 λ和η之间的关系为

1

λ=

η

上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(jλ) ，高通H(jη) 则用下式转换：

模拟高通滤波器的设计步骤如下：

(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率Ω′p ，阻带上限频率Ω′s ，通带最大衰减αp ，阻带最小衰减αs 。

(2)确定相应低通滤波器的设计指标：将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：

①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ω′p ； ②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ω′s ； ③通带最大衰减仍为αp ，阻带最小衰减仍为αs 。

(3)设计归一化低通滤波器G(p)。

(4)求模拟高通的H(s)。转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/Ωc 代入H(q)中，得

H (j η) =G (j λ) 1

λ =η

H (s ) =G (p )

p =

Ωc

s

例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp 处最大衰减为3dB ，阻带最小衰减αs=15dB。 解

①高通技术要求：

fp=200Hz,αp=3dB; fs=100Hz,αs=15dB 归一化频率

②低通技术要求：

ηp =

f p f c

=1, λs =1

f =0.5f c

ηs

αp =

3dB , αs =15dB

③ 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故

λp =1, λs =

=2

k sp ==0.18λsp =

λs

=2λp lg k sp lg λsp

=2.47, 1

p 3+2p 2+2p +1

N =3

N =-

G (p ) =

④ 求模拟高通H(s)：

H (s ) =G (p ) Ωc =2πf p

p =Ωc s

s 3

=3

3

s +2Ωc s 2+2Ω2c s +Ωc

2) 低通到带通的频率变换

低通与带通滤波器的幅度特性如图所示。

ηs 1=Ωs 1/B , ηs 2=Ωs 2/B

ηl =Ωl /B , ηu =Ω

u /B η02=ηηl u

图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性

表η与λ的对应关系

由η与λ的对应关系，得到：

η2-η02

λ= η

由表知λp 对应ηu ，代入上式中，有

ηu 2-η02

λp ==ηu -ηl =1

η

上式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 p =j λ22

η-η0

p =j 代入上式，得到：

η

将q=jη代入上式，得到：

p = s 2Ωl Ωu

s (Ωu -Ωl )

2

q 2-η0p =

q

为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：

s 2+Ωl Ωu

p =

s (Ωu -Ωl ) H (s ) =G (p )

上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。 下面总结模拟带通的设计步骤。

(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即： 带通上限频率Ωu ，带通下限频率Ωl

下阻带上限频率Ω s1 ,上阻带下限频率Ω s2 通带中心频率Ω20=Ωl Ωu ，通带宽度B=Ωu Ωl 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：

ΩΩΩ ηs 1=s 1, ηs 2=s 2, ηl =l B B B

Ωu 2

η=, η0=ηηu l u B

(2) 确定归一化低通技术要求：

22

ηs 22-η0ηs 21-η0

λp =1, λs =, -λs =

ηs 2ηs 1

λs 与-λs 的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs ，这样保证在较大的λs 处更能满足要求。

通带最大衰减仍为αp ，阻带最小衰减亦为αs 。 (3) 设计归一化低通G(p)。 (4)直接将G(p)转换成带通H(s)。

例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减αp=3dB，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻带最小衰减αs=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求： Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dB

Ω s1 =2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dB B=2π×200rad/s; η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6

(2) 模拟归一化低通技术要求：

22

ηs 22-η0ηs 21-η0

λp =1, λ3==1.833, -λs ==

-1.874

ηs 2ηs 1

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。 (3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有

k sp ==0.18

λsp =

λs

=1.833λp

lg k sp lg λsp

=2.83

N =-

取N=3，查表，得

H (s ) =G (p )

p =

G (p ) =

1

p 3+2p 2+2p +1

(4) 求模拟带通H(s)：

s 2+Ωl Ωu s (Ωu -Ωl )

522

H (s ) =s 2B 3[s 6+2B S +(3Ω0+2B 2) s 4+(4Ω0B +B 3) s 3

4224-1

+(3Ω0+2Ω0B ) s 2+2Ω0Bs +

Ω60]

3) 低通到带阻的频率变换

低通与带阻滤波器的幅频特性如图所示。

图 低通与带阻滤波器的幅频特性

图中，Ωl 和Ωu 分别是下通带截止频率和上通带截止频率，Ωs1和Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率，Ω0为阻带中心频率，Ω20=Ωu Ωl ，阻带带宽B=Ωu Ωl ，B 作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηu ηl

表 η与λ的对应关系

根据η与λ的对应关系，可得到：

λ=

η

且ηu ηl=1，λp=1，上式称为低通到带阻的频率变换公式。代入p=jλ，并去归一化，可得

η2-η02

sB s (Ωu -Ωl ) p =2=22

s + Ω 0 s + Ω u Ω l

上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。

H (s ) =G (p )

p =sB 下面总结设计带阻滤波器的步骤：

s +Ω0

(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即： 下通带截止频率Ωl, 上通带截止频率Ωu 阻带下限频率Ωs1，阻带上限频率Ωs2

阻带中心频率Ω+20=Ωu Ωl ，阻带宽度B=Ωu Ωl 它们相应的归一化边界频率为

ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B; ηs2=Ωs2/B,η20=ηu ηl 以及通带最大衰减αp 和阻带最小衰减αs 。 (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即：

λp =1, λs =

ηs 1ηs 2

, -λ=s 2

ηs 21-η02ηs 22-η0

取λs 和λs 的绝对值较小的λs ；通带最大衰减为αp ，阻带最小衰减为αs 。 (3) 设计归一化模拟低通G(p)。

(4) 直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。 例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：

Ωl=2π×905rad/s, Ωs1=2π×980rad/s,

Ωs2= 2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。 试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解

(1) 模拟带阻滤波器的技术要求： Ωl=2π×905, Ωu=2π×1105; Ωs1=2π×980, Ωs2=2π×1020;

Ω20=Ωl Ωu=4π+2×1000025,B=Ωu Ωl=2π×200;

ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;

ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1; η20=ηl ηu=25

(2) 归一化低通的技术要求： ηs 2

ηp =1, λs =2=-4.95, 2

ηs 1-η0

λs =4.95

αp =3dB , αs =25dB

(3) 设计归一化低通滤波器G(p):

k sp ==0.0562λsp =

λs

=4.95λp lg k sp lg λsp

=1.8,

N =2

N =-

G (p ) =

(4) 带阻滤波器的H(s)为

H (s ) =G (p )

p =

sB s +Ω0

224

4=三、从模拟滤波器设计数字滤波器的方法

（一）用脉冲响应不变变换法设计IIR 数字低通滤波器

为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s 平面的虚轴映射z 平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。

设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)

H a (s ) =LT [h a (t )]

