浙江大学理学院
硕士学位论文
热方程的高斯扰动的大偏差
姓名：汪晓霞
申请学位级别：硕士
专业：基础数学
指导教师：翟健
20080501
浙江大学硕士学位论文
摘
本文研究了高斯扰动下的热方程要
』掣＝≮笋砒小州蛐胁鼢∈Ｒ的大偏差性ｌＵ‘（Ｏ，Ｘ）＝１１０Ｘ）ｘ∈Ｒ
质，并计算其作用泛函。我们首先介绍了高斯噪声以及关于鞅测度的随机积分。在第二章中，我们验证了高斯噪声的大偏差性质。然后，在第三章我们给出了上述方程的解的表达式，得到了上述热方程也满足大偏差原理，并求出了其作用泛函。关键词：热方程，高斯噪声，鞅测度，作用泛函，大偏差
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Ａｂｓｔ：ｒａｃｔ
ＷｅｓｔｕｄｙｔｈｅｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｒｖａｌｏｆｓｐａｃｅｓｕｂｊｅｃｔｔｏａＧａｕｓｓｉａｎｎｏｉｓｅ，ｗｈｉｔｅｉｎｔｉｍｅａｎｄｃｏｌｏｒｉｎｓｐａｃｅ丁０２ＵＳ（ｔ，ｘ）＋巾，ｘ）＋ｓＷ（ｄｔ，出）尸＝Ｕ‘（ｏ，ｘ）＝‰（ｚ）ｘ∈Ｒ，ｔ∈冠工∈Ｒ
ＦｉｒｓｔｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｌａｂｏｕｔｔｈｅＧａｕｓｓｉａｎｎｏｉｓｅ．ＴｈｅｎｉｎＣｈａｐｔｅｒ２ｗｅｓｔｕｄｙｏｆｌａｒｇｅｄｅｖｉａｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅａｃｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｆｏｒＧａｕｓｓｉａｎｎｏｉｓｅ・ＩｎＣｈａｐｔｅｒ３ｗｅｇｉｖｅａｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｏｖｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｄｅｄｕｃｅｔｈａｔｔｈｅｌａｒｇｅｄｅｖｉａｔｉｏｎｓｐｒｉｎｃｉｐｌｅｈｏｌｄｓｆｏｒｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐｒｏｃｅｓｓｄｅｆｉｎｅｄｂｙｉｔａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｅｉｔｓａｃｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｇａｕｓｓｉａｎｎｏｉｓｅ，ｍａｒｔｉｎｇａｌｅｍｅａｓｕｒｅ，ａｃｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ，ＬａｒｇｅＤｅｖｉａｔｉｏｎｓ
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第一章高斯扰动和随机积分
§１．１引言
在概率论中，渐近问题一直发挥着很重要的作用。在经典的概率论中我们经常遇到独立变量序列，和与之相关的大数定理，中心极限定理等等。随着近几年，随机过程渐渐成为学者们研究探讨的热点方向，渐近研究依旧发挥着十分重要的作用。甚至于我们可以说在随机过程理论中，渐近研究发挥着比在经典的概率理论中更为重要的作用，由于对于一族随机过程来说，要去获得它的简单的精确的公式，这很显然是不可能的。
随机过程理论中的渐近研究包括了大数定理和中心极限定理的结论，以及在最近发展起来的关于大偏差的理论。本文中主要考察下面的热方程高斯扰动的渐近问题。
Ｊ旦【幽＝兰≤三譬立垒＋占矿（出，）ｘ∈尺，∈墨ａｔ｛缸２、７，７＋
ＵＦ（ｏ，石）＝‰（石）ｚ∈尺
』掣一ｔａ２Ｕ苏Ｃ（：ｔ，ｘ）．毗小州蛐卜如∈足ＩＵ占（ｏ，ｘ）＝“ｏ（ｚ）ｘ∈Ｒ
在第一章中我们主要是为了下文在做准备：关于高斯噪声的定义，关于鞅测度的积分，从而给出关于上述方程的解的表达式。
在第二章中，我们首先验证了高斯噪声的大偏差性质，然后我们得到了上述热方程也满足大偏差原理，并求出了其作用泛函。
§１．２高斯噪声的定义
（Ｅ，朋，∥）为仃一有限的测度空间，令厨为朋中的∥测度有限的子集的集合，基于测度ＩＩ的高斯噪声定义为厨上的随机集合函数，满足：ＶＡ，Ｂ∈Ｍ（１）∥（彳）服从高斯分布Ⅳ（ｏ，∥（彳））；（２）若彳厂、曰＝ａ，则形（彳）和形（曰）互相独立，且有
Ｗ（ＡｕＢ）＝矽（彳）＋形（曰）
由于我们讨论的是热方程的高斯扰动，因此取Ｅ＝【ｏ，ｏｏ）ｘＲ。其中ＪＲ为实数轴，Ｍ＝召（【ｏ，ｏＯ×Ｒ），∥（彳×曰）＝ｍ（彳）旯（曰），其中名为召（Ｒ）上的有限测度，ｍ为【０，ｏｏ）上的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度，Ａｃ［ｏ，ｏＤ），Ｂ∈召（Ｒ），Ａ一４＝Ｂ，（【ｏ，ｏｏ）×Ｒ）＝｛么：么∈召（【ｏ，ｏｏ）×Ｒ），ｕ（Ａ）＜ｏｏ）。
下面我们来考虑这样定义的随机集合函数的存在性：从另一角度来说，形可以看成指标集为｛彳：彳∈臃（【ｏ，∞）×犬））的随机过程。根据条件（１）和（２）可知，这是一个期望为零的高斯过程，其协方差函数Ｃ为
ｃ（ｘ，Ｂ）：＝Ｅ｛形（彳）矿（Ｂ））：＝ｌｕ（ＡｎＢ），
在毽（【ｏ，ｏｏ）×尺）任意取集合４，……，４ｌ，取实数口。，……，口。，
Ｚａｉａ．ｉｃ（４，４）＝∑ａｒａｊ几（ｘ乩（ｘ）础
Ｉ，ＪＩ，Ｊ
／、２
＝川ＥａＡ（ｘ）Ｊｄｇ＞Ｏ
也就是说Ｃ是半正定的。那么根据高斯过程的定理（例如参考文献【５】中的Ｐ７２的定理３．１０，可知存在概率空间（Ｑ，厂，Ｐ）和（Ｑ，厂，Ｐ）上面的随机过程｛形（彳）；彳∈毽．（【ｏ，ｏｏ）×尺））形满足上述的条件（１）和（２）。另外，我们考虑（Ｑ，厂，尸）上的右连续的口一代数流（五）脚，其中每个五都包含厂中的零集，并且满足以下两个条件：
（１）形（彳）关于五可测，其中彳∈层（【ｏ，ｆ】×Ｒ）；
（２）对于任意的ｆ≥ｏ，｛形（彳）；彳∈Ｂｒ（（ｔ，∞）×Ｒ））和互互相独立。
例如为｛形（ｆ），ｆ≥ｏ）的自然代数流，其中形（ｆ）：＝｛形（【ｏ，ｆ】×彳）；彳∈缉（尺））对于任意的ｆ≥ｏ和彳∈缉（Ｒ），定义∥（ｆ，彳）：＝形（【ｏ，ｆ】×彳）。由参考文献【１】可知随机过程｛∥（ｆ，彳），（五）脚；ｆ≥ｏ，彳∈磷（尺））为一个鞅测度，．．ｅ．
（１）ｗ（ｏ，Ａ）＝０：２
（２）对于每个ｆ≥ｏ，Ｗ（ｔ，・）是ｒ（Ｑ）上的仃有限测度；
（３）｛ｗ（ｔ，彳），（五）脚；ｆ≥ｏ）是一个鞅。
§１．３关于鞅测度的随机积分的定义
（Ｅ，量）为Ｌｕｓｉｎ空间，（五）脚是右连续的代数流，｛鸠（么），ｚ，ｆ≥ｏ，彳∈鲁）是一个鞅测度，其中Ａ：是包含在辱中的仃域，并且对于任意的彳∈Ａ；，都有Ｅ｛Ｍ（彳）２）＜ｏｏ。首先我们来定义两类特殊的鞅测度。
鞅测度称为是正交的，如果对于中任意两个不相交的集合Ａ和Ｂ，都有鞅｛Ｍ，（彳），ｆ≥ｏ）和鞅｛Ｍ（曰），ｔ＞Ｏ）是正交的。可以看到我们上面考虑的高斯噪声就是一个正交的鞅测度，由于任意两个不相交的集合Ａ和Ｂ，Ｍ（彳）和Ｍ，（Ｂ）互相独立，显然正交。
下面还要引入ｗｏｒｔｈｙ鞅测度，原因在于我们还无法对于所有的鞅测度定义积分，在本文中考虑的就是关于ｗｏｒｔｈｙ鞅测度的随机积分。从参考文献【１】中可知正交的鞅测度是ｗｏｒｔｈｙ，显然本文中所考虑的高斯噪声也是ｗｏｒｔｈｙ的。
Ｍ的协方差函数为
磊（彳，曰）＝（Ｍ（彳），Ｍ（曰）），
可以看到磊关于彳和曰对称并且是双加和性的：对于给定的彳，磊（彳，・）和磊（・，彳）是具有加和性的集合函数：若曰ｎｃ＝ａ，
则有磊（彳，曰ｕｃ）＝（Ｍ（彳），Ｍ（Ｂ）＋Ｍ（ｃ）），
＝（Ｍ（彳），Ｍ（Ｂ）），＋（Ｍ（彳），Ｍ（ｃ）），
＝磊（彳，Ｂ）＋磊（彳，Ｃ）
另外还有Ｉ磊（彳，曰）Ｉ≤磊（彳，彳）；磊（Ｂ，Ｂ）；．
称集合彳×占×（ｓ，ｔ］ｃＥｘＥｘＲ＋为矩形。定义矩形上的集合函数Ｑ：Ｑ（彳×Ｂ×（叫）＝磊（Ａ，Ｂ）一磊（彳，Ｂ）
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根据Ｑ的双加和性把Ｏ的定义延拓到有限个互不相交的矩形的并，ｉ．ｅ．若４×Ｅｘ（ｓ，，‘】互不相交，ｆ＝１，…，刀．令
Ｑ（■×忍×（＿，‘】１＿皇（磊（４ｆ，忍）一或（４，尽））。
称ＥｘＥｘＲ上的带号测度Ｋ（函舭）为半正定的，如果对于任意的有界可＼ｉ＝１／ｆ－ｌ
测函数厂，都有下述积分有意义且
，厂（邵）厂（ｙ，Ｊ）Ｋ（ｄｘｄｙｄｓ）２０。
对于这样的半正定的带号测度Ｋ，定义
（／，ｇ）ｘ＝，ｆ（ｘ，ｓ）ｇ（ｙ，ｓ弦（妣触），
由Ｋ的定义知（厂，／）ｒ≥ｏ。
称鞅测度Ｍ是ｗｏｒｔｈｙ的，如果存在一个随机的仃－有限测度Ｋ（人，缈），Ａｅ：ＥｘＥ：ｘＢ：，国∈Ｑ，其中邑是足上的Ｂｏｒｅｌ域，满足
（１）Ｋ是半正定的，并且关于工和ｙ对称；
（２）对于给定彳和口，｛Ｋ（彳×Ｂ×（ｏ，ｆ】），ｆ≥ｏ）是可测的
（３）对于所有的甩，Ｅ｛Ｋ（Ｅ×Ｅ×【ｏ，ｆ】））＜∞：
（４）对于任意的人，有ｌＱ（人）Ｉ＜Ｋ（人）．
称Ｋ为Ｍ的控制测度。
下面我们还需要一些辅助概念。称函数厂（ｘ，Ｊ，国）的基本的（ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ）如果它可以表示成下面的形式
ｆ（ｘ，ｓ，国）＝ｘ（缈）‘咖】（ｓ）Ｌ（ｘ），
其中ｏ≤口≤６ｔｘ是有界的并且关于互可测，彳∈量・厂称是简单函数，如果厂可以表示有限个基本函数的和，记所有简单函数的集合为詈・
定义互２×ＥｘＲ上的司测矿‘域詈为由Ｓ；生成的仃・域。称／为司测的，如果厂是皇。可测的・并且对于可测函数定义如下范数
ＩｌｓｌｌＭ－－ｅ｛（Ｉｆｌ，Ｉｓｌ）Ｋ）－．
注意在０厂忆的定义中用的是厂的绝对值ｌ厂Ｉ，因此有
（Ｉ厂ｌ，Ｉｓｌ）Ｑ－＜ｌｌｓｌｌ２Ｍ。
记量膨为所有可测厂的集合并且满足ｌＩ厂忆＜∞・可以证明Ｐ：肘是是完备的，ｌｌｐ－－＋Ｂａｎａｃｈ空间，并且§在Ｐ；＾ｆ中稠密。
下面来定义关于ｗｏｒｔｈｙ的鞅测度的随机积分。
Ｓｔｅｐ１，对于基本函数／（ｘ，ｓ，缈）＝ｘ（国）‘口，６ｌ（ｓ）Ｌ（工），定义鞅测度厂・Ｍ为ｆ・Ｍ（Ｂ）＝ｘ（∞）（Ｍ，柚（Ａｃ、Ｂ）－Ｍｒ＾口（彳厂、Ｂ））。
Ｌｅｍｍａｌ．１ｆ・Ｍ是一个ｗｏｒｔｈｙ的鞅测度。它的协方差测度ｇ．肼和控制测度巧．肘分别如下
绣棚＝ｆ（ｘ，ｓ）ｆ（ｙ，Ｊ）纵（ｄ冀ｄｙｄｓ）（１．１）
Ｋｓ．Ｍ＝ｌｓ（ｘ，ｓ）厂（ｙ，ｓ）Ｉ如（蚴）（１．２）
并且
ＳｔｅｐＥ｛厂・Ｍ（Ｂ）２｝－＜ＶＩｌ２肼（１．３），其中曰∈Ｅ一，ｔ＜Ｔ。２，根据线性定义厂彤，／∈堇・同理可以证明上述的三个结论（１・１），（１．２）和（１．３）同样成立。
ｓｔｅｐ３，对于厂∈巧．肘：ｌｓ（ｘ，ｓ）ｓ（ｒ，ｓ）Ｉ％（西舭），由于§在Ｐ：肼中
稠密，因此存在一列｛无）ｃ§满足ｌＩｓ－，．１ｌ＾，专ｏ。因此由（１．３）知，对于任意的彳∈辱，ｔ＜Ｔ，
Ｅ｛（厶・Ｍ，（彳）一无・Ｍ，（彳））２）ｓｏ厶一ｚ忆一ｏ．腕，甩专∞。
因此以・Ｍ，（彳）在ｒ（Ｑ，芦，Ｐ）中是一个Ｃａｕｃｈｙ序列，因此在ｒ中该序列收敛Ｓ
到一个鞅，我们将这一极限记为／・Ｍｔ（Ａ）。而且极限和｛Ｚ）的选择无关。
