第三
章
向拉压变轴
形三第章
3§-1引
言轴拉压向变
形§3-2 拉压杆的形与叠加变理 原3-3§ 桁架的节点移位 §34- 压与拉切应变剪能§3-5 简拉压静单不问定题§ -63 应热与预应力力§ -3 7压杆弹拉性塑析简分 §3介-8结构优化 计设念概简
介
第三
轴章拉向变压
形
§31 -引言1
α α AβF 2 4 5
3
αααα A βF
思考：为么什研要变形？下究问述是题与变形否关？相
•A点移位 位?移是否与F力 方同？向 •杆各力？内 各•杆料不同时材力？内
第三章
向轴拉压变形
§
32-拉 杆压变的形叠加与理
原一、拉杆的轴向压形与胡变克定律
F
bb1
l l1
F
轴•向形变Δ l= l1 -l (伸 长为正)胡克 律定
横•向形Δ 变b= b1 −b
σ =Eε(σ ≤ pσ)
σ=
FN ，
A=ε
Δl
l
F
N Δl= EAl
FN Δl l= EA拉
压度刚
第三章二、拉压 的杆向变形轴与泊比松
轴
向拉变压形
F
b
b
1l
l
1
FΔb
b横正向应
变bΔ= 1 −bb
ε′ =
试表明验对传统：料（材各同向性，在)例比限极，内 ε一′ ∝ε , 且号异 点处的。横向线变与纵应向线变应正比， ε成 ε′ 定′义 ： μ =−或 μ= ε
εμ
—泊松—比，一为数，由常实验定，测( ≤ 0μ≤ 0 .5 ),
三第
章轴拉向压变
形：已知E，D例d，F，求，D和的改变量d。
FF dD
思考
当圆：管受时，外拉 径小减内径增，还大减小？
是第三
章轴拉压变形
向
：例已E知，D，，Fd，D求和的改d量。变
F F D
d4
F解： ε = = Fσ = μ4 F′ = ε−με = − E AE π ( D − d2 )2E π( D2 −d 2) E
先求 周长内,ds 设弧长变量为du改, ’＝εud/ds
u
=du
ε’=s
d∫
π
d0
′εsd = − ∫
0πd
4Fμ4 μ d ds F= −π ( D2 − d 2 ) E (2 D − d 2E)
4
μdF= ε′ Δdd= −=2 2 π( D −d ) E
πu
D = Δ ε D ′ −
4= μFD Dπ2 −d 2E
()
第三章
轴拉压向变形
论：结拉
杆受力后压横面的形状截保持变，不面内长 a的原任线一（直线或曲段）线，长其改变度均量为 ε a′
第三
章三、多 力杆变的与形叠原理加例 已知E，：1A，A2，求伸总长 Δ
2lF
F3l
轴
拉压向形变
解
：1. 力内分析轴力。
图•
2 .形变算。计用（方法何 ？）
法方：一各段形叠加变
l
1l
2F
N⊕
F
Fx
步骤：*用截
法分面段轴求力 ；*分段出变求形；* 求代数。
和Δl= Δ 1 +lΔl2 + Δ l =3
F
1 Fll Fl32 +− AE1E 2 EA2A
第
三章
向拉轴压变
解法二：形各荷载应叠加
效•
2
F
lF
3l1
l2
F
l1F ( l 2 +3l) Δl a =− −E A 1E2
2AF l 2 1Fl2Δ l b =+E 1AEA 2F
1 lF2 llF3Δl = Δa l+ lb Δ =+ −EA 1E A2 EA
2解法与结一果一，致出引
•
F
l
3l
1a)
l2(
•
2Fl3
l1
b()
l
2
叠
加原
理
三第章
轴
拉压向形变
叠加原：理几载荷个同时作用产所生 的效总，果等于各荷载独单作产生的用效 果总和。
的
叠加原的理适范用围* 当变量因自变量与线成性齐关次系 *时在弹性线范内，且围变形很小当，杆的时 应、力变及位形移一般，与均外力成正，因比 ，叠此原理的加应用围范广。
甚第
三章例：已知 q ,l , E ,A 求，Δ =l ?