设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，

N 将Ha(s)用部分分式表示： A i

H a (s ) =∑

i = 1 s - s i

式中si 为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)： N s

i nt

h a (t ) =∑Ae u (t ) i

i =1式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到： h ( h ( nT ) = Ae s i nT u ( ) n ) =nT

a

∑

i =1

N

i

对上式进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：

A i

H (z ) =∑s i T -1

1-e i =1 z

N

设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，

a

h a (t ) =

^

n =-∞

∑

∞

h a (t ) δ(t -nT )

^

对 h (t ) 进行拉氏变换，得到:

H a (s ) =⎰=⎰=⎰

^

∞

-∞

h a (t ) e -st dt [∑h a (t -nT )]e -st dt

n

^

∞

-∞∞

-∞

(nT ) e -snT

式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:

H a (s ) =∑h (n ) e -snT =∑h (n ) z -n z =e sT =H (z ) z =e sT n n 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z 变换之间的映射关系可用下式表示：

z =e sT

^

我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ) 和其采样信号的傅里叶变换 之间的关系满足公式，重写如下：

∞^1 H a ( ) = ∑ H a ( j Ω - jk Ω s ) j Ω

T k =-∞

将s=jΩ代入上式，得

1

H a (s ) = T ∑ H a ( s - jk Ω s )

^

k

得到:

1 H (z ) z =e sT =∑H a (s -jk Ωs )

T k

上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s 平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，映射到z 平面上，就得到H(z)。下面进一步分析这种映射关系。设 得到:

因此得到:

s =σ+j Ωz =re j ω

re j ω=e σT e j ΩT

⎧r =e σT

⎨

⎩ω=ΩT

那么 ζ=0,r=1 ζ0,r>1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成 2π

sT σT j ΩT σT j (Ω+T M ) T e =e e =e e , M 为任意整数

图5-31 z=e,s 平面与z 平面之间的映射关系

sT

图5-32 脉冲响应不变法的频率混叠现象

假设没有频率混叠现象，即满足

H a (j Ω) =0, Ω≥π/T

并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT ，代入得到：

1ω H (e j ω) =H a (j ), ω

令

h (n ) =Th a (nT ) H (z ) =∑

i =1N

TA i

1-e s i T z -1

H (e j ω) =H a (j ω/T ), ω

H a (j Ω)

^

一般Ha(s)的极点si 是一个复数，且以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为

s +σ1极点为

-σ1±j Ω1

22

(s +σ1) +Ω1

可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法) 的形式为

1-z -1e -σ1T cos Ω1T

1T 1 - 2 z - 1e - σ cos Ω 1 T + z - 2 σ 1T e 2

Ω

, 极点为 -σ1±j Ω1如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 12 2

(s +σ1) +Ω1

例 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为

H a (s ) =

z -1e σ1T sin Ω1T

1-2z -1e 1T cos Ω1T +z -2e -21T

0.5012

s 2+0.6449s +0.7079

用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解 首先将Ha(s)写成部分分式：

H a (s ) =

-j 0.3224j 0.3224

+

s +0.3224+j 0.7772s +0.3224-j 0.7772

极点为

s 1=-(0.3224+j 0.772), s 2=-(0.3224-j 0.7772)

那么H(z)的极点为

经过整理，得到

设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则 H(z)为

0.3276z -1

H 1(z ) =

1-1.0328z -1+0.247z -2

0.0485z -1

H 2(z ) =

1-1.9307z -1+0.9375z -2

z 1=e s 1T , z 2=e s 2T

进行转换。首先将Ha(s)写成极点式，如极点s1,2=ζ1±j Ω1, 则

H a (s ) =

0.5012Ω1Ω1

=0.644922

Ω1(s +σ1) 2+Ω1(s +σ1) 2+Ω1

z -1e -σ1T sin Ω1T H (z ) =0.6449

1-2z -1e -σ1T cos Ω1T +z -2e -2σ1T

图 例的幅度特性

（二）用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器

正切变换实现频率压缩： 21

Ω=tan(Ω1T )

T 2 式中T 仍是采样间隔，当Ω1从π/T经过0变化到π/T时，Ω则由∞经过0变化到+∞，实现了s 平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有

2121-e -s 1T

s =th (Ω1T ) = T 2T 1+e -s 1T

T 转换到z 平面上，得到： 再通过 z = e s 1

21-z -1

s =-1

1 + z T 2+s

z =

-s T

下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。

图5-37 双线性变换法的映射关系

令s=jΩ,z=e jω，并代入，有

21-e -j ω

j Ω=

T 1+e -j 21Ω=tan ω

T 2

图5-38 双线性变换法的频率变换关系

图5-40 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

设

H (z ) =H a (s )

s =1-z

1+z -1

A 0+A 1s +A 2s 2+⋅⋅⋅+A k s k

H a (s ) =

B 0+B 1s +B 2s 2+⋅⋅⋅+B k s k

, C =

2T

a 0+a 1z -1+a 2z -2+⋅⋅⋅+a k z -k

H (z ) =

1+b 1z -1+b 2z -2+⋅⋅⋅+b k z -k

表 系数关系表

例 试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将RC 低通滤波器转换成数字滤波器。

解 首先写出该滤波器的传输函数Ha(s)为

α1

H (s ) =, α= a

α+s RC

利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为

α H 1(z ) =

1-e -αT z -1

利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为

H 2(z ) =H a (s )

21-z -1T 1+z =

α1(1+z -1)

1+a 2z -1

s =

αT -2

αT +2αT +2

H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图 (a),(b)所示。

α1=

, α2=

αT

图 例H1(z)和H2(z)的网络结构

(a)H1(z); (b)H2(z)

下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR 数字低通滤波器的步骤。

(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp 、通带衰减αp 、阻带截止频率ωs 、阻带衰减αs 。

(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为

ω=ΩT

Ω=

21

tan(ω) T 2

数字滤波器H 1(z)和H 2(z)的幅频特性

(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。

(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s 平面转换到z 平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。

例 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad 时，容许幅度误差在1dB 以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB 。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。 解

(1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 ① 数字低通的技术指标为

ωp=0.2πrad, αp=1dB; ωs=0.3πrad, αs=15dB ② 模拟低通的技术指标为

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB; Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB

③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N 及3dB 截止频率Ωc 。

N =-

lg k sp lg λsp

λsp =

Ωs 0.3π

==1.5Ωp 0.2π

k sp ==0.092lg0.092N =-=5.884

lg1.5

取N=6。为求3dB 截止频率Ωc, 将Ωp 和αp 代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。

