立体几何---空间直线与平面
一、平面基本性质
1．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 、GH 交于一点P ，则 （ ）
A ．P 点一定在直线BD 上 B ．P 点一定在直线AC 上 C ．P 点在直线AC 和BD 上
D ．P 点既不在直线BD 上，也不在直线AC 上
2．两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内．命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的 （ ）
A ．充分不必要条件 C ．充要条件
B ．必要不充分条件 D ．非充分非必要条件
3．正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C1的中点，那么正 方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 （ ）
A ．三角形 4．给出下列命题
①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中有三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
其中正确的命题是 （ ） A ．②③
B ．①②③
C ．①③
D ．②③④
B ．四边形
C ．五边形 D ．六边形
二、空间直线位置关系
1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A ．充分非必要条件 C ．充要条件
B ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件
2．对于任意的直线l 与平面a , 在平面a 内必有直线m , 使m 与l （ ）
A ．平行
B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线
m 、n 及平面α, 下列命题中的假命题是 （ ） 3．已知直线l 、
A ．若l //m ，m //n ，则l //n ．
B ．若l ⊥α，n //α，则l ⊥n ． D ．若l //α，n //α，则l //n ．
C ．若l ⊥m ，m //n ，则l ⊥n ．
4．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 （ ） ．．．
A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC D ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC
5．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：
①若a ⊥b , b ⊥c , 则a //c ；②若a //b , b ⊥c , 则a ⊥c ；
③若a //β, b ⊂β, 则a //b ； ④若a 与b 异面，且a //β, 则b 与β相交； ⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直． 其中真命题的个数是 A ．1
（ ）
C ．3
D ．4
B ．2
6．关于直线m , n 与平面α, β，有以下四个命题：
①若m //α, n //β且α//β，则m //n ； ②若m ⊥α, n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α, n //β且α//β，则m ⊥n ； ④若m //α, n ⊥β且α⊥β，则m //n ；
其中真命题的序号是 （ ） A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
三、直线与平面位置关系
1．对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是 （ ）
A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n
B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
D ．若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m
2．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是 （ ）
A ．α⊥β, α⋂β=l , m ⊥l C ．α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α
B ．α⋂γ=m , α⊥γ, β⊥γ D ．n ⊥α, n ⊥β, m ⊥α
3．过平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线, 其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 （ ）
A ．4条
B ．6条
C ．8条
D ．12条
4．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是:
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面结论中，正确结论的编号是__________．（写出所有正确结论的编号） 5．m , n 是空间两条不同直线，α, β是两个不同平面，下面有四个命题：
①m ⊥α, n //β, α//β⇒m ⊥n ③m ⊥n , α//β, m //α⇒n ⊥β
②m ⊥n , α//β, m ⊥α⇒n //β ④m ⊥α, m //n , α//β⇒n ⊥β
其中真命题的编号是 ; （写出所有真命题的编号）
6．如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ． 证明：
Q
B N
C
P
D
四、平面与平面位置关系
1．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中真命题的个数是 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．平面α⊥β，α∩β=a ，点P ∈α，Q ∈a ，那么PQ ⊥a 是PQ ⊥β的 （ ）
A ．充分不必要条件 C ．充要条件
B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
3．已知平面α外不共线的三点A , B , C 到α的距离都相等, 则正确的结论是 （ ）
A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必与α相交 C ．平面ABC 必不垂直于α
D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内
4．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：
①若m ⊂α, l ⋂α=A , 点A ∉m , 则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线，l //α, m //α, 且n ⊥l , n ⊥m , 则n ⊥α； ③若l //α, m //β, α//β, 则l //m ；
④若l ⊂α, m ⊂α, l ⋂m =点A , l //β, m //β, 则α//β. 其中为假命题的是 A ．①
（ ）
C ．③
D ．④
B ．②
5．若l 为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β． 其中正确的命题有 （ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；
②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β． 其中，可以判定α与β平行的条件有 A ．1个
B ．2个
（ ） C ．3个
D ．4个
7．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α b ⊥β，则下列命题中的假命题是 （ ）
A ．若a ∥b ，则α∥β C ．若a ，b 相交，则α、β相交
B ．若α⊥β，则a ⊥b
D ．若α、β相交，则a 、b 相交
8．如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形． 证明：
9．ABCD 是四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP||GH。
P
M
D
A
C
A 2 C 2 α
βB B C D A
五、异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的二面角
