数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

第２５卷第５期２０１０年ｌＯ月

天中学刊

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｚｈｏｎｇ

、，０１．２５Ｎｏ．５

ｏｃｔ．２０ｌＯ

数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

王霞，张启虎

（郑州轻工业学院数学与信息科学系，河南郑州４５０００２）

摘要：数值分析中牛顿迭代法是求解非线性方程的基本方法．与一般教材上牛顿迭代法的引入方法相比，用积分方程引入牛顿迭代法更能体现数值计算中的“近似”和“构造”思想，便于进一步介绍牛顿法的各种改进形式，有利于学生“创新”算法能力的培养和创新意识的形成．

关键词：非线性方程；牛顿迭代法；数值分析；效率指数；方程求根

中图分类号：Ｇ６４２，０２４１．７

文献标志码：Ａ

文章编号：１００６—５２６１（２０１０）０５—００７３—０２

数值分析是理工科学生必学的一门重要课程．数值分析课程要求学生掌握具体数值计算的方法与理论，强调算法的实际应用．数值分析课程的学生群体可分为两类：一类是信息与计算科学等专业的理科学生，其学习目标是“研究”和“创新”算法；另一类是工科学生，其主要学习目标是掌握算法的使用．这两个群体的学习目标不同，教学内容及侧重点也应有所区别．

科学研究和工程计算中常常遇到求解非线性方程（组）的问题．数值分析教材中，牛顿迭代法（ＣＮ法）［１－ｌ１］是求解非线性方程

ｆ（ｘ）＝０

（１）

方法１直接给出迭代函数的具体形式【１－２】．文【１］中，直接选取迭代函数ｇ（ｘ）＝Ｘ－－／（石）／厂，（ｘ），其对应的迭代格式为（２）式；文【２】直接给出了（２）式．

方法２利用泰勒公式导入牛顿迭代法【３＿８】，其基本思路是：设方程（１）的近似根为而，将函数／（工）在％处作泰勒展开，有

厂（ｘ）＝厂（．ｈ）＋ｆ’（‘）（石一工。）＋

厂弋Ｊ。）（ｘ—ｘ。）２／２１＋…．

用前面两项近似表示厂（ｘ），得近似线性方程

厂（％）＋厂７（％）（ｘ一矗）＝０．

设／，（ｘ。）≠０，令其解Ｘ＝Ｘｎ小则得（２）式．

（３）

方法３利用校正技术引入牛顿迭代法‘９１，基本思

的一种基本方法，其迭代格式为

Ｘｎ卅＝毛一厂（矗）／厂’（％），ｎ＝０，１，２，…．

（２）

路是：设方程（１）的近似根为％，其校正值Ｘｎ＋，＝％＋缸

能更好地满足方程（１），即／（‘＋。）ｚ０．将方程（１）的左

（２）式二次收敛于方程（１）的单根，因其收敛速度快，所以牛顿迭代法被广泛应用于非线性方程的求解．牛顿迭代法的引入方法直接关系到学生对此内容的理解和应用，因此，本文主要探讨牛顿迭代法的引入方法．

１

端用厂（ｘ）在而处的微分ｆ（ｘ。）＋厂，（％）缸来代替，则有ｆ（ｘ。）＋／，（工。）缸＝０，于是

缸＝Ｘｎ＋１一Ｘｎ＝一，（ｂ）／／７（．ｋ），

整理可得（２）式．

方法４引入一般的带待定函数的迭代函数，通过提高迭代法的收敛阶确定待定函数ｆ１０１１１，其基本思路是：由方程（１）总可以构造迭代函数

ｘ＝认ｘ）＝Ｊ－ｋ（ｘ）ｆ（ｘ），

牛顿迭代法的常见引入方法

牛顿迭代法是“非线性方程”这一章的重要一节，

由于与其他章节的联系很小，所以在不同数值分析教材中该章所处位置也不同．文『１－４］将该内容放在“数值积分与数值微分”之后，文［５—１１】将其放在“数值积分与数值微分”之前．

