王莉老师《电路分析》 《 讲义 王莉老师 电路分析》
Lecture of vice Professor Wang Li
§4-3
戴维南定理和诺顿定理
theorem）是一个极其有用的
戴维南定理（Thevenin’s
定理，它是分析复杂网络响应的一个有力工具。不管网络如 何复杂，只要网络是线性的，戴维南定理提供了同一形式的 等值电路。 在§2-4（输入电阻和等效电阻）一节中曾介绍过二端网 络/也叫一端口网络的概念。 （一个网络具有两个引出端与外 电路相联，不管其内部结构多么复杂，这样的网络叫一端口 网络） 。 含源单口 （一端口） 网络──内部含有电源的单口网络。 单口网络一般只分析端口特性。这样一来，在分析单口 网络时，除了两个连接端钮外，网络的其余部分就可以置于 一个黑盒子之中。 含源单口网络的电路符号：
I
a
U
N
b 图中 N──网络 方框──黑盒子
王莉老师《电路分析》 《 讲义 王莉老师 电路分析》
Lecture of vice Professor Wang Li
单口松驰网络──含源单口网络中的全部独立电源置零，受 单口松驰网络 控电源保留， （动态元件为零状态） ，这样的网络称为单口松 驰网络。 电路符号：
I
a
U
N0
b
一、戴维南定理
（一）定理 定理： 定理 一含源线性单口一端网络 N，对外电路来说，可以用一 个电压源和电阻的串联组合来等效置换，此电压源的电压等 于端口的开路电压，电阻等于该单口网络对应的单口松驰网 络的输入电阻。 （电阻等于该单口网络的全部独立电源置零 后的输入电阻） 。 上述电压源和电阻串联组成的电压源模型，称为戴维南 戴维南 等效电路。该电阻称为戴维南等效电阻 戴维南等效电阻。 等效电路 戴维南等效电阻
I
a
U
任意负载
a
US
任意负载
N
Req
b a
b a
Uoc=Us
N
b
N0
b
Req
王莉老师《电路分析》 《 讲义 王莉老师 电路分析》
Lecture of vice Professor Wang Li
求戴维南等效电路，对负载性质没有限定。用戴维南等 效电路置换单口网络后，对外电路的求解没有任何影响，即 外电路中的电流和电压仍然等于置换前的值。 （二）戴维南定理的证明： 戴维南定理的证明 1. 设一含源二端网络 N 与任意负载相接，负载端电压 为 U，端电流为 I。
I
a
U IS
N
b 2. 任意负载用电流源替代，取电流源的电流为 I S = I 。 方向与 I 相同。替代后，整个电路中的电流、电压保持 不变。 下面用叠加定理分析端电压 U 与端电流 I。 3. 设网络 N 内的独立电源一起激励， 受控源保留， 电流 源 IS 置零，即 ab 端开路。这时端口电压、电流加上标（1） ， 有
I(1)=0 a
N
b
U(1)=Uoc
4. IS 单独激励，网络 N 内的独立电源均置零，受控电源 保留，这时，含源二端网络 N 转化成单
口松驰网络 N0，图 中端口电流、电压加上标（2） ，
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I(2)=IS a U(2) IS
N0
Req
b
有
U ( 2 ) = Req I S = Req I
I ( 2) = I S = I
应用叠加定理，得
U = U (1) + U ( 2) = U oc Req I I = I (1) + I ( 2 ) = I
（1）
可以看到， 在戴维南等效电路中， 关于 ab 端的特性方程 与（1）式相同。由此，戴维南定理得证。
（三）戴维南定理的应用
应用戴维南定理，关键需要求出端口的开路电压以及戴 维南等效电阻。 1. 求开路电压 求开路电压：用前一章所学知识，或结合叠加原理。 2. 求戴维南等效电阻 ① 串并联法 令独立电源为 0，根据网络结构，用串并联法求 Req。 ② 外加电源法 令网络中独立电源为 0，外加一电压源/电流源，用欧姆 定律求 Req。
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外加电压源法
a I US b
Req =
US I
N0
外加电流源法
Req =
U IS
a
N0
IS U b
③ 开短路法
a
U Req = OC I SC
N
b
ISC
（四）应用戴维南定理要注意的几个问题
1. 戴维南定理只适用于含源线性 线性二端网络。 线性 因为戴维南定理是建立在叠加概念之上的，而叠加概念 只能用于线性网络。 2. 应用戴维南定理时， 具有耦合的支路必须包含在网络 N 之内。 3. 计算网络 N 的开路电压时，必须画出相应的电路， 并标出开路电压的参考极性。 4. 计算网络 N 的输出电阻时，也必须画出相应的电路。