1．空间两直线l 、m 在平面α、β上射影分别为a 1、b 1和a 2、b 2．若a 1∥b 1，a 2与b 2交于 一点，则l 和m 的位置关系为 （ ）
A ．一定异面
B ．一定平行
C ．异面或相交 D ．平行或异面
2．已知两条异面直线所成的角为
π
，直线c 与a ，b 所成的角都是θ，则θ的取值范围是 3
（ ）
A ．[
ππ
, ] 32
B ．[
ππ
, ] 62
C ．[
π5π
6, π2π
] D ．[, ] 633
3．已知异面直线a 与b 所成的角为50º，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是30º的直线有且仅有 （ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
ππ
4．平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为，过A 、B 分别作两平面交线的
46垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝ （ ）
A ．2∶1
B ．3∶1
C ．3∶2
D ．4∶3
6．二面角α-l -β内有一点P ，若P 到平面α, β的距离分别是5,8，且P 在平面α, β的内的射影间的距离为7，则二面角α-l -β的度数是 （ ）
A ．300 B ．600
C ．1200 D ．1500
7．已知二面角α-l -β的大小为60，m , n 为异面直线，且m ⊥α, n ⊥β，则m , n 所成的角为 （ ）
A ．30 B ．60
C ．90
D ．120
8．在平面四边形ABCD 中，已知AB=BC=CD=a，∠ABC =90，∠BCD =135，沿AC 将四边形折成直二面角B —AC —D ，
（1）求证：面ABC ⊥面BCD ； （2）求面ABD 与面ACD 所成的角。
D
解：
六、点与点、点到直线、点到平面、两平行直线、两异面直线、线与面、面与面之间的距离
1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与BC 成异面直线且距离等于a 的棱有（ ）
A ．3条
B ．4条
C ．6条
D ．7条
2．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ）
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．7个
3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ）
A ．
3
2
B ．2
2
C ．
1 2
D ．
3
4．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD =AD =1，点C 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则 （ ）
A ．1
B ．d 1
5．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60的二面角，点A 到BC 的距离是（ ）
A ．a
B
C
D
6．在∆ABC 中，AB =9, AC =15, ∠BAC =120 ，∆ABC 所在平面外一点P 到三顶点A , B , C 的距离都是14，则P 到平面ABC 的距离是 （ ）
A ．6
B ．7
C ．9
D ．13
7．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 ．
8．已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，则AB 到平面α的距离为__________．
9．在空间四边形ABCD 中，AD =AC =BD =BC =a ，AB =CD =b ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．
（1）求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； （2）求AB 和CD 间的距离． 解:
10．已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，
（1）求证：D 1B 1∥l ；
（2）若AB =a ，求l 与D 1间的距离． 解:
．
立体几何---空间直线与平面
一、平面基本性质
1．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 、GH 交于一点P ，则 （ ）
A ．P 点一定在直线BD 上 B ．P 点一定在直线AC 上 C ．P 点在直线AC 和BD 上
D ．P 点既不在直线BD 上，也不在直线AC 上
2．两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内．命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的 （ ）
A ．充分不必要条件 C ．充要条件
B ．必要不充分条件 D ．非充分非必要条件
3．正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C1的中点，那么正 方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 （ ）
A ．三角形 4．给出下列命题
①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中有三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
其中正确的命题是 （ ） A ．②③
B ．①②③
C ．①③
D ．②③④
B ．四边形
C ．五边形 D ．六边形
二、空间直线位置关系
1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A ．充分非必要条件 C ．充要条件
B ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件
2．对于任意的直线l 与平面a , 在平面a 内必有直线m , 使m 与l （ ）
A ．平行
B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线
m 、n 及平面α, 下列命题中的假命题是 （ ） 3．已知直线l 、
A ．若l //m ，m //n ，则l //n ．
B ．若l ⊥α，n //α，则l ⊥n ． D ．若l //α，n //α，则l //n ．
C ．若l ⊥m ，m //n ，则l ⊥n ．
4．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 （ ） ．．．
A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC D ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC
5．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：
①若a ⊥b , b ⊥c , 则a //c ；②若a //b , b ⊥c , 则a ⊥c ；
③若a //β, b ⊂β, 则a //b ； ④若a 与b 异面，且a //β, 则b 与β相交； ⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直． 其中真命题的个数是 A ．1
（ ）
C ．3
D ．4
B ．2
6．关于直线m , n 与平面α, β，有以下四个命题：
①若m //α, n //β且α//β，则m //n ； ②若m ⊥α, n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α, n //β且α//β，则m ⊥n ； ④若m //α, n ⊥β且α⊥β，则m //n ；
其中真命题的序号是 （ ） A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
三、直线与平面位置关系
1．对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是 （ ）
A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n
B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
D ．若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m
2．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是 （ ）