牛顿迭代法的常见引入方法可概括为以下４种：

收稿日期：２０１０—０１—１４

其中七（Ｊ）为待定函数，因为

认ｘ）＝１－ｋ＇（ｘ）ｆ（ｘ）－ｋ（ｘ）ｆ’（ｚ）

且Ｉ纵ｘ）Ｉ在根口附近越小其局部收敛速度越快，故令

∥（∞＝０，从而ｋ（ａ）＝ｌ／ｆ＇｛ａ），／，（优）≠０，于是得到迭

基金项目：河南省教育厅自然科学基金项目（２００８．７５５．６５）；郑州轻工业学院教改项目作者简介：王霞（１９７０－－），女，河南开封人，副教授．

万方数据

・７４・

王霞，张启虎：数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

代函数ｘ＝烈ｚ）＝Ｘ一／（ｘ）／／，（上），从而得到（２）式．

对于以上的４种方法，方法ｌ直接给出迭代函数，适用于使用“算法”的学生，而对于“研究”和“创新”算法的学生来说是不适用的；方法２利用泰勒公式引入牛顿迭代法，利于激发学生“创新”算法的兴趣；方法３一步步逼近问题的解，能够使学生深刻体会逐步逼近的数学思想；方法４能使学生更清楚地理解收敛阶的概念．

２牛顿迭代法的积分引入法及牛顿迭代法的改进２．１牛顿迭代法的积分引入法

下面给出一种新的引入牛顿迭代法的方法‘１２１，此方法的引入需要以数值积分的知识作为基础，也就是说要把“数值积分与数值微分”这一章放在“非线性方程的数值解法”之前讲授．

令口是光滑函数ｆ（ｘ）的零点，考虑方程ｆ（ｘ）＝０的数值解．由牛顿定理，显然有

，（工）＝／（以）＋ｅｆ７（ｔ）ｄｔ．

（４）

将（４）式右端的积分值用数值积分中的左矩形公式近似代替，并令工＝口，可得０。ｆ（ｘ。）＋（口一ｘ。）／，（ｘ。），从而解出口ｚＸｎ一／（％）／／，（以）．令口＝Ｘｎ“，即可得到

Ｘｎ＋１＝Ｘｎ一／（％）／／７（ｈ），ｎ＝０，１，２，…．这样，由积分方程和牛顿定理，利用数值积分中的左矩形公式就引入了牛顿法．这样的引入方法会带给学生这样一个思考：左矩形公式（或右矩形公式）是数值积分的一个简单的代替，其精度较低，因此得到的牛顿迭代法的收敛阶也较低，如果用精度较高的的迭代公式呢？若用梯形公式［／，（矗）＋／，（ｘ）】（ｘ—ｘ．）／２近似代替

