数学建模 试卷及参考答案
一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）
1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）
答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)
答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)
答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；
（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1、 某人早8:00从山下旅店出发, 沿一条路径上山, 下午5:00到达山顶并留宿. 次日早8:00沿同一路径下山, 下午5:00回到旅店. 证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:
记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.
设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在
[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，
则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）0,
由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)
解:模型构成
记第k 次渡河前此岸的商人数为x k ，随从数为y k ，k=1，2,........ ，x k ，y k =0，1，2，3。将二维向量s k =（x k ，y k ）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。S={(x , y )|x =0, y =0, 1, 2, 3; x =3, y =0, 1, 2, 3; x =y =1, 2} （3分）
记第k 次渡船上的商人数为u k 随从数为v k 将二维向量d k =（u k ，v k ）定义为决策。允许决策集合记作D ，由小船的容量可知
D={(u , v )|1≤u +v ≤v , u , v =0, 1, 2
} （3分）
状态s k 随d k 的变化规律是： s k +1= s k +(-1)*d k （3分） k
模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）
三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
13⎫⎛1 ⎪14⎪试用和法求出A 的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）1、A = 1。
1/31/41⎪⎝⎭
13⎫⎛1 ⎪14⎪ 中各列归一化 答：A = 1
1/31/41⎪⎝⎭⎛3/74/93/8⎫ ⎪3/74/94/8⎪ 1/71/91/8⎪⎝⎭
⎛1. 248⎫⎛4. 328⎫ ⎪ ⎪各行求和 1. 373⎪=w 2分 而Aw = 4. 897⎪，（1分） 所以最大特征根为
0. 569⎪ 1. 328⎪⎝⎭⎝⎭
13(Aw ) i 14. 3284. 8971. 328 λ=∑ 2分 =(++) =3. 1233i =1w i 31. 2481. 3730. 569
其一致性指标为： CI=
CR=
λ-33-1=3. 123-3=0. 061 2分 2CI 0. 061==0. 106>0. 1 所以A 不通过一致性检验。 2分 RI 0. 58
2、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。
若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley 值方法分配各人的所得。(9分)
答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略)
3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C 1, 每天每件产品贮存费用为C 2, 缺货损失费为C 3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分） 解:模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r
2. 每次生产准备费用为c1, 每天每件产品贮存费用为c2
3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C 3 ，当t=T1时产品已用完
4. 生产周期为T ，产量为Q (2分) 模型建立
C 3r (T -T 1) 2C 2T 1Q 一周期总费用如下: C =C 1+ (2分) +22
C 1C 2Q 2C 3(rT -Q ) 2
一周期平均费用为 f (T , Q ) = (2分) ++T 2rT 2rT
模型求解: 用微分法解得周期 T =
产量 Q =2C 1(C 2+C 3) (1分) rC 2C 32rC 1C 3 (1分) C 2(C 2+C 3)
4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。
设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。
解：状态i =1健康, i =2患病，i=3(死亡) ()()
0. 180. 02⎫⎛0. 8 ⎪依歇易得转移概率阵为P = 0. 65 0. 25 0. 1⎪ 2分
01⎪0⎝⎭
记α(n )=a 1(n ), a 2(n ), a 3(n ) ， 则 ()
α(n +1)=α(n ) ⋅P (n =1, 2, ⋯⋯) ………… （1分）
易是：i =3(死亡)是吸收状态，∴马氏链是吸收链。 （2分）
⎛Q R ⎫⎛0. 80. 18⎫⎛0. 02⎫ ⎪ ⎪ P = Q =R = O I ⎪ 0. 650. 25⎪ 0. 1⎪⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭⎭
-0. 18⎫⎛0. 21⎛0. 750. 18⎫-1⎪ =⎪ M =(I -Q )= -0. 650. 25⎪⎪0. 043⎝0. 650. 2⎭⎭⎝-1
y =Me =1⎛0. 93⎫ ⎪ （3分） ⎪0. 043⎝0. 85⎭
930850和 。 （1分） 4343∴ 由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为