q
轴
向压变拉形
q
为常
量解距端点：处x面截的轴力
为l
FN
x() = q
xx d微伸长
FN段( x )
q
x
d
xl
d (
Δl) =
F N( x) d xAEl
=
qdxxEA
总伸长
为
xqd xql2 Δl =∫d Δ(l) = ∫ 0= 0EA 2A
第E章三
轴向拉压变形
例 ：1=d001m,m L=600m, mL=Δ0.3m,mE =00GP2a ,u0=3.，计试：算1横）面上的正截应力2，及横向变）形量 3）螺栓预，紧。 −3 力 0.3 0 1Δl × −3 ：解1轴向正应变） =ε == 0 . 5 ×0 6010× 10−3 l横
面正应截 力σ = ε =E2 00×1 9 × 005 .1×−3 =010 0 Pa 2M 横向)应
变
ε' = −μ = −0.3 ε 0.×5 ×0 1− 3 −0=.51 ×01 −
横3变向
形Δ
d = ε' ⋅ =d 0−15.× 1 03− 10× ×01 −03= 0−0.51m
m3）预紧力
：N
= σ ⋅ A= 4.55 (k )N
第
章三
轴
向拉变压
形§
-33桁架 的点节位
移节点
第三章
轴向拉压形
变§3
- 3桁的节架点移
位例：知已 1EA1 = 2 AE 2=EA, l 2= l 求桁架,点节的水平A铅垂与位 移解1、：力轴与变分析形
B 12
54D
F
1N= 2 F FN
= F
A
2F1 lN Δ11 l== 1 A1
ΔE l2=
(拉 )压()
CF
2
F2 2 ll F=EA AE
(伸长
)
F
N2 l2 lF= E A22 EA
(
短)缩
三第
章向轴拉变形压
B
1
42D5
2节点A、位移的的确精算 及其计困。难 位移求法•杆：伸长1 l1Δ 到 A1点， 2伸杆 长Δl2到 A 2点
，A
1A
C
′
A2A
以
、B为圆C心圆作于交A’点• 算困难：解二次方计程组；于由 移位内力变，需迭代化求解.
第
三章B
向拉压轴形变
3小、形问题变实用法解1
2 4
5D
小变
：形与构结尺寸原相比 很小为的变。
形A 2AA 1A′
′
CA′
实用法：解*按 构原几结形状何尺 与计算寸约反力束内力；与* 用采切线圆弧代方法 确定的点节位移。
第三章
轴拉压向形变
B
4、
点节移位算计
145D
lFΔ A =xA A =2Δ l2= ( ←) AE
A
25°
4
2
A54
°C
1A
A′′
lΔ 1 2l FlFΔ Ay =+ Δl 2 = EA +E cos A5°4 3F = ↓ EAl
()
第
章 三例A：CB刚性，求节点杆的位移C
。轴
向拉压变
形解：计先杆算内力 FN1 1伸与长 l1
Δ1
然
画后B位点移
BA
3o0
C
画C再位移点
′
B
CF
′Δ C = y2Δ By= 4Δl 1
思考有：同学BB问,C’C’垂铅下向 ，性刚杆BAC为什么杆伸能长 ？：切答代圆弧线近的。
似三章 例第画节：点的A位
移轴
向拉变形
压
1
AlΔ
1
A2′
*图F中2不杆受力，伸不长转。
动第章三
轴
向压变拉形
B
§3-5
简 单拉压不静定问题
静*问题 ：定静力平由方衡程可确 定部全未力(知包括反支 与力力内)问的题 *静不。问题：根据静力定平衡方程 能确不定全部未知力问的 。题 静不定*度：
未知力与数效 有衡平方程之数。差
1
2静
问题
定45D
C
A
F 12α α A一 度静不定 F
3
三章第静不 定题求解思问 路衡平程
轴方向拉压形变
f ( FN1i ,F 2 N …, =)0
物 理方 ：程Δ
lk ∝ NF
k形变调方协
程g
i Δ(1 l Δ,l2 , )… 0
=gi( F N 1,FN 2 ,… ) 0
=求
解
冗余