％＋１＝Ｘ。－２ｆ（ｘ。）／【／’（Ｘｎ）＋ｆ７（工川）】，

（５）

ｆＺｎ＝Ｘｎ—ｆ（ｘ。）／厂，（％），。

【Ｘｎ＋。＝ｘ．－２ｆ（ｘ。）／［／，（工．）＋／，（ｚ。）］，

、。７

沿着此思路，学生自然能想到两个数的平均不只万方数据

平均牛顿法等．

用／，（％）和／，（乙）的调和平均值代替厂，（％），可得到调和平均牛顿法（ＨＮ法）【”】，即

ｆ乙＝％一厂（％）／／，（ｘ。），

【Ｘｎ＋ｌ＝Ｘｎ－ｆ（ｘ。）［／，（ｘ。）＋厂，（ｚ。）】／［２／，（工。）／，（乙）】．

用／，（而）和／，（乙）的几何平均值代替／，（ｂ），可得到几何平均牛顿法（ＧＮ法）［１４１，即

ｋ＝Ｘｎ－－ｆ（ｘ。）／厂，（矗），

【Ｘｎ＋。＝ｘ．－ｆ（ｘ。）／ｓｇｎ［ｆ＇（ｘｏ）］√／，（ｋ）／，（磊）．

与一般教材上牛顿迭代法的引入方法相比，用积分方程引入牛顿迭代法更能体现数值计算中的“近似”和“构造”思想，便于进一步介绍牛顿法的各种改进参考文献：

大学出版社，２０００：１３０一１４２．

【２］林成森．数值计算方法［Ｍ】．北京：科学出版社，２００５，

３３—４１．

大学出版社，２００２，３４－－４３．

２００４．３２—３９．

高等教育出版社，１９９５，２６－－２６８．

交通大学出版社，１９８５．１９１－－１９７．

２００７．１５８—１６４．

北京：科学出版社，２００６，９０一９３．

社，２００４。１２３－－１２６．

高等教育出版社，１９９９，２３８－－２４７．

２００４．１３６—１３９．

Ｓ，ＦｅｍａｎｄｏＴＧＬ．ＡｖａｒｉａｎｔｏｆＮｅｗｔｏｎ’ｓ

ｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈａｃｃｅｌｅｒａｔｅｄｔｈｉｒｄ－ｏｒｄｅｒ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌ．

Ｍａｔｈ．１ｅｔｔ．，２０００，１３（８）：８７—９３．

ＡＹ．Ｓｏｍｅ

ｖａｒｉａｎｔｓｏｆＮｅｗｔｏｎ’ｓｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．

Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．１ｅｔｔ．，２００４，１７：６７７－－６８２．

数学的实践与认识，２００７，３７（１）：７２－－７６．

［责任编辑张继金］

形式，有利于学生“创新”算法能力的培养和创新意识的形成．

【１】陈公宁，沈嘉骥．计算方法引论［Ｍ】．北京：北京师范

梯形公式近似代替（４）右端的积分项，能否得到更高阶２．２牛顿迭代法的改进

［３】孙志忠，袁慰平，闻振初．数值分析［Ｍ】．南京：东南

【４】马东升．数值计算方法［Ｍ】．北京：机械工业出版社，

［５］李庆扬，易达义，王能超．现代数值分析［Ｍ】．北京：

［６】邓建中，葛仁杰，程正兴．计算方法【Ｍ］．西安：西安

［７】石东洋．数值计算方法［Ｍ】．郑州：郑州大学出版社，

【８】张韵华，奚梅成，陈效群．数值计算方法与算法［Ｍ】．

［９】９王能超．计算方法简明教程［Ｍ】．北京：高等教育出版

［１０］施吉林，刘淑珍，陈桂芝．计算机数值方法［Ｍ】．北京：

【ｌｌ】白峰杉．数值计算引论［Ｍ】．北京：高等教育出版社，

（４）式右端的积分项，利用上面的方法可得

其中ｒ／＝０，１，２，…．（５）式的迭代需要隐式计算，这会给求解带来很大麻烦，为避免隐式计算，下面给出预估一校正的方法，即

［１２】Ｗｅｅｒａｋｏｏｎ其中珂＝０，１，２，…．可以证明（６）式为三阶收敛，它是对牛顿迭代法的改进，其效率指数为３＇／，＝１．４４２，大于牛顿法的效率指数２ｖ２＝１．４１４．与（６）式对应的方法称为梯形牛顿法或代数平均牛顿法（ＡＮ法）Ｂ２１．

代数平均．这时，教师可介绍调和平均牛顿法、几何

［１３】ＯＺＢＡＮ

［１４】王霞，赵玲玲，李飞敏．牛顿方法的两个新格式［Ｊ】．

数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

王霞， 张启虎

郑州轻工业学院,数学与信息科学系,河南,郑州,450002天中学刊

JOURNAL OF TIANZHONG2010，25(5)0次

参考文献(14条)

1. 陈公宁,沈嘉骥.计算方法引论[M].北京:北京师范大学出版社,2000:130-142.2. 林成森.数值计算方法[M].北京:科学出版社,2005,33-41.

