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斯 辅 瓦尔 （辅 ｗｔ ）定 ｒ 理的应用 例 说 Ｓ ａｅ
湖南ｔ常德 省市兰实芷验学初校中部
４ １ ０ ０５ｏ ４ ５ ｏ １０ ０
金陈红 金朱生 黄 克勤
张国平 一 。 。
南湖 常 德 市教 育 科 学 研 究所 省
ｌ 斯 瓦尔 特 特Ｉｔ ａ ｔ ｅ ｒ）理定 ｗＳ
则
Ａ ＣＤ＋ Ａ２Ｄ ＝Ａ Ａ（ Ｄ Ｄ ， Ｂ ・＋ Ｃ・ Ｂ ・ＢＣ Ｂ Ｃ）
即 Ａ Ｄ Ａ Ｃ・ Ｂ（ Ｂ— Ａ）Ｄ＝Ａ （ Ｂ— ，ＣＣ ・ＢＣ Ａ Ａ 又 ）
已
知 ＡＢ 及其底 边上Ｂ Ｃ ＡＣ 、 点间一两点 Ｄ ，求
Ａ ＋
Ｄ＝Ｄ ・ＤＢ・ Ａ ・２ Ｃ 器Ｂ ＋
个 这定理的 证明仅用到勾 股
Ａ 已￣ａＡ ， Ａ ｃＤＢ ・Ｃ ＝Ｄ Ｂ・
Ａ即 ＝
Ｂ，
由角 分线平定 理逆的 定 理 得：Ｄ平分 ／ Ｂ Ｃ Ａ Ａ＿，Ｃ
定理 基 本思． 路 是 如 图， Ａ点 过作 Ａ 上 Ｂ垂足 Ｅ为 ，论 点 Ｅ Ｃ， 无
在 Ｄ 上 还是 Ｂ上 ， 分别 对 Ｃ Ｄ
）（ 略
２２ 在 数学竞赛 中 应 用的 ．
倒 在 ３Ａ△ Ｃ中 ，Ｂ ＝Ａ ２ ＝ ＢＢ Ａ Ｃ， 边Ｃ 上０１０
图
个 １ 同 不 点的Ｐ ， ， ，０ ｍ，＝ｆＡ ＋ ’ … Ｐ１ 记 Ｉ ｏ （ ９年０ 国全初中数 联 学赛题） １９ ．
・
Ａ
Ａ、Ｘ ａ ，，Ｃ 运 勾用 股定 理等 方法 即可 Ｄ ．／ Ａ￣ 次 Ｏ
ＣＰｉ＝ ． ２ ３ ，０… ） ｍＩ求＋ ｍｆ （ ，， １１ ， ０ ２，・＋ ｍ１． ・・ ０ ｏ 简 析 由 特 斯尔 瓦 特ｔｗ ｒ（定 理）及 Ａ Ｓｅ ｔ ａ＝日
此理结构定和 、谐 对称 ， 好记 ！ 忆下面过几个 通例
子 谈它浅 在段线长度 算 与证计 明方 面的优势．
２应用 倒说 ’ ２
１ 推 证 两 定个理
．
Ａ：・ ＰＡ２＋ｉ Ａｃ篙 丽日＝’ 得・Ｂ ２ ｉ Ｂ １ Ｂ Ｐ
＋日 ・ Ｐ ＝ Ａ２ Ｂ＝ ｍｍ ＋ｌｍ２ ＋… ＋ ｍ１ Ｃ ０
ｏ 倒 斯ｌ库顿理定 （ ｃｔ ｏ在） Ａ ＢＳ ｈｏ ｎ： Ａ Ｃ ，Ｄ中 Ａ ｅ 为／ Ｃ ＿ ＢＡ的角 平线分 ， Ａ＝Ａ２Ａ Ｂ Ｄ 则 Ｄ・Ｂ —ＣＤ ｃ
・
ＯＩＯ ＡＢ ＝ １ ０ Ｘ ２ ４＝０ ．０ ０