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5. 在画戴维南等效电路时，等效电压源的极性，应与开 路电压相一致。 6. 戴维南等效电路等效的含义指的是，网络 N 用等效 电路替代后，在连接端口 ab 上，以及在 ab 端口以外的电路 中，电流、电压都没有改变。但在戴维南等效电路与被替代 网络 N 中的内部情况，一般并不相同。 例1
U S1 = 1V ，R2 = 2 ，R3 = 3 ，R4 = 4 ，R5 = 5 ，
U 55 = 5V ， I S 6 = 6 A ，R1 可变，试问：R1 = ？时 I 1 = 1A 。
R1 R2
I1 US1
US5
R5
IS6
R3 R4
解：采用戴维南定理分析 （1）开路电压 U oC
将支路 1 从图中移去后，电路如图所示。 a
UOC US5 I5
R5 R2
b
IS6
R4
用网孔法：
R3
IS6
( R2 + R3 + R5 ) I 5 R3 I S 6 = U S 5
(2 + 3 + 5) I 5 3 × 6 = 5
I 5 = 2. 3 A
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在外围电路中应用 KVL 得 开路电压
U oC = U S 5 R5 I 5 R4 I S 6 = 5 5 × 2.3 4 × 6 = 30.5V
（2）求戴维南等效电阻 将上图中的独立源置零后的电路如图所示：
Req = R5 //( R2 + R3 ) + R4
5 × (2 + 3) = +4 5 + (2 + 3)
a
Req
R2
b
R4
= 6.5
R5
R3
（3）电路化
简为
UOC
a R1
U + U S1 I 1 = oC ∵ R1 + Req
Req b
US1
∴ R1 = 例2
U oC + U S1 30.5 + 1 Req = 6.5 = 23 I1 1
已知： R1 = 1 ， R2 = 2 ， R3 = 3 ， rm = 1 ，
U S1 = 1V 。
试计算电流 I3（用戴维南定理）
I3
R3 R1 R2
US1
rmI3
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解： （1）求开路电压 U oC 。 注意：应用戴维南定理时，具有耦合的支路必须包含在 二端网络 N 之内。
US1 I3(1) a
rmI3(1)
（I3 被处理在 N 之内） ∵
I 3 = 0 ，∴
UOC
R1 R2
r I
(1) m 3
=0
U oC =
R2 2 2 U S1 = ×1 = V 1+ 2 3 R1 + R2
I1(2) US1 I2(2) I3(2) a
rmI3(2)
b
（2）求等效电阻 Req，用开、短路法
ISC
I
( 2) 1
U 1 = S 1 = = 1A R1 1
R1
R2
I
I
(2) 3
( 2) 2
=I
(2) 1
I
(2) 2
=1 I
( 2) 2
b
（1 ） （2 ）
( ( rm I 3( 2 ) 1 × I 3 2) 1 × I 3 2) = = = = 0.5 I 3( 2 ) R2 R2 2
（2）代入（1）得
I 3( 2 ) = 2 A 3
( 2) ∴ 短路电流 I SC = I 3 =
2 A 3
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Req =
U oC I SC
2 = 3 = 1 2 3
UOC
a
（3）电路化简为
I3
R3
2 U oC 1 I3 = = 3 = A Req + R3 1 + 3 6
例3
Req b
已知： R1 = 1 ， R3 = 3 ， R4 = 4 ， R5 = 5 ，
U S1 = 1V ， I S 2 = 2 A ， U S 3 = 3V ， U S 4 = 4V ， U S 5 = 5V 。
试求电流 I 3 。
a R3 I3 US4 IS2 b d
R4
US3
c US5
R5
US1
R1
解：本例只要计算电流 I 3 ，采用戴维南定理求解是适宜 的。 1）ab 左端网络的等效参数
a US1 UabOC
R1
U aboc = U S 1 R1 I S 2
= 1 1 × 2 = 1V
Req1 = R1 = 1
IS2 b
2）cd 右端网络的等效参数
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U cdoc = U S 4 R4
= 4 4×
US4 + US5 R4 + R5
UcdOC
c US4
R4
4+5 = 0V 4+5
US5
R5
Req =
R4 × R5 R4 + R5
d
R3
4 × 5 20 = = = 2.22 4+5 9
3）电路化简为