Ｔｈｅｏｒｅｍ１・１若厂∈Ｐ：｜｜ｌ，，则厂・Ｍ是个ｗ。ｒｔｈｙ的鞅测度，ＹＦ＿Ｘｆ・Ｍ是正交的，如果Ｍ是正交的。它的协方差测度和控制测度分别如下：ｇ．Ｍ－－ｆ（ｘ，ｓ）ｆ（ｙ，ｓ）ａＭ（娜）（１．４）
Ｅ巧．Ｍ＝ｌＩ（ｘ，ｓ）ｆ（ｙ，ｓ）［Ｋｕ（ｄｘｄｙｄｓ）（１．５）．进一步的，对于ｇｅＰ：Ｊ｜Ｉ，，彳，ＢＥ；，有
（厂・Ｍ（彳），ｇ・Ｍ（曰）），＝，ｆ（ｘ，ｓ）ｇ（ｙ，ｓ协（妣蛐）（１．６）
叙占畸ｏ，ｆ】
Ｅ｛／・鸩（彳）２｝－＜Ｉｌｆｌｌ２Ｍ（１．７）
这就定义关于一个ｗｏｒｔｈｙ的鞅测度的随机积分，仍为一个鞅测度，定义普通随机积分为
一坷ｏ，，】、ｆａＭ＝ｆ・Ｍ人Ａ、
、弘Ｍ＝ｆ・Ｍｔ婶、Ｅ坷ｏ，，ｌ
Ｊ倒＝ｌｉｍｆ・Ｍｔ－－－，＝ｏ一，（Ｅ）・。’６
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第二章高斯噪声的大偏差
§２．１大偏差的基本性质
（ｘ，Ｐ）为一度量空间．∥６为ｘ的ＢｏｒｅｌＯ＂一域召（ｘ）上的一族概率测度，取值依赖于参数Ｊｌｌ＞ｏ。元（办）为一非负的实值函数，当＾寸。时，旯（办）－－－＞ｏｏ。ｓ（ｘ）为ｘ上的取值于【ｏ，∞】的函数。当办一。时，我们称｛∥＾）．ＩＩ＞。满足大偏差原理，如果以下三个条件成立：
（ｏ）对于任意的ｓ≥ｏ，集合①（ｓ）＝｛ｚ：ｓ（ｘ）≤Ｊ）是紧集；
（１）对于任意的６＞Ｏ，７＞Ｏ，工∈ｚ，存在％＞０，使得对于所有的
０＜ｈ≤％，有
∥６｛ｙ：夕（训）＜万）≥ｅＸｐ｛一Ａ（＾）［ｓ（ｘ）＋７］）：（２．１）
（３）对于任意的万＞ｏ，７＞ｏ，ｓ＞０，存在ＪｊｌＤ＞０，使得对于所有的Ｏ＜ｈ≤ｈｏ，
有
∥ｙ：Ｐ（Ｙ，①（ｓ））≥万）≤ｅｘｐ｛一名（而）（ｓ一７））．（２．２）
我们称名（＾）ｓ（ｘ）为｛∥６）＾＞ｏ。当Ｊ｝ｌ—ｏ时的作用泛函。根据Ｖａｒａｄｈａｎ’ｓ的论文【２】可以知道在条件（０）下，上述定义中的条件（１）和（２）可以被下面的（Ｉ）和（¨）取代，ｌｉｐ在条件（０）下，（１）等价于（１），（２）等价于（１１）：（Ｉ）对于Ｘ中的任意开集Ａ，有
ｌｉｍ名（Ｊ１１）‘１ｈ￥Ｏｌｎ／ｚ６（彳）≥一ｉｎｆ｛Ｓ（ｘ）：ｘ∈彳）：。
（¨）对于Ｘ中的任意闭集Ａ，有
丽名（＾）。１１１１∥６（彳）≤痂ｆ｛ｓ（ｘ）：ｚ∈彳）．
如彩是一族定义在概率空间（Ｑ＾＇一Ｐ）上取值于ｘ的随机变量，分布函数∥６（彳）＝尸６｛孝６∈彳），ｈ的作用泛函就定义为∥６的作用泛函。此时，上面四个条件就转变为
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ｐｈ｛户（善６，ｘ）＜万）≥ｅｘｐ｛一无（＾）［ｓ（ｘ）＋７］），（２．３）
户６｛ｐ（尹，①（Ｊ））≥万）≤ｅＸｐ｛一旯（Ｊ｝ｚ）（ｓ—ｙ）），（２．４）
和对于Ｘ中的任意开集Ａ，有
ｌ枷ｉｍ允（ｈ）－．１ｌＩｌＰ６矽∈彳）≥一时｛ｓ（ｚ）：ｚ∈彳）；
丽ｈ４，ｏ名（＾）。１ｈｌ尸＾矽∈彳）≤也ｆ｛ｓ（工）：ｚ∈彳）．
我们称Ｓ（ｘ）为正规化作用泛函，力（ｈ）为正规化系数。很显然，将作用泛函分解成Ｓ（ｘ）和兄（ｈ）两个因子的方法并不唯一。可以看到若对于每一随机过这一定理给我们带来了很大的方便，能够让我们确定一个随机过程的作用泛函时，很便捷地去确定许多随机过程的作用泛函。
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．１（ＣｏｎｔｒａｃｔｉｏｎＰｒｉｎｃｉｐｌｅ）（Ｘ，所），（ｙ，所）为两个度量空间。允（＾）ｓ∥（ｚ）为ｘ上的一族测度∥６的作用泛函，当Ｊｉｌｊｏ。设妒为（ｘ，风）到（】，，风）上的连续映射，定义ｙ上的测度矿：ｙ＾（彳）＝∥６（缈一１（彳））。则ｙ６的作用泛函为旯（Ｉｊｌ）ｓ”（ｙ）．当＾一ｏ，其中ｓｙ（ｙ）＝ｍｉｎ｛Ｓ∥（石），ｘ∈缈一１（ｙ））。Ｉ定义空集上下确界为－ｂｏｏ）．
举一个该定理的最简单的应用：当Ｘ，】，为相同的空间，但是不同的度量。由Ｔｈｅｏｒｅｍ２．１知若旯（＾）ｓ（ｘ）为度量岛－Ｆｆｌ勺一族测度∥＾的作用泛函，当ｈ—ｏ，且度量仍满足：岛（ｚ，ｙ）—争ｏ，当一（ｚ，ｙ）ｊｏ，则兄（矗）ｓ（ｘ）同样也为度量岛下的一族测度∥６的作用泛函。
在考虑高斯噪声的作用泛函前，我们还需要一个辅助工具Ｇｉｒｓａｎｏｖ变换。８
对于Ｘ中的任意闭集Ａ，有程都一一去验证作用泛函的三个条件来寻找作用泛函，这存在很大的困难。下面
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§２．２Ｇｉｒｓａｎｏｖ变换
Ｇｉｒｓａｎｏｖ变换描述了若改变Ｉｔｏ过程的漂移系数，则该过程的分布不会发生很大的变化。事实上，新过程的分布关于原过程的分布绝对连续，并且我们能够给出它们之间Ｒａｄｏｎ．Ｎｉｋｏｄｙｍ导数的确切的形式。
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．２（ＴｈｅＧｉｒｓａｎｏｖｔｈｅｏｒｅｍＩ）设】，（ｆ）∈Ｒ”为Ｉｔｏ过程：
ｄｒ（ｔ）＝ａ（ｔ，缈）班＋ｄＢ（ｔ），ｔ＜Ｔ，Ｙｏ＝ｏ，其中Ｆ≤∞是给定的常数，Ｂ（ｔ）为ｎ维的Ｂｒｏｗｎ．ａｎ运动。令Ｍ，＝ｏｘｐ（一ｆ口（ｓ，国）担一ｉ１ｆ口２（ｓ，缈）出），ｔ＜Ｔ，并且假设口（ｓ，国）满足Ｎｏｖｉｋｏｖ’ｓ条件
Ｅ［ｅｘｐＧＪｃｒ啪国）凼）］＜∞，其中Ｅ＝知是关州的期望。定义（Ｑ，互）上的测度Ｑ：坦（国）＝Ｍｒ（国）卯ｏ（国），
那么有关于概率分布Ｑ．Ｙ（ｔ）为ｎ维Ｂｒｏｗｎｉａｎ运动，当ｆ≤ｒ．（参考文献
称变换尸ｕ—Ｑ为测度的Ｇｉｒｓａｎｏｖ变换。下面我们来考虑对于本文中所考虑的高斯噪声是否也存在类似的测度变换。
设ｇ（ｆ，ｘ）为【ｏ，丁】×Ｒ到Ｒ上的连续函数并且ｒ上９２（ｆ，ｚ矽∥＜ｏｏ。定义测度户：驴＝ＺｒｄＰ，其中
ｚｒ唧（眦Ｇ训蛐）一三ｍ２∽咖卜斛删有
钇＝１，且｛互），卸是鞅。这是由于ｇ（ｆ，ｘ）是非随机的，因此随机变量ｆ工ｇ（ｆ，石沙（班，出）服从均值为ｏ，方差为了１ｆ上９２（ｆ，ｘ矽∥的正态分布，因此磁＝１。任取ｏ＜Ｊ＜ｆ≤ｒ，由于ｆ工ｇ（ｆ，ｘ沙（衍，出）服从正态分布且和Ｆ相互独立，那么９
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Ｅ【Ｚｆｌ正】＝Ｅ［ｅｘＰｌｆｆＲｇ（ｒ，戈）形（出，出）一互１ｆ工９２（ｒ，ｚ矽∥］Ｉ￡］
＝ｅｘｐ（一三ｆＭ“胁］Ｅ［ｅ坤（跏“洲岫）＋ｍ“ｚ沙（蛐）肛］一ｐ（ｒ【酏砂（蚴卜吾ｍ２（ｆ，工肌）吐唧（ｍ“ｘ沙（蛐：）肛］一ｐ（ｅ脚砂（破删｛ｆＩｃ９２（柚矽∥Ｍｘｐ（ｆＬ比，工沙（出州）］一ｐ…ｇ（啦沙（蛐：）一三ｒ【酢工州＝乙．
另外，在五上有ＺｒｄＰ＝Ｚ，ｄＰ，ｔ≤Ｔ。任取／为有界关于Ｚ可测的函数，则有Ｌ厂（彩场（国）护（∞）＝研屏】一ｅ［Ｅ［ｍｌｚ１］－ｅ［：［ｚ，Ｉｚ】］＝Ｅ【尼】－Ｌ厂（国炻（缈）护（国）。
定义矿（彳）＝形（彳）一ｒ。Ｉｃｌ．ｇ（ｔ，ｘ）ｄｇ．彳∈Ｂ（【ｏ，ｒ】×尺）。
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．３在Ｐ下，形仍是一个基于∥的高斯噪声。
Ｐｒｏｏｆ．若要证明形在Ｐ下是一个基于∥的高斯噪声，只需证明它满足高斯噪声定义中的两点：
（１）给定的ｃ∈召（Ｒ），｛矿（【ｏ，ｆ】×ｃ）：ｆ≥ｏ）是正－ＢｒｏｗｎＩａｌｌ运动，并且其方差为觑（ｃ）：
（２）若彳，曰∈召（【ｏ，丁】×尺）。且彳厂、曰＝ｇ，则旷（彳）和矿（口）相互独立；对于（１），我们只需要证明在户下，增量旷（［ｏ，ｆ１】×ｃ），矿（【‘，ｔ：】×ｃ），…，旷（【乙一ｐ乙】×ｃ）的联合分布和ｎ个互相独立，服从期望为０，方差分别为ｆ。旯（ｃ），（乞一＾）旯（ｃ），…，（乙－ｔ．一．）兄（ｃ）的正态分布的随机变量的联合分
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布相同，其中０＝ｔｏ＜‘＜乞＜…＜乙。也就是要证明
廓ｅｘｐ｛Ｌ∑七＝１ｒ％（矿（【¨】×ｃ）））－兀ｅ冲仨《（乙１。）邶）），我量＝ｌ
们对刀使用归纳法，先证明当，ｌ＝１的情形，
廓ｅＸｐ｛口矿（［叩】×ｃ））＝廓ｅｘｐ｛口形（【ｏ，小ｃｃ）一口【￡ｇ（∽）ｄ∥）＝科ｅｘｐ∽（Ｍ×ｃ）一口ｆ￡ｇ（蹦）ｄ∥蚓
＝科唧ｐ（【叫×ｃ）一口ｒ￡ｇ（叫础）互］
＝砟ｅｘｐｍ（吐（小郎，ｘ）（凼，出）一ｉ１ｆ工（２吐（ｚ）ｇ（叫《（蹦）叫＝Ｐ华驷ｐ㈣嘶）嘶工）沙（蛐）一虿１肚１ｃ（ｚ）啡ｘ））２础）＝唧仨以乖））ｔ最后一步中用到了一个正态分布的基本性质：如果栅从
ｃｒ２
正态分布Ⅳ（ｏ，仃２），则有眈ｘ＝ｅＴ
已证明刀＝１时结论成立，现假设ｎ情形成立，考虑力＋１情形。
廓ｅｘｐ｛∑％（旷（【气．．，‘】×ｃ））｝廓ｅ冲ｔｒ∑ｎ＋ｌｋ＝１％（旷（【㈨】×ｃ）））ＬＪ
＝岛ｅｘｐ｛∑％（形（【气小气】×ｃ）一口￡上ｇ（＝岛ｅｘｐ｛喜％（形（【“，气】×ｃ）一口￡。工ｇ（Ｌ七＝Ｉ、’‘一。’蹦）础计
＝廓｛ｅｘｐｒ芝ｋ＝ｌ吒（∥（［气一。，气】×ｃ）一口￡。ＪＩｇｂ栌∥）Ｈ＝Ｂｔｒ廓ｔｒ叫Ｉ－善，＋Ｉ％㈣㈨】×ｃ）一口￡。龇妒啪五）｝
１ｌ
＝廓｛
Ｃ）＝耳｛
＝廓｛ｑ旷（【％，ｔ１］×Ｃ）％∥ｔｏ，ｔｌＣ）乙．耳乙砟ＰＰｅＸｐｏ【ｐ。岛，‘ｅＸｐ乙砟．ＰｅＸｐ［窆ｋ＝２％旷（【“，气】×ｃ）］乙Ｉ气））瞽啾以１ｋ＝２×Ｃ）Ｍ睁嗽坤１ｋ＝２ｃ）］））ＬＪＪＪＬＪＪＪ
ＬＪＪＩ
＝耳ｐ（【锚１×ｃ）ｚｆＪ罂ｎ＋ｌｅ冲黔（气１。）邪）））ｃ根据归纳㈣＝廓Ｍ㈨×ｃ））越ｅ冲髀（¨删ｃ））
月＋ｌｒ１、
＝ｎｅｘｐ｛寺《（气一ｔｋ－，）五（ｃ）｝，即刀＋１情形成立，则有条件（１）成立。ｔ＝ｌＬＬＪ
我们仍需证明条件（２）若彳，Ｂ∈召（【ｏ，丁】×尺），ＮＡｎＢ＝Ｏ，则矿（彳）和矿（Ｂ）相互独立。分两种情况来考虑：第一种，彳和Ｂ在时间【ｏ，丁】上的投影不相交，不妨假设彳－［ｏ，ｔＩ）×ｃ，曰＝【＾，ｔ２）ｘＣ，０＜６＜乞，Ｃ∈Ｂ（Ｒ），此时旷（彳）和矿（曰）由条件（１）的证明过程即可得到；第二种情况，旷（彳）和矿（Ｂ）在空间上的投影不相交，不妨假设么＝【ｏ，ｆ）×ｑ，曰＝【ｏ，ｔ）ｘＣ２，Ｃｌ厂、ｃ『２＝ｇ。由于矿（彳）和旷（曰）均服从正态分布（对于正态分布来说独立和不相关是等价的），因此只需要证明矿（彳）和矿（曰）不相关，即Ｅ卢矿（彳）矿（曰）＝廓旷（彳）廓矿（Ｂ）’１．ｅ．
廓｛形（彳）一儿ｇ（蹦）础）｛∥（曰）一』工ｇ（蹦）ｄ∥）－
廓｛形（彳）一儿ｇ（蹦）础）廓｛∥（召）一，工ｇ（蹦）础），经过
整理之后，转换为证明砟形（爿）∥（Ｂ）＝廓形（彳）廓形（召），
由于Ｂ∥（彳）形（占）＝耳形（么）廓形（男），则上式显然成立，那么条件（２）成立。
§２．３高斯噪声的作用泛函
我们记％兄。Ｒ＝乞五。足（Ｒ）为【互，互】×Ｒ到尺上的连续函数的集合，定义％上的度量为如掷（厂，ｇ）－驷ｓ．她ｐＶ（ｆ，ｚ）一比ｘ）Ｉ・定义
彤）嘞（胪丢算叫塞ｎｘ）卜狮∽＝ｏ：
若厂不存在二阶偏导或者上述积分发散或者／（ｏ，ｘ）≠ｏ，则令ｓ（厂）＝佃．