未知数=变形力调协条件 数1
α3 α
2F1
FN3Nα α
F
2N
α
α
A
l2 ΔlΔ1
A
′A
FA
F
Δ3
l′A
第
章三 解：1、衡方程
平 1 3α 2α
向拉轴压变
FN形2 si α −nFN 1sn αi 0=F 1 cosN α+ N 2 Fosc α+ NF − F3= 02、变
形调方协
程A
′
A
F
Δl
1 Δl=3cos
3α胡克定、律
αα
FN
1F3N
αα
F2
NAΔ
2 lΔ1l
F l Δ1l N1=1 E1 A1
N F 31l co αsΔ 3l = E 3 3A
A
F
Δl3
A′
4、补方程充 E 11A N1F= c os α2 F 3 N3EA3
第章
三轴拉向压形变
、联立求解5衡方程及平充方补程1
3 α 2
αFN1 =
FN
2F c
s 2oα = E 3 A 3 +2os c 3 Eα1A1
′A
A
F
NF3
注： 意、静1不问定需综合考题静虑力学、几何物与三方理； 面、2内特力：内点力分配与杆各刚件度的值有比关某，杆刚度增 大轴力，亦大。杆增中系任一杆的度的刚变都将改 引起杆系轴各的力重分配。这些特点在静新定系杆中不是存 在。
的F
= 1 EA 11 2 +oc 3sα E 3 3
A第章三例： 求杆两端的支力反 （。一静不次定）
1l l
2轴拉压变向
解形11、静：力学方
面
F− F A −xF Bx= 0
2几、何方
面F
x
A
•
FFB
x
Δ AlC +lCΔB=
3、0理方物 FAx面l1 FB xl , Δ2lB C=− lΔ AC= E EA A4、支力反计算补 方程充 FA： l1x− FB xl2 = 0
FA = xlF2 l1 +l 2FB = Fl1x 1l+ 2l
A
BC
FAx
= Bx = F题问：
F ?
何2
时FAx
= BFx
F=2
三第 例章求：两端杆的反支。
轴力拉向压变形
2：1解几何、面
l方1 l2
B Δ =0FB
xAF
x•
F
2、
物方面理
A
l
1
C
l2
B
Fl
1BFx (l + 12 l)ΔB =− E EAAFBx
FAx
•
F
3
求、
F解xBF xA
A
C
BFl
=1l 1 +l 2l2F =1l l+
2、由平4衡程
方
第章 例三：杆拉各压度刚A，杆1E2， 长l
轴向
拉压变形
解：
1、画变图形2
1 Δl 3
435
假设D节C点移位至’，C过C’ 向三点杆垂作线(此 画法为2教材P75图,画为法)1 、2据根变形画受图图力假， 设各杆受拉均对照。书 例题。上
C
Δl1
Δl2
FN2
F45
D
C
′FN3
FN1
考思可否假设：杆1，3压，杆受 受拉2求解总结画受？力画 形变注图事项。 注意意：在解静不求定题时，只问要设各杆所变形满 足形变协调条件，变形内力与符物合关理系，内外 满力足平方衡程则所，解得总正是的确。
F
第
章 三解：、1平方衡
程21 Δl 334
5D
轴向
拉变压形
−F 1 +NFN 3 is n54°= FN0 − F1 N 3ocs45 ° − F =
20变、协形方程调
C
Δ
l 1l2Δ
F
FN
2
C4
D5
C′
N3
ΔlF2 Δ−1l= 2lΔ
3、3理方程
物
NF
1F
N i FilΔ l = EiA
第三
章4 解答、
21
345D
轴向压变形
拉FN1
=(
2 − F 12FN
3
)
FN
2
−3 )2 ( F=
C2
− 2) F2( = 2
5
强、度校
核F
设(
A =002m m2 ,F= 0kN, [σ4 ]=160 PaM
)思
：选考取哪根或哪一根杆校核？
几
FN2 2σ= = 1 8.5 M6aP≤ [ ]σ A
考：思如强度果够不怎，样加?