倒 ’△ Ｃ中Ａ， Ｂ＝２ Ａ２＝√ Ｃ ２， Ｂ Ａ √ ４Ｃ， ２ Ｂ ， Ｐ为 ＢＣ上任 一点 ， ｔ ￣（ Ｉ
ｌＡ． ＜ Ｐ ・ＰＢＣ ＡＰＢ． ＰＡ ＝ Ｐ ・ＰＢ Ｃ ＰＣ ＞ＡＰ ＢＰ．
Ｃ
简析 图如ｌ Ｄ为 平角线分 ，
ＢＡＤ
毒 ＝
）
－
（
９ 年０ 国全
初 联 赛中题） ・９１ ．
ＢＣ
、
Ａ ＋ＡＢＣ Ｂ’Ｃ —Ａ ＋ＢＡＣ’
旦
一
运用 斯瓦 尔特特（ ｔｗ Ｓｅｒ ｔ ａ定理 ）得
Ａ ：・ Ａ ２・ ＝Ｂ ＡＣ ＡＣ２＋・ ＡＢ
—
ＢＤ・
Ｄ．
与
・的大小关系不ｃ确能 定
Ｐ ＝，
ＤＣ
＝Ｂ ・ＡＣ — ＢＤ ＡＤＣ ・
简析 如
图 设 ２ ．
ｔ（ ｒ ｗＳ ａｔｅ 定理）知 ：
＝ 即Ａ２＝ＤＡ ・ Ｃ Ｂ— ・ Ｂ Ａ ＤＤ ．
Ｃ则
Ｐ＝，２由斯 瓦尔 特特． ｃ ．
例
２库斯定顿理（ ｃｔ０ 的）逆理定 ： Ｄ ｓ ｈ ｎ ０ 若ｅ 为
Ａ Ｃ边Ａ 日Ｂ Ｃ上点 一， ＡＲＢ ≠ＡＤ Ａ＝Ａ Ｃ ， ＢＡ Ｃ
—・
（ ） －・ ２ ２ ＋ 曰Ｘ
丁Ｂ
，・Ａ Ｄ ＣＤ 则 平分 ＤＢ ／Ｃ ＿ Ａ．
简
析 同上 ，图 斯由特尔特定瓦理得
（） ‘ ２詈 一（一） ：
图
２
：
Ａ ２＝Ａ
丽Ｄ Ｂ ・ Ｃ Ａ＋ ２Ｂ ＤＤ Ｃ ・
日ｃ
Ｂ—Ｄ ・Ｃ．Ｂ
，
尸 Ａ２＝ ２５ ＋８，—
知 已Ｄ ：Ａ ． Ｃ Ｂ２． Ａ ＣＢＡ Ｄ
所Ｄ以Ａ ・ Ｃ ＋Ａ ２・Ｂ ＤＣ
Ｂ而Ｃ ＝Ｂ ＋ＤＣＤ ．
’又 Ｐ＝ ２一 ・ 曰Ｃ （） ＝２ ， Ｐ Ｐ一 ｘ 一故 Ａ Ｂ
，
＝Ａ
・ Ｃ ＢＡ，
＿
２ｃ— ＋（－÷ ＞ ，． ＝ ７２８ ２ 一） ． ＿ ’Ｐ
所 Ｐ ＞Ｐ以 Ｐ选 Ｃ即 ＡＢ Ｃ・，
４ １
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o例
５如 图 ３ 圆内接 四 边形 ，
Ａ Ｃ ＤＢ的对 线角 Ａ 平分Ｃ Ｂ Ｄ 于 求
证 ： Ｂ ＋，Ｂ Ｃ ＋Ｃ ＋ Ｄ Ａ＝ Ｄ Ａ
（
） 为 １
变 Ｃ
Ｂ＋ ＝ Ｃ Ｃ Ｅ
；Ａ
（）变为 ２ Ｃ ２ Ｂ Ａ ＋ Ｄ＝ ； Ｃ Ｂ
２ Ｃ（ ７ ９北 京中生数学学竞 赛 Ａ １５ 年 题）
． 图３
由上两
可式 得：＝２ Ｅ Ｄ Ｃ．
Ｃ例７ ＡＡＣ中 ， Ｃ ３ ＝，Ａ ＝２ Ｂ， ＝ Ｂ ＣＡ ７ ４ ｃ．， ８ Ａ求
简析 由 斯瓦特特尔理知 ： ＡＡ在Ｄ 中 ，Ｂ
Ａ ＢＤ
・简