A ．α⊥β, α⋂β=l , m ⊥l C ．α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α
B ．α⋂γ=m , α⊥γ, β⊥γ D ．n ⊥α, n ⊥β, m ⊥α
3．过平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线, 其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 （ ）
A ．4条
B ．6条
C ．8条
D ．12条
4．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是:
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面结论中，正确结论的编号是__________．（写出所有正确结论的编号） 5．m , n 是空间两条不同直线，α, β是两个不同平面，下面有四个命题：
①m ⊥α, n //β, α//β⇒m ⊥n ③m ⊥n , α//β, m //α⇒n ⊥β
②m ⊥n , α//β, m ⊥α⇒n //β ④m ⊥α, m //n , α//β⇒n ⊥β
其中真命题的编号是 ; （写出所有真命题的编号）
6．如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ． 证明：
Q
B N
C
P
D
四、平面与平面位置关系
1．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中真命题的个数是 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．平面α⊥β，α∩β=a ，点P ∈α，Q ∈a ，那么PQ ⊥a 是PQ ⊥β的 （ ）
A ．充分不必要条件 C ．充要条件
B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
3．已知平面α外不共线的三点A , B , C 到α的距离都相等, 则正确的结论是 （ ）
A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必与α相交 C ．平面ABC 必不垂直于α
D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内
4．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：
①若m ⊂α, l ⋂α=A , 点A ∉m , 则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线，l //α, m //α, 且n ⊥l , n ⊥m , 则n ⊥α； ③若l //α, m //β, α//β, 则l //m ；
④若l ⊂α, m ⊂α, l ⋂m =点A , l //β, m //β, 则α//β. 其中为假命题的是 A ．①
（ ）
C ．③
D ．④
B ．②
5．若l 为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β． 其中正确的命题有 （ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；
②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β． 其中，可以判定α与β平行的条件有 A ．1个
B ．2个
（ ） C ．3个
D ．4个
7．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α b ⊥β，则下列命题中的假命题是 （ ）
A ．若a ∥b ，则α∥β C ．若a ，b 相交，则α、β相交
B ．若α⊥β，则a ⊥b
D ．若α、β相交，则a 、b 相交
8．如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形． 证明：
9．ABCD 是四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP||GH。
P
M
D
A
C
A 2 C 2 α
βB B C D A
五、异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的二面角
1．空间两直线l 、m 在平面α、β上射影分别为a 1、b 1和a 2、b 2．若a 1∥b 1，a 2与b 2交于 一点，则l 和m 的位置关系为 （ ）
A ．一定异面
B ．一定平行
C ．异面或相交 D ．平行或异面
2．已知两条异面直线所成的角为
π
，直线c 与a ，b 所成的角都是θ，则θ的取值范围是 3
（ ）
A ．[
ππ
, ] 32
B ．[
ππ
, ] 62
C ．[
π5π
6, π2π
] D ．[, ] 633
3．已知异面直线a 与b 所成的角为50º，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是30º的直线有且仅有 （ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
ππ
4．平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为，过A 、B 分别作两平面交线的
46垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝ （ ）
A ．2∶1
B ．3∶1
C ．3∶2
D ．4∶3
6．二面角α-l -β内有一点P ，若P 到平面α, β的距离分别是5,8，且P 在平面α, β的内的射影间的距离为7，则二面角α-l -β的度数是 （ ）
A ．300 B ．600
C ．1200 D ．1500
7．已知二面角α-l -β的大小为60，m , n 为异面直线，且m ⊥α, n ⊥β，则m , n 所成的角为 （ ）
A ．30 B ．60
C ．90
D ．120
8．在平面四边形ABCD 中，已知AB=BC=CD=a，∠ABC =90，∠BCD =135，沿AC 将四边形折成直二面角B —AC —D ，
（1）求证：面ABC ⊥面BCD ； （2）求面ABD 与面ACD 所成的角。
D
解：
六、点与点、点到直线、点到平面、两平行直线、两异面直线、线与面、面与面之间的距离
1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与BC 成异面直线且距离等于a 的棱有（ ）
A ．3条
B ．4条
C ．6条
D ．7条
2．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ）
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．7个
3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ）
A ．
3
2
B ．2
2
C ．
1 2
D ．
3
4．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD =AD =1，点C 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则 （ ）
A ．1
B ．d 1
5．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60的二面角，点A 到BC 的距离是（ ）
A ．a
B
C
D
6．在∆ABC 中，AB =9, AC =15, ∠BAC =120 ，∆ABC 所在平面外一点P 到三顶点A , B , C 的距离都是14，则P 到平面ABC 的距离是 （ ）
A ．6
B ．7
C ．9
D ．13
7．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 ．
8．已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，则AB 到平面α的距离为__________．
9．在空间四边形ABCD 中，AD =AC =BD =BC =a ，AB =CD =b ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．
（1）求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； （2）求AB 和CD 间的距离． 解:
10．已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，
（1）求证：D 1B 1∥l ；
（2）若AB =a ，求l 与D 1间的距离． 解:
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