强符
合强要度求
三第
轴向章压变拉形
、4解
答 213
54D
FN
1
(
2= − 1F2
)
FN
2N F
33−
2 F )( 2=− 2) F( = 2 2
C
F
考思：上式由设计的 A, 1 2A,A , 3能否各取自由上式的 计算值为？什 么？
6
设、计面截
(
设F= 0kN4,[ σ]= 160 MPa )
FNi ≤[σ ] , A
iiA
≥[σ
]
F iN
A
MAX = {i }
A
第三章
轴拉向变形压
第三
章
向拉压变轴
形三第章
3§-1引
言轴拉压向变
形§3-2 拉压杆的形与叠加变理 原3-3§ 桁架的节点移位 §34- 压与拉切应变剪能§3-5 简拉压静单不问定题§ -63 应热与预应力力§ -3 7压杆弹拉性塑析简分 §3介-8结构优化 计设念概简
介
第三
轴章拉向变压
形
§31 -引言1
α α AβF 2 4 5
3
αααα A βF
思考：为么什研要变形？下究问述是题与变形否关？相
•A点移位 位?移是否与F力 方同？向 •杆各力？内 各•杆料不同时材力？内
第三章
向轴拉压变形
§
32-拉 杆压变的形叠加与理
原一、拉杆的轴向压形与胡变克定律
F
bb1
l l1
F
轴•向形变Δ l= l1 -l (伸 长为正)胡克 律定
横•向形Δ 变b= b1 −b
σ =Eε(σ ≤ pσ)
σ=
FN ，
A=ε
Δl
l
F
N Δl= EAl
FN Δl l= EA拉
压度刚
第三章二、拉压 的杆向变形轴与泊比松
轴
向拉变压形
F
b
b
1l
l
1
FΔb
b横正向应
变bΔ= 1 −bb
ε′ =
试表明验对传统：料（材各同向性，在)例比限极，内 ε一′ ∝ε , 且号异 点处的。横向线变与纵应向线变应正比， ε成 ε′ 定′义 ： μ =−或 μ= ε
εμ
—泊松—比，一为数，由常实验定，测( ≤ 0μ≤ 0 .5 ),
三第
章轴拉向压变
形：已知E，D例d，F，求，D和的改变量d。
FF dD
思考
当圆：管受时，外拉 径小减内径增，还大减小？
是第三
章轴拉压变形
向
：例已E知，D，，Fd，D求和的改d量。变
F F D
d4
F解： ε = = Fσ = μ4 F′ = ε−με = − E AE π ( D − d2 )2E π( D2 −d 2) E
先求 周长内,ds 设弧长变量为du改, ’＝εud/ds
u
=du
ε’=s
d∫
π
d0
′εsd = − ∫
0πd
4Fμ4 μ d ds F= −π ( D2 − d 2 ) E (2 D − d 2E)
4
μdF= ε′ Δdd= −=2 2 π( D −d ) E
πu
D = Δ ε D ′ −
4= μFD Dπ2 −d 2E
()
第三章
轴拉压向变形
论：结拉
杆受力后压横面的形状截保持变，不面内长 a的原任线一（直线或曲段）线，长其改变度均量为 ε a′
第三
章三、多 力杆变的与形叠原理加例 已知E，：1A，A2，求伸总长 Δ
2lF
F3l
轴
拉压向形变
解
：1. 力内分析轴力。
图•
2 .形变算。计用（方法何 ？）
法方：一各段形叠加变
l
1l
2F
N⊕
F
Fx
步骤：*用截
法分面段轴求力 ；*分段出变求形；* 求代数。
和Δl= Δ 1 +lΔl2 + Δ l =3
F
1 Fll Fl32 +− AE1E 2 EA2A
第
三章
向拉轴压变
解法二：形各荷载应叠加
效•
2
F
lF
3l1
l2
F
l1F ( l 2 +3l) Δl a =− −E A 1E2
2AF l 2 1Fl2Δ l b =+E 1AEA 2F
1 lF2 llF3Δl = Δa l+ lb Δ =+ −EA 1E A2 EA
2解法与结一果一，致出引
•
F
l
3l
1a)
l2(
•
2Fl3
l1
b()
l
2
叠
加原
理
三第章
轴
拉压向形变
叠加原：理几载荷个同时作用产所生 的效总，果等于各荷载独单作产生的用效 果总和。
的
叠加原的理适范用围* 当变量因自变量与线成性齐关次系 *时在弹性线范内，且围变形很小当，杆的时 应、力变及位形移一般，与均外力成正，因比 ，叠此原理的加应用围范广。
甚第
三章例：已知 q ,l , E ,A 求，Δ =l ?