令％砭（厂）＝占－２黾五（ｆ）。下面来证明这样定义的％五（厂）为高斯噪声Ｘ８（ｆ，工）＝ｓ矿（ｆ，ｚ），ｗ（ｏ，ｘ）＝ｏ的作用泛函，即需验证％瓦（／）满足作用泛函定义中的三个条件。对于ＶＡｃ［ｏ，∞），Ｂ∈召（尺）．ｐ（ＡＢ）ｘ＝聊（彳）兄（Ｂ），由于名为召（尺）上的有限测度，那么存在有限常数Ｍ＞ｏ，使得五（Ｒ）＝Ｍ。
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．４对于任意给定的万＞Ｏ，ｙ＞Ｏ，Ｋ＞Ｏ，Ｔ＞０，存在民＞０，使得对于所有的占＜‰，翻ｆｆＰ｛ＰｏｒＸＦ，／）＜万）≥ｅｘｐ｛－－６－２［Ｓｏｒ（厂）＋ｙ］），其中厂∈Ｃｏｒ，Ｉ；ｔ＿ｆ（Ｏ，ｘ）＝ｏ。
Ｐｒｏｏｆ．若ｓｏｒ（厂）＝佃，则结论显然成立。不失一般性，下面我们假设蹦小佃棚丢ｅ栏Ｇｘ）１２小佃。
令ｒ（ｆ，ｘ）＝ｘ‘（ｆ，ｘ）－ｆ（ｔ，ｘ）。用‰来表示在Ｃｏｒ上的由Ｘ６（ｆ，ｘ）＝占矿（ｆ，ｘ）诱导的测度（即对于任意彳∈Ｂ（ｃｏｒ），有段ｗ（彳）＝Ｐ｛缈：ｘ８∈彳）），用以。来表示由ｒｔ，ｘ）诱导Ｇｒ上的测度，则由上一节的
薏㈣蛔卜ｒ工纂矽（畔Ｔ。’ｆＪ四ｈｌａｔ¨Ｏｘ卜［ｄ∥｝．舭，Ｃｏｒ（Ｅ小万）－Ｐ，Ｃｏｒ（叫＜艿）＝ｋ归）薏（占ｗｐ（咖）…ｐＰ蹦棚ｋ群即ｐＪｃｒＩｃ纂矿（ｄｔｄｘ）｝Ｐ（ｄｗ）
们需要应用Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ’ｓ不等式：设｛■）为一族相互独立的随机变量，Ｅ（以）＝ｏ，Ｅ（鬈）＝仃２（霹）＜佃，ｑ＝∑鼍则对于任意的占＞ｏ，有ｋ＝ｌ
尸忙ｍ脚ａｘ…ｌＳ．［＞ｓ卜竽测对于高斯噪声黼有
尸融叫剖鞲帅万）≤舰驾掣≤孚，嗍鄹盖黼尸净胁Ｉ万陆１婶涪删讹铆有尸㈢彤叫≥三・
另一抵Ｐｐｒ工丽ａ＝ｆ形（ｄｔｄｘ）Ｈ皿１厕｝
≤尸ｐｒ工纂形（抛）ｌ≥２厄一佤丽）
２
１
８占．２品ｒ（厂）
１４＝一，４
记即）全Ｐ｛ｅＸｐ卜１ｒ工嘉形（酬）＞唧｛一２厄叫佤丽）），那么有尸（彳）≥三。
将上述对被积分项和积分集合的估计结合起来，便有
ｋ删ｅ冲卜１Ｊｃｒ上丽ａ２ｆ形（ｄｔｄｘ）ｔＰ（ｄｗ）
≥ｋ删～ｅＸｐｐＪｃｒＪｆＲ塑ａｔＯｘ形（ｄｔｄｘ）｝Ｐ（ｄｗ）
≥ｋ舡小一ｅｘｐ｛一２厄一佤丽）Ｐ（州
≥三ｅｘｐ｛之厄。１厄丽）。
因此，尸，ＣｏｒＸ占，厂）＜万）≥三ｅｘｐ｛一占－２・５ｌＤｒ（厂）一２ｗ％一厕），由此便
令①（ｓ）＝｛厂∈Ｇｒ，ｆ（ｏ，ｘ）＝Ｏ，Ｓｏｒ（／）≤Ｊ）。Ｔｈｅｏｒｅｍ２．５任意给定ｓ＞０，
对于任意的万＞Ｏ，ｙ＞Ｏ，％＞０，存在％＞Ｏ使得对于所有的０＜ｓ＜岛，ｓ＜％，有Ｐ｛ｐｏｒ（ｘ。，①（ｓ））≥万）≤ｅｘｐ｛一，（ｓ—ｙ））ｏ
Ｐｒｏｏｆ．该定理估计了Ｘ￡的轨道偏离作用泛函Ｓｏｒ的取值较小的集合的概率。为了给出估计，下面引入，Ｅ（ｆ，ｘ）。由于名是Ｒ上的有限测度，因此对于任意的∥＞ｏ，存在常数Ｌ＞Ｏ，使得当ｘ≥三，有１２（－ｘ，ｘ卜肘ｌ＜占’．令，‘（ｆ，石）＝占旷（ｆ，Ｍ），其中Ｏ＜ｔ＜Ｔ，Ｈ≥￡，矿（ｆ，Ｍ）服从正态分布Ⅳ（ｏ，晰）。Ｖ（ｆ，ｚ），Ｏ＜ｔ＜Ｔ，－Ｌ＜ｘ＜Ｌ，肯定存在ｊ毛∈ｚ＋，恕∈ｚ，使
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得毛△ｌ＜ｆ≤（毛＋１）△ｌ，屯△２＜ｘ≤（如＋０Ａ２，其中ＡＩ，Ａ２的取值将在后面的证明过程中给出，现在只要求％。，％：均为整数，则令当ｘ＞０，即乞∈ｚ＋ｍｘ）＝占（‰“㈦蚰：一％“ｄ希矗’不赢碉＋％舭：当Ｘ＜０．即乞∈Ｚ一时，
ｍｘ）＝占（％川却ｃ榔一岷札ｄ斋矗’东南＋占岷…，蕊ｔａ２ｆｆ＝雨而蒜丽（‰啪班：一‰地）
那么事件｛岛ｒ（ｘ暑，①（ｓ））≥万）可能发生在两种情形下：岛ｒ（ｘＦ，ｌ￡）≥万或岛ｒ（ｘ占，ｌＦ）＜万。若岛ｒ
Ｓｏｒ（，占）＞Ｊ。因此零们有ＸｃＩｆ）＜艿，根据①（ｓ）的定义，可知ｆＦ仨①（ｓ）即
Ｐ｛岛ｒ（ｘ‘，①（ｓ））≥万）＝Ｐ｛岛ｒ（ｘ暑，①（ｓ））≥万，岛ｒ（ｘ￡，Ｉ占）≥万）
＋尸｛岛ｒ（ｘ‘，①（Ｊ））≥万，岛ｒｘ５，，６）＜万）
≤Ｐ｛ｐｏｒ（Ｅ１占）≥万）＋尸‰（，５）＞ｓ）。
首先我们来估计事件｛＆ｒ（ｚＦ）＞ｓ）的概率，计算＆ｒ（Ｊ『占）：
帅）＝三ｒ叫篆似ｘ）卜
．△。旯（乞△：，（乞＋１）△２］＝三２警篁ｋ２＝０１ｉ『ｊｉ『Ｉ：．ｉｊ＿：；翻（％岛＋・，△，．ｃ如＋・，厶：一，％△。，如△：）２畚厶（白＋１）２△；名（ｏ，（哎＋１）△：ｒｍ＋１弘’’他＋１肛２“舭ｐ舭２，
≤丢篆＿警－雨蕊丽８２＋三２亨ｋ；＝Ｏ也邑－Ｉ：雨翻（‰“”蚰：氐‰）２浙江大学硕士学位论文
・△。见（如△：，（也＋１）△２］
（‰州叫心一‰△：）２
＋冀２ｋ，＝ｏ屯麦：丽赢而（‰“旧她氓一２Ｅ（％＋１）讹帆一岷“％）＝０，
当也∈ｚ＋时，Ｅ（Ｋ毛＋１）厶Ｉ，化＋１）厶：一呢ＡＩ也Ａ：）２
＝（毛＋１）△。名（ｏ，（乞＋１）△：］＋毛△。Ａ（ｏ，乞△：］－２ｋ，Ａ。名（ｏ，如△：】＝（白＋１）△．兄（ｏ，（ｋ２＋ＯＡ：］一毛△。名（ｏ，恕△：】
Ｅ［］２＝１－ｊ≤ｌ当如∈ｚ一时有Ｅ（％局¨）△１＇化＋１）△：一ＷｋＩ“屯△：）２
＝（白＋１）△。旯［（心＋１）△：，ｏ）十毛△。Ａ［ｋ２Ａ：，ｏ）－２岛Ａ。旯［（包＋１）△：，０）＝（一毛＋０ａ。旯［（也＋１）△：，ｏ）＋ｇＡ。旯【哎△：，０）
令氧乜为均服从正态分布Ⅳ（ｏ，１）的随机变量，根据正态分布的性质可知ｄ穗粝茜］２＝燕＋％一≤－
１７
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尸Ｗ（ｋＩ＋１）△．，（刎△：一％厶。，如△：］２≥口）≤尸｛孝：≥口），Ｖ口＞。，如∈ｚ＋；
（Ｗ（ｋ．＋１）Ａ，，（ｈ＋ＯＡ２－－岷㈨）２Ｐ％＋１）△ｌ孵１）△：一哌ｌ△ｌ。如△：］２≥口）≤尸｛《乜≥口），Ｖ口＞。，岛∈ｚ一贝，ＪＰ｛Ｓｏｒ（，５）＞对ＶＩ尸即∑Ⅷ笙㈣
１—２笙忡ｂ一∑咏（岛可上舭丽Ｋ南＋。，△。，。如＋。，△：一髟％△。，屯△：）２）
２６－２ｓ｝１≤尸阵羔：幺十篷羔：乞
ｂｙＶｊ唧慷扪
Ｑ＜
厂，●兰２～簟＿一
一一２声毛唧∞比ＺＵ我们有
眦州叫＞州茗笺《乜２ｓ．２ｓ｝１
Ｊ
ｃｘｐ｛６～ｓ（１一口））
＝蟛１％ｅｘｐ｛－ｓ－ｅｓ（Ｉ－ａ））
因此存在岛＞０，使得对于Ｖｓ＜‰，Ｓ≤ＳＯ，有
ｅ｛Ｓｏｒ（ｚ６）＞ｓ）≤互１ｅｘｐ｛－－Ｂ－２（州））．
然后我们来估计另一项Ｐ｛ｐｏｒｘｆ，ｌ占）≥万）。根据，‘的构造方法可知，取占’充分小，使得当Ｈ≥￡．１ｓＷ（ｔ，ｘ）一ｌ占（ｔ，ｘ）ｌ－Ｉ占∥（ｆ，工）一ｓ陟（ｆ，Ｍ）Ｉ＜万，口．ｓ。…ｋ（ｗ声）＝户｛戮阻忙０
≤警驯国：岫兮万｝’
当毛△ｌ＜ｔ－＜（ｋｌ＋Ｉ）Ａｌ，ｏ－＜ｋ２Ａ２＜ｘ≤（乞＋１）△２时，Ｅ（ｘ占一，Ｆ）＝ｏ，一机归一驯冯氐％）・南・赢）２Ｅ（ｘ５一，占）２＝Ｅ｛占形（ｆ，ｘ）一ｓ呢△ｌ也△２
＝占２Ｅ［形２（ｒ，工）＋（＿毛＋。，山Ｉ乞＋。ｐ：一％山，蛐：）２・（南］２．（赢确］２］∥Ｅ［Ｗ３－２Ｗ“ｘ）（Ｗ（ｋｔ＋１）Ａｔ，（ｋ２＋１）Ａ：－－‰尉南・翻］＋ｓ２ｌ＿霸△－名（。，如△ｚ卜２毛△－五（。，屯△：】一２而ｔ‘ｊｉ灭翻（ｆ旯（。，工卜毛△－五（。，岛△：】）Ｊ进行变量替换，令ｓ＝ｆ—ｋ，Ａｌ。Ｙ＝Ｘ－－如△２，则ｏ＜ｓ≤Ａｌ，０＜ｙｇＡ２，＋占２Ｅ１．２％～如Ａ：（％＋－Ｍ纠ｈ一％＾挑）。而ｔ’习可网ｘ一２％Ａ，ＡＡ，Ｗ（啦）ｊ√卜卅＋（赤］２．（南№州舭＠ｃ叫）△２］．檎印酬］｝Ｅ（ｘｃ一，ｓ１２＝
＝占２（ｓ＋毛△。）Ａ（０，ｙ＋ｋ２Ａ２】＋占２（ｉ毛专矧２・（ｊ褊］２（毛＋・）△。五（。，（乞＋ｔ）△：］彳（箍］２．（褊卜砌圳一２占２ｉ丢专三号蓦ｊ可瓦Ｙ百＋乏碉ｋ２Ａ２［（Ｊ＋毛△－）兄（。，ｙ＋乞△ｚ】一毛△・五（。，如△：】］
。地砌舭ｚｋ２谢＋耦
ｇ当霸△。＜ｆ≤（岛＋１）△。，如△：＜ｚ≤（如＋１）△２≤ｏ时，Ｅ（ｘＦ—Ｊ『ｆ）＝ｏ，Ｅ（ｎｚ５）２８２ｓＭ＋不１骊２
我们记Ｋ（△：）：ｍｉｎ｛ｌ（－ｈ：，０：】，见（ｏ，△：】）
令郎∽为随机变骰从Ⅳ卜谢＋南卜根据正态分布的性脯Ｐ｛躐阻仑万Ｈ躐阢圳≥万），且若珊从Ⅳ０，０－２），尸（】，＞ｚ）≤差ｅｘｐ（彳／２仃２）眦啪孵叫叫＝ｄ冀Ｌ＜ｘ＜Ｌ阻伞０Ｉ—ｌ
≤警。副躐阢ｙ酬岛－ｏ如一％ｚ【泛；蕊’Ｊ
ｓ２ｂ鸶］唧卜石函］
＝ｅｘｐ｛－Ｅ之（Ｊ一厂））取合适的８，ＡＩ，Ａ２，则有Ｐ｛风ｒ（ｘ￡，ｚ占）≥万）≤ｉ１ｅｘｐ｛－－Ｅ－２（ｓ一７）），所以尸ｋ（Ｅ①（ｓ））≥占）≤圭ｅｘｐ卜２（ｓ一枷＋虿１ｅｘｐ｛－６－２（ｓ一纠
（ａ）泛函＆ｒ（厂）是下半连续的，ｉ．ｅ．ｅＬ在ＣｏｒｄＯｏ蚴：Ｕｆ，则有Ｔｈｅｏｒｅｍ２．６
ｓｏｒ（ｆ）－＜ｌｉｍＳｏｒ（Ｚ）。
（ｂ）①（％）＝｛厂∈Ｃｏｒ，ｆ（ｏ，ｘ）＝ｏ，ｓｏｒ（／）≤％）是紧集。
Ｐｒ。可．（ａ成们只需要考虑极限万ｌｉ—ｒａｓｏｒ（‘）－．＿．ｒｒｌｏｖ～．。ｆ２ｄ∥存在且有限的情况。ｉｇｈ．＝ｃ掀３２ｆ．，那么就有在ｒ（弦】汛∥）上，扣｜１２有界，贝｜Ｊ存在｛吃）的子列，仍记为｛吃），弱收敛到某一函数，记为Ｊ｝ｌ，那么就有六弱收敛到『』ｈｄｔｄｘ。Ｎｌ此有ｆ＝』ｆｈｄｔｄｘ。
＝另－７ｙｉ￥，由于２（ｋ，ｈ）－＜ｌｌｈ．１１２＋肛０２，则有忙１１２＜ｌｉｍ珊Ｉｌｈｏｌｌ２，因此有ｓｏｒ（ｆ）＜ｌｉｒｎＳｏｒ（‘）
蜗（咖三叫
此有，ｄ∥知，ｒ：ｆＩ，，ｌ塑ａｔａｘ阮ｌ＝２氐ｒ（胚２％。因２１
Ｉｆ（ｔ＋ｈ，ｘ＋ｋ）一厂（ｆ，ｘ）Ｉ≤ｆ¨ｒ＋‘ｌ
也就是说厂等度连续，则根据Ａｒｚｅｌａ＇ｓｔｈｅｏｒｅｍ可知①（％）的紧性。
由Ｔｈｅｏｒｅｍ２．４，２．５和２．６可知这样定义的泛函：吲班ｓ飞彬）＝三ｅ叫纂似ｘ）卜确实为高斯噪声的作用阻
第三章热方程的作用泛函
§３．１热方程的解
在这一节中我们来考虑含有高斯噪声的热方程的解的表达形式。首先我们来回顾没有噪声干扰情况下的热方程的解。
１Ｉ丝＝育０２Ｕ优掀‘
卜（ｏ，ｘ）＝‰（ｚ）ｆ＞ｏ艇Ｒｘ∈尺（３．１’
其中Ｕ。为具有紧支集的连续函数。根据偏微分方程的理论可知上述方程的解为
“（ｆ，ｘ）＝ｊ＂Ｇ，Ｃｘ，ｙ）‰（ｙ陟，
狮似小Ｐ闩≥嘶川……捌锄一笋扩一
∽
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ掣她彤力戤咖工∈Ｒ，ｆ∈足ｘ∈Ｒ（３．２）由于高斯噪声的存在，我们根据Ｗａｌｓｈ的“Ａｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐａｒｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ”从积分的角度来给出（３．２）的解。对于固定的ｔ，任意给定矽∈Ｃ。（尺）且具有紧支集，方程两边同乘≯，同时再关于（ｓ，工）在（ｏ，ｆ）×尺上ｆ￡掣矽（ｘ）批＝ｆ工掣抛＋ｍ（ｘ）矿（蚴ｃ）＠３，利用分部积分以及矽的性质对上式进行化简：积分：
抛上ｆ掣矽（ｘ）出出＝肌圳瓤二出
＝工“（ｆ，工矽（ｚ）出一￡％（工矽（戈）出；
ｆ上掣栅＝ｆ［（掣ｍ）］［一船一纵帖卜
＝一ｆ上昙“（蹦）痧’（ｘ）抛
＝一０（蹦）≯’（ｘ））ｌ＝一【“（蹦）≯¨出卜
＝ｆ【“（跖）州ｘ）舭
代入（３．３）中的表达式，则有