根据阶数N=6，查表，得到归一化传输函数为

H a (p ) =

1

1+3.8637p +7.4641p 2+9.1416p 3+7.4641p 4+3.8637p 5+p 6

为去归一化，将p=s/Ωc 代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),

Ω62

H a (s ) =6

52434256 s +3.8637Ωc s +7.4641Ωc s +9.1416Ω3s +7.4641Ωs +3.8637Ωs +Ωc c c c

0.1209

=6

s +2.716s 5+3.691s 4+3.179s 3+1.825s 2+0.121s +0.1209

④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，得到：

0.2871-0.4466z -1-2.1428+1.1454z -1H (z ) =+

1-0.1297z -1+0.6949z -21-1.0691z -1+0.3699z -2

1.8558-0.6304z -1

+

1-0.9972z -1+0.2570z -2

例—用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性

(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 ① 数字低通技术指标仍为 ωp=0.2πrad, αp=1dB; ωs=0.3πrad, αs=15dB ② 模拟低通的技术指标为

21

tan ωp , T =1T 2

ΩP =2tan 0.1π=0.65rad /s , αp =1dB Ωp =

Ωs =2tan 0.15π=1.019rad /s , αs =15dB

③ 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N 计算如下：

lg k sp

N =-

lg λsp

λsp =

Ω1.019

==1.568Ωp 0.65lg0.092

=5.306

lg1.568

k sp =0.092N =-

取N=6。为求Ωc, 将Ωs 和αs 代入，得到Ωc=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。

根据N=6，查表得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc 代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，

H (z ) =H a (s )

s =2

1-z -1

1+z -1

H a (s ) =

0.2024

(s 2+0.396s +0.5871)(s 2+1.083s +0.5871)(s 2+1.480s +0.5871)

④ 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：

0.0007378(1+z -1) 6

=

(1-1.268z -1+0.7051z -2)(1-1.010z -1+0.358z -2) 1

1-0.9044z -1+0.2155z -2

例—用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性

（三）IIR 数字滤波器的频率变换

1. 高通数字滤波器等的具体设计步骤如下： (1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。

(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为

Ω=

21tan ωT 2

(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。 (4)设计模拟低通滤波器。

(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。

(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。

例 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad ，通带衰减不大于3 dB ，阻带截止频率ωs=0.44πrad, 阻带衰减不小于15dB 。希望采用巴特沃斯型滤波器。 解

(1)数字高通的技术指标为

ωp=0.8πrad, αp=3dB; ωs=0.44πrad, αs=15dB (2) 模拟高通的技术指标计算如下：

令T=1，则有 Ωp =2tan 1ωp =6.155rad /s , αp =3dB

2

1

Ωs =2tan ωs =1.655rad /s , αs =3dB

2

(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：

1

Ωp ==0.163rad /s , αp =3dB

6.155

1

Ωs ==0.604rad /s , αs =15dB

1.655将Ωp 和Ωs 对3dB 截止频率Ωc 归一化，这里Ωc=Ωp,

Ω λp =1, λs =s =

3.71Ωp

(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N 计算如下：

lg k sp

N =-

lg λsp

k sp ==0.1803

λλ==3.71sp

λp

N =1.31, N =2

查表，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为

G (p ) =

为去归一化，将p=s/Ωc 代入上式得到：

2 G (s ) =

(5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：

2

12H a (s ) =G () = s (6)用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高通H(z)：

H (z ) =H a (s )

s =2

1-z -11+z 实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即

H (z ) =G (s )

s =

11+z -121-z 0.106(1-z -1) 20.0653(1-z -1) 2

H (z ) ==-1-2

1.624+1.947z +0.566z 1+

1.199z -1+0.349z -2

例 设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad 到0.4πrad ，通带内最大衰减为3dB ，0.2πrad 以下和0.5πrad 以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB 。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。 解 (1)数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 ωu=0.4πrad 通带下截止频率 ωl=0.3πrad

阻带上截止频率 ωs2=0.5πrad 阻带下截止频率 ωs1=0.2πrad

通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。 (2) 模拟带通滤波器技术指标如下：

1 设T=1，则有 Ωu =2tan ωu =1.453rad /s 2

1

Ωl =2tan ωl =1.019rad /s

2

1 Ωs 2=2tan ωs 2=2rad /s 2

1

Ω=2tan ωs 1=0.650rad /s

s 1

2

Ω0==1.217rad /s

B =Ωu -Ωl =0.434rad /s

将以上边界频率对带宽B 归一化，得到

ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804

(3) 模拟归一化低通滤波器技术指标：

归一化阻带截止频率

归一化通带截止频率

λp=1 αp=3dB,αs=18dB

(4) 设计模拟低通滤波器：

k sp ==0.127η2-η2λs =

=2.902ηs 2λsp =λs =2.902λp lg 0.127=

1.940, lg 2.902N =2N =-

查表，得到归一化低通传输函数G(p), G (p ) =

(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通：

H a (s ) =G (p )

p =2s 2+Ω0

s (Ωu -Ωl )

(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：

2s 2+Ω0p =s (Ωu -Ωl ) 1-z -1s =21+z -124(1-z -1) 2+Ω0(1+z -1) 2=2(1-z -2)(Ωu -Ωl ) 将上式代入(5)中的转换公式，得 s =21-z -11+z 5.48-4.5z -1+7.481z -26.313-5.18z -1+80619z -2==0.868(1-z -2) 1-z -2将上面的p 等式代入G(p)中，得 0.021(1-2z -2+z -4) H (z ) = 1-1.491z -1+2.848z -2-1.68z -3+1.273z -4

例 设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率ωl=0.19π, 阻带下截止频率ωs1=0.198π，阻带上截止频率ωs2=0.202π，通带上限频率ωu=0.21π，阻带最

小衰减αs=13dB，ωl 和ωu 处衰减αp=3dB。采用巴特沃斯型。 解 (1) 数字带阻滤波器技术指标：

ωl=0.19πrad, ωu=0.21πrad, αp=3dB;

ωs1=0.198πrad, ωs2=0.202πrad, αs=13dB

(2) 模拟带阻滤波器的技术指标：

设T=1，则有

Ω=2tan 1ω=0.615rad /s , Ω=2tan 1ω=0.685rad /s l l u u 22 11Ω=2tan ω=0.615rad /s , Ω=2tan ωs 2=0.685rad /s s 1s 1s 2 22

