排列组合问题经典题型与通用方法
1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1. A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果A , B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ）
A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种
2. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种
3. 定序问题缩倍法:排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法.
例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A , B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）
A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种
4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种
5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）
4C 12C 84C 444444433C 12C 84C 43C 12C 84C 4C 12C 84A 3A 3A 、种 B 、种 C 、种 D 、种
6. 全员分配问题分组法:
例6. （1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种
7. 名额分配问题隔板法:
例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
8. 限制条件的分配问题分类法:
例8. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种
（2）从1，2，3„，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
（3）从1，2，3，„，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
10. 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n (A ⋃B ) =n (A ) +n (B ) -n (A ⋂B )
例10. 从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11. 现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
12. 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例12. （1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
14. 选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例14. （1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
15. 部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A 、70种 B 、64种 C 、58种 D 、52种
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A 、150种 B 、147种 C 、144种 D 、141种
16. 圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：
a 1, a 2, a 3 , a n ; a 2, a 3, a 4, , a n , ; a n , a 1, , a n -1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有n ! 种. 因此可将某个元素固定展成单排，其它的n -1元素全排列.
n
例16. 有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
17. 可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有m 种方法.
例17. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
18. 复杂排列组合问题构造模型法:
例18. 马路上有编号为1，2，3„，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20. （1）30030能被多少个不同偶数整除？
（2）正方体8个顶点可连成多少对异面直线？
n
排列组合问题经典题型与通用方法
1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1. A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果A , B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ）
A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种
2. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种
3. 定序问题缩倍法:排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法.
例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A , B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）
A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种
4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种
5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）
4C 12C 84C 444444433C 12C 84C 43C 12C 84C 4C 12C 84A 3A 3A 、种 B 、种 C 、种 D 、种
6. 全员分配问题分组法:
例6. （1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种
7. 名额分配问题隔板法:
例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
8. 限制条件的分配问题分类法:
例8. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种
（2）从1，2，3„，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
（3）从1，2，3，„，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
10. 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n (A ⋃B ) =n (A ) +n (B ) -n (A ⋂B )
例10. 从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11. 现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
12. 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例12. （1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
14. 选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例14. （1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
15. 部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A 、70种 B 、64种 C 、58种 D 、52种
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A 、150种 B 、147种 C 、144种 D 、141种
16. 圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：
a 1, a 2, a 3 , a n ; a 2, a 3, a 4, , a n , ; a n , a 1, , a n -1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有n ! 种. 因此可将某个元素固定展成单排，其它的n -1元素全排列.
n
例16. 有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
17. 可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有m 种方法.
例17. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
18. 复杂排列组合问题构造模型法:
例18. 马路上有编号为1，2，3„，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20. （1）30030能被多少个不同偶数整除？
（2）正方体8个顶点可连成多少对异面直线？
n