UabOC
Req1
a
US3 I3
c UcdOC
Req2
b
d
U + U S 3 U cdoc 1+ 3 i3 = acoc = = 0.321A ∴ Req1 + R3 + Req 2 1 + 2.22 + 3
例 1．求戴维南等效电路
6
I
18V 3I
12
解：1）求开路电压
6
I
I =0 3I = 0
18V 3I
12
UOC
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U OC =
12 × 18 = 12 （V） 12 + 6
2)求等效电阻 a) 用外加电压源法
6
I2 I1
12
I
US
3I
I1 =
US 12
I 2 = I 3I I1 = 2I I1
U S = 6 I 2 = 6(2I I1 ) = 6(2I
3 US U 2 I = = S 12 8 U Req = S = 8 ( ) I
b) 用外加电流源法
6
US U ) = 12I S 12 2
I IS
12
I IS
6//12 12
U
U
3I
3I
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I = IS
U= 6 × 12 ( I S 3I S ) = 4(2 I S ) = 8I S 6 + 12
U IS = 8
()
6
Req =
c) 用开短路法
I2
I
18V 3I
12
ISC
I = I SC I 2 = I + 3I = 2I = 2I SC
18 = 6 I 2 = 12I SC ，∴ I SC =
Req = U OC 12 = = 8 () I SC 3 2
18 3 = 12 2
3)画戴维南等效电路
12V
-8
王
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Lecture of vice Professor Wang Li 10
例 2．求戴维南等效电路，r=2
a
10V
5
rI1
I1
解：1)求开路电压
10
b a
I1 =
10 = 2A 5
10V 5
U OC = rI1 = 2 × 2 = 4(V )
2）求等效电阻
rI1
UOC
I1 b
用外加电流源法
10
I1 = 0 U = 2I1 = 0 U Req = = 0 IS
5
a IS
2I1
U
I1 b
3）戴维南等效电路：
a
4V
b
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§4-3
戴维南定理和诺顿定理
theorem）是一个极其有用的
戴维南定理（Thevenin’s
定理，它是分析复杂网络响应的一个有力工具。不管网络如 何复杂，只要网络是线性的，戴维南定理提供了同一形式的 等值电路。 在§2-4（输入电阻和等效电阻）一节中曾介绍过二端网 络/也叫一端口网络的概念。 （一个网络具有两个引出端与外 电路相联，不管其内部结构多么复杂，这样的网络叫一端口 网络） 。 含源单口 （一端口） 网络──内部含有电源的单口网络。 单口网络一般只分析端口特性。这样一来，在分析单口 网络时，除了两个连接端钮外，网络的其余部分就可以置于 一个黑盒子之中。 含源单口网络的电路符号：
I
a
U
N
b 图中 N──网络 方框──黑盒子
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单口松驰网络──含源单口网络中的全部独立电源置零，受 单口松驰网络 控电源保留， （动态元件为零状态） ，这样的网络称为单口松 驰网络。 电路符号：
I
a
U
N0
b
一、戴维南定理
（一）定理 定理： 定理 一含源线性单口一端网络 N，对外电路来说，可以用一 个电压源和电阻的串联组合来等效置换，此电压源的电压等 于端口的开路电压，电阻等于该单口网络对应的单口松驰网 络的输入电阻。 （电阻等于该单口网络的全部独立电源置零 后的输入电阻） 。 上述电压源和电阻串联组成的电压源模型，称为戴维南 戴维南 等效电路。该电阻称为戴维南等效电阻 戴维南等效电阻。 等效电路 戴维南等效电阻
I
a
U
任意负载
a
US
任意负载
N
Req
b a
b a
Uoc=Us
N
b
N0
b
Req
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求戴维南等效电路，对负载性质没有限定。用戴维南等 效电路置换单口网络后，对外电路的求解没有任何影响，即 外电路中的电流和电压仍然等于置换前的值。 （二）戴维南定理的证明： 戴维南定理的证明 1. 设一含源二端网络 N 与任意负载相接，负载端电压 为 U，端电流为 I。
I
a
U IS
N