5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）
(t ) =rx (1-(x x 2) ) -h N
(1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况
(2)如何获得最大持续产量
解: 23x x 2) 令F (x ) =rx (1-() ) -h ，F '(x ) =r (1-2 N N
f (x ) =rx (1-(N 2rN x 2) ) -h 的最大值点为(, ) （2分） N 3当h >2rN /3时, 无平衡点 （1分） 当h N /3) ,
经过判断x 1不稳定,x 2稳定 （2分）
当h =2rN /3时, 平衡点x 0=N /3, 由F '(x 0) =0不能判断它稳定性 （2分）
(2)为了获得最大持续产量, 应使x >N /且尽量x =N /3接近, 但操作困难 （2分）
四、 建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型
即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药
浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解）
解：假设c i (t ) 、x i (t ) 和V i 分别表示第i 室(i =1. 2) 的血药浓度，药量和容积，k 12和k 21是
两室之间药物转移速率系数，k 13是从中心室（第1室）向体外排除的速率系
数 ……………3分
1(t ) =-k 12x 1-k 13⋅x 1+k 21⋅x 2+f 0(t ) ⎧x 则⎨……（1） ……………6分 ⎩x 2(t ) =k 12x 1-k 21⋅x 2
（其中f 0(t ) 是给药速率） 及x i (t ) =V i ⋅c i (t ) (2) f 0(t ) v 2⎧ c (t ) =-(k +k ) ⋅c +k ⋅c + (3) 12131212⎪1v 1v 1⎪于是：⎨ …………4分 v ⎪c 2(t ) =1k 12⋅c 1-k 21c 2⎪v 2⎩
2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小时后生产A 产品2公斤，A 产品可获利30元/公斤 ，或加工8小时可生产B 产品3公斤，B 产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C 产品4公斤，C 产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为60桶，加工工时至多为460小时，且A 产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。
答：设每天安排x 1桶原料生产A 产品，x 2桶原料生产B 产品，x 3桶原料生产C 产品，则有：
max z =60x 1+54x 2+48x 3
⎧2x 1+3x 2+4x 3≤60⎪10x +8x +6x ≤460⎪23s . t . ⎨1
2x 1≤58⎪⎪x 1, x 2, x 3≥0⎩
参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分
数学建模 试卷及参考答案
一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）
1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）
答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)
答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)
答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；
（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1、 某人早8:00从山下旅店出发, 沿一条路径上山, 下午5:00到达山顶并留宿. 次日早8:00沿同一路径下山, 下午5:00回到旅店. 证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:
记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.
设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在
[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，
则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）0,
由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)
解:模型构成
记第k 次渡河前此岸的商人数为x k ，随从数为y k ，k=1，2,........ ，x k ，y k =0，1，2，3。将二维向量s k =（x k ，y k ）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。S={(x , y )|x =0, y =0, 1, 2, 3; x =3, y =0, 1, 2, 3; x =y =1, 2} （3分）
记第k 次渡船上的商人数为u k 随从数为v k 将二维向量d k =（u k ，v k ）定义为决策。允许决策集合记作D ，由小船的容量可知
D={(u , v )|1≤u +v ≤v , u , v =0, 1, 2
} （3分）
状态s k 随d k 的变化规律是： s k +1= s k +(-1)*d k （3分） k
模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）
三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
13⎫⎛1 ⎪14⎪试用和法求出A 的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）1、A = 1。
1/31/41⎪⎝⎭
13⎫⎛1 ⎪14⎪ 中各列归一化 答：A = 1
1/31/41⎪⎝⎭⎛3/74/93/8⎫ ⎪3/74/94/8⎪ 1/71/91/8⎪⎝⎭
⎛1. 248⎫⎛4. 328⎫ ⎪ ⎪各行求和 1. 373⎪=w 2分 而Aw = 4. 897⎪，（1分） 所以最大特征根为