析如 图 ５ 为 能了 够用 运
．斯 瓦 特 尔特定 理 ， 要 在 ＡＡ Ｃ 需 Ｂ 中构 造出一 条新 线 段如： 长 边 Ａ在Ｂ上 取截Ｂ ＝Ｂ ， 结 则 ：Ｃ ＤＣ连 ，Ｄ
Ｌ ＢＣＤ ＝ ＤＢＣ ．
Ｃ
面 ＋ ・ ＤＥ ＝ Ａ Ｂ＋ （Ｄ ） ＡＥ 面 Ｂ Ｅ Ｅ・ Ｅ １
Ａ在 Ｄ中 Ｃ Ｂ，
图 ５
Ｂ
面Ｃ ・ ＋Ｄ Ｄ 面＝ Ｅ・Ｅ Ｂ（） Ｅ Ｃ ・
Ｅ Ｂ ＋Ｃ ＤＥ ２
又 Ｃ Ｂ ＝
Ａ＋Ｌ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ，ＬＢ Ｃ＝ ＬＣＡ —ＤＢ
又
ＤＥ＝ ＋ ＯＥ１、 ） 相 Ｂ＝ Ｂ（）（把 式 加两得 ２
－
：Ｌ
， Ｃ ＤＡ 所 以／ Ｃ＿ Ｄ ÷＝ （Ａ 一Ｂ Ａ Ａ且 ＿ Ａ／ Ｃ ）＝ ，
＝ ＣＡ ＝ＡＢ — Ｂ ＝Ａ — Ｂ ＝ ４ ２—＝ ２Ｄ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ ８ ７ １
．￣
Ａ Ｂ ＣＤ － Ｂ＋ Ｃ＋Ｄ ＋ Ａ） （ ＝
Ａ ＋ Ｃ ＥＥ ＋ ２ Ｄ Ｅ・ Ｅ．
用
斯特 尔特瓦 理得定：
Ｄ ＋ＡＣＤ・ ＢＤ
＝
、
由交 相弦定 知 ：理 Ｅ ＝・ ＥＡ Ｅ ＥＤ・ 代入Ｃ上等
ＣＡ ・ Ｂ＋２Ｃ ・
式 ÷（＋ Ｃ ＋Ｄ＋ Ａ ： ） Ｅ ＋Ｃ ＋ 得 ：Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｅ
２ Ｅ・ ＡＥＣ ＝ （ ＋Ｅ ）Ｃ＝ＡＣ ，Ａ ＋ ＣＢＡ ２ 曰即２ Ｃ＋Ｄ ＋
＝２ＡＣ ． ｊ ＡＣ ＝３ ．５
，
即２ ２＋ ｌ１×２ ７ ＝ Ａ
Ｃ ・ ２＋ ２ ×２ ７ ７ １ ４
８２
３在 考数中学中的 应用 ．
６ 如例 图４ＡＡ 中 ，Ｃ ＢＡ ＝ ， ＢＡ Ｃ，
上由面所举 的 子例 不 难 出 ： 特看瓦 特尔定理 斯
为ＥＡ 中点 Ｂ， Ａ Ｂ延长在 线上一有 点 Ｄ使 Ｂ ＝Ｂ． 证Ｃ＝ ２ Ｅ Ｄ 求 Ａ ＣＤ
简析 ． 斯由 瓦尔特特理 知： 在 Ａ ＣＡ中， Ｂ Ｄ
可用来解决些一关有线段 长 度的计 算证 明与的 问Ｃ
， 特别 是它题妙 巧的绕 开了 已 经 到移高 中才学 的 正弦定理 、 弦定习 理 ，余因此这个 结论 值得我 们在初 中
数探学 与究外课学 习活 动 关中注 ！