【“（船矽（ｘ）出＝“（ｚ矽（ｘ）出＋ｆ上”（蹦）州ｘ）抛
＋工上矽（石）∥（出，出）
我们称“为方程（３・２）的解，若对于任意给定的ｔ，
都有等式（３．４）成立。（３．４）矽∈ｃ“【尺Ｊ且具有紧支集
我们还可以看到（３．４）可以延拓到双变量具有紧支集的光滑函数ｙ（ｆ，ｘ）的情形：
［工“（ｆ，ｙ砂（ｒ，ｙ）－－Ｕ０（），）ｙ（ｆ，Ｊ，）］砂＝【￡吵（ｓ，ｙ）Ｗ（ｄｓ，咖）
＋小叫）Ｉ导咖）＋昙咖）ｌ拗组５，
下面利用（３．５）来推到方程（３．２）的解的表达式。定义
讣卅＝Ｊｌｑ∽州（ｙ陟＝Ｉｃ击ｅＸｐ｛－咩卜陟，
易知这样定义的眯纠为方一坠ｃｑｔ易知这样定义的ｑ（ｘ，矽）为方程｛窘．ｏ舐２。。扮吣猷的解’Ｂ口满足
ｚ∈Ｒ一ｖ’“‘“的解，即满足掣一掣．ｏ，Ｇｏ（卅＝料胀组５，中的咖）为
Ｇ，一，（ｘ，矽），那Ａｇ（ｔ，工）＝矽（ｘ），【．ｕ（ｏ，工）＝≯（石）
丽０２咖）＋昙咖）＝掣一气掣一ｏ，
（３．ｓ）转换为：
工［“（ｆ，ｙ）≯（ｙ）一‰（ｙ）Ｇｔ（ｙ，≯）］砂＝ｆ工ｑ一，（ｙ，矽）形（方，凼）
删制＝击唧｛一哮｝贿
工［“（ｆ，ｙ）吮（ｙ）一Ｕｏ（Ｙ）Ｇｔ（Ｙ，吮）］砂＝ｆＩｃＧ，一，（ｙ，丸）缈（咖，出）
可以看到当ｎ—ＣＯ时，唬专万【工），（３．６）
“（“）＝￡ｑ（ｘ，ｙ）‰（少炒＋ｆ上Ｇｆ一，（工，ｙ）Ｗ（ｄｙ，凼）
这就是我们所考虑的含高斯噪声的热方程的解。对于（３．７）
』丁Ｏｕ（ｔ，ｘ）＝掣砒小毗Ｒ，【“（ｏ，ｘ）＝“。（ｘ）ｘ∈Ｒ
其中Ｕ。为具有紧支集的连续函数，厂为具有紧支集的Ｈｏｌｄｅｒ连续函数。则有“ｏ，ｘ）＝工Ｇｆ（ｘ，ｙ）“。（ｙ）ｃｌｙ＋ｆ工Ｇｒ一，（石，Ｙ）ｆ（Ｙ，ｓ）ｄｙｄｓ，当工∈Ｒ，ｔ＞０。｛掣＝丁０２Ｕ＂（ｔ，ｘ）毗小州蚴）ｘ∈Ｒ，ｔ＞Ｏ．【“（ｏ，ｘ）＝“ｏ（ｘ）石∈Ｒ
同理，有【厂‘（ｆ，ｘ）＝工Ｇｆ（石，ｙ）％（少）砂＋．ｃ上ｑ一，（ｘ，Ｙ）ｆ（Ｙ，ｓ）ｄｙｄｓ
ｆ￡Ｇｔ一。（ｚ，ｙ）Ｗ（ｄｙｄｓ）。ｘ∈Ｒ，ｔ＞０。＋ｓ
另外，可以看到Ｖｒ＞。，艿＞。，有ｌＦｉ寸ｍ。ＰＩ【．ｍ！蔷ａｘｒＩｕ５（，，戈）一“。，ｚ）Ｉ＞万）＝。。’’
Ｆ—’ＵｌＵＳｆＳ』・Ｉ
由于ｕＦｔ，ｘ）一“（ｆ，ｘ）＝占ｆ工ｑ一，（ｘ，ｙ）Ｗ（ｄｙｄｓ），那么
Ｐ｛紧旷∽矿咖炒Ｉ万）－Ｐ｛警叭吒（训Ｍ螂，Ｉ＞∥）＝…ｌｉｍＰ．ｋｍａ＿ｘｍ√训职蛐杠１｝【Ｊ∈【一万。一】。。Ｊ
站２占２舰吐ｒｈ∽少）矽（蛐）１２∥占２：受Ｅ［（Ｊｃｒ工吼∽ｙ）础）２］ｓ万－２占２口（ｒ）。口（丁）为丁的有界函数。
§３．２热方程的大偏差性质
在上一章中我们给出了高斯噪声的作用泛函，下面我们根据Ｔｈ２．１给出含有高斯扰动的热方程的作用泛函。
』一ｏｖ＇Ｏ，ｘ）＝鲨掣Ｍ（出，ｄｘ）Ｏｔ｛Ｏｘ２、７圳肛Ｒ㈦８，７十（３．８）
ｌＩＵ‘（ｏ，工）＝‰（ｘ）ｘｅＲ
则由第一章中可知，
ｕ‘（“）＝工“。（ｙ虹（ｘ，ｙ）ｄｙ＋占ｆ工ｑ一，（ｘ，ｙ）Ｗ（ｄｙｄｓ）
任意取厂为【ｏ，丁】×尺到Ｒ上的具有紧支集的光滑函数，考虑ｑ咿】）ｃ凡（尺）上的算子：
氏：厂ｊＶ＝ａ．ｏｆ＝工“。（ｙ虹（训）砂＋ｆ工ｑ一，（训，Ｏ弹ｓＯ，ｙ（
２。，骅碣。将倒黼』蚴Ｏｔ＝掣Ｏｘ＋塑ＯｔＯｘ川肛Ｒ懈即算子色。将厂映射为方程｛～一ｒ…＋的解，
ｚ∈尺ｌ－ｕ（Ｏ，ｘ）＝“ｏＸ）
也就是说厂滟孚＝警＋丽０２ｆ珊鼾氏是连纨黝舸
以知道由于方程的解存在且唯一，因此上述映射存在逆映射《：一＝一１。一‘ａｔ如０２ｖａ＃ａ１《ｖａｔａｘ
为了区分我们记高斯噪声的作用泛函为－蟛似’（厂）。在ｑ盯Ｍ（尺）上定义泛嘛（班三ｒ略一劁＆２１２ｍ若瓦ａｆ，等嵇且巾一铂∽，对于其它厂令＆ｒ（／）＝－ｂｏｏ。
Ｔｈｅｏｒｅｍ３．１当占ｊｏ，占～Ｓｏ７．（ｆ）ｇＵ占（ｆ，ｘ）的作用泛函。
Ｐｒｏｏｆ．
由Ｔｈ２．１知，Ｕ。（ｆ，ｘ）＝＆（占∥（ｆ，石））作用泛函具有以下形式占～Ｓｏｒ（厂）品ｒ（厂）＝ｍｉｎ｛醛一’（ｇ）：气ｇ＝厂）
＝划去（《刮２ｄ∥＝７…｝７７钟∥。
｛掣＝掣砒小州蛐胁如∈Ｒ【Ｕ５（ｏ，石）＝“。（ｘ）ｘ∈Ｒ
ｕ占ｔ，ｘ’）＝上“。（少虹（ｚ，ｙ）ｄｙ＋．ｃ工Ｇ，一，（ｘ，Ｙ）ｆ（Ｙ，ｓ）ｄｙｄｓ
＋占工ＩｃＧ，－，（ｘ，ｙ）Ｗ（ｄｙｄｓ），
我们定义气：ｇ一氏ｇ（ｔ，ｘ）＝工‰（ｙ虹（ｘ，ｙ）ｄｙ＋
ｆ工ｑ一，（ｘ，Ｙ）ｆ（Ｙ，ｓ）ｒｉｙａｌｓ＋ｆ工ｑ叶（ｘ，ｙ）ｇ（ｄｙｄｓ），即将ｇ映射成下述方程２７
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的解：ｊ丁Ｏｕ（ｔ，ｘ）＝可０２ｕ（ｔ，ｘ）＋差蓦＋厂（ｒ，别ｘ的解：｛西缸２’西劫吖ｒｒ～ｅＲ，ｔ∈Ｒ＋，也有表达式：，也有表达式：
ｚ∈Ｒ【“（ｏ，ｘ）＝Ｕｏ（ｘ）
—．—：—“石一丝巾，。缸２０ｔＯｘ。Ｐ７
根据Ｔｈ２．１，则对于缈（ｏ，工）＝‰（ｘ）有
％（矽）＝ｍｉｎ｛蹄‘对（ｇ）：气ｇ＝缈）
可１恤［［０２（一Ｂ－＇矽）陋划詈一丽０２＠砒ｚ）卜
下面主要给出了作用泛函的两个性质：作用泛函落入开集的概率的上确界，以及落入闭集的概率地下确界的估计．用Ｃ。Ｕ，ｏ（Ｒ）来表示Ｃｏ７’（Ｒ）中满足厂（ｏ，工）＝Ｕｏ（ｚ）的二元函数的集合。
根据第二章中在定义作用泛函时，我们给出了在条件（０）下条件（１）和（２）的两个等价条件（Ｉ）和（¨），那么对于我们的Ｕ￡上述（Ｉ）和（ＩＩ）为
（１）对于任意开集彳互Ｃ。Ｕ，ｏ（Ｒ），有
噪ｓ２ｈｌ尸［ｕ‘（啦）∈彳］≥一砒｛ｓ（ｎ厂∈彳）；占山Ｏ－一’‘
（ＩＩ）对于任意闭集彳∈Ｃ。Ｕ，ｏ（Ｒ），有
颐，ＩｎＰＥＵ‘ｔ，ｘ）∈彳］ｓ—ｉｎｆ｛Ｓ（ｆ）：ｆ∈彳）．
注：当９为无扰动的热方程的解“时，其作用泛函为０，因此当ｓ＿０时，随机微分方程的解Ｕ￡落在Ｕ的仟意小的领域之外的概率指数快的趋于０．
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参考文献
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［７２ｆｒｏｍＭａｒｋｏｖＰｒｏｃｅｓｓｅｓｔｏＢｒｏｗｎｉａｎＭｏｔｉｏｎ，ＮｅｗＹｏｒｋＢｅｒｌｉｎＨｅｉｄｅｌｂｅｒｇ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ１９８２Ｋ．Ｌ．Ｃｈｕｎｇ，ＡｃｏｕｒｓｅｉｎＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＴｈｅｏｒｙ，ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ１９７４
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［９］Ｓ．Ｒ．Ｓ．Ｖａｒａｄｈａｎ，Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ
［１０］Ｉ．Ｇｙｏｎｇｙ，Ｅ．Ｐａｒｄｏｕｘ，ｏｎ
Ｆｉｅｌｄｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ１９９３ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｉｅｓａｎｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｃｏｍｍ．ＰｕｒｅＡｐｐｌ．Ｍａｔｈ．１９Ｎｏ．３ＰＰ．２６１－２８６，１９６６ｔｈｅｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔｏｆｓｐａｃｅ・ｔｉｍｅｗｈｉｔｅｎｏｉｓｅｏｎｑｕａｓｉ－ｌｉｎｅａｒｐａｒａｂｏｌｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＴｈｅｏｒｙａｎｄＲｅｌａｔｅｄ
［１１］Ｗｉｌｌｉａｍ
［１２］ＬｏｒｅｎｚｏＧＦａｒｉｓ，ＧｉｏｖａｎｎｉＪｏｎａ—Ｌａｓｉｎｉｏ，Ｌａｒｇｅｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｓｆｏｒａｎｏｎｌｉｎｅａｒｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｎｏｉｓｅ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓ１９８２Ｂｅｒｔｉｎｉ，ＧｉａｍｂａｔｔｉｓｔａＧｉａｃｏｍｉｎ，Ｏｎｔｈｅｌｏｎｇｔｉｍｅｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎ，ＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＴｈｅｏｒｙａｎｄＲｅｌａｔｅｄＦｉｅｌｄｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ１９９９
［１３］Ｃ．Ｍｕｌｌｅｒ，ｏｎ
［１４］Ｅｌｉｓａｔｈｅｓｕｐｐｏｒｔｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｎｏｉｓｅ，ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃａｎｄＳｔｏｃｈａｓｔｉｃｓＲｅｐｏｒｔｓＩ３７ｌＰＰ。２２５－２４５．１９９１Ａｌｏｓ，ＪｏｒｇｅＡ．Ｌｅｏｎ，ＤａｖｉｄＮｕａｌａｒｔ，Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｒａｎｄｏｍｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＴｈｅｏｗａｎｄＲｅｌａｔｅｄＦｉｅｌｄｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ・Ｖｅｒｌａｇ１９９９
［１５］Ｒ．Ｒａｖｉ，Ａｒｕｎａｂｈａ
Ｄｅｃｅｍｂｅｒ１９９１Ｂａｇｃｈｉ，ＡｗｈｉｔｅｎｏｉｓｅｖｅｒｓｉｏｎｏｆｔｈｅＧｉｒｓａｎｏｖＴｈｅｏｒｅｍ，ｏｎＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ３０ｔ“ＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅＤｅｃｉｓｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，Ｂｒｉｇｈｔｏｎ，Ｅｎｇｌａｎｄ，
［１６］ＢｉｎＸｉｅ，Ｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐａｒａｂｏｌｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｎｏｎ－Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ
ｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｔｈｅｕｎｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄ
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ２００８
［１７］ＨｅｎｒｙｋＺａｈｌｅ，Ｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｓｔｒｏｎｇｌｙｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｎｏｉｓｅ，Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐｒｏｃｅｓｓｅｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ２００４
［１８］ＬａｗｒｅｎｃｅＣ．Ｅｖａｎｓ，Ｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙＰｒｏｖｉｎｃｅ，ＲｈｏｄｅＩｓｌａｎｄ，１９９８．
致谢
首先衷心感谢我的导师翟健教授。他有着严谨的治学态度，为人正直，知识渊博，在学习上给了我很大的帮助，悉心的指导我，使我在硕士学习期间有了非常大的进步，受益匪浅。除此之外，他还在生活上非常的关心我，在我有困难的时候支持我帮助我，尤其是在我找工作的时候给了我大力的支持。翟健教授对于我的人生观价值观都有着很大的影响，在他的身上我懂得做人一定要正直，在学术上要严谨认真、一丝不苟。翟老师对我的影响和帮助是我一生中巨大的财富。
感谢师兄崔志伟、洪江、蔡智辉、林加云、屠子恒等，他们在我学习的过程中都给予我很大的帮助，并在生活上非常照顾我。
感谢２９舍１０３的全体舍友周海霞、丁煜、刘春晓、朱智贤、邓小毛、沈芳仙，是她们一直给予我无私的帮助使得我可以顺利的完成学业。
此外我还要特别感谢我的父母，是他们在精神和物质上给了我最大的支持，让我没有后顾之忧，可以勇往直前。３１
热方程的高斯扰动的大偏差
作者：学位授予单位：汪晓霞浙江大学理学院
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1378598.aspx
授权使用：吕先竟(wfxhdx)，授权号：fdb4ecb7-7efe-4c16-b361-9e370135bd26
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浙江大学理学院
硕士学位论文
热方程的高斯扰动的大偏差
姓名：汪晓霞
申请学位级别：硕士
专业：基础数学
指导教师：翟健
20080501
浙江大学硕士学位论文
摘
本文研究了高斯扰动下的热方程要
』掣＝≮笋砒小州蛐胁鼢∈Ｒ的大偏差性ｌＵ‘（Ｏ，Ｘ）＝１１０Ｘ）ｘ∈Ｒ
质，并计算其作用泛函。我们首先介绍了高斯噪声以及关于鞅测度的随机积分。在第二章中，我们验证了高斯噪声的大偏差性质。然后，在第三章我们给出了上述方程的解的表达式，得到了上述热方程也满足大偏差原理，并求出了其作用泛函。关键词：热方程，高斯噪声，鞅测度，作用泛函，大偏差
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Ａｂｓｔ：ｒａｃｔ
ＷｅｓｔｕｄｙｔｈｅｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｒｖａｌｏｆｓｐａｃｅｓｕｂｊｅｃｔｔｏａＧａｕｓｓｉａｎｎｏｉｓｅ，ｗｈｉｔｅｉｎｔｉｍｅａｎｄｃｏｌｏｒｉｎｓｐａｃｅ丁０２ＵＳ（ｔ，ｘ）＋巾，ｘ）＋ｓＷ（ｄｔ，出）尸＝Ｕ‘（ｏ，ｘ）＝‰（ｚ）ｘ∈Ｒ，ｔ∈冠工∈Ｒ
ＦｉｒｓｔｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｌａｂｏｕｔｔｈｅＧａｕｓｓｉａｎｎｏｉｓｅ．ＴｈｅｎｉｎＣｈａｐｔｅｒ２ｗｅｓｔｕｄｙｏｆｌａｒｇｅｄｅｖｉａｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅａｃｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｆｏｒＧａｕｓｓｉａｎｎｏｉｓｅ・ＩｎＣｈａｐｔｅｒ３ｗｅｇｉｖｅａｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｏｖｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｄｅｄｕｃｅｔｈａｔｔｈｅｌａｒｇｅｄｅｖｉａｔｉｏｎｓｐｒｉｎｃｉｐｌｅｈｏｌｄｓｆｏｒｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐｒｏｃｅｓｓｄｅｆｉｎｅｄｂｙｉｔａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｅｉｔｓａｃｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｇａｕｓｓｉａｎｎｏｉｓｅ，ｍａｒｔｉｎｇａｌｅｍｅａｓｕｒｅ，ａｃｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ，ＬａｒｇｅＤｅｖｉａｔｉｏｎｓ
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第一章高斯扰动和随机积分
§１．１引言
在概率论中，渐近问题一直发挥着很重要的作用。在经典的概率论中我们经常遇到独立变量序列，和与之相关的大数定理，中心极限定理等等。随着近几年，随机过程渐渐成为学者们研究探讨的热点方向，渐近研究依旧发挥着十分重要的作用。甚至于我们可以说在随机过程理论中，渐近研究发挥着比在经典的概率理论中更为重要的作用，由于对于一族随机过程来说，要去获得它的简单的精确的公式，这很显然是不可能的。
随机过程理论中的渐近研究包括了大数定理和中心极限定理的结论，以及在最近发展起来的关于大偏差的理论。本文中主要考察下面的热方程高斯扰动的渐近问题。
Ｊ旦【幽＝兰≤三譬立垒＋占矿（出，）ｘ∈尺，∈墨ａｔ｛缸２、７，７＋
ＵＦ（ｏ，石）＝‰（石）ｚ∈尺
』掣一ｔａ２Ｕ苏Ｃ（：ｔ，ｘ）．毗小州蛐卜如∈足ＩＵ占（ｏ，ｘ）＝“ｏ（ｚ）ｘ∈Ｒ
在第一章中我们主要是为了下文在做准备：关于高斯噪声的定义，关于鞅测度的积分，从而给出关于上述方程的解的表达式。
在第二章中，我们首先验证了高斯噪声的大偏差性质，然后我们得到了上述热方程也满足大偏差原理，并求出了其作用泛函。
§１．２高斯噪声的定义
（Ｅ，朋，∥）为仃一有限的测度空间，令厨为朋中的∥测度有限的子集的集合，基于测度ＩＩ的高斯噪声定义为厨上的随机集合函数，满足：ＶＡ，Ｂ∈Ｍ（１）∥（彳）服从高斯分布Ⅳ（ｏ，∥（彳））；（２）若彳厂、曰＝ａ，则形（彳）和形（曰）互相独立，且有
Ｗ（ＡｕＢ）＝矽（彳）＋形（曰）
由于我们讨论的是热方程的高斯扰动，因此取Ｅ＝【ｏ，ｏｏ）ｘＲ。其中ＪＲ为实数轴，Ｍ＝召（【ｏ，ｏＯ×Ｒ），∥（彳×曰）＝ｍ（彳）旯（曰），其中名为召（Ｒ）上的有限测度，ｍ为【０，ｏｏ）上的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度，Ａｃ［ｏ，ｏＤ），Ｂ∈召（Ｒ），Ａ一４＝Ｂ，（【ｏ，ｏｏ）×Ｒ）＝｛么：么∈召（【ｏ，ｏｏ）×Ｒ），ｕ（Ａ）＜ｏｏ）。
下面我们来考虑这样定义的随机集合函数的存在性：从另一角度来说，形可以看成指标集为｛彳：彳∈臃（【ｏ，∞）×犬））的随机过程。根据条件（１）和（２）可知，这是一个期望为零的高斯过程，其协方差函数Ｃ为
ｃ（ｘ，Ｂ）：＝Ｅ｛形（彳）矿（Ｂ））：＝ｌｕ（ＡｎＢ），
在毽（【ｏ，ｏｏ）×尺）任意取集合４，……，４ｌ，取实数口。，……，口。，
Ｚａｉａ．ｉｃ（４，４）＝∑ａｒａｊ几（ｘ乩（ｘ）础
Ｉ，ＪＩ，Ｊ
／、２
＝川ＥａＡ（ｘ）Ｊｄｇ＞Ｏ
也就是说Ｃ是半正定的。那么根据高斯过程的定理（例如参考文献【５】中的Ｐ７２的定理３．１０，可知存在概率空间（Ｑ，厂，Ｐ）和（Ｑ，厂，Ｐ）上面的随机过程｛形（彳）；彳∈毽．（【ｏ，ｏｏ）×尺））形满足上述的条件（１）和（２）。另外，我们考虑（Ｑ，厂，尸）上的右连续的口一代数流（五）脚，其中每个五都包含厂中的零集，并且满足以下两个条件：
（１）形（彳）关于五可测，其中彳∈层（【ｏ，ｆ】×Ｒ）；
（２）对于任意的ｆ≥ｏ，｛形（彳）；彳∈Ｂｒ（（ｔ，∞）×Ｒ））和互互相独立。
例如为｛形（ｆ），ｆ≥ｏ）的自然代数流，其中形（ｆ）：＝｛形（【ｏ，ｆ】×彳）；彳∈缉（尺））对于任意的ｆ≥ｏ和彳∈缉（Ｒ），定义∥（ｆ，彳）：＝形（【ｏ，ｆ】×彳）。由参考文献【１】可知随机过程｛∥（ｆ，彳），（五）脚；ｆ≥ｏ，彳∈磷（尺））为一个鞅测度，．．ｅ．
（１）ｗ（ｏ，Ａ）＝０：２
（２）对于每个ｆ≥ｏ，Ｗ（ｔ，・）是ｒ（Ｑ）上的仃有限测度；
（３）｛ｗ（ｔ，彳），（五）脚；ｆ≥ｏ）是一个鞅。
§１．３关于鞅测度的随机积分的定义
（Ｅ，量）为Ｌｕｓｉｎ空间，（五）脚是右连续的代数流，｛鸠（么），ｚ，ｆ≥ｏ，彳∈鲁）是一个鞅测度，其中Ａ：是包含在辱中的仃域，并且对于任意的彳∈Ａ；，都有Ｅ｛Ｍ（彳）２）＜ｏｏ。首先我们来定义两类特殊的鞅测度。
鞅测度称为是正交的，如果对于中任意两个不相交的集合Ａ和Ｂ，都有鞅｛Ｍ，（彳），ｆ≥ｏ）和鞅｛Ｍ（曰），ｔ＞Ｏ）是正交的。可以看到我们上面考虑的高斯噪声就是一个正交的鞅测度，由于任意两个不相交的集合Ａ和Ｂ，Ｍ（彳）和Ｍ，（Ｂ）互相独立，显然正交。
下面还要引入ｗｏｒｔｈｙ鞅测度，原因在于我们还无法对于所有的鞅测度定义积分，在本文中考虑的就是关于ｗｏｒｔｈｙ鞅测度的随机积分。从参考文献【１】中可知正交的鞅测度是ｗｏｒｔｈｙ，显然本文中所考虑的高斯噪声也是ｗｏｒｔｈｙ的。
Ｍ的协方差函数为
磊（彳，曰）＝（Ｍ（彳），Ｍ（曰）），
可以看到磊关于彳和曰对称并且是双加和性的：对于给定的彳，磊（彳，・）和磊（・，彳）是具有加和性的集合函数：若曰ｎｃ＝ａ，
则有磊（彳，曰ｕｃ）＝（Ｍ（彳），Ｍ（Ｂ）＋Ｍ（ｃ）），
＝（Ｍ（彳），Ｍ（Ｂ）），＋（Ｍ（彳），Ｍ（ｃ）），
＝磊（彳，Ｂ）＋磊（彳，Ｃ）
另外还有Ｉ磊（彳，曰）Ｉ≤磊（彳，彳）；磊（Ｂ，Ｂ）；．
称集合彳×占×（ｓ，ｔ］ｃＥｘＥｘＲ＋为矩形。定义矩形上的集合函数Ｑ：Ｑ（彳×Ｂ×（叫）＝磊（Ａ，Ｂ）一磊（彳，Ｂ）
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根据Ｑ的双加和性把Ｏ的定义延拓到有限个互不相交的矩形的并，ｉ．ｅ．若４×Ｅｘ（ｓ，，‘】互不相交，ｆ＝１，…，刀．令
Ｑ（■×忍×（＿，‘】１＿皇（磊（４ｆ，忍）一或（４，尽））。
称ＥｘＥｘＲ上的带号测度Ｋ（函舭）为半正定的，如果对于任意的有界可＼ｉ＝１／ｆ－ｌ
测函数厂，都有下述积分有意义且
，厂（邵）厂（ｙ，Ｊ）Ｋ（ｄｘｄｙｄｓ）２０。
对于这样的半正定的带号测度Ｋ，定义
（／，ｇ）ｘ＝，ｆ（ｘ，ｓ）ｇ（ｙ，ｓ弦（妣触），