b 2. 任意负载用电流源替代，取电流源的电流为 I S = I 。 方向与 I 相同。替代后，整个电路中的电流、电压保持 不变。 下面用叠加定理分析端电压 U 与端电流 I。 3. 设网络 N 内的独立电源一起激励， 受控源保留， 电流 源 IS 置零，即 ab 端开路。这时端口电压、电流加上标（1） ， 有
I(1)=0 a
N
b
U(1)=Uoc
4. IS 单独激励，网络 N 内的独立电源均置零，受控电源 保留，这时，含源二端网络 N 转化成单
口松驰网络 N0，图 中端口电流、电压加上标（2） ，
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I(2)=IS a U(2) IS
N0
Req
b
有
U ( 2 ) = Req I S = Req I
I ( 2) = I S = I
应用叠加定理，得
U = U (1) + U ( 2) = U oc Req I I = I (1) + I ( 2 ) = I
（1）
可以看到， 在戴维南等效电路中， 关于 ab 端的特性方程 与（1）式相同。由此，戴维南定理得证。
（三）戴维南定理的应用
应用戴维南定理，关键需要求出端口的开路电压以及戴 维南等效电阻。 1. 求开路电压 求开路电压：用前一章所学知识，或结合叠加原理。 2. 求戴维南等效电阻 ① 串并联法 令独立电源为 0，根据网络结构，用串并联法求 Req。 ② 外加电源法 令网络中独立电源为 0，外加一电压源/电流源，用欧姆 定律求 Req。
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外加电压源法
a I US b
Req =
US I
N0
外加电流源法
Req =
U IS
a
N0
IS U b
③ 开短路法
a
U Req = OC I SC
N
b
ISC
（四）应用戴维南定理要注意的几个问题
1. 戴维南定理只适用于含源线性 线性二端网络。 线性 因为戴维南定理是建立在叠加概念之上的，而叠加概念 只能用于线性网络。 2. 应用戴维南定理时， 具有耦合的支路必须包含在网络 N 之内。 3. 计算网络 N 的开路电压时，必须画出相应的电路， 并标出开路电压的参考极性。 4. 计算网络 N 的输出电阻时，也必须画出相应的电路。
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5. 在画戴维南等效电路时，等效电压源的极性，应与开 路电压相一致。 6. 戴维南等效电路等效的含义指的是，网络 N 用等效 电路替代后，在连接端口 ab 上，以及在 ab 端口以外的电路 中，电流、电压都没有改变。但在戴维南等效电路与被替代 网络 N 中的内部情况，一般并不相同。 例1
U S1 = 1V ，R2 = 2 ，R3 = 3 ，R4 = 4 ，R5 = 5 ，
U 55 = 5V ， I S 6 = 6 A ，R1 可变，试问：R1 = ？时 I 1 = 1A 。
R1 R2
I1 US1
US5
R5
IS6
R3 R4
解：采用戴维南定理分析 （1）开路电压 U oC
将支路 1 从图中移去后，电路如图所示。 a
UOC US5 I5
R5 R2
b
IS6
R4
用网孔法：
R3
IS6
( R2 + R3 + R5 ) I 5 R3 I S 6 = U S 5
(2 + 3 + 5) I 5 3 × 6 = 5
I 5 = 2. 3 A
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在外围电路中应用 KVL 得 开路电压
U oC = U S 5 R5 I 5 R4 I S 6 = 5 5 × 2.3 4 × 6 = 30.5V
（2）求戴维南等效电阻 将上图中的独立源置零后的电路如图所示：
Req = R5 //( R2 + R3 ) + R4
5 × (2 + 3) = +4 5 + (2 + 3)
a
Req
R2
b
R4
= 6.5
R5
R3
（3）电路化
简为
UOC
a R1
U + U S1 I 1 = oC ∵ R1 + Req
Req b
US1
∴ R1 = 例2
U oC + U S1 30.5 + 1 Req = 6.5 = 23 I1 1
已知： R1 = 1 ， R2 = 2 ， R3 = 3 ， rm = 1 ，
U S1 = 1V 。
试计算电流 I3（用戴维南定理）
I3
R3 R1 R2
US1
rmI3
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解： （1）求开路电压 U oC 。 注意：应用戴维南定理时，具有耦合的支路必须包含在 二端网络 N 之内。