作 简者介 ：陈 金红 ，１ ６ 男９ ，８ ｌ Ｏ年生中．学数 高级学教 师 ， 南教 省学会育中 数学学 专业委员 会会 ， 南省员常 德 湖 湖
・Ａ ・ Ｃ 鬈 ＋
＝
图４
Ｃ ＋ ・Ａ Ｂ（） Ｅ Ｅ １
Ｅ优 秀青市年干教 师． 骨国家 、在 省级刊物 上表发 学数论 数 文 篇，所辅 学生在 全国 数学竞赛多 次获全 国人一、 、 二等 奖． 三湖
省教育南学 会题课 ４Ｎ１主 要研参 员， 段性 成阶果 Ｈ 其
论 文 篇 获 省数级 一、 奖．等要 研 究方 向： 中 学数 教育 教二主 初
在
ＤＡＣ 中， Ａ
Ａ ・ＣＢ Ｄ＋ Ｄ。ＣＡＢ・
Ｃ ＝＋ Ａ Ｂ （・） ＢＢＤ ２Ｄ ，则
５ ＝Ａ ＝ＢＡ ２ ＝Ｂ １． Ｃ 明Ｄ ＝ ２ Ｅ ＝Ａ
、学 中数 学、 中数考学竞． 初
赛 Ｔ ｅ： ｂｒ ｍ ｖｒｓａ ｒｏｔ ｅ ｏｋ ｖ ｎｆ ｅ ｓ ｏ ｓｏｃｅｄｎ ｖ ｇｓｉｏ ｎｒ ｌ ｓｈ
ｌ ｈ ｏ ｌｌ ｙ ｉ ｅ ｒ ｅ ｅ ｅ ｔｕｎｃｅ ｌ ｉ ｓ ｗ ｏ ｅｐ ｅ ｏ ｅ ｍ ｄ ｃ ａ ｖ ｗ ｉｈ ｄ ｉｏ ｎ ｈ ｐ ｂ ｍ；ｉ ｅｏ ａ ａ ｉ ｏ ａｓａｐｍｂｃ ｏ ｏ ｅｒｂ ｍ， ｅ ｒ ｌｈ ｏ ｍｅｙ ｂａｒｖ ｒｆ ｙｍ ｄｈｌ ｔｅ ｎｐａｌ ｔｌ ｒｐｏｔ ｌｓｔｎ ｐｔ ｏ ｓｌｅｒ ａ ｃｅｔｅｅ；ｆ ｔｅ ｍ ｉ ｅｈ ｅ ｈｅ ｍｂｖ ｉ
：ｉ ｄｒ ｌ ｃ ｅｎ ｖ ｏｄ ｓ ｕｌｅ ｒ ｂ ｗｈｅｃ ｖ ｕｎｌ ｅ ｄ ｅｓｔ ｔ ｃｉｖ ｒｎ ｅｌｔ ａ ｓ ｎｉｅ ｌａｔｉｇ ｇ ｏａ ｎｏ ｖ ｄｐ ｌｏ ｍｉ ｈｅ ｅ ｔ ａ ｌａｌｓ ｈｏ ｒｏｄ ｏ ｓ ｉｅｆｇｒ ｍｅ ｎｉ ．ｙｙ ｅ
；
解题 者即 解使题败失， 也可能 他了具做有４性独的工，作， １因他为的尝可能试有会于 助发现解决其其； ： 他问题方的。 题法虽未解决 问 是但很启有意义发 ，这最终为 能因 使其他人现发更有效的成题解方法。 ； 于
：是 ， 解题 者 以 这 种间接的方 式 做出了独创 性的贡 。献 ：
… ． …｝． ． ．． ． ． ＿ ． ～１＿ ． ． ．一 ．． ． ．、． 一． ． ＿ ＿ ． １ ～＿ ．． ｒ＿ …． ． ． ． １ ．，． ． ． ．一 ． ． ． ． ．－ ‘
—
— 波亚 利 。 一 ’ 一
’ ２ ４