由Ｋ的定义知（厂，／）ｒ≥ｏ。
称鞅测度Ｍ是ｗｏｒｔｈｙ的，如果存在一个随机的仃－有限测度Ｋ（人，缈），Ａｅ：ＥｘＥ：ｘＢ：，国∈Ｑ，其中邑是足上的Ｂｏｒｅｌ域，满足
（１）Ｋ是半正定的，并且关于工和ｙ对称；
（２）对于给定彳和口，｛Ｋ（彳×Ｂ×（ｏ，ｆ】），ｆ≥ｏ）是可测的
（３）对于所有的甩，Ｅ｛Ｋ（Ｅ×Ｅ×【ｏ，ｆ】））＜∞：
（４）对于任意的人，有ｌＱ（人）Ｉ＜Ｋ（人）．
称Ｋ为Ｍ的控制测度。
下面我们还需要一些辅助概念。称函数厂（ｘ，Ｊ，国）的基本的（ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ）如果它可以表示成下面的形式
ｆ（ｘ，ｓ，国）＝ｘ（缈）‘咖】（ｓ）Ｌ（ｘ），
其中ｏ≤口≤６ｔｘ是有界的并且关于互可测，彳∈量・厂称是简单函数，如果厂可以表示有限个基本函数的和，记所有简单函数的集合为詈・
定义互２×ＥｘＲ上的司测矿‘域詈为由Ｓ；生成的仃・域。称／为司测的，如果厂是皇。可测的・并且对于可测函数定义如下范数
ＩｌｓｌｌＭ－－ｅ｛（Ｉｆｌ，Ｉｓｌ）Ｋ）－．
注意在０厂忆的定义中用的是厂的绝对值ｌ厂Ｉ，因此有
（Ｉ厂ｌ，Ｉｓｌ）Ｑ－＜ｌｌｓｌｌ２Ｍ。
记量膨为所有可测厂的集合并且满足ｌＩ厂忆＜∞・可以证明Ｐ：肘是是完备的，ｌｌｐ－－＋Ｂａｎａｃｈ空间，并且§在Ｐ；＾ｆ中稠密。
下面来定义关于ｗｏｒｔｈｙ的鞅测度的随机积分。
Ｓｔｅｐ１，对于基本函数／（ｘ，ｓ，缈）＝ｘ（国）‘口，６ｌ（ｓ）Ｌ（工），定义鞅测度厂・Ｍ为ｆ・Ｍ（Ｂ）＝ｘ（∞）（Ｍ，柚（Ａｃ、Ｂ）－Ｍｒ＾口（彳厂、Ｂ））。
Ｌｅｍｍａｌ．１ｆ・Ｍ是一个ｗｏｒｔｈｙ的鞅测度。它的协方差测度ｇ．肼和控制测度巧．肘分别如下
绣棚＝ｆ（ｘ，ｓ）ｆ（ｙ，Ｊ）纵（ｄ冀ｄｙｄｓ）（１．１）
Ｋｓ．Ｍ＝ｌｓ（ｘ，ｓ）厂（ｙ，ｓ）Ｉ如（蚴）（１．２）
并且
ＳｔｅｐＥ｛厂・Ｍ（Ｂ）２｝－＜ＶＩｌ２肼（１．３），其中曰∈Ｅ一，ｔ＜Ｔ。２，根据线性定义厂彤，／∈堇・同理可以证明上述的三个结论（１・１），（１．２）和（１．３）同样成立。
ｓｔｅｐ３，对于厂∈巧．肘：ｌｓ（ｘ，ｓ）ｓ（ｒ，ｓ）Ｉ％（西舭），由于§在Ｐ：肼中
稠密，因此存在一列｛无）ｃ§满足ｌＩｓ－，．１ｌ＾，专ｏ。因此由（１．３）知，对于任意的彳∈辱，ｔ＜Ｔ，
Ｅ｛（厶・Ｍ，（彳）一无・Ｍ，（彳））２）ｓｏ厶一ｚ忆一ｏ．腕，甩专∞。
因此以・Ｍ，（彳）在ｒ（Ｑ，芦，Ｐ）中是一个Ｃａｕｃｈｙ序列，因此在ｒ中该序列收敛Ｓ
到一个鞅，我们将这一极限记为／・Ｍｔ（Ａ）。而且极限和｛Ｚ）的选择无关。
Ｔｈｅｏｒｅｍ１・１若厂∈Ｐ：｜｜ｌ，，则厂・Ｍ是个ｗ。ｒｔｈｙ的鞅测度，ＹＦ＿Ｘｆ・Ｍ是正交的，如果Ｍ是正交的。它的协方差测度和控制测度分别如下：ｇ．Ｍ－－ｆ（ｘ，ｓ）ｆ（ｙ，ｓ）ａＭ（娜）（１．４）
Ｅ巧．Ｍ＝ｌＩ（ｘ，ｓ）ｆ（ｙ，ｓ）［Ｋｕ（ｄｘｄｙｄｓ）（１．５）．进一步的，对于ｇｅＰ：Ｊ｜Ｉ，，彳，ＢＥ；，有
（厂・Ｍ（彳），ｇ・Ｍ（曰）），＝，ｆ（ｘ，ｓ）ｇ（ｙ，ｓ协（妣蛐）（１．６）
叙占畸ｏ，ｆ】
Ｅ｛／・鸩（彳）２｝－＜Ｉｌｆｌｌ２Ｍ（１．７）
这就定义关于一个ｗｏｒｔｈｙ的鞅测度的随机积分，仍为一个鞅测度，定义普通随机积分为
一坷ｏ，，】、ｆａＭ＝ｆ・Ｍ人Ａ、
、弘Ｍ＝ｆ・Ｍｔ婶、Ｅ坷ｏ，，ｌ
Ｊ倒＝ｌｉｍｆ・Ｍｔ－－－，＝ｏ一，（Ｅ）・。’６
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第二章高斯噪声的大偏差
§２．１大偏差的基本性质
（ｘ，Ｐ）为一度量空间．∥６为ｘ的ＢｏｒｅｌＯ＂一域召（ｘ）上的一族概率测度，取值依赖于参数Ｊｌｌ＞ｏ。元（办）为一非负的实值函数，当＾寸。时，旯（办）－－－＞ｏｏ。ｓ（ｘ）为ｘ上的取值于【ｏ，∞】的函数。当办一。时，我们称｛∥＾）．ＩＩ＞。满足大偏差原理，如果以下三个条件成立：
（ｏ）对于任意的ｓ≥ｏ，集合①（ｓ）＝｛ｚ：ｓ（ｘ）≤Ｊ）是紧集；
（１）对于任意的６＞Ｏ，７＞Ｏ，工∈ｚ，存在％＞０，使得对于所有的
０＜ｈ≤％，有
∥６｛ｙ：夕（训）＜万）≥ｅＸｐ｛一Ａ（＾）［ｓ（ｘ）＋７］）：（２．１）
（３）对于任意的万＞ｏ，７＞ｏ，ｓ＞０，存在ＪｊｌＤ＞０，使得对于所有的Ｏ＜ｈ≤ｈｏ，
有
∥ｙ：Ｐ（Ｙ，①（ｓ））≥万）≤ｅｘｐ｛一名（而）（ｓ一７））．（２．２）
我们称名（＾）ｓ（ｘ）为｛∥６）＾＞ｏ。当Ｊ｝ｌ—ｏ时的作用泛函。根据Ｖａｒａｄｈａｎ’ｓ的论文【２】可以知道在条件（０）下，上述定义中的条件（１）和（２）可以被下面的（Ｉ）和（¨）取代，ｌｉｐ在条件（０）下，（１）等价于（１），（２）等价于（１１）：（Ｉ）对于Ｘ中的任意开集Ａ，有
ｌｉｍ名（Ｊ１１）‘１ｈ￥Ｏｌｎ／ｚ６（彳）≥一ｉｎｆ｛Ｓ（ｘ）：ｘ∈彳）：。
（¨）对于Ｘ中的任意闭集Ａ，有
丽名（＾）。１１１１∥６（彳）≤痂ｆ｛ｓ（ｘ）：ｚ∈彳）．
如彩是一族定义在概率空间（Ｑ＾＇一Ｐ）上取值于ｘ的随机变量，分布函数∥６（彳）＝尸６｛孝６∈彳），ｈ的作用泛函就定义为∥６的作用泛函。此时，上面四个条件就转变为
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ｐｈ｛户（善６，ｘ）＜万）≥ｅｘｐ｛一无（＾）［ｓ（ｘ）＋７］），（２．３）
户６｛ｐ（尹，①（Ｊ））≥万）≤ｅＸｐ｛一旯（Ｊ｝ｚ）（ｓ—ｙ）），（２．４）
和对于Ｘ中的任意开集Ａ，有
ｌ枷ｉｍ允（ｈ）－．１ｌＩｌＰ６矽∈彳）≥一时｛ｓ（ｚ）：ｚ∈彳）；
丽ｈ４，ｏ名（＾）。１ｈｌ尸＾矽∈彳）≤也ｆ｛ｓ（工）：ｚ∈彳）．
我们称Ｓ（ｘ）为正规化作用泛函，力（ｈ）为正规化系数。很显然，将作用泛函分解成Ｓ（ｘ）和兄（ｈ）两个因子的方法并不唯一。可以看到若对于每一随机过这一定理给我们带来了很大的方便，能够让我们确定一个随机过程的作用泛函时，很便捷地去确定许多随机过程的作用泛函。
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．１（ＣｏｎｔｒａｃｔｉｏｎＰｒｉｎｃｉｐｌｅ）（Ｘ，所），（ｙ，所）为两个度量空间。允（＾）ｓ∥（ｚ）为ｘ上的一族测度∥６的作用泛函，当Ｊｉｌｊｏ。设妒为（ｘ，风）到（】，，风）上的连续映射，定义ｙ上的测度矿：ｙ＾（彳）＝∥６（缈一１（彳））。则ｙ６的作用泛函为旯（Ｉｊｌ）ｓ”（ｙ）．当＾一ｏ，其中ｓｙ（ｙ）＝ｍｉｎ｛Ｓ∥（石），ｘ∈缈一１（ｙ））。Ｉ定义空集上下确界为－ｂｏｏ）．
举一个该定理的最简单的应用：当Ｘ，】，为相同的空间，但是不同的度量。由Ｔｈｅｏｒｅｍ２．１知若旯（＾）ｓ（ｘ）为度量岛－Ｆｆｌ勺一族测度∥＾的作用泛函，当ｈ—ｏ，且度量仍满足：岛（ｚ，ｙ）—争ｏ，当一（ｚ，ｙ）ｊｏ，则兄（矗）ｓ（ｘ）同样也为度量岛下的一族测度∥６的作用泛函。
在考虑高斯噪声的作用泛函前，我们还需要一个辅助工具Ｇｉｒｓａｎｏｖ变换。８
对于Ｘ中的任意闭集Ａ，有程都一一去验证作用泛函的三个条件来寻找作用泛函，这存在很大的困难。下面
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§２．２Ｇｉｒｓａｎｏｖ变换
Ｇｉｒｓａｎｏｖ变换描述了若改变Ｉｔｏ过程的漂移系数，则该过程的分布不会发生很大的变化。事实上，新过程的分布关于原过程的分布绝对连续，并且我们能够给出它们之间Ｒａｄｏｎ．Ｎｉｋｏｄｙｍ导数的确切的形式。
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．２（ＴｈｅＧｉｒｓａｎｏｖｔｈｅｏｒｅｍＩ）设】，（ｆ）∈Ｒ”为Ｉｔｏ过程：
ｄｒ（ｔ）＝ａ（ｔ，缈）班＋ｄＢ（ｔ），ｔ＜Ｔ，Ｙｏ＝ｏ，其中Ｆ≤∞是给定的常数，Ｂ（ｔ）为ｎ维的Ｂｒｏｗｎ．ａｎ运动。令Ｍ，＝ｏｘｐ（一ｆ口（ｓ，国）担一ｉ１ｆ口２（ｓ，缈）出），ｔ＜Ｔ，并且假设口（ｓ，国）满足Ｎｏｖｉｋｏｖ’ｓ条件
Ｅ［ｅｘｐＧＪｃｒ啪国）凼）］＜∞，其中Ｅ＝知是关州的期望。定义（Ｑ，互）上的测度Ｑ：坦（国）＝Ｍｒ（国）卯ｏ（国），
那么有关于概率分布Ｑ．Ｙ（ｔ）为ｎ维Ｂｒｏｗｎｉａｎ运动，当ｆ≤ｒ．（参考文献
称变换尸ｕ—Ｑ为测度的Ｇｉｒｓａｎｏｖ变换。下面我们来考虑对于本文中所考虑的高斯噪声是否也存在类似的测度变换。
设ｇ（ｆ，ｘ）为【ｏ，丁】×Ｒ到Ｒ上的连续函数并且ｒ上９２（ｆ，ｚ矽∥＜ｏｏ。定义测度户：驴＝ＺｒｄＰ，其中
ｚｒ唧（眦Ｇ训蛐）一三ｍ２∽咖卜斛删有
钇＝１，且｛互），卸是鞅。这是由于ｇ（ｆ，ｘ）是非随机的，因此随机变量ｆ工ｇ（ｆ，石沙（班，出）服从均值为ｏ，方差为了１ｆ上９２（ｆ，ｘ矽∥的正态分布，因此磁＝１。任取ｏ＜Ｊ＜ｆ≤ｒ，由于ｆ工ｇ（ｆ，ｘ沙（衍，出）服从正态分布且和Ｆ相互独立，那么９
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Ｅ【Ｚｆｌ正】＝Ｅ［ｅｘＰｌｆｆＲｇ（ｒ，戈）形（出，出）一互１ｆ工９２（ｒ，ｚ矽∥］Ｉ￡］
＝ｅｘｐ（一三ｆＭ“胁］Ｅ［ｅ坤（跏“洲岫）＋ｍ“ｚ沙（蛐）肛］一ｐ（ｒ【酏砂（蚴卜吾ｍ２（ｆ，工肌）吐唧（ｍ“ｘ沙（蛐：）肛］一ｐ（ｅ脚砂（破删｛ｆＩｃ９２（柚矽∥Ｍｘｐ（ｆＬ比，工沙（出州）］一ｐ…ｇ（啦沙（蛐：）一三ｒ【酢工州＝乙．
另外，在五上有ＺｒｄＰ＝Ｚ，ｄＰ，ｔ≤Ｔ。任取／为有界关于Ｚ可测的函数，则有Ｌ厂（彩场（国）护（∞）＝研屏】一ｅ［Ｅ［ｍｌｚ１］－ｅ［：［ｚ，Ｉｚ】］＝Ｅ【尼】－Ｌ厂（国炻（缈）护（国）。
定义矿（彳）＝形（彳）一ｒ。Ｉｃｌ．ｇ（ｔ，ｘ）ｄｇ．彳∈Ｂ（【ｏ，ｒ】×尺）。
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．３在Ｐ下，形仍是一个基于∥的高斯噪声。
Ｐｒｏｏｆ．若要证明形在Ｐ下是一个基于∥的高斯噪声，只需证明它满足高斯噪声定义中的两点：
（１）给定的ｃ∈召（Ｒ），｛矿（【ｏ，ｆ】×ｃ）：ｆ≥ｏ）是正－ＢｒｏｗｎＩａｌｌ运动，并且其方差为觑（ｃ）：
（２）若彳，曰∈召（【ｏ，丁】×尺）。且彳厂、曰＝ｇ，则旷（彳）和矿（口）相互独立；对于（１），我们只需要证明在户下，增量旷（［ｏ，ｆ１】×ｃ），矿（【‘，ｔ：】×ｃ），…，旷（【乙一ｐ乙】×ｃ）的联合分布和ｎ个互相独立，服从期望为０，方差分别为ｆ。旯（ｃ），（乞一＾）旯（ｃ），…，（乙－ｔ．一．）兄（ｃ）的正态分布的随机变量的联合分
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布相同，其中０＝ｔｏ＜‘＜乞＜…＜乙。也就是要证明
廓ｅｘｐ｛Ｌ∑七＝１ｒ％（矿（【¨】×ｃ）））－兀ｅ冲仨《（乙１。）邶）），我量＝ｌ
们对刀使用归纳法，先证明当，ｌ＝１的情形，
廓ｅＸｐ｛口矿（［叩】×ｃ））＝廓ｅｘｐ｛口形（【ｏ，小ｃｃ）一口【￡ｇ（∽）ｄ∥）＝科ｅｘｐ∽（Ｍ×ｃ）一口ｆ￡ｇ（蹦）ｄ∥蚓
＝科唧ｐ（【叫×ｃ）一口ｒ￡ｇ（叫础）互］
＝砟ｅｘｐｍ（吐（小郎，ｘ）（凼，出）一ｉ１ｆ工（２吐（ｚ）ｇ（叫《（蹦）叫＝Ｐ华驷ｐ㈣嘶）嘶工）沙（蛐）一虿１肚１ｃ（ｚ）啡ｘ））２础）＝唧仨以乖））ｔ最后一步中用到了一个正态分布的基本性质：如果栅从