US1 I3(1) a
rmI3(1)
（I3 被处理在 N 之内） ∵
I 3 = 0 ，∴
UOC
R1 R2
r I
(1) m 3
=0
U oC =
R2 2 2 U S1 = ×1 = V 1+ 2 3 R1 + R2
I1(2) US1 I2(2) I3(2) a
rmI3(2)
b
（2）求等效电阻 Req，用开、短路法
ISC
I
( 2) 1
U 1 = S 1 = = 1A R1 1
R1
R2
I
I
(2) 3
( 2) 2
=I
(2) 1
I
(2) 2
=1 I
( 2) 2
b
（1 ） （2 ）
( ( rm I 3( 2 ) 1 × I 3 2) 1 × I 3 2) = = = = 0.5 I 3( 2 ) R2 R2 2
（2）代入（1）得
I 3( 2 ) = 2 A 3
( 2) ∴ 短路电流 I SC = I 3 =
2 A 3
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Req =
U oC I SC
2 = 3 = 1 2 3
UOC
a
（3）电路化简为
I3
R3
2 U oC 1 I3 = = 3 = A Req + R3 1 + 3 6
例3
Req b
已知： R1 = 1 ， R3 = 3 ， R4 = 4 ， R5 = 5 ，
U S1 = 1V ， I S 2 = 2 A ， U S 3 = 3V ， U S 4 = 4V ， U S 5 = 5V 。
试求电流 I 3 。
a R3 I3 US4 IS2 b d
R4
US3
c US5
R5
US1
R1
解：本例只要计算电流 I 3 ，采用戴维南定理求解是适宜 的。 1）ab 左端网络的等效参数
a US1 UabOC
R1
U aboc = U S 1 R1 I S 2
= 1 1 × 2 = 1V
Req1 = R1 = 1
IS2 b
2）cd 右端网络的等效参数
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U cdoc = U S 4 R4
= 4 4×
US4 + US5 R4 + R5
UcdOC
c US4
R4
4+5 = 0V 4+5
US5
R5
Req =
R4 × R5 R4 + R5
d
R3
4 × 5 20 = = = 2.22 4+5 9
3）电路化简为
UabOC
Req1
a
US3 I3
c UcdOC
Req2
b
d
U + U S 3 U cdoc 1+ 3 i3 = acoc = = 0.321A ∴ Req1 + R3 + Req 2 1 + 2.22 + 3
例 1．求戴维南等效电路
6
I
18V 3I
12
解：1）求开路电压
6
I
I =0 3I = 0
18V 3I
12
UOC
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U OC =
12 × 18 = 12 （V） 12 + 6
2)求等效电阻 a) 用外加电压源法
6
I2 I1
12
I
US
3I
I1 =
US 12
I 2 = I 3I I1 = 2I I1
U S = 6 I 2 = 6(2I I1 ) = 6(2I
3 US U 2 I = = S 12 8 U Req = S = 8 ( ) I
b) 用外加电流源法
6
US U ) = 12I S 12 2
I IS
12
I IS
6//12 12
U
U
3I
3I
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I = IS
U= 6 × 12 ( I S 3I S ) = 4(2 I S ) = 8I S 6 + 12
U IS = 8
()
6
Req =
c) 用开短路法
I2
I
18V 3I
12
ISC
I = I SC I 2 = I + 3I = 2I = 2I SC
18 = 6 I 2 = 12I SC ，∴ I SC =
Req = U OC 12 = = 8 () I SC 3 2
18 3 = 12 2
3)画戴维南等效电路
12V
-8
王
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例 2．求戴维南等效电路，r=2
a
10V
5
rI1
I1
解：1)求开路电压
10
b a
I1 =
10 = 2A 5
10V 5
U OC = rI1 = 2 × 2 = 4(V )
2）求等效电阻
rI1
UOC
I1 b
用外加电流源法
10
I1 = 0 U = 2I1 = 0 U Req = = 0 IS
5
a IS
2I1
U
I1 b
3）戴维南等效电路：
a
4V
b