0. 569⎪ 1. 328⎪⎝⎭⎝⎭
13(Aw ) i 14. 3284. 8971. 328 λ=∑ 2分 =(++) =3. 1233i =1w i 31. 2481. 3730. 569
其一致性指标为： CI=
CR=
λ-33-1=3. 123-3=0. 061 2分 2CI 0. 061==0. 106>0. 1 所以A 不通过一致性检验。 2分 RI 0. 58
2、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。
若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley 值方法分配各人的所得。(9分)
答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略)
3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C 1, 每天每件产品贮存费用为C 2, 缺货损失费为C 3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分） 解:模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r
2. 每次生产准备费用为c1, 每天每件产品贮存费用为c2
3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C 3 ，当t=T1时产品已用完
4. 生产周期为T ，产量为Q (2分) 模型建立
C 3r (T -T 1) 2C 2T 1Q 一周期总费用如下: C =C 1+ (2分) +22
C 1C 2Q 2C 3(rT -Q ) 2
一周期平均费用为 f (T , Q ) = (2分) ++T 2rT 2rT
模型求解: 用微分法解得周期 T =
产量 Q =2C 1(C 2+C 3) (1分) rC 2C 32rC 1C 3 (1分) C 2(C 2+C 3)
4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。
设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。
解：状态i =1健康, i =2患病，i=3(死亡) ()()
0. 180. 02⎫⎛0. 8 ⎪依歇易得转移概率阵为P = 0. 65 0. 25 0. 1⎪ 2分
01⎪0⎝⎭
记α(n )=a 1(n ), a 2(n ), a 3(n ) ， 则 ()
α(n +1)=α(n ) ⋅P (n =1, 2, ⋯⋯) ………… （1分）
易是：i =3(死亡)是吸收状态，∴马氏链是吸收链。 （2分）
⎛Q R ⎫⎛0. 80. 18⎫⎛0. 02⎫ ⎪ ⎪ P = Q =R = O I ⎪ 0. 650. 25⎪ 0. 1⎪⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭⎭
-0. 18⎫⎛0. 21⎛0. 750. 18⎫-1⎪ =⎪ M =(I -Q )= -0. 650. 25⎪⎪0. 043⎝0. 650. 2⎭⎭⎝-1
y =Me =1⎛0. 93⎫ ⎪ （3分） ⎪0. 043⎝0. 85⎭
930850和 。 （1分） 4343∴ 由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为
5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）
(t ) =rx (1-(x x 2) ) -h N
(1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况
(2)如何获得最大持续产量
解: 23x x 2) 令F (x ) =rx (1-() ) -h ，F '(x ) =r (1-2 N N
f (x ) =rx (1-(N 2rN x 2) ) -h 的最大值点为(, ) （2分） N 3当h >2rN /3时, 无平衡点 （1分） 当h N /3) ,
经过判断x 1不稳定,x 2稳定 （2分）
当h =2rN /3时, 平衡点x 0=N /3, 由F '(x 0) =0不能判断它稳定性 （2分）
(2)为了获得最大持续产量, 应使x >N /且尽量x =N /3接近, 但操作困难 （2分）
四、 建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型
即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药
浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解）
解：假设c i (t ) 、x i (t ) 和V i 分别表示第i 室(i =1. 2) 的血药浓度，药量和容积，k 12和k 21是
两室之间药物转移速率系数，k 13是从中心室（第1室）向体外排除的速率系
数 ……………3分
1(t ) =-k 12x 1-k 13⋅x 1+k 21⋅x 2+f 0(t ) ⎧x 则⎨……（1） ……………6分 ⎩x 2(t ) =k 12x 1-k 21⋅x 2
（其中f 0(t ) 是给药速率） 及x i (t ) =V i ⋅c i (t ) (2) f 0(t ) v 2⎧ c (t ) =-(k +k ) ⋅c +k ⋅c + (3) 12131212⎪1v 1v 1⎪于是：⎨ …………4分 v ⎪c 2(t ) =1k 12⋅c 1-k 21c 2⎪v 2⎩
2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小时后生产A 产品2公斤，A 产品可获利30元/公斤 ，或加工8小时可生产B 产品3公斤，B 产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C 产品4公斤，C 产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为60桶，加工工时至多为460小时，且A 产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。
答：设每天安排x 1桶原料生产A 产品，x 2桶原料生产B 产品，x 3桶原料生产C 产品，则有：
max z =60x 1+54x 2+48x 3
⎧2x 1+3x 2+4x 3≤60⎪10x +8x +6x ≤460⎪23s . t . ⎨1
2x 1≤58⎪⎪x 1, x 2, x 3≥0⎩
参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分