高一数学复习教案(一)
集合与不等式
1.理解集合、子集、交集、并集、补集、全集、空集的概念;了解集合之间属于、包含、相等关系的意义;掌握集合的有关术语和饿符号,并会用它们正确表示一些简单的集合;
2.掌握简单的含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法;
3.学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关集合与不等式的问题,形成良好的思维品质。
二.知识要点:
1.集合的主要题型及解题的基本思想方法
①判断集合与元素之间的关系,集合与集合之间的关系;
②集合的子、交、并、补的运算;
③已知集合之间的关系,求未知系数的值。
基本思想方法:①利用数轴,运用数形结合思想方法解题;②分类讨论思想。
2.不等式的基本题型与方法
(1)含有绝对值的不等式:解题关键是去绝对值符号。
基本方法是:①利用绝对值的几何意义; ②利用绝对值的定义分类讨论。
(2)解一元二次不等式:
①常系数的一元二次不等式;
②含字母系数的一元二次不等式大致分为两类:
(Ⅰ)∆的符号不确定,讨论∆的大小;
(Ⅱ)通过因式分解(或求根公式)得出两根,但根的大小不明确,则讨论根的大小。
(3)一元二次不等式的应用:
①已知一个不等式的解集,求另一个不等式的解集;
②恒成立问题:通常可结合二次函数图象来考虑。
三.基础训练:
1.A B =A ⇔ ;A B =B ⇔ ;
ðU (A B ) = ;ðU (A B ) = ;
2.n 个元素的集合{a 1, a 2, a n }共有 个子集,真子集有 个,非空真子集 个。
, ∈R 3.设ab 22,集合A ={2,4,8b -12b },B ={8,b +ab +a },若2∈B 且B ⊆A ,则a = ,b = .
4.设全集为R ,P ={x |x ≥1},Q ={x |06.设全集为R ,集合A ={x |-1
(痧 ðU B =U A ) (U B ) =7.设A , B 是全集U 的两个子集,且A ⊆B ,则以下成立的是 ( ) (A ) . 痧U A ⊆U B (B ) . 痧U A U B =U (C ) . A ðU B =φ (D ) . ðU A B =φ
8.不等式1
9.若0
210.当a ≠0时,ax +bx +c
四.例题分析:
例1.已知U =R ,A ={x |x =-t 2, t ∈R },B ={x |x =3+|t |,t ∈R },
求:(1)A B ; (2)ðU (A B ) .
例2.若A ={x ||x +7|>10},B ={x ||x -5|
例3.若关于x 的不等式x -ax -6a ≤0有解,且对解集中的任意x 1, x 2,总满足2
|x 1-x 2|≤5,求实数a 的范围。
例4.不等式(k +4k -5) x +4(1-k ) x +3
22
五.课堂作业:
1.下列六种关系:①0⊂{0};②0∈{0};③0=φ;④φ∈{0};⑤φ⊂{0};⑥φ∈{φ},≠≠
其中正确的有 .
2.若集合A ={x |ax 2+4x +4=0, x ∈R }中只有一个元素,则A 中实系数a
3.不等式(1-|x |)(1+x ) >0的解集为 ( )
(A ) . {x |x
4.已知(m 2-4) x 2+(m +2) x +3>0对任意x ∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为 .
5.已知关于x 的二次不等式ax -2ax +a -4>0,
(1)当a =1时,其解集为 ;
(2)若不等式的解集为{x |-1
(3)若不等式的解集为空集,则a 的取值范围 .
6.已知A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |x 2-(a +1) x +a ≤0},
(1)若A ⊂B ,求a 的取值范围; 22≠
(2)B ⊆A ,求a 的取值范围;
(3)若A B 为单元素集时,求a 的值。
7.若A ={x |x +p x q +≤0}
求p , q 的值。
2,B ={x |x -3R ,A B ={x |30},且A B =x +1
8.已知集合A ={x |x 2-3x -10≥0},B ={x |2m -1
29.设f (x ) =x +ax +b ,A ={x |f (x ) =x }={a },求a , b 的值。
10.解下列关于x 的不等式:
22(1)x +(a +2) x +a +1>0(a ∈R ) ; (2)ax +(ab +ac ) x +abc
3.4基本不等式ab ≤a +b 2
一、三维目标:
1、知识与技能:
理解基本不等式的内容及其证明,能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、
求取值范围等问题
2、过程与方法:
能够理解并建立不等式的知识链
3、情感、态度与价值观:
通过运用基本不等式解答实际问题,提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识
4、本节重点:
应用数形结合的思想,理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程
5、本节难点:
应用基本不等式求最值
二、课程引入:
第24届世界数学家大会在北京召开,会标设计如图:
四个以a ,b 为直角边的直角△ABC ,组成正方形ABCD 则AB =BC =CD =DA =a 2+b 2
1S ABCD =a 2+b 2 S ∆ABE =ab 2
如图可知:S ABCD ≥4S ∆ABE 即a +b ≥2ab
当且仅当小正方形EFGH 面积为0时取等号,即a -b =0, a =b 时取得等号
三、新课讲授:
(一)基本不等式的推证:
1、重要不等式与基本不等式
由引入中提到的重要不等式a +b ≥2ab ,将其中的a , b 用a , 代换, 得到基本不等式ab ≤2222a +b ,当且仅当a =b 时,即a =b 时取得等号。 2
22特别注意,重要不等式a +b ≥2ab 的适用范围是全体实数, 而基本不等式ab ≤a +b 的使用需要a >0, b >0 2
2、基本不等式的几种表述方式
平均数角度:两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(均值不等式定理)
数列角度:两正数的等差中项不小于它们的等比中项
探究:基本不等式的几何表示:半径不小于半弦长
3、分析法推证基本不等式
要证ab ≤
(3)。 a +b ,只需证明a +b ≥2ab (2)。要证明(2)只需证明a +b -2ab ≥02
要证明(3)只需证明(a -b ) 2≥0(4)。(4)式显然成立,故得证。
(二)基本不等式的应用与提高:
1、你是设计师!