q
轴
向压变拉形
q
为常
量解距端点：处x面截的轴力
为l
FN
x() = q
xx d微伸长
FN段( x )
q
x
d
xl
d (
Δl) =
F N( x) d xAEl
=
qdxxEA
总伸长
为
xqd xql2 Δl =∫d Δ(l) = ∫ 0= 0EA 2A
第E章三
轴向拉压变形
例 ：1=d001m,m L=600m, mL=Δ0.3m,mE =00GP2a ,u0=3.，计试：算1横）面上的正截应力2，及横向变）形量 3）螺栓预，紧。 −3 力 0.3 0 1Δl × −3 ：解1轴向正应变） =ε == 0 . 5 ×0 6010× 10−3 l横
面正应截 力σ = ε =E2 00×1 9 × 005 .1×−3 =010 0 Pa 2M 横向)应
变
ε' = −μ = −0.3 ε 0.×5 ×0 1− 3 −0=.51 ×01 −
横3变向
形Δ
d = ε' ⋅ =d 0−15.× 1 03− 10× ×01 −03= 0−0.51m
m3）预紧力
：N
= σ ⋅ A= 4.55 (k )N
第
章三
轴
向拉变压
形§
-33桁架 的点节位
移节点
第三章
轴向拉压形
变§3
- 3桁的节架点移
位例：知已 1EA1 = 2 AE 2=EA, l 2= l 求桁架,点节的水平A铅垂与位 移解1、：力轴与变分析形
B 12
54D
F
1N= 2 F FN
= F
A
2F1 lN Δ11 l== 1 A1
ΔE l2=
(拉 )压()
CF
2
F2 2 ll F=EA AE
(伸长
)
F
N2 l2 lF= E A22 EA
(
短)缩
三第
章向轴拉变形压
B
1
42D5
2节点A、位移的的确精算 及其计困。难 位移求法•杆：伸长1 l1Δ 到 A1点， 2伸杆 长Δl2到 A 2点
，A
1A
C
′
A2A
以
、B为圆C心圆作于交A’点• 算困难：解二次方计程组；于由 移位内力变，需迭代化求解.
第
三章B
向拉压轴形变
3小、形问题变实用法解1
2 4
5D
小变
：形与构结尺寸原相比 很小为的变。
形A 2AA 1A′
′
CA′
实用法：解*按 构原几结形状何尺 与计算寸约反力束内力；与* 用采切线圆弧代方法 确定的点节位移。
第三章
轴拉压向形变
B
4、
点节移位算计
145D
lFΔ A =xA A =2Δ l2= ( ←) AE
A
25°
4
2
A54
°C
1A
A′′
lΔ 1 2l FlFΔ Ay =+ Δl 2 = EA +E cos A5°4 3F = ↓ EAl
()
第
章 三例A：CB刚性，求节点杆的位移C
。轴
向拉压变
形解：计先杆算内力 FN1 1伸与长 l1
Δ1
然
画后B位点移
BA
3o0
C
画C再位移点
′
B
CF
′Δ C = y2Δ By= 4Δl 1
思考有：同学BB问,C’C’垂铅下向 ，性刚杆BAC为什么杆伸能长 ？：切答代圆弧线近的。
似三章 例第画节：点的A位
移轴
向拉变形
压
1
AlΔ
1
A2′
*图F中2不杆受力，伸不长转。
动第章三
轴
向压变拉形
B
§3-5
简 单拉压不静定问题
静*问题 ：定静力平由方衡程可确 定部全未力(知包括反支 与力力内)问的题 *静不。问题：根据静力定平衡方程 能确不定全部未知力问的 。题 静不定*度：
未知力与数效 有衡平方程之数。差
1
2静
问题
定45D
C
A
F 12α α A一 度静不定 F
3
三章第静不 定题求解思问 路衡平程
轴方向拉压形变
f ( FN1i ,F 2 N …, =)0
物 理方 ：程Δ
lk ∝ NF
k形变调方协
程g
i Δ(1 l Δ,l2 , )… 0
=gi( F N 1,FN 2 ,… ) 0
=求
解
冗余
未知数=变形力调协条件 数1
α3 α
2F1
FN3Nα α
F
2N
α
α
A
l2 ΔlΔ1
A
′A
FA
F
Δ3
l′A
第
章三 解：1、衡方程
平 1 3α 2α
向拉轴压变