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斯 辅 瓦尔 （辅 ｗｔ ）定 ｒ 理的应用 例 说 Ｓ ａｅ
湖南ｔ常德 省市兰实芷验学初校中部
４ １ ０ ０５ｏ ４ ５ ｏ １０ ０
金陈红 金朱生 黄 克勤
张国平 一 。 。
南湖 常 德 市教 育 科 学 研 究所 省
ｌ 斯 瓦尔 特 特Ｉｔ ａ ｔ ｅ ｒ）理定 ｗＳ
则
Ａ ＣＤ＋ Ａ２Ｄ ＝Ａ Ａ（ Ｄ Ｄ ， Ｂ ・＋ Ｃ・ Ｂ ・ＢＣ Ｂ Ｃ）
即 Ａ Ｄ Ａ Ｃ・ Ｂ（ Ｂ— Ａ）Ｄ＝Ａ （ Ｂ— ，ＣＣ ・ＢＣ Ａ Ａ 又 ）
已
知 ＡＢ 及其底 边上Ｂ Ｃ ＡＣ 、 点间一两点 Ｄ ，求
Ａ ＋
Ｄ＝Ｄ ・ＤＢ・ Ａ ・２ Ｃ 器Ｂ ＋
个 这定理的 证明仅用到勾 股
Ａ 已￣ａＡ ， Ａ ｃＤＢ ・Ｃ ＝Ｄ Ｂ・
Ａ即 ＝
Ｂ，
由角 分线平定 理逆的 定 理 得：Ｄ平分 ／ Ｂ Ｃ Ａ Ａ＿，Ｃ
定理 基 本思． 路 是 如 图， Ａ点 过作 Ａ 上 Ｂ垂足 Ｅ为 ，论 点 Ｅ Ｃ， 无
在 Ｄ 上 还是 Ｂ上 ， 分别 对 Ｃ Ｄ
）（ 略
２２ 在 数学竞赛 中 应 用的 ．
倒 在 ３Ａ△ Ｃ中 ，Ｂ ＝Ａ ２ ＝ ＢＢ Ａ Ｃ， 边Ｃ 上０１０
图
个 １ 同 不 点的Ｐ ， ， ，０ ｍ，＝ｆＡ ＋ ’ … Ｐ１ 记 Ｉ ｏ （ ９年０ 国全初中数 联 学赛题） １９ ．
・
Ａ
Ａ、Ｘ ａ ，，Ｃ 运 勾用 股定 理等 方法 即可 Ｄ ．／ Ａ￣ 次 Ｏ
ＣＰｉ＝ ． ２ ３ ，０… ） ｍＩ求＋ ｍｆ （ ，， １１ ， ０ ２，・＋ ｍ１． ・・ ０ ｏ 简 析 由 特 斯尔 瓦 特ｔｗ ｒ（定 理）及 Ａ Ｓｅ ｔ ａ＝日
此理结构定和 、谐 对称 ， 好记 ！ 忆下面过几个 通例
子 谈它浅 在段线长度 算 与证计 明方 面的优势．
２应用 倒说 ’ ２
１ 推 证 两 定个理
．
Ａ：・ ＰＡ２＋ｉ Ａｃ篙 丽日＝’ 得・Ｂ ２ ｉ Ｂ １ Ｂ Ｐ
＋日 ・ Ｐ ＝ Ａ２ Ｂ＝ ｍｍ ＋ｌｍ２ ＋… ＋ ｍ１ Ｃ ０
ｏ 倒 斯ｌ库顿理定 （ ｃｔ ｏ在） Ａ ＢＳ ｈｏ ｎ： Ａ Ｃ ，Ｄ中 Ａ ｅ 为／ Ｃ ＿ ＢＡ的角 平线分 ， Ａ＝Ａ２Ａ Ｂ Ｄ 则 Ｄ・Ｂ —ＣＤ ｃ
・
ＯＩＯ ＡＢ ＝ １ ０ Ｘ ２ ４＝０ ．０ ０
倒 ’△ Ｃ中Ａ， Ｂ＝２ Ａ２＝√ Ｃ ２， Ｂ Ａ √ ４Ｃ， ２ Ｂ ， Ｐ为 ＢＣ上任 一点 ， ｔ ￣（ Ｉ