ｃｒ２
正态分布Ⅳ（ｏ，仃２），则有眈ｘ＝ｅＴ
已证明刀＝１时结论成立，现假设ｎ情形成立，考虑力＋１情形。
廓ｅｘｐ｛∑％（旷（【气．．，‘】×ｃ））｝廓ｅ冲ｔｒ∑ｎ＋ｌｋ＝１％（旷（【㈨】×ｃ）））ＬＪ
＝岛ｅｘｐ｛∑％（形（【气小气】×ｃ）一口￡上ｇ（＝岛ｅｘｐ｛喜％（形（【“，气】×ｃ）一口￡。工ｇ（Ｌ七＝Ｉ、’‘一。’蹦）础计
＝廓｛ｅｘｐｒ芝ｋ＝ｌ吒（∥（［气一。，气】×ｃ）一口￡。ＪＩｇｂ栌∥）Ｈ＝Ｂｔｒ廓ｔｒ叫Ｉ－善，＋Ｉ％㈣㈨】×ｃ）一口￡。龇妒啪五）｝
１ｌ
＝廓｛
Ｃ）＝耳｛
＝廓｛ｑ旷（【％，ｔ１］×Ｃ）％∥ｔｏ，ｔｌＣ）乙．耳乙砟ＰＰｅＸｐｏ【ｐ。岛，‘ｅＸｐ乙砟．ＰｅＸｐ［窆ｋ＝２％旷（【“，气】×ｃ）］乙Ｉ气））瞽啾以１ｋ＝２×Ｃ）Ｍ睁嗽坤１ｋ＝２ｃ）］））ＬＪＪＪＬＪＪＪ
ＬＪＪＩ
＝耳ｐ（【锚１×ｃ）ｚｆＪ罂ｎ＋ｌｅ冲黔（气１。）邪）））ｃ根据归纳㈣＝廓Ｍ㈨×ｃ））越ｅ冲髀（¨删ｃ））
月＋ｌｒ１、
＝ｎｅｘｐ｛寺《（气一ｔｋ－，）五（ｃ）｝，即刀＋１情形成立，则有条件（１）成立。ｔ＝ｌＬＬＪ
我们仍需证明条件（２）若彳，Ｂ∈召（【ｏ，丁】×尺），ＮＡｎＢ＝Ｏ，则矿（彳）和矿（Ｂ）相互独立。分两种情况来考虑：第一种，彳和Ｂ在时间【ｏ，丁】上的投影不相交，不妨假设彳－［ｏ，ｔＩ）×ｃ，曰＝【＾，ｔ２）ｘＣ，０＜６＜乞，Ｃ∈Ｂ（Ｒ），此时旷（彳）和矿（曰）由条件（１）的证明过程即可得到；第二种情况，旷（彳）和矿（Ｂ）在空间上的投影不相交，不妨假设么＝【ｏ，ｆ）×ｑ，曰＝【ｏ，ｔ）ｘＣ２，Ｃｌ厂、ｃ『２＝ｇ。由于矿（彳）和旷（曰）均服从正态分布（对于正态分布来说独立和不相关是等价的），因此只需要证明矿（彳）和矿（曰）不相关，即Ｅ卢矿（彳）矿（曰）＝廓旷（彳）廓矿（Ｂ）’１．ｅ．
廓｛形（彳）一儿ｇ（蹦）础）｛∥（曰）一』工ｇ（蹦）ｄ∥）－
廓｛形（彳）一儿ｇ（蹦）础）廓｛∥（召）一，工ｇ（蹦）础），经过
整理之后，转换为证明砟形（爿）∥（Ｂ）＝廓形（彳）廓形（召），
由于Ｂ∥（彳）形（占）＝耳形（么）廓形（男），则上式显然成立，那么条件（２）成立。
§２．３高斯噪声的作用泛函
我们记％兄。Ｒ＝乞五。足（Ｒ）为【互，互】×Ｒ到尺上的连续函数的集合，定义％上的度量为如掷（厂，ｇ）－驷ｓ．她ｐＶ（ｆ，ｚ）一比ｘ）Ｉ・定义
彤）嘞（胪丢算叫塞ｎｘ）卜狮∽＝ｏ：
若厂不存在二阶偏导或者上述积分发散或者／（ｏ，ｘ）≠ｏ，则令ｓ（厂）＝佃．
令％砭（厂）＝占－２黾五（ｆ）。下面来证明这样定义的％五（厂）为高斯噪声Ｘ８（ｆ，工）＝ｓ矿（ｆ，ｚ），ｗ（ｏ，ｘ）＝ｏ的作用泛函，即需验证％瓦（／）满足作用泛函定义中的三个条件。对于ＶＡｃ［ｏ，∞），Ｂ∈召（尺）．ｐ（ＡＢ）ｘ＝聊（彳）兄（Ｂ），由于名为召（尺）上的有限测度，那么存在有限常数Ｍ＞ｏ，使得五（Ｒ）＝Ｍ。
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．４对于任意给定的万＞Ｏ，ｙ＞Ｏ，Ｋ＞Ｏ，Ｔ＞０，存在民＞０，使得对于所有的占＜‰，翻ｆｆＰ｛ＰｏｒＸＦ，／）＜万）≥ｅｘｐ｛－－６－２［Ｓｏｒ（厂）＋ｙ］），其中厂∈Ｃｏｒ，Ｉ；ｔ＿ｆ（Ｏ，ｘ）＝ｏ。
Ｐｒｏｏｆ．若ｓｏｒ（厂）＝佃，则结论显然成立。不失一般性，下面我们假设蹦小佃棚丢ｅ栏Ｇｘ）１２小佃。
令ｒ（ｆ，ｘ）＝ｘ‘（ｆ，ｘ）－ｆ（ｔ，ｘ）。用‰来表示在Ｃｏｒ上的由Ｘ６（ｆ，ｘ）＝占矿（ｆ，ｘ）诱导的测度（即对于任意彳∈Ｂ（ｃｏｒ），有段ｗ（彳）＝Ｐ｛缈：ｘ８∈彳）），用以。来表示由ｒｔ，ｘ）诱导Ｇｒ上的测度，则由上一节的
薏㈣蛔卜ｒ工纂矽（畔Ｔ。’ｆＪ四ｈｌａｔ¨Ｏｘ卜［ｄ∥｝．舭，Ｃｏｒ（Ｅ小万）－Ｐ，Ｃｏｒ（叫＜艿）＝ｋ归）薏（占ｗｐ（咖）…ｐＰ蹦棚ｋ群即ｐＪｃｒＩｃ纂矿（ｄｔｄｘ）｝Ｐ（ｄｗ）
们需要应用Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ’ｓ不等式：设｛■）为一族相互独立的随机变量，Ｅ（以）＝ｏ，Ｅ（鬈）＝仃２（霹）＜佃，ｑ＝∑鼍则对于任意的占＞ｏ，有ｋ＝ｌ
尸忙ｍ脚ａｘ…ｌＳ．［＞ｓ卜竽测对于高斯噪声黼有
尸融叫剖鞲帅万）≤舰驾掣≤孚，嗍鄹盖黼尸净胁Ｉ万陆１婶涪删讹铆有尸㈢彤叫≥三・
另一抵Ｐｐｒ工丽ａ＝ｆ形（ｄｔｄｘ）Ｈ皿１厕｝
≤尸ｐｒ工纂形（抛）ｌ≥２厄一佤丽）
２
１
８占．２品ｒ（厂）
１４＝一，４
记即）全Ｐ｛ｅＸｐ卜１ｒ工嘉形（酬）＞唧｛一２厄叫佤丽）），那么有尸（彳）≥三。
将上述对被积分项和积分集合的估计结合起来，便有
ｋ删ｅ冲卜１Ｊｃｒ上丽ａ２ｆ形（ｄｔｄｘ）ｔＰ（ｄｗ）
≥ｋ删～ｅＸｐｐＪｃｒＪｆＲ塑ａｔＯｘ形（ｄｔｄｘ）｝Ｐ（ｄｗ）
≥ｋ舡小一ｅｘｐ｛一２厄一佤丽）Ｐ（州
≥三ｅｘｐ｛之厄。１厄丽）。
因此，尸，ＣｏｒＸ占，厂）＜万）≥三ｅｘｐ｛一占－２・５ｌＤｒ（厂）一２ｗ％一厕），由此便
令①（ｓ）＝｛厂∈Ｇｒ，ｆ（ｏ，ｘ）＝Ｏ，Ｓｏｒ（／）≤Ｊ）。Ｔｈｅｏｒｅｍ２．５任意给定ｓ＞０，
对于任意的万＞Ｏ，ｙ＞Ｏ，％＞０，存在％＞Ｏ使得对于所有的０＜ｓ＜岛，ｓ＜％，有Ｐ｛ｐｏｒ（ｘ。，①（ｓ））≥万）≤ｅｘｐ｛一，（ｓ—ｙ））ｏ
Ｐｒｏｏｆ．该定理估计了Ｘ￡的轨道偏离作用泛函Ｓｏｒ的取值较小的集合的概率。为了给出估计，下面引入，Ｅ（ｆ，ｘ）。由于名是Ｒ上的有限测度，因此对于任意的∥＞ｏ，存在常数Ｌ＞Ｏ，使得当ｘ≥三，有１２（－ｘ，ｘ卜肘ｌ＜占’．令，‘（ｆ，石）＝占旷（ｆ，Ｍ），其中Ｏ＜ｔ＜Ｔ，Ｈ≥￡，矿（ｆ，Ｍ）服从正态分布Ⅳ（ｏ，晰）。Ｖ（ｆ，ｚ），Ｏ＜ｔ＜Ｔ，－Ｌ＜ｘ＜Ｌ，肯定存在ｊ毛∈ｚ＋，恕∈ｚ，使
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得毛△ｌ＜ｆ≤（毛＋１）△ｌ，屯△２＜ｘ≤（如＋０Ａ２，其中ＡＩ，Ａ２的取值将在后面的证明过程中给出，现在只要求％。，％：均为整数，则令当ｘ＞０，即乞∈ｚ＋ｍｘ）＝占（‰“㈦蚰：一％“ｄ希矗’不赢碉＋％舭：当Ｘ＜０．即乞∈Ｚ一时，
ｍｘ）＝占（％川却ｃ榔一岷札ｄ斋矗’东南＋占岷…，蕊ｔａ２ｆｆ＝雨而蒜丽（‰啪班：一‰地）
那么事件｛岛ｒ（ｘ暑，①（ｓ））≥万）可能发生在两种情形下：岛ｒ（ｘＦ，ｌ￡）≥万或岛ｒ（ｘ占，ｌＦ）＜万。若岛ｒ
Ｓｏｒ（，占）＞Ｊ。因此零们有ＸｃＩｆ）＜艿，根据①（ｓ）的定义，可知ｆＦ仨①（ｓ）即
Ｐ｛岛ｒ（ｘ‘，①（ｓ））≥万）＝Ｐ｛岛ｒ（ｘ暑，①（ｓ））≥万，岛ｒ（ｘ￡，Ｉ占）≥万）
＋尸｛岛ｒ（ｘ‘，①（Ｊ））≥万，岛ｒｘ５，，６）＜万）
≤Ｐ｛ｐｏｒ（Ｅ１占）≥万）＋尸‰（，５）＞ｓ）。
首先我们来估计事件｛＆ｒ（ｚＦ）＞ｓ）的概率，计算＆ｒ（Ｊ『占）：
帅）＝三ｒ叫篆似ｘ）卜
．△。旯（乞△：，（乞＋１）△２］＝三２警篁ｋ２＝０１ｉ『ｊｉ『Ｉ：．ｉｊ＿：；翻（％岛＋・，△，．ｃ如＋・，厶：一，％△。，如△：）２畚厶（白＋１）２△；名（ｏ，（哎＋１）△：ｒｍ＋１弘’’他＋１肛２“舭ｐ舭２，
≤丢篆＿警－雨蕊丽８２＋三２亨ｋ；＝Ｏ也邑－Ｉ：雨翻（‰“”蚰：氐‰）２浙江大学硕士学位论文
・△。见（如△：，（也＋１）△２］
（‰州叫心一‰△：）２
＋冀２ｋ，＝ｏ屯麦：丽赢而（‰“旧她氓一２Ｅ（％＋１）讹帆一岷“％）＝０，
当也∈ｚ＋时，Ｅ（Ｋ毛＋１）厶Ｉ，化＋１）厶：一呢ＡＩ也Ａ：）２
＝（毛＋１）△。名（ｏ，（乞＋１）△：］＋毛△。Ａ（ｏ，乞△：］－２ｋ，Ａ。名（ｏ，如△：】＝（白＋１）△．兄（ｏ，（ｋ２＋ＯＡ：］一毛△。名（ｏ，恕△：】
Ｅ［］２＝１－ｊ≤ｌ当如∈ｚ一时有Ｅ（％局¨）△１＇化＋１）△：一ＷｋＩ“屯△：）２
＝（白＋１）△。旯［（心＋１）△：，ｏ）十毛△。Ａ［ｋ２Ａ：，ｏ）－２岛Ａ。旯［（包＋１）△：，０）＝（一毛＋０ａ。旯［（也＋１）△：，ｏ）＋ｇＡ。旯【哎△：，０）
令氧乜为均服从正态分布Ⅳ（ｏ，１）的随机变量，根据正态分布的性质可知ｄ穗粝茜］２＝燕＋％一≤－
１７
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尸Ｗ（ｋＩ＋１）△．，（刎△：一％厶。，如△：］２≥口）≤尸｛孝：≥口），Ｖ口＞。，如∈ｚ＋；
（Ｗ（ｋ．＋１）Ａ，，（ｈ＋ＯＡ２－－岷㈨）２Ｐ％＋１）△ｌ孵１）△：一哌ｌ△ｌ。如△：］２≥口）≤尸｛《乜≥口），Ｖ口＞。，岛∈ｚ一贝，ＪＰ｛Ｓｏｒ（，５）＞对ＶＩ尸即∑Ⅷ笙㈣
１—２笙忡ｂ一∑咏（岛可上舭丽Ｋ南＋。，△。，。如＋。，△：一髟％△。，屯△：）２）
２６－２ｓ｝１≤尸阵羔：幺十篷羔：乞
ｂｙＶｊ唧慷扪
Ｑ＜
厂，●兰２～簟＿一
一一２声毛唧∞比ＺＵ我们有
眦州叫＞州茗笺《乜２ｓ．２ｓ｝１
Ｊ
ｃｘｐ｛６～ｓ（１一口））
＝蟛１％ｅｘｐ｛－ｓ－ｅｓ（Ｉ－ａ））
因此存在岛＞０，使得对于Ｖｓ＜‰，Ｓ≤ＳＯ，有
ｅ｛Ｓｏｒ（ｚ６）＞ｓ）≤互１ｅｘｐ｛－－Ｂ－２（州））．
然后我们来估计另一项Ｐ｛ｐｏｒｘｆ，ｌ占）≥万）。根据，‘的构造方法可知，取占’充分小，使得当Ｈ≥￡．１ｓＷ（ｔ，ｘ）一ｌ占（ｔ，ｘ）ｌ－Ｉ占∥（ｆ，工）一ｓ陟（ｆ，Ｍ）Ｉ＜万，口．ｓ。…ｋ（ｗ声）＝户｛戮阻忙０
≤警驯国：岫兮万｝’
当毛△ｌ＜ｔ－＜（ｋｌ＋Ｉ）Ａｌ，ｏ－＜ｋ２Ａ２＜ｘ≤（乞＋１）△２时，Ｅ（ｘ占一，Ｆ）＝ｏ，一机归一驯冯氐％）・南・赢）２Ｅ（ｘ５一，占）２＝Ｅ｛占形（ｆ，ｘ）一ｓ呢△ｌ也△２
＝占２Ｅ［形２（ｒ，工）＋（＿毛＋。，山Ｉ乞＋。ｐ：一％山，蛐：）２・（南］２．（赢确］２］∥Ｅ［Ｗ３－２Ｗ“ｘ）（Ｗ（ｋｔ＋１）Ａｔ，（ｋ２＋１）Ａ：－－‰尉南・翻］＋ｓ２ｌ＿霸△－名（。，如△ｚ卜２毛△－五（。，屯△：】一２而ｔ‘ｊｉ灭翻（ｆ旯（。，工卜毛△－五（。，岛△：】）Ｊ进行变量替换，令ｓ＝ｆ—ｋ，Ａｌ。Ｙ＝Ｘ－－如△２，则ｏ＜ｓ≤Ａｌ，０＜ｙｇＡ２，＋占２Ｅ１．２％～如Ａ：（％＋－Ｍ纠ｈ一％＾挑）。而ｔ’习可网ｘ一２％Ａ，ＡＡ，Ｗ（啦）ｊ√卜卅＋（赤］２．（南№州舭＠ｃ叫）△２］．檎印酬］｝Ｅ（ｘｃ一，ｓ１２＝
＝占２（ｓ＋毛△。）Ａ（０，ｙ＋ｋ２Ａ２】＋占２（ｉ毛专矧２・（ｊ褊］２（毛＋・）△。五（。，（乞＋ｔ）△：］彳（箍］２．（褊卜砌圳一２占２ｉ丢专三号蓦ｊ可瓦Ｙ百＋乏碉ｋ２Ａ２［（Ｊ＋毛△－）兄（。，ｙ＋乞△ｚ】一毛△・五（。，如△：】］
。地砌舭ｚｋ２谢＋耦
ｇ当霸△。＜ｆ≤（岛＋１）△。，如△：＜ｚ≤（如＋１）△２≤ｏ时，Ｅ（ｘＦ—Ｊ『ｆ）＝ｏ，Ｅ（ｎｚ５）２８２ｓＭ＋不１骊２
我们记Ｋ（△：）：ｍｉｎ｛ｌ（－ｈ：，０：】，见（ｏ，△：】）
令郎∽为随机变骰从Ⅳ卜谢＋南卜根据正态分布的性脯Ｐ｛躐阻仑万Ｈ躐阢圳≥万），且若珊从Ⅳ０，０－２），尸（】，＞ｚ）≤差ｅｘｐ（彳／２仃２）眦啪孵叫叫＝ｄ冀Ｌ＜ｘ＜Ｌ阻伞０Ｉ—ｌ
≤警。副躐阢ｙ酬岛－ｏ如一％ｚ【泛；蕊’Ｊ
ｓ２ｂ鸶］唧卜石函］
＝ｅｘｐ｛－Ｅ之（Ｊ一厂））取合适的８，ＡＩ，Ａ２，则有Ｐ｛风ｒ（ｘ￡，ｚ占）≥万）≤ｉ１ｅｘｐ｛－－Ｅ－２（ｓ一７）），所以尸ｋ（Ｅ①（ｓ））≥占）≤圭ｅｘｐ卜２（ｓ一枷＋虿１ｅｘｐ｛－６－２（ｓ一纠
（ａ）泛函＆ｒ（厂）是下半连续的，ｉ．ｅ．ｅＬ在ＣｏｒｄＯｏ蚴：Ｕｆ，则有Ｔｈｅｏｒｅｍ２．６