3. 孙志忠,袁慰平,闻振初.数值分析[M].南京:东南大学出版社,2002,34-43.4. 马东升.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2004,32-39.

5. 李庆扬,易达义,王能超.现代数值分析[M].北京:高等教育出版社,1995,26-268.6. 邓建中,葛仁杰,程正兴.计算方法[M].西安:西安交通大学出版社,1985,191-197.7. 石东洋.数值计算方法[M].郑州:郑州大学出版社,2007,158-164.

8. 张韵华,奚梅成,陈效群.数值计算方法与算法[M].北京:科学出版社,2006,90-93.9. 王能超.计算方法简明教程[M].北京:高等教育出版社,2004,123-126.

10. 施吉林,刘淑珍,陈桂芝.计算机数值方法[M].北京:高等教育出版社,1999,238-247.11. 白峰杉.数值计算引论[M].北京:高等教育出版社,2004,136-139.

12. Weerakoon S,Fernando T G L.A variant of Newton's method with accelerated third-orderconvergence[J].Appl.Math.lett.,2000,13(8):87-93.

13. (O)ZBAN A Y.Some variants of Newton's methods[J].Appl.Math.lett.,2004,17:677-682.14. 王霞,赵玲玲,李飞敏.牛顿方法的两个新格式[J].数学的实践与认识,2007,37(1):72-76.

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研究求解非线性方程的牛顿迭代法的二阶收敛性和比值收敛因子(Q-因子),证明在弱条件下的二阶收敛性仍然成立,得到或估计比值收敛因子,并且做出有关的数值实验.

5.学位论文 杨国海 一簇牛顿类迭代法 2007

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6.期刊论文 蔡慧萍 牛顿迭代法在非线性方程求重根中的应用 -科技信息(学术版)2008,""(27)

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7.期刊论文 陈以平. CHEN Yi-ping 具有参数的三阶收敛的修正牛顿迭代法 -湖北民族学院学报（自然科学版）

2005,23(4)

以解非线性方程的常微分方程方法和传统牛顿法为基础,提出方程求根的一种具有参数的修正牛顿迭代法,证明了这种迭代法至少具有三阶收敛速度,最后通过实际算例给出了相关迭代法相互比较的数值结果.

8.学位论文 许朋 神经动力学新方法与传统方法的比较和联系：解非线性方程为例 2010

神经动力学方法以其并行处理的本质和可硬件实现的优点而被广泛应用在科研和工程领域。本文将以求解非线性方程为例，提出一种新型神经动力学方法，并研究它与传统的梯度动力学方法和数值算法(尤其是牛顿迭代法)的区别和联系。求解非线性方程是科研和工程领域中的常见问题，而非线性方程不仅包括传统观念上的静态非线性方程，还包括参数随时间变化的、非稳定的非线性方程。本文提出一种可以求解形如f(x(t)，t)=0的时变非线性方程和形如f(x)=0的静态非线性方程(可以看作是时变非线性方程不显含时间t的特例)的新型神经动力学新方法。而传统的梯度动力学方法在本质上是用来求解时不变问题的，若用来求解时变非线性方程，得到的往往不是实时解而是滞后解(或近似解)。对于静态的非线性方程求解，传统的梯度动力学方法虽然是有效的，但是对于多重根、局部极小点等情况，就不如新型的神经动力学方法理想，往往会出现求解不精确，陷入局部极小点的弊端。而新型神经动力学方法可以消除求解重根时不精确的弊端，遇到局部极小点也可以给出警告信息。另外，对新型神经动力学方法稍加改进，即可越过局部极小点而得到理论解。此外，就静态的非线性方程求解问题，离散化该新型神经动力学方法可得到其离散模型，理论分析和计算机仿真可证明该离散模型的有效性。与求解静态非线性方程的数值算法尤其是牛顿迭代法对比，可以得知牛顿迭代法是该神经动力学新方法离散模型的特例，就牛顿迭代法的由来给出了新的合理严密的解释。