阻带中心频率平方为 Ω20=Ωl Ωu=0.421

阻带带宽为 B=Ωu-Ωl=0.07rad/s

将以上边界频率对B 归一化：

ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηl ηu=85.98

(3) 模拟归一化低通滤波器的技术指标：

按照式，有： λp=1,αp=3dB

(4) 设计模拟低通滤波器：

λs =ηs 2=4.434, αs =13dB ηs 22-η02k sp ==0.229λsp =λs =4.434λp

lg0.229=0.99, N =1 lg 4.434

(5) 将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)： N =-

p =sB 2s 2+Ω0p =sB

2s +Ω02H a (s ) =G (p )

(6) 将

Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。

sB 2(1-z -2) B p =2=2-122-121-z -1

s =2s +Ω4(1-z ) +Ω(1+z ) 00 1+z

H (z ) =G (p ) p =2(1+z -2) B 4(1+z ) +Ω0(1+z ) 0.969(1-619z -1+z -2) =1-1.569z -1+0.939z -2

第五章 数字滤波器

5-3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计

一、概述

数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：

H (z ) =r =0N

1 + a z - k

∑

M

b r z -r

k

k =1

∑

-π-π

H (z ) =∑h (n ) z -n

n =0

N -1

低通

H (ej ω)

-π

高通

H (ej ω)

2ω

带通

H (ej ω)

ω

2带阻

H (ej ω)

ω

2ω

理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性

2 数字滤波器的技术要求

我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e jω) 用下式表示：

j ωj ωj Ω(ω)

(e H ) = H (e ) e

通带内和阻带内允许的衰减一般用dB 数表示，通带内允许的最大衰减用αp 表示，阻带内允许的最小衰减用αs 表示，αp 和αs 分别定义为：

dB

H (e )

j ωp

αp =20lg αs =20lg

H (e j 0)

H (e j 0)

j ωs

H (e )

dB

如将|H(ej0)|归一化为1，则表示成：

j ωp

αp =-20lg H (e ) dB

j ω

αs =-20lg H (e ) dB

s

3. 数字滤波器设计方法概述

IIR 滤波器和FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。IIR 滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 二、模拟滤波器的设计

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。

图5-21理想滤波器的幅频特性

1. 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法

模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp, αs 和Ωs 。其中Ωp 和Ωs 分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp 是通带Ω(=0~Ωp) 中的最大衰减系数，αs 是阻带Ω≥Ωs 的最小衰减系数，αp 和αs 一般用dB 数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：

H a (j Ω) α p = 10lg

2

H a (j Ωp )

2

H a (j Ω)

αs =10lg 2

H a (j Ωs )

如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp 和αs 表示为

2

α = - 10lg H (j Ω)

p

a

p

2

2

αs =-10lg H a (j Ωs )

以上技术指标用图表示。图中Ωc 称为3dB 截止频率，因

H a (j Ωc ) =-20lg H a (j Ωc ) =3dB

低通滤波器的幅度特性

滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp 和αs ，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此

2

H a (j Ω) =H a (s ) G (-s )

s =j Ω

*

=H a (j Ω) H a (j Ω)

2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：

12

H a (j Ω) =

1 + ( ) 2 N Ωc

图5-23特沃斯幅度特性和N 的关系

将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s 的函数：

1 H a (s ) H a (-s ) =

2N

1+( j Ω)

c

此式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点sk 用下式表示：

s k =(-1) (j Ωc ) =Ωc e

(6.2.8)

12N 12k +1j π(+) 22N

图5-24 三阶巴特沃斯滤波器极点分布

为形成稳定的滤波器，2N 个极点中只取s 平面左半平面的N 个极点构成Ha(s)，而右半平面的N 个极点构成Ha(s)。 Ha(s)的表示式为

设N=3，极点有6个，它们分别为

N Ωc

H a (s ) =

∏(s -s )

k

k =0

s 0=Ωc e s 1=-Ωc s 2=Ωc e s 3=Ωc e s 4=Ωc s 5=Ωc e

2j 3

2-j 31-j 3

1j 3

取s 平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：

H a (s ) =22

j π-j π

( s - Ω 3 )( s - Ω 3 ) s + Ω)(

c

c

c

Ω3a

由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB 截止频率Ωc 归一化，归一化后的Ha(s)表示为

1

N -1

s s (-k ) ∏

k =0 Ω c Ω c

H a (s ) =

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc 。 令λ=Ω/Ωc ，λ称为归一化频率；令p=jλ，p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为

1 H a (p ) =N -1

∏ ( p - p k )

k =0

式中，pk 为归一化极点，用下式表示：

p k =e , k =0,1, ⋅⋅⋅, N -1

将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p 的N 阶多项式，用下式表示：

Ωp 2N a p /10

1+( ) = 10

Ωc

12k +1j π(+) 22N

将Ω=Ωs 代入(6.2.6)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入(6.2.4)式中，得到：

Ω

1+(s ) 2N =10a s /10

Ω c

由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：

() =

Ωs

= ΩΩ=令 λ sp s / p , k sp

则N 由下式表示：

lg k sp

N =-

lg λ sp

N

Ωp

用上式求出的N 可能有小数部分，应取大于等于N 的最小整数。关于3dB 截止频率Ωc ，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：

0.1a p

-

Ω c = Ω p (10 - 1) 由(6.2.15)式得到：

Ωc =Ωs (10-1)

0.1a s

-12N

12N

总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：

(1)根据技术指标Ωp, αp, Ωs 和αs ，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N 。 (2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk ，将pk 代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。

(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc 代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。

例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。

解 (1) 确定阶数N 。

k sp ==0.02422πf λsp ==2.4

2πf p N =-

lg 0.0242

=4.25,

lg 2.4

N =5

(2)其极点为

归一化传输函数为

s 0=e

3j π5

,

s 1=e s 3=e

4j 5

s 2=e , s 4=e

7j 5

j π

6j 5

H a (p ) =

1

∏(p -

p )

k

k =0

4

表 巴特沃斯归一化低通滤波器参数

上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：

极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

H a (p ) =

1

p 5+b 4p 4+b 3p 3+b 2p 2+b 1p +b 0

式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361

(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB 截止频率Ωc 。 按照(6.2.17)式，得到：

Ωc =Ωp (10

0.1a p

-1)

-

12N

=2π 5.2755krad /s

将Ωc 代入(6.2.18)式，得到：

Ωs =Ωc (10

0.1a s

-1)

-

12N

=2π 10.525krad /s

将p=s/Ωc 代入Ha(p)中得到：

Ω5c

H a (s ) =5

423

s +b 4Ωc s +b 3Ωc s +b 2Ω3c s 2+b 1Ω4c s +b 0Ω5c

我们这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N 为奇数与偶数时的切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω) 表示：

12

A 2(Ω) =H a (j Ω) =

2

1 + ε 2 C N ()