(1)春天到了,学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。有以下两种方案:
圆形花圃:造价12元/米 矩形花圃:造价10元/米
你觉得哪个方案更省钱呢?
分析及解答:因为初中学习过平面几何,同学们大都知道,同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大,由此可知,同样的面积肯定是为圆形用的材料省。但是本题涉及造价问题,两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少,但是每米的花费高,所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派,可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。 圆形花圃:S 圆=πr =100, r =210, C =2πr =20, 花费约为432元
矩形花圃:设两边为x ,y ,C =2(x +y ) ≥4xy =40,故当x=y时花费最少为400元
(2)现在只有36米的篱笆可用,怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大? 解:C =2(x +y ) =36, x +y =18 x +y ≥2xy ∴18≥2xy , ∴S =xy ≤81
当且仅当x =y 时,面积有最大值为81m 2
(3)有人出了个主意,让花圃的一面靠墙,利用墙壁作为花圃的一边,可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智,用这36米的篱笆,怎么样设计才能围出面积最大的花圃? 分析:已知x +2y 为定值,求S =xy 的最大值的问题
2 解:x +2y =36≥2x ⋅2y ∴xy ≤162∴当且仅当x =2y 时,S 有最大值为162m
2、看谁算得快!
(1) 若x +y =4, 则x ⋅y 有最___值为___(2) 若x ⋅y =4, 则x +y 有最___值为___ (3) 若2x +y =8, 则x ⋅y 有最___值为___,此时x =__y =__
(4) 若x ⋅y =6则2x +3y 有最___值为___此时x =__y =__
4(5) 已知a >0, 则a +有最___值为___此时a =__ a 4 (6) 已知a >0, 则-a -有最___值为___此时a =__a 4
(7) 已知a
3、大家来挑错! 444 解: y =x +≥2x ⋅=4∴函数值域为[4,+∞) (1) 求函数y =x +x 的值域x x
分析:结合上一系列题目中的(5)-(7)题可知,本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。
4(2) 已知a >3, 求a +的最小值 a -3
a >3, ∴a -3>0, ∴a +4≥2a ⋅4, 当a =4, 即a =4时, a +4取得最小值为解: 8a -3a -3a -3a -3导致所得结果并不是最小的值。
提醒同学注意:在使用基本不等式求最值为题时,式中的积或和必须是定值。
4π(3) 求函数y =sin α+其中α∈(0]的最小值 sin α2
解:y =sin α+4≥2sin α⋅4=4∴函数的最小值为4。sin αsin α
本题的解答没有注意sin α本身的限制,使得基本不等式的等号无法取得。
提醒同学注意:最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得,在什么情况下取得。
(三)小结:
1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件,基本不等式需要正数,重要不等式可用于全体实数。
2、积定和最小、和定积最大。
3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正,二定,三相等”
四、作业:
1、书后练习题。
2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。
五、课后反思:
1、多媒体的运用。
在引入部分,关于数学家大会的图标,如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果,让学生更加直观的观察到变换过程的话,教学效果会更好。
已知S =xy 的最大值的问题2、 x +2y 为定值,求
应该引导学生多种思路考虑问题 1比如S =xy =x ⋅2y 这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。 2
3、因为本节是新课讲授,学生新接触一个知识,还没有能够很好的融会贯通。因此上在这个阶段不应该做过难的题目。一些简单的,同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答的小题,让学生在很短的时间中完成。这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用,而且也对快速反应和解答题目进行了强化,提高学生解题效率。
4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解,而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误,提高教学效率。同时也培养了学生质疑精神,寻求科学真理的热情。
高一数学复习教案(一)
集合与不等式
1.理解集合、子集、交集、并集、补集、全集、空集的概念;了解集合之间属于、包含、相等关系的意义;掌握集合的有关术语和饿符号,并会用它们正确表示一些简单的集合;
2.掌握简单的含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法;
3.学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关集合与不等式的问题,形成良好的思维品质。
二.知识要点:
1.集合的主要题型及解题的基本思想方法