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Ｃ
简析 图如ｌ Ｄ为 平角线分 ，
ＢＡＤ
毒 ＝
）
－
（
９ 年０ 国全
初 联 赛中题） ・９１ ．
ＢＣ
、
Ａ ＋ＡＢＣ Ｂ’Ｃ —Ａ ＋ＢＡＣ’
旦
一
运用 斯瓦 尔特特（ ｔｗ Ｓｅｒ ｔ ａ定理 ）得
Ａ ：・ Ａ ２・ ＝Ｂ ＡＣ ＡＣ２＋・ ＡＢ
—
ＢＤ・
Ｄ．
与
・的大小关系不ｃ确能 定
Ｐ ＝，
ＤＣ
＝Ｂ ・ＡＣ — ＢＤ ＡＤＣ ・
简析 如
图 设 ２ ．
ｔ（ ｒ ｗＳ ａｔｅ 定理）知 ：
＝ 即Ａ２＝ＤＡ ・ Ｃ Ｂ— ・ Ｂ Ａ ＤＤ ．
Ｃ则
Ｐ＝，２由斯 瓦尔 特特． ｃ ．
例
２库斯定顿理（ ｃｔ０ 的）逆理定 ： Ｄ ｓ ｈ ｎ ０ 若ｅ 为
Ａ Ｃ边Ａ 日Ｂ Ｃ上点 一， ＡＲＢ ≠ＡＤ Ａ＝Ａ Ｃ ， ＢＡ Ｃ
—・
（ ） －・ ２ ２ ＋ 曰Ｘ
丁Ｂ
，・Ａ Ｄ ＣＤ 则 平分 ＤＢ ／Ｃ ＿ Ａ．
简
析 同上 ，图 斯由特尔特定瓦理得
（） ‘ ２詈 一（一） ：
图
２
：
Ａ ２＝Ａ
丽Ｄ Ｂ ・ Ｃ Ａ＋ ２Ｂ ＤＤ Ｃ ・
日ｃ
Ｂ—Ｄ ・Ｃ．Ｂ
，
尸 Ａ２＝ ２５ ＋８，—
知 已Ｄ ：Ａ ． Ｃ Ｂ２． Ａ ＣＢＡ Ｄ
所Ｄ以Ａ ・ Ｃ ＋Ａ ２・Ｂ ＤＣ
Ｂ而Ｃ ＝Ｂ ＋ＤＣＤ ．
’又 Ｐ＝ ２一 ・ 曰Ｃ （） ＝２ ， Ｐ Ｐ一 ｘ 一故 Ａ Ｂ
，
＝Ａ
・ Ｃ ＢＡ，
＿
２ｃ— ＋（－÷ ＞ ，． ＝ ７２８ ２ 一） ． ＿ ’Ｐ
所 Ｐ ＞Ｐ以 Ｐ选 Ｃ即 ＡＢ Ｃ・，
４ １
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o例
５如 图 ３ 圆内接 四 边形 ，
Ａ Ｃ ＤＢ的对 线角 Ａ 平分Ｃ Ｂ Ｄ 于 求
证 ： Ｂ ＋，Ｂ Ｃ ＋Ｃ ＋ Ｄ Ａ＝ Ｄ Ａ
（
） 为 １
变 Ｃ
Ｂ＋ ＝ Ｃ Ｃ Ｅ
；Ａ
（）变为 ２ Ｃ ２ Ｂ Ａ ＋ Ｄ＝ ； Ｃ Ｂ
２ Ｃ（ ７ ９北 京中生数学学竞 赛 Ａ １５ 年 题）
． 图３
由上两
可式 得：＝２ Ｅ Ｄ Ｃ．
Ｃ例７ ＡＡＣ中 ， Ｃ ３ ＝，Ａ ＝２ Ｂ， ＝ Ｂ ＣＡ ７ ４ ｃ．， ８ Ａ求
简析 由 斯瓦特特尔理知 ： ＡＡ在Ｄ 中 ，Ｂ
Ａ ＢＤ
・简
析如 图 ５ 为 能了 够用 运