ｓｏｒ（ｆ）－＜ｌｉｍＳｏｒ（Ｚ）。
（ｂ）①（％）＝｛厂∈Ｃｏｒ，ｆ（ｏ，ｘ）＝ｏ，ｓｏｒ（／）≤％）是紧集。
Ｐｒ。可．（ａ成们只需要考虑极限万ｌｉ—ｒａｓｏｒ（‘）－．＿．ｒｒｌｏｖ～．。ｆ２ｄ∥存在且有限的情况。ｉｇｈ．＝ｃ掀３２ｆ．，那么就有在ｒ（弦】汛∥）上，扣｜１２有界，贝｜Ｊ存在｛吃）的子列，仍记为｛吃），弱收敛到某一函数，记为Ｊ｝ｌ，那么就有六弱收敛到『』ｈｄｔｄｘ。Ｎｌ此有ｆ＝』ｆｈｄｔｄｘ。
＝另－７ｙｉ￥，由于２（ｋ，ｈ）－＜ｌｌｈ．１１２＋肛０２，则有忙１１２＜ｌｉｍ珊Ｉｌｈｏｌｌ２，因此有ｓｏｒ（ｆ）＜ｌｉｒｎＳｏｒ（‘）
蜗（咖三叫
此有，ｄ∥知，ｒ：ｆＩ，，ｌ塑ａｔａｘ阮ｌ＝２氐ｒ（胚２％。因２１
Ｉｆ（ｔ＋ｈ，ｘ＋ｋ）一厂（ｆ，ｘ）Ｉ≤ｆ¨ｒ＋‘ｌ
也就是说厂等度连续，则根据Ａｒｚｅｌａ＇ｓｔｈｅｏｒｅｍ可知①（％）的紧性。
由Ｔｈｅｏｒｅｍ２．４，２．５和２．６可知这样定义的泛函：吲班ｓ飞彬）＝三ｅ叫纂似ｘ）卜确实为高斯噪声的作用阻
第三章热方程的作用泛函
§３．１热方程的解
在这一节中我们来考虑含有高斯噪声的热方程的解的表达形式。首先我们来回顾没有噪声干扰情况下的热方程的解。
１Ｉ丝＝育０２Ｕ优掀‘
卜（ｏ，ｘ）＝‰（ｚ）ｆ＞ｏ艇Ｒｘ∈尺（３．１’
其中Ｕ。为具有紧支集的连续函数。根据偏微分方程的理论可知上述方程的解为
“（ｆ，ｘ）＝ｊ＂Ｇ，Ｃｘ，ｙ）‰（ｙ陟，
狮似小Ｐ闩≥嘶川……捌锄一笋扩一
∽
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ掣她彤力戤咖工∈Ｒ，ｆ∈足ｘ∈Ｒ（３．２）由于高斯噪声的存在，我们根据Ｗａｌｓｈ的“Ａｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐａｒｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ”从积分的角度来给出（３．２）的解。对于固定的ｔ，任意给定矽∈Ｃ。（尺）且具有紧支集，方程两边同乘≯，同时再关于（ｓ，工）在（ｏ，ｆ）×尺上ｆ￡掣矽（ｘ）批＝ｆ工掣抛＋ｍ（ｘ）矿（蚴ｃ）＠３，利用分部积分以及矽的性质对上式进行化简：积分：
抛上ｆ掣矽（ｘ）出出＝肌圳瓤二出
＝工“（ｆ，工矽（ｚ）出一￡％（工矽（戈）出；
ｆ上掣栅＝ｆ［（掣ｍ）］［一船一纵帖卜
＝一ｆ上昙“（蹦）痧’（ｘ）抛
＝一０（蹦）≯’（ｘ））ｌ＝一【“（蹦）≯¨出卜
＝ｆ【“（跖）州ｘ）舭
代入（３．３）中的表达式，则有
【“（船矽（ｘ）出＝“（ｚ矽（ｘ）出＋ｆ上”（蹦）州ｘ）抛
＋工上矽（石）∥（出，出）
我们称“为方程（３・２）的解，若对于任意给定的ｔ，
都有等式（３．４）成立。（３．４）矽∈ｃ“【尺Ｊ且具有紧支集
我们还可以看到（３．４）可以延拓到双变量具有紧支集的光滑函数ｙ（ｆ，ｘ）的情形：
［工“（ｆ，ｙ砂（ｒ，ｙ）－－Ｕ０（），）ｙ（ｆ，Ｊ，）］砂＝【￡吵（ｓ，ｙ）Ｗ（ｄｓ，咖）
＋小叫）Ｉ导咖）＋昙咖）ｌ拗组５，
下面利用（３．５）来推到方程（３．２）的解的表达式。定义
讣卅＝Ｊｌｑ∽州（ｙ陟＝Ｉｃ击ｅＸｐ｛－咩卜陟，
易知这样定义的眯纠为方一坠ｃｑｔ易知这样定义的ｑ（ｘ，矽）为方程｛窘．ｏ舐２。。扮吣猷的解’Ｂ口满足
ｚ∈Ｒ一ｖ’“‘“的解，即满足掣一掣．ｏ，Ｇｏ（卅＝料胀组５，中的咖）为
Ｇ，一，（ｘ，矽），那Ａｇ（ｔ，工）＝矽（ｘ），【．ｕ（ｏ，工）＝≯（石）
丽０２咖）＋昙咖）＝掣一气掣一ｏ，
（３．ｓ）转换为：
工［“（ｆ，ｙ）≯（ｙ）一‰（ｙ）Ｇｔ（ｙ，≯）］砂＝ｆ工ｑ一，（ｙ，矽）形（方，凼）
删制＝击唧｛一哮｝贿
工［“（ｆ，ｙ）吮（ｙ）一Ｕｏ（Ｙ）Ｇｔ（Ｙ，吮）］砂＝ｆＩｃＧ，一，（ｙ，丸）缈（咖，出）
可以看到当ｎ—ＣＯ时，唬专万【工），（３．６）
“（“）＝￡ｑ（ｘ，ｙ）‰（少炒＋ｆ上Ｇｆ一，（工，ｙ）Ｗ（ｄｙ，凼）
这就是我们所考虑的含高斯噪声的热方程的解。对于（３．７）
』丁Ｏｕ（ｔ，ｘ）＝掣砒小毗Ｒ，【“（ｏ，ｘ）＝“。（ｘ）ｘ∈Ｒ
其中Ｕ。为具有紧支集的连续函数，厂为具有紧支集的Ｈｏｌｄｅｒ连续函数。则有“ｏ，ｘ）＝工Ｇｆ（ｘ，ｙ）“。（ｙ）ｃｌｙ＋ｆ工Ｇｒ一，（石，Ｙ）ｆ（Ｙ，ｓ）ｄｙｄｓ，当工∈Ｒ，ｔ＞０。｛掣＝丁０２Ｕ＂（ｔ，ｘ）毗小州蚴）ｘ∈Ｒ，ｔ＞Ｏ．【“（ｏ，ｘ）＝“ｏ（ｘ）石∈Ｒ
同理，有【厂‘（ｆ，ｘ）＝工Ｇｆ（石，ｙ）％（少）砂＋．ｃ上ｑ一，（ｘ，Ｙ）ｆ（Ｙ，ｓ）ｄｙｄｓ
ｆ￡Ｇｔ一。（ｚ，ｙ）Ｗ（ｄｙｄｓ）。ｘ∈Ｒ，ｔ＞０。＋ｓ
另外，可以看到Ｖｒ＞。，艿＞。，有ｌＦｉ寸ｍ。ＰＩ【．ｍ！蔷ａｘｒＩｕ５（，，戈）一“。，ｚ）Ｉ＞万）＝。。’’
Ｆ—’ＵｌＵＳｆＳ』・Ｉ
由于ｕＦｔ，ｘ）一“（ｆ，ｘ）＝占ｆ工ｑ一，（ｘ，ｙ）Ｗ（ｄｙｄｓ），那么
Ｐ｛紧旷∽矿咖炒Ｉ万）－Ｐ｛警叭吒（训Ｍ螂，Ｉ＞∥）＝…ｌｉｍＰ．ｋｍａ＿ｘｍ√训职蛐杠１｝【Ｊ∈【一万。一】。。Ｊ
站２占２舰吐ｒｈ∽少）矽（蛐）１２∥占２：受Ｅ［（Ｊｃｒ工吼∽ｙ）础）２］ｓ万－２占２口（ｒ）。口（丁）为丁的有界函数。
§３．２热方程的大偏差性质
在上一章中我们给出了高斯噪声的作用泛函，下面我们根据Ｔｈ２．１给出含有高斯扰动的热方程的作用泛函。
』一ｏｖ＇Ｏ，ｘ）＝鲨掣Ｍ（出，ｄｘ）Ｏｔ｛Ｏｘ２、７圳肛Ｒ㈦８，７十（３．８）
ｌＩＵ‘（ｏ，工）＝‰（ｘ）ｘｅＲ
则由第一章中可知，
ｕ‘（“）＝工“。（ｙ虹（ｘ，ｙ）ｄｙ＋占ｆ工ｑ一，（ｘ，ｙ）Ｗ（ｄｙｄｓ）
任意取厂为【ｏ，丁】×尺到Ｒ上的具有紧支集的光滑函数，考虑ｑ咿】）ｃ凡（尺）上的算子：
氏：厂ｊＶ＝ａ．ｏｆ＝工“。（ｙ虹（训）砂＋ｆ工ｑ一，（训，Ｏ弹ｓＯ，ｙ（
２。，骅碣。将倒黼』蚴Ｏｔ＝掣Ｏｘ＋塑ＯｔＯｘ川肛Ｒ懈即算子色。将厂映射为方程｛～一ｒ…＋的解，
ｚ∈尺ｌ－ｕ（Ｏ，ｘ）＝“ｏＸ）
也就是说厂滟孚＝警＋丽０２ｆ珊鼾氏是连纨黝舸
以知道由于方程的解存在且唯一，因此上述映射存在逆映射《：一＝一１。一‘ａｔ如０２ｖａ＃ａ１《ｖａｔａｘ
为了区分我们记高斯噪声的作用泛函为－蟛似’（厂）。在ｑ盯Ｍ（尺）上定义泛嘛（班三ｒ略一劁＆２１２ｍ若瓦ａｆ，等嵇且巾一铂∽，对于其它厂令＆ｒ（／）＝－ｂｏｏ。
Ｔｈｅｏｒｅｍ３．１当占ｊｏ，占～Ｓｏ７．（ｆ）ｇＵ占（ｆ，ｘ）的作用泛函。
Ｐｒｏｏｆ．
由Ｔｈ２．１知，Ｕ。（ｆ，ｘ）＝＆（占∥（ｆ，石））作用泛函具有以下形式占～Ｓｏｒ（厂）品ｒ（厂）＝ｍｉｎ｛醛一’（ｇ）：气ｇ＝厂）
＝划去（《刮２ｄ∥＝７…｝７７钟∥。
｛掣＝掣砒小州蛐胁如∈Ｒ【Ｕ５（ｏ，石）＝“。（ｘ）ｘ∈Ｒ
ｕ占ｔ，ｘ’）＝上“。（少虹（ｚ，ｙ）ｄｙ＋．ｃ工Ｇ，一，（ｘ，Ｙ）ｆ（Ｙ，ｓ）ｄｙｄｓ
＋占工ＩｃＧ，－，（ｘ，ｙ）Ｗ（ｄｙｄｓ），
我们定义气：ｇ一氏ｇ（ｔ，ｘ）＝工‰（ｙ虹（ｘ，ｙ）ｄｙ＋
ｆ工ｑ一，（ｘ，Ｙ）ｆ（Ｙ，ｓ）ｒｉｙａｌｓ＋ｆ工ｑ叶（ｘ，ｙ）ｇ（ｄｙｄｓ），即将ｇ映射成下述方程２７
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的解：ｊ丁Ｏｕ（ｔ，ｘ）＝可０２ｕ（ｔ，ｘ）＋差蓦＋厂（ｒ，别ｘ的解：｛西缸２’西劫吖ｒｒ～ｅＲ，ｔ∈Ｒ＋，也有表达式：，也有表达式：
ｚ∈Ｒ【“（ｏ，ｘ）＝Ｕｏ（ｘ）
—．—：—“石一丝巾，。缸２０ｔＯｘ。Ｐ７
根据Ｔｈ２．１，则对于缈（ｏ，工）＝‰（ｘ）有
％（矽）＝ｍｉｎ｛蹄‘对（ｇ）：气ｇ＝缈）
可１恤［［０２（一Ｂ－＇矽）陋划詈一丽０２＠砒ｚ）卜
下面主要给出了作用泛函的两个性质：作用泛函落入开集的概率的上确界，以及落入闭集的概率地下确界的估计．用Ｃ。Ｕ，ｏ（Ｒ）来表示Ｃｏ７’（Ｒ）中满足厂（ｏ，工）＝Ｕｏ（ｚ）的二元函数的集合。
根据第二章中在定义作用泛函时，我们给出了在条件（０）下条件（１）和（２）的两个等价条件（Ｉ）和（¨），那么对于我们的Ｕ￡上述（Ｉ）和（ＩＩ）为
（１）对于任意开集彳互Ｃ。Ｕ，ｏ（Ｒ），有
噪ｓ２ｈｌ尸［ｕ‘（啦）∈彳］≥一砒｛ｓ（ｎ厂∈彳）；占山Ｏ－一’‘
（ＩＩ）对于任意闭集彳∈Ｃ。Ｕ，ｏ（Ｒ），有
颐，ＩｎＰＥＵ‘ｔ，ｘ）∈彳］ｓ—ｉｎｆ｛Ｓ（ｆ）：ｆ∈彳）．
注：当９为无扰动的热方程的解“时，其作用泛函为０，因此当ｓ＿０时，随机微分方程的解Ｕ￡落在Ｕ的仟意小的领域之外的概率指数快的趋于０．
浙江大学硕士学位论文
参考文献
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ＳａｉｎｔＦｌｏｕｒＸＩＶ．Ｃａｒｍｏｎａ，Ｈ．Ｋｅｓｔｅｎ，Ｊ．Ｂ．Ｗａｌｓｈ（ｅｄｓ．）．Ｅｃｏｌｅｄ’ＥｔｅｄｅＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｉｅｓｄｅ
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［３］ＢｅｒｎｔＯｋｓｅｎｄａｌ．ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ．ＡｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．ＦｏｕｒｔｈＥｄｉｔｉｏｎ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ１９９１
［４］ＧｉｋｈｍａｎＩ．１．，ＳｋｏｒｏｋｈｏｄＡＭ，Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
Ｗ．Ｂ．Ｓａｕｎｄｅｒｓ：Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ１９６９ｔｏｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＲａｎｄｏｍＰｒｏｃｅｓｓｅｓ，
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致谢
首先衷心感谢我的导师翟健教授。他有着严谨的治学态度，为人正直，知识渊博，在学习上给了我很大的帮助，悉心的指导我，使我在硕士学习期间有了非常大的进步，受益匪浅。除此之外，他还在生活上非常的关心我，在我有困难的时候支持我帮助我，尤其是在我找工作的时候给了我大力的支持。翟健教授对于我的人生观价值观都有着很大的影响，在他的身上我懂得做人一定要正直，在学术上要严谨认真、一丝不苟。翟老师对我的影响和帮助是我一生中巨大的财富。
感谢师兄崔志伟、洪江、蔡智辉、林加云、屠子恒等，他们在我学习的过程中都给予我很大的帮助，并在生活上非常照顾我。
感谢２９舍１０３的全体舍友周海霞、丁煜、刘春晓、朱智贤、邓小毛、沈芳仙，是她们一直给予我无私的帮助使得我可以顺利的完成学业。
此外我还要特别感谢我的父母，是他们在精神和物质上给了我最大的支持，让我没有后顾之忧，可以勇往直前。３１
热方程的高斯扰动的大偏差
作者：学位授予单位：汪晓霞浙江大学理学院
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下载时间：2010年11月23日