Ωp

图5-25 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性

式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp 称为通带截止频率。令λ=Ω/Ωp ，称为对Ωp 的归一化频率。CN(x)称为N 阶切比雪夫多项式，定义为

当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x；

⎧⎪cos(N arccos x ), x ≤1

C N (x ) =⎨

⎪⎩ch (N Archx ), x ≥1

当N=2时，C2(x)=2x 21； 当N=3时，C3(x)=4x 33x。

由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为

C N+1(x)=2xCN (x)CN-1(x) 图5-27示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见：

(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；

(2)当|x|

(3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x 单调上升。

图5-27 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线

平方幅度函数与三个参数即ε, Ωp 和N 有关。其中ε与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹δ用下式表示：

A 2(Ω) max

δ=10lg 2

A ( Ω ) min 因此

A 2(Ω) max =1,(Ω) min =

1

1+ε2

δ=10lg(1+ε2) ε2=100.1δ-1

图5-28 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A 2(Ω) 曲线

设阻带的起始点频率(阻带截止频率) 用Ωs 表示，在Ωs 处的A2(Ωs) 用(6.2.19)式确定：

s

) ΩP

2

1+ε2C N (

A 2(Ωs ) =

1

令λs=Ωs/Ωp ，由λs>1，有

可以解出

C N (λs ) =ch [NArch (λs )]=

N = s

⎫⎪⎧1

Ωs =Ωp ⎨Arch ⎬ ⎩N ⎪⎭

3dB 截止频率用Ωc 表示， 21

A (Ωc ) =

2

按照(6.2.19)式，有

通常取λc>1，因此

2

C N (λc ) =±2ε2C N (λc ) =1, λc =

Ωc

Ωp

1

ε

=ch [NArch (λc )]

上式中仅取正号，得到3dB 截止频率计算公式：

11 Ωc =Ωp ch [Arch ()]

N ε 以上Ωp, ε和N 确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp 。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。 设Ha(s)的极点为si=ζi+jΩi ，可以证明：

2i -1⎧

δ=-Ωch ξsin() i p ⎪⎪2N , i =1,2,3, ⋅⋅⋅, N ⎨

2i -1

⎪ Ω i = Ω p ch ξ cos( )

⎪2N ⎩

式中

11ξ=Arsh ()

N ε

δi 2Ωi 2

+22=122

Ω p sh ξ Ω p sh ξ

上式是一个椭圆方程，长半轴为Ωpch ξ(在虚轴上) ，短半轴为Ωpsh ξ(在实轴上) 。令b Ωp 和a Ωp 分别表示长半轴和短半轴，可推导出：

11

-1N

N

a = ( β - β )

2

11 -1N

a =(β+βN )

2 β = 1 +

ε

图5-29 三阶切比雪夫滤波器的极点分布

设N=3，平方幅度函数的极点分布如图5-29所示(极点用X 表示) 。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即 输函数为

H a (p ) =

N -1

1

H a (p ) =N

c ( p - p )

∏

i =1

i

式中c 是待定系数。根据幅度平方函数式可导出：c=ε·2 N-1，得到归一化的传

1

N

ε⋅2(p -p i ) ∏ i =1 去归一化后的传输函数为

H a (s ) =N

N -1 ε ⋅2(s -p Ω)

ΩN p

∏

i =1

i p

按照以上分析，下面介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤。

1) 确定技术要求αp, Ωp, αs 和Ωs ，αp 是Ω=Ωp 时的衰减系数，αs 是Ω=Ωs 时的衰减系数，它们为

αp =10lg

1A (Ωp )

1 αs =10lg 2

A (Ωs )

这里αp 就是前面定义的通带波纹δ，归一化频率

2) 求滤波器阶数N 和参数ε

1 2

=1+εC N (λp ) 2

A (Ωp )

将以上两式代入，得到： 令

λp =1, λs =

Ωs

Ωp

1

=1+ε2C N (λs ) 2

A (Ωs )

10

0.1αp

=1+ε2C N (λp ) =1+ε2cos 2(n arccos1) =1+ε2

100.1αs =1+ε2C N (λs ) =1+ε2ch 2(NArch λs ) 100.1αs -1

=

ch 2(NArch λs ) 0.1p

10-1

-1

1

k =

-1

ch [NArch λ s ] = k 1

N 的最小整数。

按照(6.2.22)式求ε，这里αp=δ。 ε+2=100.1δ 3) 求归一化传输函数Ha(p)

为求Ha(p)，先求出归一化极点p k , k=1,2,:,N。

(2k -1) π(2k -1) π

p k =-ch ξsin[]+jch ξcos[]

2 N 2 N

Arch (k 1-1)

N =

Arch (λs )

这样，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出阶数N ，最后取大于等于

将极点pk 代入，得到：

1

H a (s ) =N -1

ε⋅2∏(p -p i )

i =1

4) 将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即

H ( ( s ) = H p )

a

a

p =s /Ωp

例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。 解：

(1) 滤波器的技术要求：α =0.1dB , Ω=2πf

p p p

αp =60dB , Ωs =2πf s

(2) 求阶数N 和ε：

(3) 求Ha(p):

H a (p ) =

0.1526⋅2

λp =1, λs =

f s

=4f p

Arch (k 1-1) N =

Arch (λs )

k 1==6553Arch (6553)9.47N ===4.6,

Arch (4)2.06

-1

N =5

ε===0.1526

1

(5-1)

∏

i =1

(p -p i )

求出N=5时的极点pi ，代入上式，得到：

11

H a (p ) =⋅

2.442(p +0.5389)(p 2+0.3331p +1.1949) p 2+0.8720p +0.6359

(4)将Ha(p)去归一化，得到： H a (s ) =H a (p )

p =s /Ωp

=

1

(s +1.0158⨯107)(s 2+6.2788⨯106s +4.2459⨯1014)

1

2

s +1.6437⨯107s +2.2595⨯1014

4. 模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计

图 低通与高通滤波器的幅度特性

为了防止符号混淆，先规定一些符号如下： 1) 低通到高通的频率变换 λ和η之间的关系为

1

λ=

η

上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(jλ) ，高通H(jη) 则用下式转换：

模拟高通滤波器的设计步骤如下：

(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率Ω′p ，阻带上限频率Ω′s ，通带最大衰减αp ，阻带最小衰减αs 。

(2)确定相应低通滤波器的设计指标：将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：

①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ω′p ； ②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ω′s ； ③通带最大衰减仍为αp ，阻带最小衰减仍为αs 。

(3)设计归一化低通滤波器G(p)。

(4)求模拟高通的H(s)。转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/Ωc 代入H(q)中，得