关键词：神经动力学新方法，梯度动力学方法，时变与静态的非线性方程求解，局部极小点，神经动力学新方法的离散模型，牛顿迭代法

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根据牛顿迭代法思想,用MATLAB语言给出求非线性方程近似解的通用程序.

10.期刊论文 刘浩. 唐月红 NURBS曲面间的最短距离 -南京理工大学学报2002,26(4)

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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_tzxk201005031.aspx

授权使用：北京理工大学(北京理工大学)，授权号：bb3837c2-4353-4fd9-94a1-9e3d0153e89f

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第２５卷第５期２０１０年ｌＯ月

天中学刊

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｚｈｏｎｇ

、，０１．２５Ｎｏ．５

ｏｃｔ．２０ｌＯ

数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

王霞，张启虎

（郑州轻工业学院数学与信息科学系，河南郑州４５０００２）

摘要：数值分析中牛顿迭代法是求解非线性方程的基本方法．与一般教材上牛顿迭代法的引入方法相比，用积分方程引入牛顿迭代法更能体现数值计算中的“近似”和“构造”思想，便于进一步介绍牛顿法的各种改进形式，有利于学生“创新”算法能力的培养和创新意识的形成．

关键词：非线性方程；牛顿迭代法；数值分析；效率指数；方程求根

中图分类号：Ｇ６４２，０２４１．７

文献标志码：Ａ

文章编号：１００６—５２６１（２０１０）０５—００７３—０２

数值分析是理工科学生必学的一门重要课程．数值分析课程要求学生掌握具体数值计算的方法与理论，强调算法的实际应用．数值分析课程的学生群体可分为两类：一类是信息与计算科学等专业的理科学生，其学习目标是“研究”和“创新”算法；另一类是工科学生，其主要学习目标是掌握算法的使用．这两个群体的学习目标不同，教学内容及侧重点也应有所区别．

科学研究和工程计算中常常遇到求解非线性方程（组）的问题．数值分析教材中，牛顿迭代法（ＣＮ法）［１－ｌ１］是求解非线性方程

ｆ（ｘ）＝０

（１）

方法１直接给出迭代函数的具体形式【１－２】．文【１］中，直接选取迭代函数ｇ（ｘ）＝Ｘ－－／（石）／厂，（ｘ），其对应的迭代格式为（２）式；文【２】直接给出了（２）式．

方法２利用泰勒公式导入牛顿迭代法【３＿８】，其基本思路是：设方程（１）的近似根为而，将函数／（工）在％处作泰勒展开，有

厂（ｘ）＝厂（．ｈ）＋ｆ’（‘）（石一工。）＋

厂弋Ｊ。）（ｘ—ｘ。）２／２１＋…．

用前面两项近似表示厂（ｘ），得近似线性方程

厂（％）＋厂７（％）（ｘ一矗）＝０．

设／，（ｘ。）≠０，令其解Ｘ＝Ｘｎ小则得（２）式．

（３）

方法３利用校正技术引入牛顿迭代法‘９１，基本思

的一种基本方法，其迭代格式为

Ｘｎ卅＝毛一厂（矗）／厂’（％），ｎ＝０，１，２，…．

（２）

路是：设方程（１）的近似根为％，其校正值Ｘｎ＋，＝％＋缸

能更好地满足方程（１），即／（‘＋。）ｚ０．将方程（１）的左

（２）式二次收敛于方程（１）的单根，因其收敛速度快，所以牛顿迭代法被广泛应用于非线性方程的求解．牛顿迭代法的引入方法直接关系到学生对此内容的理解和应用，因此，本文主要探讨牛顿迭代法的引入方法．

