山西省2005年专升本招生考试试题（高等代数）
一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分） 1. 下面矩阵中的阶梯形矩阵是
⎛1 A . 0 0⎝
21-1
021
1⎫⎪3⎪0⎪⎭
⎛2
B . 0 0⎝
400
1
1⎫⎪3-1
⎪⎪00⎭
⎛1-1
C . 22 01⎝
110
1⎫
⎪0⎪⎪0⎭
⎛0
D . 0 0⎝
003
020
1⎫⎪0⎪⎪0⎭
2. ∂(f (x )) 表示多项式f (x ) 的次数，如果f (x ) ≠0, g (x ) ≠0, 那么∂(f (x ) g (x ))
A . =∂(f (x ) )+∂(g (x ) ) B . =∂(f (x ) +g (x )) C . ≤∂(f (x )) +(∂g ()x ) D . ≤∂(f (x ) +3. 下面命题错误的是
A . 若f (x ) g(x),g (x ) h(x),则f (x ) h(x)C . 若f (x ) g(x)h(x),则f (x ) g(x)或f (x ) h(x)
g (x ) )
B . 若h (x ) f(x),h (x ) g(x),则h (x )
D . 若xf(x)=xg(x),则f(x)=g(x)
4. 设矩阵
⎛0
A =0
x ⎝
3
0x 0
x ⎫
⎪，则行列式2A 0⎪0⎪⎭
3
的值是
A .2x B . -2x C .8x
3
D . -8x
3
5. 任意齐次线性方程组A X =0
A. 只有零解 B. 有非零解 C. 有零解 D. 无零解 6. 已知线性方程组⎧a
x +a 12x 2=b 1111⎨
⎩a 21x 1+a 22x 2=b 2
的系数行列式a
11
a 12a 22
a 21
≠0
，那么该方程组
A. 无解 B. 有无穷多解 C. 有唯一解 D. 只有零解 7. 矩阵A =⎛1
⎛1A . ⎝0
⎝0
1⎫的伴随矩阵*是 A ⎪1⎭
-1⎫⎪1⎭⎛1B . ⎝-10⎫⎪1⎭⎛0C . ⎝11⎫⎪-1⎭⎛-1D . ⎝1-1⎫⎪0⎭
8. 下面矩阵中的初等矩阵是
⎛1 A . 0 1⎝
3
010
1⎫⎪0⎪1⎪⎭⎛2
B . 0 1⎝
010
0⎫⎛1⎪ 0C . -1⎪ ⎪ 01⎭⎝
010
1⎫
⎪0⎪1⎪⎭⎛1
D . 0 5⎝
010
0⎫⎪0⎪1⎪⎭
9. F 中，向量α=(1,2, 3) 在基ε1=(0,0,1)
ε2=(0,1,0)
ε3=(1,0, 0) 下的坐标是
A. （1，2，3） B. （1，3，2） C. （3，2，1）D. （3，1，2）
10. 数域F 上全体n ⨯n 矩阵构成的向量空间的维数是 A . n
B . 2n
C . n
n
D . n
2
二、填空题（每小题2分，10小题，共20分）
1. 已知∂(f (x )) =5, ∂(g (x )) =3，那么∂(f (x ) ±g (x )) =（ ） 2. 设A ，B 都是n ⨯n 矩阵，那么（A+B）（A-B ）=（ ）
1
1
3. 21=()
3
1
1
⎛1
4. A = 2
3⎝4⎫⎪T
5的转置矩阵A =(⎪6⎪⎭
)
5. 若n ⨯n 矩阵A 可逆，则A 的秩是（ ）
1⎫
6. 已知A =⎛，则AB=（ ） ⎪, B =(2, 3, 4)
⎝-1⎭
7. 矩阵
⎛1
A =1
-1⎝
231
-12-2
0⎫
⎪的秩是（ -4⎪1⎪⎭
）
8. 如果α1=(1,-1, 3), α2=(-2, 2, x ) 线性相关，那么x =() 9. 在向量空间F 中，由基ε1=(1,0), ε2=(0,1)到基α1