H (j η) =G (j λ) 1

λ =η

H (s ) =G (p )

p =

Ωc

s

例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp 处最大衰减为3dB ，阻带最小衰减αs=15dB。 解

①高通技术要求：

fp=200Hz,αp=3dB; fs=100Hz,αs=15dB 归一化频率

②低通技术要求：

ηp =

f p f c

=1, λs =1

f =0.5f c

ηs

αp =

3dB , αs =15dB

③ 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故

λp =1, λs =

=2

k sp ==0.18λsp =

λs

=2λp lg k sp lg λsp

=2.47, 1

p 3+2p 2+2p +1

N =3

N =-

G (p ) =

④ 求模拟高通H(s)：

H (s ) =G (p ) Ωc =2πf p

p =Ωc s

s 3

=3

3

s +2Ωc s 2+2Ω2c s +Ωc

2) 低通到带通的频率变换

低通与带通滤波器的幅度特性如图所示。

ηs 1=Ωs 1/B , ηs 2=Ωs 2/B

ηl =Ωl /B , ηu =Ω

u /B η02=ηηl u

图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性

表η与λ的对应关系

由η与λ的对应关系，得到：

η2-η02

λ= η

由表知λp 对应ηu ，代入上式中，有

ηu 2-η02

λp ==ηu -ηl =1

η

上式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 p =j λ22

η-η0

p =j 代入上式，得到：

η

将q=jη代入上式，得到：

p = s 2Ωl Ωu

s (Ωu -Ωl )

2

q 2-η0p =

q

为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：

s 2+Ωl Ωu

p =

s (Ωu -Ωl ) H (s ) =G (p )

上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。 下面总结模拟带通的设计步骤。

(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即： 带通上限频率Ωu ，带通下限频率Ωl

下阻带上限频率Ω s1 ,上阻带下限频率Ω s2 通带中心频率Ω20=Ωl Ωu ，通带宽度B=Ωu Ωl 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：

ΩΩΩ ηs 1=s 1, ηs 2=s 2, ηl =l B B B

Ωu 2

η=, η0=ηηu l u B

(2) 确定归一化低通技术要求：

22

ηs 22-η0ηs 21-η0

λp =1, λs =, -λs =

ηs 2ηs 1

λs 与-λs 的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs ，这样保证在较大的λs 处更能满足要求。

通带最大衰减仍为αp ，阻带最小衰减亦为αs 。 (3) 设计归一化低通G(p)。 (4)直接将G(p)转换成带通H(s)。

例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减αp=3dB，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻带最小衰减αs=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求： Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dB

Ω s1 =2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dB B=2π×200rad/s; η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6

(2) 模拟归一化低通技术要求：

22

ηs 22-η0ηs 21-η0

λp =1, λ3==1.833, -λs ==

-1.874

ηs 2ηs 1

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。 (3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有

k sp ==0.18

λsp =

λs

=1.833λp

lg k sp lg λsp

=2.83

N =-

取N=3，查表，得

H (s ) =G (p )

p =

G (p ) =

1

p 3+2p 2+2p +1

(4) 求模拟带通H(s)：

s 2+Ωl Ωu s (Ωu -Ωl )

522

H (s ) =s 2B 3[s 6+2B S +(3Ω0+2B 2) s 4+(4Ω0B +B 3) s 3

4224-1

+(3Ω0+2Ω0B ) s 2+2Ω0Bs +

Ω60]

3) 低通到带阻的频率变换

低通与带阻滤波器的幅频特性如图所示。

图 低通与带阻滤波器的幅频特性

图中，Ωl 和Ωu 分别是下通带截止频率和上通带截止频率，Ωs1和Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率，Ω0为阻带中心频率，Ω20=Ωu Ωl ，阻带带宽B=Ωu Ωl ，B 作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηu ηl

表 η与λ的对应关系

根据η与λ的对应关系，可得到：

λ=

η

且ηu ηl=1，λp=1，上式称为低通到带阻的频率变换公式。代入p=jλ，并去归一化，可得

η2-η02

sB s (Ωu -Ωl ) p =2=22

s + Ω 0 s + Ω u Ω l

上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。

H (s ) =G (p )

p =sB 下面总结设计带阻滤波器的步骤：

s +Ω0

(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即： 下通带截止频率Ωl, 上通带截止频率Ωu 阻带下限频率Ωs1，阻带上限频率Ωs2

阻带中心频率Ω+20=Ωu Ωl ，阻带宽度B=Ωu Ωl 它们相应的归一化边界频率为

ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B; ηs2=Ωs2/B,η20=ηu ηl 以及通带最大衰减αp 和阻带最小衰减αs 。 (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即：

λp =1, λs =

ηs 1ηs 2

, -λ=s 2

ηs 21-η02ηs 22-η0

取λs 和λs 的绝对值较小的λs ；通带最大衰减为αp ，阻带最小衰减为αs 。 (3) 设计归一化模拟低通G(p)。

(4) 直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。 例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：

Ωl=2π×905rad/s, Ωs1=2π×980rad/s,

Ωs2= 2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。 试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解

(1) 模拟带阻滤波器的技术要求： Ωl=2π×905, Ωu=2π×1105; Ωs1=2π×980, Ωs2=2π×1020;

Ω20=Ωl Ωu=4π+2×1000025,B=Ωu Ωl=2π×200;

ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;

ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1; η20=ηl ηu=25

(2) 归一化低通的技术要求： ηs 2

ηp =1, λs =2=-4.95, 2

ηs 1-η0

λs =4.95

αp =3dB , αs =25dB

(3) 设计归一化低通滤波器G(p):

k sp ==0.0562λsp =

λs

=4.95λp lg k sp lg λsp

=1.8,

N =2

N =-

G (p ) =

(4) 带阻滤波器的H(s)为

H (s ) =G (p )

p =

sB s +Ω0

224

4=三、从模拟滤波器设计数字滤波器的方法

（一）用脉冲响应不变变换法设计IIR 数字低通滤波器

为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s 平面的虚轴映射z 平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。

设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)

H a (s ) =LT [h a (t )]

设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，

N 将Ha(s)用部分分式表示： A i

H a (s ) =∑

i = 1 s - s i

式中si 为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)： N s

i nt

h a (t ) =∑Ae u (t ) i

i =1式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到： h ( h ( nT ) = Ae s i nT u ( ) n ) =nT

a

∑

i =1

N

i

对上式进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：

A i

H (z ) =∑s i T -1

1-e i =1 z

N

设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，

a

h a (t ) =

^

n =-∞

∑

∞

h a (t ) δ(t -nT )

^

对 h (t ) 进行拉氏变换，得到:

H a (s ) =⎰=⎰=⎰

^

∞

-∞

h a (t ) e -st dt [∑h a (t -nT )]e -st dt

n

^

∞

-∞∞

-∞

(nT ) e -snT

式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:

H a (s ) =∑h (n ) e -snT =∑h (n ) z -n z =e sT =H (z ) z =e sT n n 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z 变换之间的映射关系可用下式表示：

z =e sT

^

我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ) 和其采样信号的傅里叶变换 之间的关系满足公式，重写如下：

∞^1 H a ( ) = ∑ H a ( j Ω - jk Ω s ) j Ω

T k =-∞

将s=jΩ代入上式，得

1

H a (s ) = T ∑ H a ( s - jk Ω s )

^

k

得到:

1 H (z ) z =e sT =∑H a (s -jk Ωs )

T k

上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s 平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，映射到z 平面上，就得到H(z)。下面进一步分析这种映射关系。设 得到:

因此得到:

s =σ+j Ωz =re j ω

re j ω=e σT e j ΩT

⎧r =e σT

⎨

⎩ω=ΩT

那么 ζ=0,r=1 ζ0,r>1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成 2π

sT σT j ΩT σT j (Ω+T M ) T e =e e =e e , M 为任意整数

图5-31 z=e,s 平面与z 平面之间的映射关系

sT

图5-32 脉冲响应不变法的频率混叠现象

假设没有频率混叠现象，即满足

H a (j Ω) =0, Ω≥π/T

并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT ，代入得到：

1ω H (e j ω) =H a (j ), ω

令

h (n ) =Th a (nT ) H (z ) =∑

i =1N

TA i

1-e s i T z -1

H (e j ω) =H a (j ω/T ), ω

H a (j Ω)

^

一般Ha(s)的极点si 是一个复数，且以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为

s +σ1极点为

-σ1±j Ω1

22

(s +σ1) +Ω1

可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法) 的形式为

1-z -1e -σ1T cos Ω1T

1T 1 - 2 z - 1e - σ cos Ω 1 T + z - 2 σ 1T e 2

Ω

, 极点为 -σ1±j Ω1如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 12 2

(s +σ1) +Ω1

例 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为

H a (s ) =

z -1e σ1T sin Ω1T

1-2z -1e 1T cos Ω1T +z -2e -21T

0.5012

s 2+0.6449s +0.7079

用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解 首先将Ha(s)写成部分分式：

H a (s ) =

-j 0.3224j 0.3224

+

s +0.3224+j 0.7772s +0.3224-j 0.7772

极点为

s 1=-(0.3224+j 0.772), s 2=-(0.3224-j 0.7772)

那么H(z)的极点为

经过整理，得到

设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则 H(z)为

0.3276z -1

H 1(z ) =

1-1.0328z -1+0.247z -2

0.0485z -1

H 2(z ) =

1-1.9307z -1+0.9375z -2

z 1=e s 1T , z 2=e s 2T

进行转换。首先将Ha(s)写成极点式，如极点s1,2=ζ1±j Ω1, 则

H a (s ) =

0.5012Ω1Ω1

=0.644922

Ω1(s +σ1) 2+Ω1(s +σ1) 2+Ω1

z -1e -σ1T sin Ω1T H (z ) =0.6449

1-2z -1e -σ1T cos Ω1T +z -2e -2σ1T

图 例的幅度特性

（二）用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器

正切变换实现频率压缩： 21

Ω=tan(Ω1T )

T 2 式中T 仍是采样间隔，当Ω1从π/T经过0变化到π/T时，Ω则由∞经过0变化到+∞，实现了s 平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有

2121-e -s 1T

s =th (Ω1T ) = T 2T 1+e -s 1T

T 转换到z 平面上，得到： 再通过 z = e s 1

21-z -1

s =-1

1 + z T 2+s

z =

-s T

下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。

图5-37 双线性变换法的映射关系

令s=jΩ,z=e jω，并代入，有

21-e -j ω

j Ω=

T 1+e -j 21Ω=tan ω

T 2

图5-38 双线性变换法的频率变换关系

图5-40 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

设

H (z ) =H a (s )

s =1-z

1+z -1

A 0+A 1s +A 2s 2+⋅⋅⋅+A k s k

H a (s ) =

B 0+B 1s +B 2s 2+⋅⋅⋅+B k s k

, C =

2T

a 0+a 1z -1+a 2z -2+⋅⋅⋅+a k z -k

H (z ) =

1+b 1z -1+b 2z -2+⋅⋅⋅+b k z -k

表 系数关系表

例 试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将RC 低通滤波器转换成数字滤波器。

解 首先写出该滤波器的传输函数Ha(s)为

α1

H (s ) =, α= a

α+s RC

利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为

α H 1(z ) =

1-e -αT z -1

利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为

H 2(z ) =H a (s )

21-z -1T 1+z =

α1(1+z -1)

1+a 2z -1

s =

αT -2

αT +2αT +2

H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图 (a),(b)所示。

α1=

, α2=

αT

图 例H1(z)和H2(z)的网络结构

(a)H1(z); (b)H2(z)

下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR 数字低通滤波器的步骤。

(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp 、通带衰减αp 、阻带截止频率ωs 、阻带衰减αs 。

(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为

ω=ΩT

Ω=

21

tan(ω) T 2

数字滤波器H 1(z)和H 2(z)的幅频特性

(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。

(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s 平面转换到z 平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。

例 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad 时，容许幅度误差在1dB 以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB 。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。 解

(1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 ① 数字低通的技术指标为

ωp=0.2πrad, αp=1dB; ωs=0.3πrad, αs=15dB ② 模拟低通的技术指标为

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB; Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB

③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N 及3dB 截止频率Ωc 。

N =-

lg k sp lg λsp

λsp =

Ωs 0.3π

==1.5Ωp 0.2π

k sp ==0.092lg0.092N =-=5.884

lg1.5

取N=6。为求3dB 截止频率Ωc, 将Ωp 和αp 代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。

根据阶数N=6，查表，得到归一化传输函数为

H a (p ) =

1

1+3.8637p +7.4641p 2+9.1416p 3+7.4641p 4+3.8637p 5+p 6

为去归一化，将p=s/Ωc 代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),

Ω62

H a (s ) =6

52434256 s +3.8637Ωc s +7.4641Ωc s +9.1416Ω3s +7.4641Ωs +3.8637Ωs +Ωc c c c

0.1209

=6

s +2.716s 5+3.691s 4+3.179s 3+1.825s 2+0.121s +0.1209

④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，得到：

0.2871-0.4466z -1-2.1428+1.1454z -1H (z ) =+

1-0.1297z -1+0.6949z -21-1.0691z -1+0.3699z -2

1.8558-0.6304z -1

+

1-0.9972z -1+0.2570z -2

例—用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性

(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 ① 数字低通技术指标仍为 ωp=0.2πrad, αp=1dB; ωs=0.3πrad, αs=15dB ② 模拟低通的技术指标为

