《数值分析方法》
论文
学生姓名：
专 业： 电子科学与技术 年 级： 2008 学 号： 2011年 12月 12 日
1
一、内容
给定积分
⎰
3
e dx 和
x
⎰
3
1
dx , 分别用下列方法计算积分值要求准确到10-5 , 1
1
x
并比较分析计算时间. 1) 变步长梯形法; 2) 变步长 Simpson 法; 3) Romberg 方法.
二、原理与方法
n -1变步长梯形法：T =12T h b -a
2n
n +2∑f (x k +0. 5) (h =) k =0n
输入 被积函数f(x),积分区间端点a,b 和允许误差ε. 输出 复合梯形积分值T 2n 步1 h ⇐b -a 步2 T 1⇐
h
2
(f (a ) +f (b )) 步3 反复执行步4→步10 步4 S ⇐0; x ⇐a +
h 2
步5 反复执行步6→步7 步6 S ⇐S +f (x ); x ⇐+h 步7 若x ≥b ，则退出本层循环 步8 T T 12⇐
2+h
2
⨯S 步9 e ⇐T h
2-1; h ⇐2
; T 1⇐T 2
步10 若e ≤ε, 则退出循环 步11 T 2n ⇐T 2 步12 输出T 2n
2
I -T 12n ≈3(T 2n -T n )
变步长Simpson 法： 步1 定义被积函数f(x)
步2 输入积分区间端点a,b 和允许误差ε 步3 开始计时：tic
步4 调用基于变步长Simpson 积分函数[S,n]=quad(‘f ’,a,b,tol) 步5 结束计时：t2=toc
Romberg 积分法：
输入 被积函数f(x),积分区间端点a,b 和允许误差ε 输出 Romberg积分值R 2n 步骤 调用Romberg 积分程序
三、调试过程及实验结
变步长梯形法：
3
①
function y=f(x) y=exp(x);
>> a=1;b=3;tol=0.000005; >> I=Vsm('f',a,b,tol) t1 = 0.0103 I = 17.3673
变步长Simpson 法：
②
function y=f(x) y=1/x;
>> a=1;b=3;tol=0.000005; >> I=Vsm('f',a,b,tol) t1 = 0.0049 I =
1.0986
4
function y=f(x) y=exp(x);
>> a=1;b=3;tol=0.00005; >> y=Simpson('f',a,b,tol) t2 =
4.2152e-004 y = 17.3673
Romberg 积分法：
function y=f(x) y=1./x;
>> a=1;b=3;tol=0.00005; >> y=Simpson('f',a,b,tol) t2 =
3.9313e-004 y = 1.09861
5
function y=f(x) y=exp(x);
>> a=1;b=3;tol=0.000005; >> I=Romberg('f',a,b,tol) t3 =
1.8141e-004 I = 17.3673
四、总结
function y=f(x) y=1/x;
>> a=1;b=3;tol=0.000005; >> I=Romberg('f',a,b,tol) t3 =
1.7178e-004 I = 1.0986
1. 由以上结果可以看出：Romberg 积分法所用时间最短，效率最高。
2. 变步长Simpson 积分法，采用的调用已知函数quad ，然而具体的程序还很欠缺。对于几种积分方法，可以得出它们都是自适应方法，本实验中采取的是等距节点，事实上，如果被积函数在某处变化很激烈，在该处就应当设置较多的节点；反之只要设置较少的节点，自适应求积公式的目标，就是设法根据被积函数的性质确定求积节点的合理分布以获得最优的计算效果。
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《数值分析方法》
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学生姓名：
专 业： 电子科学与技术 年 级： 2008 学 号： 2011年 12月 12 日
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一、内容
给定积分
⎰
3
e dx 和
x
⎰
3
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dx , 分别用下列方法计算积分值要求准确到10-5 , 1
1
x
并比较分析计算时间. 1) 变步长梯形法; 2) 变步长 Simpson 法; 3) Romberg 方法.
二、原理与方法
n -1变步长梯形法：T =12T h b -a
2n
n +2∑f (x k +0. 5) (h =) k =0n
输入 被积函数f(x),积分区间端点a,b 和允许误差ε. 输出 复合梯形积分值T 2n 步1 h ⇐b -a 步2 T 1⇐
h
2
(f (a ) +f (b )) 步3 反复执行步4→步10 步4 S ⇐0; x ⇐a +
h 2
步5 反复执行步6→步7 步6 S ⇐S +f (x ); x ⇐+h 步7 若x ≥b ，则退出本层循环 步8 T T 12⇐
2+h
2
⨯S 步9 e ⇐T h
2-1; h ⇐2
; T 1⇐T 2
步10 若e ≤ε, 则退出循环 步11 T 2n ⇐T 2 步12 输出T 2n
2
I -T 12n ≈3(T 2n -T n )
变步长Simpson 法： 步1 定义被积函数f(x)
步2 输入积分区间端点a,b 和允许误差ε 步3 开始计时：tic
步4 调用基于变步长Simpson 积分函数[S,n]=quad(‘f ’,a,b,tol) 步5 结束计时：t2=toc
Romberg 积分法：
输入 被积函数f(x),积分区间端点a,b 和允许误差ε 输出 Romberg积分值R 2n 步骤 调用Romberg 积分程序
三、调试过程及实验结
变步长梯形法：
3
①
function y=f(x) y=exp(x);
>> a=1;b=3;tol=0.000005; >> I=Vsm('f',a,b,tol) t1 = 0.0103 I = 17.3673
变步长Simpson 法：
②
function y=f(x) y=1/x;
>> a=1;b=3;tol=0.000005; >> I=Vsm('f',a,b,tol) t1 = 0.0049 I =
1.0986
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function y=f(x) y=exp(x);
>> a=1;b=3;tol=0.00005; >> y=Simpson('f',a,b,tol) t2 =
4.2152e-004 y = 17.3673
Romberg 积分法：
function y=f(x) y=1./x;
>> a=1;b=3;tol=0.00005; >> y=Simpson('f',a,b,tol) t2 =
3.9313e-004 y = 1.09861
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function y=f(x) y=exp(x);
>> a=1;b=3;tol=0.000005; >> I=Romberg('f',a,b,tol) t3 =
1.8141e-004 I = 17.3673
四、总结
function y=f(x) y=1/x;
>> a=1;b=3;tol=0.000005; >> I=Romberg('f',a,b,tol) t3 =
1.7178e-004 I = 1.0986
1. 由以上结果可以看出：Romberg 积分法所用时间最短，效率最高。
2. 变步长Simpson 积分法，采用的调用已知函数quad ，然而具体的程序还很欠缺。对于几种积分方法，可以得出它们都是自适应方法，本实验中采取的是等距节点，事实上，如果被积函数在某处变化很激烈，在该处就应当设置较多的节点；反之只要设置较少的节点，自适应求积公式的目标，就是设法根据被积函数的性质确定求积节点的合理分布以获得最优的计算效果。
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