１

端用厂（ｘ）在而处的微分ｆ（ｘ。）＋厂，（％）缸来代替，则有ｆ（ｘ。）＋／，（工。）缸＝０，于是

缸＝Ｘｎ＋１一Ｘｎ＝一，（ｂ）／／７（．ｋ），

整理可得（２）式．

方法４引入一般的带待定函数的迭代函数，通过提高迭代法的收敛阶确定待定函数ｆ１０１１１，其基本思路是：由方程（１）总可以构造迭代函数

ｘ＝认ｘ）＝Ｊ－ｋ（ｘ）ｆ（ｘ），

牛顿迭代法的常见引入方法

牛顿迭代法是“非线性方程”这一章的重要一节，

由于与其他章节的联系很小，所以在不同数值分析教材中该章所处位置也不同．文『１－４］将该内容放在“数值积分与数值微分”之后，文［５—１１】将其放在“数值积分与数值微分”之前．

牛顿迭代法的常见引入方法可概括为以下４种：

收稿日期：２０１０—０１—１４

其中七（Ｊ）为待定函数，因为

认ｘ）＝１－ｋ＇（ｘ）ｆ（ｘ）－ｋ（ｘ）ｆ’（ｚ）

且Ｉ纵ｘ）Ｉ在根口附近越小其局部收敛速度越快，故令

∥（∞＝０，从而ｋ（ａ）＝ｌ／ｆ＇｛ａ），／，（优）≠０，于是得到迭

基金项目：河南省教育厅自然科学基金项目（２００８．７５５．６５）；郑州轻工业学院教改项目作者简介：王霞（１９７０－－），女，河南开封人，副教授．

万方数据

・７４・

王霞，张启虎：数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

代函数ｘ＝烈ｚ）＝Ｘ一／（ｘ）／／，（上），从而得到（２）式．

对于以上的４种方法，方法ｌ直接给出迭代函数，适用于使用“算法”的学生，而对于“研究”和“创新”算法的学生来说是不适用的；方法２利用泰勒公式引入牛顿迭代法，利于激发学生“创新”算法的兴趣；方法３一步步逼近问题的解，能够使学生深刻体会逐步逼近的数学思想；方法４能使学生更清楚地理解收敛阶的概念．

２牛顿迭代法的积分引入法及牛顿迭代法的改进２．１牛顿迭代法的积分引入法

下面给出一种新的引入牛顿迭代法的方法‘１２１，此方法的引入需要以数值积分的知识作为基础，也就是说要把“数值积分与数值微分”这一章放在“非线性方程的数值解法”之前讲授．

令口是光滑函数ｆ（ｘ）的零点，考虑方程ｆ（ｘ）＝０的数值解．由牛顿定理，显然有

，（工）＝／（以）＋ｅｆ７（ｔ）ｄｔ．

（４）

将（４）式右端的积分值用数值积分中的左矩形公式近似代替，并令工＝口，可得０。ｆ（ｘ。）＋（口一ｘ。）／，（ｘ。），从而解出口ｚＸｎ一／（％）／／，（以）．令口＝Ｘｎ“，即可得到

Ｘｎ＋１＝Ｘｎ一／（％）／／７（ｈ），ｎ＝０，１，２，…．这样，由积分方程和牛顿定理，利用数值积分中的左矩形公式就引入了牛顿法．这样的引入方法会带给学生这样一个思考：左矩形公式（或右矩形公式）是数值积分的一个简单的代替，其精度较低，因此得到的牛顿迭代法的收敛阶也较低，如果用精度较高的的迭代公式呢？若用梯形公式［／，（矗）＋／，（ｘ）】（ｘ—ｘ．）／２近似代替