．斯 瓦 特 尔特定 理 ， 要 在 ＡＡ Ｃ 需 Ｂ 中构 造出一 条新 线 段如： 长 边 Ａ在Ｂ上 取截Ｂ ＝Ｂ ， 结 则 ：Ｃ ＤＣ连 ，Ｄ
Ｌ ＢＣＤ ＝ ＤＢＣ ．
Ｃ
面 ＋ ・ ＤＥ ＝ Ａ Ｂ＋ （Ｄ ） ＡＥ 面 Ｂ Ｅ Ｅ・ Ｅ １
Ａ在 Ｄ中 Ｃ Ｂ，
图 ５
Ｂ
面Ｃ ・ ＋Ｄ Ｄ 面＝ Ｅ・Ｅ Ｂ（） Ｅ Ｃ ・
Ｅ Ｂ ＋Ｃ ＤＥ ２
又 Ｃ Ｂ ＝
Ａ＋Ｌ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ，ＬＢ Ｃ＝ ＬＣＡ —ＤＢ
又
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－
：Ｌ
， Ｃ ＤＡ 所 以／ Ｃ＿ Ｄ ÷＝ （Ａ 一Ｂ Ａ Ａ且 ＿ Ａ／ Ｃ ）＝ ，
＝ ＣＡ ＝ＡＢ — Ｂ ＝Ａ — Ｂ ＝ ４ ２—＝ ２Ｄ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ ８ ７ １
．￣
Ａ Ｂ ＣＤ － Ｂ＋ Ｃ＋Ｄ ＋ Ａ） （ ＝
Ａ ＋ Ｃ ＥＥ ＋ ２ Ｄ Ｅ・ Ｅ．
用
斯特 尔特瓦 理得定：
Ｄ ＋ＡＣＤ・ ＢＤ
＝
、
由交 相弦定 知 ：理 Ｅ ＝・ ＥＡ Ｅ ＥＤ・ 代入Ｃ上等
ＣＡ ・ Ｂ＋２Ｃ ・
式 ÷（＋ Ｃ ＋Ｄ＋ Ａ ： ） Ｅ ＋Ｃ ＋ 得 ：Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｅ
２ Ｅ・ ＡＥＣ ＝ （ ＋Ｅ ）Ｃ＝ＡＣ ，Ａ ＋ ＣＢＡ ２ 曰即２ Ｃ＋Ｄ ＋
＝２ＡＣ ． ｊ ＡＣ ＝３ ．５
，
即２ ２＋ ｌ１×２ ７ ＝ Ａ
Ｃ ・ ２＋ ２ ×２ ７ ７ １ ４
８２
３在 考数中学中的 应用 ．
６ 如例 图４ＡＡ 中 ，Ｃ ＢＡ ＝ ， ＢＡ Ｃ，
上由面所举 的 子例 不 难 出 ： 特看瓦 特尔定理 斯
为ＥＡ 中点 Ｂ， Ａ Ｂ延长在 线上一有 点 Ｄ使 Ｂ ＝Ｂ． 证Ｃ＝ ２ Ｅ Ｄ 求 Ａ ＣＤ
简析 ． 斯由 瓦尔特特理 知： 在 Ａ ＣＡ中， Ｂ Ｄ
可用来解决些一关有线段 长 度的计 算证 明与的 问Ｃ
， 特别 是它题妙 巧的绕 开了 已 经 到移高 中才学 的 正弦定理 、 弦定习 理 ，余因此这个 结论 值得我 们在初 中
数探学 与究外课学 习活 动 关中注 ！