①判断集合与元素之间的关系,集合与集合之间的关系;
②集合的子、交、并、补的运算;
③已知集合之间的关系,求未知系数的值。
基本思想方法:①利用数轴,运用数形结合思想方法解题;②分类讨论思想。
2.不等式的基本题型与方法
(1)含有绝对值的不等式:解题关键是去绝对值符号。
基本方法是:①利用绝对值的几何意义; ②利用绝对值的定义分类讨论。
(2)解一元二次不等式:
①常系数的一元二次不等式;
②含字母系数的一元二次不等式大致分为两类:
(Ⅰ)∆的符号不确定,讨论∆的大小;
(Ⅱ)通过因式分解(或求根公式)得出两根,但根的大小不明确,则讨论根的大小。
(3)一元二次不等式的应用:
①已知一个不等式的解集,求另一个不等式的解集;
②恒成立问题:通常可结合二次函数图象来考虑。
三.基础训练:
1.A B =A ⇔ ;A B =B ⇔ ;
ðU (A B ) = ;ðU (A B ) = ;
2.n 个元素的集合{a 1, a 2, a n }共有 个子集,真子集有 个,非空真子集 个。
, ∈R 3.设ab 22,集合A ={2,4,8b -12b },B ={8,b +ab +a },若2∈B 且B ⊆A ,则a = ,b = .
4.设全集为R ,P ={x |x ≥1},Q ={x |06.设全集为R ,集合A ={x |-1
(痧 ðU B =U A ) (U B ) =7.设A , B 是全集U 的两个子集,且A ⊆B ,则以下成立的是 ( ) (A ) . 痧U A ⊆U B (B ) . 痧U A U B =U (C ) . A ðU B =φ (D ) . ðU A B =φ
8.不等式1
9.若0
210.当a ≠0时,ax +bx +c
四.例题分析:
例1.已知U =R ,A ={x |x =-t 2, t ∈R },B ={x |x =3+|t |,t ∈R },
求:(1)A B ; (2)ðU (A B ) .
例2.若A ={x ||x +7|>10},B ={x ||x -5|
例3.若关于x 的不等式x -ax -6a ≤0有解,且对解集中的任意x 1, x 2,总满足2
|x 1-x 2|≤5,求实数a 的范围。
例4.不等式(k +4k -5) x +4(1-k ) x +3
22
五.课堂作业:
1.下列六种关系:①0⊂{0};②0∈{0};③0=φ;④φ∈{0};⑤φ⊂{0};⑥φ∈{φ},≠≠
其中正确的有 .
2.若集合A ={x |ax 2+4x +4=0, x ∈R }中只有一个元素,则A 中实系数a
3.不等式(1-|x |)(1+x ) >0的解集为 ( )
(A ) . {x |x
4.已知(m 2-4) x 2+(m +2) x +3>0对任意x ∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为 .
5.已知关于x 的二次不等式ax -2ax +a -4>0,
(1)当a =1时,其解集为 ;
(2)若不等式的解集为{x |-1
(3)若不等式的解集为空集,则a 的取值范围 .
6.已知A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |x 2-(a +1) x +a ≤0},
(1)若A ⊂B ,求a 的取值范围; 22≠
(2)B ⊆A ,求a 的取值范围;
(3)若A B 为单元素集时,求a 的值。
7.若A ={x |x +p x q +≤0}
求p , q 的值。
2,B ={x |x -3R ,A B ={x |30},且A B =x +1
8.已知集合A ={x |x 2-3x -10≥0},B ={x |2m -1
29.设f (x ) =x +ax +b ,A ={x |f (x ) =x }={a },求a , b 的值。
10.解下列关于x 的不等式:
22(1)x +(a +2) x +a +1>0(a ∈R ) ; (2)ax +(ab +ac ) x +abc
3.4基本不等式ab ≤a +b 2
一、三维目标:
1、知识与技能:
理解基本不等式的内容及其证明,能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、
求取值范围等问题
2、过程与方法:
能够理解并建立不等式的知识链
3、情感、态度与价值观:
通过运用基本不等式解答实际问题,提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识
4、本节重点:
应用数形结合的思想,理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程
5、本节难点:
应用基本不等式求最值
二、课程引入:
第24届世界数学家大会在北京召开,会标设计如图:
四个以a ,b 为直角边的直角△ABC ,组成正方形ABCD 则AB =BC =CD =DA =a 2+b 2
1S ABCD =a 2+b 2 S ∆ABE =ab 2
如图可知:S ABCD ≥4S ∆ABE 即a +b ≥2ab
当且仅当小正方形EFGH 面积为0时取等号,即a -b =0, a =b 时取得等号
三、新课讲授:
(一)基本不等式的推证:
1、重要不等式与基本不等式
由引入中提到的重要不等式a +b ≥2ab ,将其中的a , b 用a , 代换, 得到基本不等式ab ≤2222a +b ,当且仅当a =b 时,即a =b 时取得等号。 2
22特别注意,重要不等式a +b ≥2ab 的适用范围是全体实数, 而基本不等式ab ≤a +b 的使用需要a >0, b >0 2
2、基本不等式的几种表述方式
平均数角度:两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(均值不等式定理)
数列角度:两正数的等差中项不小于它们的等比中项
探究:基本不等式的几何表示:半径不小于半弦长
3、分析法推证基本不等式
要证ab ≤
(3)。 a +b ,只需证明a +b ≥2ab (2)。要证明(2)只需证明a +b -2ab ≥02
要证明(3)只需证明(a -b ) 2≥0(4)。(4)式显然成立,故得证。
(二)基本不等式的应用与提高:
1、你是设计师!