％＋１＝Ｘ。－２ｆ（ｘ。）／【／’（Ｘｎ）＋ｆ７（工川）】，

（５）

ｆＺｎ＝Ｘｎ—ｆ（ｘ。）／厂，（％），。

【Ｘｎ＋。＝ｘ．－２ｆ（ｘ。）／［／，（工．）＋／，（ｚ。）］，

、。７

沿着此思路，学生自然能想到两个数的平均不只万方数据

平均牛顿法等．

用／，（％）和／，（乙）的调和平均值代替厂，（％），可得到调和平均牛顿法（ＨＮ法）【”】，即

ｆ乙＝％一厂（％）／／，（ｘ。），

【Ｘｎ＋ｌ＝Ｘｎ－ｆ（ｘ。）［／，（ｘ。）＋厂，（ｚ。）】／［２／，（工。）／，（乙）】．

用／，（而）和／，（乙）的几何平均值代替／，（ｂ），可得到几何平均牛顿法（ＧＮ法）［１４１，即

ｋ＝Ｘｎ－－ｆ（ｘ。）／厂，（矗），

【Ｘｎ＋。＝ｘ．－ｆ（ｘ。）／ｓｇｎ［ｆ＇（ｘｏ）］√／，（ｋ）／，（磊）．

与一般教材上牛顿迭代法的引入方法相比，用积分方程引入牛顿迭代法更能体现数值计算中的“近似”和“构造”思想，便于进一步介绍牛顿法的各种改进参考文献：

大学出版社，２０００：１３０一１４２．

【２］林成森．数值计算方法［Ｍ】．北京：科学出版社，２００５，

３３—４１．

大学出版社，２００２，３４－－４３．

２００４．３２—３９．

高等教育出版社，１９９５，２６－－２６８．

交通大学出版社，１９８５．１９１－－１９７．

２００７．１５８—１６４．

北京：科学出版社，２００６，９０一９３．

社，２００４。１２３－－１２６．

高等教育出版社，１９９９，２３８－－２４７．

２００４．１３６—１３９．

Ｓ，ＦｅｍａｎｄｏＴＧＬ．ＡｖａｒｉａｎｔｏｆＮｅｗｔｏｎ’ｓ

ｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈａｃｃｅｌｅｒａｔｅｄｔｈｉｒｄ－ｏｒｄｅｒ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌ．

Ｍａｔｈ．１ｅｔｔ．，２０００，１３（８）：８７—９３．

ＡＹ．Ｓｏｍｅ

ｖａｒｉａｎｔｓｏｆＮｅｗｔｏｎ’ｓｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．

Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．１ｅｔｔ．，２００４，１７：６７７－－６８２．

数学的实践与认识，２００７，３７（１）：７２－－７６．

［责任编辑张继金］

形式，有利于学生“创新”算法能力的培养和创新意识的形成．

【１】陈公宁，沈嘉骥．计算方法引论［Ｍ】．北京：北京师范

梯形公式近似代替（４）右端的积分项，能否得到更高阶２．２牛顿迭代法的改进

［３】孙志忠，袁慰平，闻振初．数值分析［Ｍ】．南京：东南

【４】马东升．数值计算方法［Ｍ】．北京：机械工业出版社，

［５］李庆扬，易达义，王能超．现代数值分析［Ｍ】．北京：

［６】邓建中，葛仁杰，程正兴．计算方法【Ｍ］．西安：西安

［７】石东洋．数值计算方法［Ｍ】．郑州：郑州大学出版社，

【８】张韵华，奚梅成，陈效群．数值计算方法与算法［Ｍ】．

［９】９王能超．计算方法简明教程［Ｍ】．北京：高等教育出版

［１０］施吉林，刘淑珍，陈桂芝．计算机数值方法［Ｍ】．北京：

【ｌｌ】白峰杉．数值计算引论［Ｍ】．北京：高等教育出版社，

（４）式右端的积分项，利用上面的方法可得

其中ｒ／＝０，１，２，…．（５）式的迭代需要隐式计算，这会给求解带来很大麻烦，为避免隐式计算，下面给出预估一校正的方法，即

［１２】Ｗｅｅｒａｋｏｏｎ其中珂＝０，１，２，…．可以证明（６）式为三阶收敛，它是对牛顿迭代法的改进，其效率指数为３＇／，＝１．４４２，大于牛顿法的效率指数２ｖ２＝１．４１４．与（６）式对应的方法称为梯形牛顿法或代数平均牛顿法（ＡＮ法）Ｂ２１．