2
=(2,-1),
)
α2=(1,3)
的过渡矩阵是（ ）
10. 在欧几里得空间R 3中，α
=(3,0, -4) 的长度是=(
三、计算题（共8小题，每小题6分，共48分）
-1111
-1-111
-1-1-11
a
1a 11
11a 1
111a
1. 计算
D =
2. 计算
D =
111
⎧x 1+2x 2-2x 3=1
3. 解线性方程组⎪x +3x +x =-1
⎨123
⎪2x +x -x =-4
23⎩1
4. 求齐次线性方程组⎧⎪
x 1+x 2+x 3+x 4=0
⎨x 1+2x 2-2x 3+x 4=0⎪2x +3x -x +2x =0
234⎩1
⎛2X ⎝1
5⎫⎛1⎪= 2⎭⎝-1
1⎫⎪-1⎭
的一个基础解系
5. 解方程，求矩阵X. 6. 已知α
=(2,-4, 3), β=(-4, 6, -2)
⎝1
，且α=3β-2γ，求向量γ
7. 求矩阵A =⎛-18. 对R 的基α1
3
-4⎫的特征值和属于每个特征值的全部特征向量. ⎪3⎭
3
并由此求出R =(1,1,0) , α2=(0,1,1),α3=(0,0,1) 施行正交化，
的一组标准正交
基。
四、证明是（共2小题，第1小题4分，第2小题8分，共12分） 1. 设A 是n 阶方阵，证明，如果A 可逆，那么A *也可逆. 2. 用F 2⨯2表示数域F 上全体2⨯2矩阵构成的向量空间，令.
⎧⎪⎛a 1
W =⎨
⎪⎝a 3⎩
⎫a 2⎫⎪
a ∈F , a +a =0⎬⎪i 14
a 4⎭⎪⎭
2⨯2
（1）证明，W 是F
的一个子空间. （2）求W 的维数和一组基。
2
山西省2005年专升本招生考试试题（高等代数）
一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分） 1. 下面矩阵中的阶梯形矩阵是
⎛1 A . 0 0⎝
21-1
021
1⎫⎪3⎪0⎪⎭
⎛2
B . 0 0⎝
400
1
1⎫⎪3-1
⎪⎪00⎭
⎛1-1
C . 22 01⎝
110
1⎫
⎪0⎪⎪0⎭
⎛0
D . 0 0⎝
003
020
1⎫⎪0⎪⎪0⎭
2. ∂(f (x )) 表示多项式f (x ) 的次数，如果f (x ) ≠0, g (x ) ≠0, 那么∂(f (x ) g (x ))
A . =∂(f (x ) )+∂(g (x ) ) B . =∂(f (x ) +g (x )) C . ≤∂(f (x )) +(∂g ()x ) D . ≤∂(f (x ) +3. 下面命题错误的是
A . 若f (x ) g(x),g (x ) h(x),则f (x ) h(x)C . 若f (x ) g(x)h(x),则f (x ) g(x)或f (x ) h(x)
g (x ) )
B . 若h (x ) f(x),h (x ) g(x),则h (x )
D . 若xf(x)=xg(x),则f(x)=g(x)
4. 设矩阵
⎛0
A =0
x ⎝
3
0x 0
x ⎫
⎪，则行列式2A 0⎪0⎪⎭
3
的值是
A .2x B . -2x C .8x
3
D . -8x
3
5. 任意齐次线性方程组A X =0
A. 只有零解 B. 有非零解 C. 有零解 D. 无零解 6. 已知线性方程组⎧a
x +a 12x 2=b 1111⎨
⎩a 21x 1+a 22x 2=b 2
的系数行列式a
11
a 12a 22
a 21
≠0
，那么该方程组