作 简者介 ：陈 金红 ，１ ６ 男９ ，８ ｌ Ｏ年生中．学数 高级学教 师 ， 南教 省学会育中 数学学 专业委员 会会 ， 南省员常 德 湖 湖
・Ａ ・ Ｃ 鬈 ＋
＝
图４
Ｃ ＋ ・Ａ Ｂ（） Ｅ Ｅ １
Ｅ优 秀青市年干教 师． 骨国家 、在 省级刊物 上表发 学数论 数 文 篇，所辅 学生在 全国 数学竞赛多 次获全 国人一、 、 二等 奖． 三湖
省教育南学 会题课 ４Ｎ１主 要研参 员， 段性 成阶果 Ｈ 其
论 文 篇 获 省数级 一、 奖．等要 研 究方 向： 中 学数 教育 教二主 初
在
ＤＡＣ 中， Ａ
Ａ ・ＣＢ Ｄ＋ Ｄ。ＣＡＢ・
Ｃ ＝＋ Ａ Ｂ （・） ＢＢＤ ２Ｄ ，则
５ ＝Ａ ＝ＢＡ ２ ＝Ｂ １． Ｃ 明Ｄ ＝ ２ Ｅ ＝Ａ
、学 中数 学、 中数考学竞． 初
赛 Ｔ ｅ： ｂｒ ｍ ｖｒｓａ ｒｏｔ ｅ ｏｋ ｖ ｎｆ ｅ ｓ ｏ ｓｏｃｅｄｎ ｖ ｇｓｉｏ ｎｒ ｌ ｓｈ
ｌ ｈ ｏ ｌｌ ｙ ｉ ｅ ｒ ｅ ｅ ｅ ｔｕｎｃｅ ｌ ｉ ｓ ｗ ｏ ｅｐ ｅ ｏ ｅ ｍ ｄ ｃ ａ ｖ ｗ ｉｈ ｄ ｉｏ ｎ ｈ ｐ ｂ ｍ；ｉ ｅｏ ａ ａ ｉ ｏ ａｓａｐｍｂｃ ｏ ｏ ｅｒｂ ｍ， ｅ ｒ ｌｈ ｏ ｍｅｙ ｂａｒｖ ｒｆ ｙｍ ｄｈｌ ｔｅ ｎｐａｌ ｔｌ ｒｐｏｔ ｌｓｔｎ ｐｔ ｏ ｓｌｅｒ ａ ｃｅｔｅｅ；ｆ ｔｅ ｍ ｉ ｅｈ ｅ ｈｅ ｍｂｖ ｉ
：ｉ ｄｒ ｌ ｃ ｅｎ ｖ ｏｄ ｓ ｕｌｅ ｒ ｂ ｗｈｅｃ ｖ ｕｎｌ ｅ ｄ ｅｓｔ ｔ ｃｉｖ ｒｎ ｅｌｔ ａ ｓ ｎｉｅ ｌａｔｉｇ ｇ ｏａ ｎｏ ｖ ｄｐ ｌｏ ｍｉ ｈｅ ｅ ｔ ａ ｌａｌｓ ｈｏ ｒｏｄ ｏ ｓ ｉｅｆｇｒ ｍｅ ｎｉ ．ｙｙ ｅ
；
解题 者即 解使题败失， 也可能 他了具做有４性独的工，作， １因他为的尝可能试有会于 助发现解决其其； ： 他问题方的。 题法虽未解决 问 是但很启有意义发 ，这最终为 能因 使其他人现发更有效的成题解方法。 ； 于
：是 ， 解题 者 以 这 种间接的方 式 做出了独创 性的贡 。献 ：
… ． …｝． ． ．． ． ． ＿ ． ～１＿ ． ． ．一 ．． ． ．、． 一． ． ＿ ＿ ． １ ～＿ ．． ｒ＿ …． ． ． ． １ ．，． ． ． ．一 ． ． ． ． ．－ ‘
—
— 波亚 利 。 一 ’ 一
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