代数平均．这时，教师可介绍调和平均牛顿法、几何

［１３】ＯＺＢＡＮ

［１４】王霞，赵玲玲，李飞敏．牛顿方法的两个新格式［Ｊ】．

数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

王霞， 张启虎

郑州轻工业学院,数学与信息科学系,河南,郑州,450002天中学刊

JOURNAL OF TIANZHONG2010，25(5)0次

参考文献(14条)

1. 陈公宁,沈嘉骥.计算方法引论[M].北京:北京师范大学出版社,2000:130-142.2. 林成森.数值计算方法[M].北京:科学出版社,2005,33-41.

3. 孙志忠,袁慰平,闻振初.数值分析[M].南京:东南大学出版社,2002,34-43.4. 马东升.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2004,32-39.

5. 李庆扬,易达义,王能超.现代数值分析[M].北京:高等教育出版社,1995,26-268.6. 邓建中,葛仁杰,程正兴.计算方法[M].西安:西安交通大学出版社,1985,191-197.7. 石东洋.数值计算方法[M].郑州:郑州大学出版社,2007,158-164.

8. 张韵华,奚梅成,陈效群.数值计算方法与算法[M].北京:科学出版社,2006,90-93.9. 王能超.计算方法简明教程[M].北京:高等教育出版社,2004,123-126.

10. 施吉林,刘淑珍,陈桂芝.计算机数值方法[M].北京:高等教育出版社,1999,238-247.11. 白峰杉.数值计算引论[M].北京:高等教育出版社,2004,136-139.

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神经动力学方法以其并行处理的本质和可硬件实现的优点而被广泛应用在科研和工程领域。本文将以求解非线性方程为例，提出一种新型神经动力学方法，并研究它与传统的梯度动力学方法和数值算法(尤其是牛顿迭代法)的区别和联系。求解非线性方程是科研和工程领域中的常见问题，而非线性方程不仅包括传统观念上的静态非线性方程，还包括参数随时间变化的、非稳定的非线性方程。本文提出一种可以求解形如f(x(t)，t)=0的时变非线性方程和形如f(x)=0的静态非线性方程(可以看作是时变非线性方程不显含时间t的特例)的新型神经动力学新方法。而传统的梯度动力学方法在本质上是用来求解时不变问题的，若用来求解时变非线性方程，得到的往往不是实时解而是滞后解(或近似解)。对于静态的非线性方程求解，传统的梯度动力学方法虽然是有效的，但是对于多重根、局部极小点等情况，就不如新型的神经动力学方法理想，往往会出现求解不精确，陷入局部极小点的弊端。而新型神经动力学方法可以消除求解重根时不精确的弊端，遇到局部极小点也可以给出警告信息。另外，对新型神经动力学方法稍加改进，即可越过局部极小点而得到理论解。此外，就静态的非线性方程求解问题，离散化该新型神经动力学方法可得到其离散模型，理论分析和计算机仿真可证明该离散模型的有效性。与求解静态非线性方程的数值算法尤其是牛顿迭代法对比，可以得知牛顿迭代法是该神经动力学新方法离散模型的特例，就牛顿迭代法的由来给出了新的合理严密的解释。

关键词：神经动力学新方法，梯度动力学方法，时变与静态的非线性方程求解，局部极小点，神经动力学新方法的离散模型，牛顿迭代法

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下载时间：2010年11月29日