A. 无解 B. 有无穷多解 C. 有唯一解 D. 只有零解 7. 矩阵A =⎛1
⎛1A . ⎝0
⎝0
1⎫的伴随矩阵*是 A ⎪1⎭
-1⎫⎪1⎭⎛1B . ⎝-10⎫⎪1⎭⎛0C . ⎝11⎫⎪-1⎭⎛-1D . ⎝1-1⎫⎪0⎭
8. 下面矩阵中的初等矩阵是
⎛1 A . 0 1⎝
3
010
1⎫⎪0⎪1⎪⎭⎛2
B . 0 1⎝
010
0⎫⎛1⎪ 0C . -1⎪ ⎪ 01⎭⎝
010
1⎫
⎪0⎪1⎪⎭⎛1
D . 0 5⎝
010
0⎫⎪0⎪1⎪⎭
9. F 中，向量α=(1,2, 3) 在基ε1=(0,0,1)
ε2=(0,1,0)
ε3=(1,0, 0) 下的坐标是
A. （1，2，3） B. （1，3，2） C. （3，2，1）D. （3，1，2）
10. 数域F 上全体n ⨯n 矩阵构成的向量空间的维数是 A . n
B . 2n
C . n
n
D . n
2
二、填空题（每小题2分，10小题，共20分）
1. 已知∂(f (x )) =5, ∂(g (x )) =3，那么∂(f (x ) ±g (x )) =（ ） 2. 设A ，B 都是n ⨯n 矩阵，那么（A+B）（A-B ）=（ ）
1
1
3. 21=()
3
1
1
⎛1
4. A = 2
3⎝4⎫⎪T
5的转置矩阵A =(⎪6⎪⎭
)
5. 若n ⨯n 矩阵A 可逆，则A 的秩是（ ）
1⎫
6. 已知A =⎛，则AB=（ ） ⎪, B =(2, 3, 4)
⎝-1⎭
7. 矩阵
⎛1
A =1
-1⎝
231
-12-2
0⎫
⎪的秩是（ -4⎪1⎪⎭
）
8. 如果α1=(1,-1, 3), α2=(-2, 2, x ) 线性相关，那么x =() 9. 在向量空间F 中，由基ε1=(1,0), ε2=(0,1)到基α1
2
=(2,-1),
)
α2=(1,3)
的过渡矩阵是（ ）
10. 在欧几里得空间R 3中，α
=(3,0, -4) 的长度是=(
三、计算题（共8小题，每小题6分，共48分）
-1111
-1-111
-1-1-11
a
1a 11
11a 1
111a
1. 计算
D =
2. 计算
D =
111
⎧x 1+2x 2-2x 3=1
3. 解线性方程组⎪x +3x +x =-1
⎨123
⎪2x +x -x =-4
23⎩1
4. 求齐次线性方程组⎧⎪
x 1+x 2+x 3+x 4=0
⎨x 1+2x 2-2x 3+x 4=0⎪2x +3x -x +2x =0
234⎩1
⎛2X ⎝1
5⎫⎛1⎪= 2⎭⎝-1
1⎫⎪-1⎭
的一个基础解系
5. 解方程，求矩阵X. 6. 已知α
=(2,-4, 3), β=(-4, 6, -2)
⎝1
，且α=3β-2γ，求向量γ
7. 求矩阵A =⎛-18. 对R 的基α1
3
-4⎫的特征值和属于每个特征值的全部特征向量. ⎪3⎭
3
并由此求出R =(1,1,0) , α2=(0,1,1),α3=(0,0,1) 施行正交化，
的一组标准正交
基。
四、证明是（共2小题，第1小题4分，第2小题8分，共12分） 1. 设A 是n 阶方阵，证明，如果A 可逆，那么A *也可逆. 2. 用F 2⨯2表示数域F 上全体2⨯2矩阵构成的向量空间，令.
⎧⎪⎛a 1
W =⎨
⎪⎝a 3⎩
⎫a 2⎫⎪
a ∈F , a +a =0⎬⎪i 14
a 4⎭⎪⎭
2⨯2
（1）证明，W 是F
的一个子空间. （2）求W 的维数和一组基。
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