21

tan ωp , T =1T 2

ΩP =2tan 0.1π=0.65rad /s , αp =1dB Ωp =

Ωs =2tan 0.15π=1.019rad /s , αs =15dB

③ 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N 计算如下：

lg k sp

N =-

lg λsp

λsp =

Ω1.019

==1.568Ωp 0.65lg0.092

=5.306

lg1.568

k sp =0.092N =-

取N=6。为求Ωc, 将Ωs 和αs 代入，得到Ωc=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。

根据N=6，查表得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc 代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，

H (z ) =H a (s )

s =2

1-z -1

1+z -1

H a (s ) =

0.2024

(s 2+0.396s +0.5871)(s 2+1.083s +0.5871)(s 2+1.480s +0.5871)

④ 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：

0.0007378(1+z -1) 6

=

(1-1.268z -1+0.7051z -2)(1-1.010z -1+0.358z -2) 1

1-0.9044z -1+0.2155z -2

例—用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性

（三）IIR 数字滤波器的频率变换

1. 高通数字滤波器等的具体设计步骤如下： (1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。

(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为

Ω=

21tan ωT 2

(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。 (4)设计模拟低通滤波器。

(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。

(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。

例 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad ，通带衰减不大于3 dB ，阻带截止频率ωs=0.44πrad, 阻带衰减不小于15dB 。希望采用巴特沃斯型滤波器。 解

(1)数字高通的技术指标为

ωp=0.8πrad, αp=3dB; ωs=0.44πrad, αs=15dB (2) 模拟高通的技术指标计算如下：

令T=1，则有 Ωp =2tan 1ωp =6.155rad /s , αp =3dB

2

1

Ωs =2tan ωs =1.655rad /s , αs =3dB

2

(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：

1

Ωp ==0.163rad /s , αp =3dB

6.155

1

Ωs ==0.604rad /s , αs =15dB

1.655将Ωp 和Ωs 对3dB 截止频率Ωc 归一化，这里Ωc=Ωp,

Ω λp =1, λs =s =

3.71Ωp

(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N 计算如下：

lg k sp

N =-

lg λsp

k sp ==0.1803

λλ==3.71sp

λp

N =1.31, N =2

查表，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为

G (p ) =

为去归一化，将p=s/Ωc 代入上式得到：

2 G (s ) =

(5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：

2

12H a (s ) =G () = s (6)用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高通H(z)：

H (z ) =H a (s )

s =2

1-z -11+z 实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即

H (z ) =G (s )

s =

11+z -121-z 0.106(1-z -1) 20.0653(1-z -1) 2

H (z ) ==-1-2

1.624+1.947z +0.566z 1+

1.199z -1+0.349z -2

例 设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad 到0.4πrad ，通带内最大衰减为3dB ，0.2πrad 以下和0.5πrad 以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB 。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。 解 (1)数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 ωu=0.4πrad 通带下截止频率 ωl=0.3πrad

阻带上截止频率 ωs2=0.5πrad 阻带下截止频率 ωs1=0.2πrad

通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。 (2) 模拟带通滤波器技术指标如下：

1 设T=1，则有 Ωu =2tan ωu =1.453rad /s 2

1

Ωl =2tan ωl =1.019rad /s

2

1 Ωs 2=2tan ωs 2=2rad /s 2

1

Ω=2tan ωs 1=0.650rad /s

s 1

2

Ω0==1.217rad /s

B =Ωu -Ωl =0.434rad /s

将以上边界频率对带宽B 归一化，得到

ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804

(3) 模拟归一化低通滤波器技术指标：

归一化阻带截止频率

归一化通带截止频率

λp=1 αp=3dB,αs=18dB

(4) 设计模拟低通滤波器：

k sp ==0.127η2-η2λs =

=2.902ηs 2λsp =λs =2.902λp lg 0.127=

1.940, lg 2.902N =2N =-

查表，得到归一化低通传输函数G(p), G (p ) =

(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通：

H a (s ) =G (p )

p =2s 2+Ω0

s (Ωu -Ωl )

(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：

2s 2+Ω0p =s (Ωu -Ωl ) 1-z -1s =21+z -124(1-z -1) 2+Ω0(1+z -1) 2=2(1-z -2)(Ωu -Ωl ) 将上式代入(5)中的转换公式，得 s =21-z -11+z 5.48-4.5z -1+7.481z -26.313-5.18z -1+80619z -2==0.868(1-z -2) 1-z -2将上面的p 等式代入G(p)中，得 0.021(1-2z -2+z -4) H (z ) = 1-1.491z -1+2.848z -2-1.68z -3+1.273z -4

例 设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率ωl=0.19π, 阻带下截止频率ωs1=0.198π，阻带上截止频率ωs2=0.202π，通带上限频率ωu=0.21π，阻带最

小衰减αs=13dB，ωl 和ωu 处衰减αp=3dB。采用巴特沃斯型。 解 (1) 数字带阻滤波器技术指标：

ωl=0.19πrad, ωu=0.21πrad, αp=3dB;

ωs1=0.198πrad, ωs2=0.202πrad, αs=13dB

(2) 模拟带阻滤波器的技术指标：

设T=1，则有

Ω=2tan 1ω=0.615rad /s , Ω=2tan 1ω=0.685rad /s l l u u 22 11Ω=2tan ω=0.615rad /s , Ω=2tan ωs 2=0.685rad /s s 1s 1s 2 22

阻带中心频率平方为 Ω20=Ωl Ωu=0.421

阻带带宽为 B=Ωu-Ωl=0.07rad/s

将以上边界频率对B 归一化：

ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηl ηu=85.98

(3) 模拟归一化低通滤波器的技术指标：

按照式，有： λp=1,αp=3dB

(4) 设计模拟低通滤波器：

λs =ηs 2=4.434, αs =13dB ηs 22-η02k sp ==0.229λsp =λs =4.434λp

lg0.229=0.99, N =1 lg 4.434

(5) 将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)： N =-

p =sB 2s 2+Ω0p =sB

2s +Ω02H a (s ) =G (p )

(6) 将

Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。

sB 2(1-z -2) B p =2=2-122-121-z -1

s =2s +Ω4(1-z ) +Ω(1+z ) 00 1+z

H (z ) =G (p ) p =2(1+z -2) B 4(1+z ) +Ω0(1+z ) 0.969(1-619z -1+z -2) =1-1.569z -1+0.939z -2