2006年第10期 中学数学月刊 ・23・
探讨抛物线对称轴上的定点的性质
苏立标 (浙江省杭州师范学院附属高级中学 310030)
抛物线的对称轴上分布着许多特殊的点,如焦点、顶点、准线与对称轴的交点等,这些“点”蕴涵着抛物线很多引人入胜的几何特征.同样地,与抛物线对称轴上的定点有关性质也很精彩,在近几年高考数学及竞赛试题中频频亮相,本文试图对其进行总结与归纳,为了讨论方便,本文只讨论抛物线y=2px(p>0)的情形.1 有关定值问题
2
易证明PQ平分∠AQB的内角.
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-m),A(x1,y1),
B(x2,y2),将直线方程代入抛物线方程得kx-2
2
(2mk2+2p)x+k2m2=0,所以
2k
2
x1+x2=
,x1x2=m2,
+
性质1 过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上任一点P(m,0)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,这两个交点的纵坐标为y1,y2,则有y1y2=-2pm.
证明 设AB的方程为x=ky+m,入抛物线y2=2px(p>0)2pky2pm=0,y2.
x1+mx2+m
=2(3)x1x2+m(x1+x2)+m
又x1y2+x2y1=x1k(2-m)+x2k(x1
所以kQA+kQB=
-)=[2x121]=
k
,
(1)
(y1+y2)=m[k(x1-m)+
k(x2-m)]=mk[(x1+x2)-2m]=
k
性质2(-,(m0)为抛物线y2=2px(的对称轴上任一点,点Q是点P关于原点的对称点,点M在抛物线上,设∠MPQ=Α,∠MQP=Β,则有cotΑ
2
(2)
把(1),(2)代入(3)得:kQA+kQB=0,命题得证.
引申 (2004年湖南省高考试题)过抛
物线y2=2px(p>0)的对称轴上任一点
P(m,0)(m>0)作直线与抛物线交于A,B
-cot2Β=
p
证明 设M的坐标为(x,y),由题意知:Q的坐标为(m,0),所以cot2Α=222
,cotΒ=,故cot2Α-22
y
y
两点,点QP关于原点的对称点.P分有向线段A所成的比为Κ,证明:⊥
(-Κ).
证明 A,BAM⊥x,BNx轴.⊥-)ΖQ
2006年第10期 中学数学月刊 ・23・
探讨抛物线对称轴上的定点的性质
苏立标 (浙江省杭州师范学院附属高级中学 310030)
抛物线的对称轴上分布着许多特殊的点,如焦点、顶点、准线与对称轴的交点等,这些“点”蕴涵着抛物线很多引人入胜的几何特征.同样地,与抛物线对称轴上的定点有关性质也很精彩,在近几年高考数学及竞赛试题中频频亮相,本文试图对其进行总结与归纳,为了讨论方便,本文只讨论抛物线y=2px(p>0)的情形.1 有关定值问题
2
易证明PQ平分∠AQB的内角.
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-m),A(x1,y1),
B(x2,y2),将直线方程代入抛物线方程得kx-2
2
(2mk2+2p)x+k2m2=0,所以
2k
2
x1+x2=
,x1x2=m2,
+
性质1 过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上任一点P(m,0)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,这两个交点的纵坐标为y1,y2,则有y1y2=-2pm.
证明 设AB的方程为x=ky+m,入抛物线y2=2px(p>0)2pky2pm=0,y2.
x1+mx2+m
=2(3)x1x2+m(x1+x2)+m
又x1y2+x2y1=x1k(2-m)+x2k(x1
所以kQA+kQB=
-)=[2x121]=
k
,
(1)
(y1+y2)=m[k(x1-m)+
k(x2-m)]=mk[(x1+x2)-2m]=
k
性质2(-,(m0)为抛物线y2=2px(的对称轴上任一点,点Q是点P关于原点的对称点,点M在抛物线上,设∠MPQ=Α,∠MQP=Β,则有cotΑ
2
(2)
把(1),(2)代入(3)得:kQA+kQB=0,命题得证.
引申 (2004年湖南省高考试题)过抛
物线y2=2px(p>0)的对称轴上任一点
P(m,0)(m>0)作直线与抛物线交于A,B
-cot2Β=
p
证明 设M的坐标为(x,y),由题意知:Q的坐标为(m,0),所以cot2Α=222
,cotΒ=,故cot2Α-22
y
y
两点,点QP关于原点的对称点.P分有向线段A所成的比为Κ,证明:⊥
(-Κ).
证明 A,BAM⊥x,BNx轴.⊥-)ΖQ