(1)春天到了,学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。有以下两种方案:
圆形花圃:造价12元/米 矩形花圃:造价10元/米
你觉得哪个方案更省钱呢?
分析及解答:因为初中学习过平面几何,同学们大都知道,同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大,由此可知,同样的面积肯定是为圆形用的材料省。但是本题涉及造价问题,两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少,但是每米的花费高,所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派,可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。 圆形花圃:S 圆=πr =100, r =210, C =2πr =20, 花费约为432元
矩形花圃:设两边为x ,y ,C =2(x +y ) ≥4xy =40,故当x=y时花费最少为400元
(2)现在只有36米的篱笆可用,怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大? 解:C =2(x +y ) =36, x +y =18 x +y ≥2xy ∴18≥2xy , ∴S =xy ≤81
当且仅当x =y 时,面积有最大值为81m 2
(3)有人出了个主意,让花圃的一面靠墙,利用墙壁作为花圃的一边,可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智,用这36米的篱笆,怎么样设计才能围出面积最大的花圃? 分析:已知x +2y 为定值,求S =xy 的最大值的问题
2 解:x +2y =36≥2x ⋅2y ∴xy ≤162∴当且仅当x =2y 时,S 有最大值为162m
2、看谁算得快!
(1) 若x +y =4, 则x ⋅y 有最___值为___(2) 若x ⋅y =4, 则x +y 有最___值为___ (3) 若2x +y =8, 则x ⋅y 有最___值为___,此时x =__y =__
(4) 若x ⋅y =6则2x +3y 有最___值为___此时x =__y =__
4(5) 已知a >0, 则a +有最___值为___此时a =__ a 4 (6) 已知a >0, 则-a -有最___值为___此时a =__a 4
(7) 已知a
3、大家来挑错! 444 解: y =x +≥2x ⋅=4∴函数值域为[4,+∞) (1) 求函数y =x +x 的值域x x
分析:结合上一系列题目中的(5)-(7)题可知,本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。
4(2) 已知a >3, 求a +的最小值 a -3
a >3, ∴a -3>0, ∴a +4≥2a ⋅4, 当a =4, 即a =4时, a +4取得最小值为解: 8a -3a -3a -3a -3导致所得结果并不是最小的值。
提醒同学注意:在使用基本不等式求最值为题时,式中的积或和必须是定值。
4π(3) 求函数y =sin α+其中α∈(0]的最小值 sin α2
解:y =sin α+4≥2sin α⋅4=4∴函数的最小值为4。sin αsin α
本题的解答没有注意sin α本身的限制,使得基本不等式的等号无法取得。
提醒同学注意:最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得,在什么情况下取得。
(三)小结:
1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件,基本不等式需要正数,重要不等式可用于全体实数。
2、积定和最小、和定积最大。
3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正,二定,三相等”
四、作业:
1、书后练习题。
2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。
五、课后反思:
1、多媒体的运用。
在引入部分,关于数学家大会的图标,如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果,让学生更加直观的观察到变换过程的话,教学效果会更好。
已知S =xy 的最大值的问题2、 x +2y 为定值,求
应该引导学生多种思路考虑问题 1比如S =xy =x ⋅2y 这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。 2
3、因为本节是新课讲授,学生新接触一个知识,还没有能够很好的融会贯通。因此上在这个阶段不应该做过难的题目。一些简单的,同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答的小题,让学生在很短的时间中完成。这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用,而且也对快速反应和解答题目进行了强化,提高学生解题效率。
4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解,而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误,提高教学效率。同时也培养了学生质疑精神,寻求科学真理的热情。