FN形2 si α −nFN 1sn αi 0=F 1 cosN α+ N 2 Fosc α+ NF − F3= 02、变
形调方协
程A
′
A
F
Δl
1 Δl=3cos
3α胡克定、律
αα
FN
1F3N
αα
F2
NAΔ
2 lΔ1l
F l Δ1l N1=1 E1 A1
N F 31l co αsΔ 3l = E 3 3A
A
F
Δl3
A′
4、补方程充 E 11A N1F= c os α2 F 3 N3EA3
第章
三轴拉向压形变
、联立求解5衡方程及平充方补程1
3 α 2
αFN1 =
FN
2F c
s 2oα = E 3 A 3 +2os c 3 Eα1A1
′A
A
F
NF3
注： 意、静1不问定需综合考题静虑力学、几何物与三方理； 面、2内特力：内点力分配与杆各刚件度的值有比关某，杆刚度增 大轴力，亦大。杆增中系任一杆的度的刚变都将改 引起杆系轴各的力重分配。这些特点在静新定系杆中不是存 在。
的F
= 1 EA 11 2 +oc 3sα E 3 3
A第章三例： 求杆两端的支力反 （。一静不次定）
1l l
2轴拉压变向
解形11、静：力学方
面
F− F A −xF Bx= 0
2几、何方
面F
x
A
•
FFB
x
Δ AlC +lCΔB=
3、0理方物 FAx面l1 FB xl , Δ2lB C=− lΔ AC= E EA A4、支力反计算补 方程充 FA： l1x− FB xl2 = 0
FA = xlF2 l1 +l 2FB = Fl1x 1l+ 2l
A
BC
FAx
= Bx = F题问：
F ?
何2
时FAx
= BFx
F=2
三第 例章求：两端杆的反支。
轴力拉向压变形
2：1解几何、面
l方1 l2
B Δ =0FB
xAF
x•
F
2、
物方面理
A
l
1
C
l2
B
Fl
1BFx (l + 12 l)ΔB =− E EAAFBx
FAx
•
F
3
求、
F解xBF xA
A
C
BFl
=1l 1 +l 2l2F =1l l+
2、由平4衡程
方
第章 例三：杆拉各压度刚A，杆1E2， 长l
轴向
拉压变形
解：
1、画变图形2
1 Δl 3
435
假设D节C点移位至’，C过C’ 向三点杆垂作线(此 画法为2教材P75图,画为法)1 、2据根变形画受图图力假， 设各杆受拉均对照。书 例题。上
C
Δl1
Δl2
FN2
F45
D
C
′FN3
FN1
考思可否假设：杆1，3压，杆受 受拉2求解总结画受？力画 形变注图事项。 注意意：在解静不求定题时，只问要设各杆所变形满 足形变协调条件，变形内力与符物合关理系，内外 满力足平方衡程则所，解得总正是的确。
F
第
章 三解：、1平方衡
程21 Δl 334
5D
轴向
拉变压形
−F 1 +NFN 3 is n54°= FN0 − F1 N 3ocs45 ° − F =
20变、协形方程调
C
Δ
l 1l2Δ
F
FN
2
C4
D5
C′
N3
ΔlF2 Δ−1l= 2lΔ
3、3理方程
物
NF
1F
N i FilΔ l = EiA
第三
章4 解答、
21
345D
轴向压变形
拉FN1
=(
2 − F 12FN
3
)
FN
2
−3 )2 ( F=
C2
− 2) F2( = 2
5
强、度校
核F
设(
A =002m m2 ,F= 0kN, [σ4 ]=160 PaM
)思
：选考取哪根或哪一根杆校核？
几
FN2 2σ= = 1 8.5 M6aP≤ [ ]σ A
考：思如强度果够不怎，样加?
强符
合强要度求
三第
轴向章压变拉形
、4解
答 213
54D
FN
1
(
2= − 1F2
)
FN
2N F
33−
2 F )( 2=− 2) F( = 2 2
C
F
考思：上式由设计的 A, 1 2A,A , 3能否各取自由上式的 计算值为？什 么？
6
设、计面截
(
设F= 0kN4,[ σ]= 160 MPa )
FNi ≤[σ ] , A
iiA
≥[σ
]
F iN
A
MAX = {i }
A
第三章
轴拉向变形压