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离散型随机变量的均值与方差
[最新考纲]
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
知 识 梳 理
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i ) ＝p i ，i ＝1,2，„，n
(1)均值：称E (X ) X 的均值或数学期望．
(2)方差：称D (X ) ＝∑ (x i －E (X )) 2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标
i ＝1n
准差．
2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b ) ＝(2)D (aX ＋b ) ＝2a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差
辨 析 感 悟
1．离散型随机变量的均值与方差
(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关． ( )
(2)(教材习题改编) 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7，方差是0.21.( ) 2．均值与方差的性质
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则
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偏离均值的平均程度越小．( ) (4)已知X 的分布列为
7
设Y ＝2X ＋3，则E (Y ) 的值为3 )
(5)设等差数列x 1，x 2，x 3，„，x 19的公差为1，若随机变量X 等可能地取值x 1，x 2，x 3，„，x 19，则方差D (X ) ＝30. ( )
考点一 离散型随机变量的均值与方差
【例1】设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X 为取出此2球所得分数之和，求X 的分布列；
5
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y 为取出此球所得分数．若E (Y ) ＝3，5
D (Y ) 9a ∶b ∶c .
解 (1)由题意得X ＝2,3,4,5,6. 3×31
故P (X ＝2) ＝＝，
6×64
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P (X ＝3) ＝P (X ＝4) ＝P (X ＝5) ＝
2×3×21
3 6×6
2×3×1＋2×25
18
6×6
2×2×111×11
9P (X ＝6) ＝＝. 6×66×636
所以X 的分布列为
(2)由题意知Y 的分布列为
a 所以E (Y ) ＝＋＋＝3，
a ＋b ＋c a ＋b ＋c a ＋b ＋c
555a b c 5⎛⎛⎛
D (Y ) ＝ 1－32 2－32 3－32＝9.
⎝⎭a ＋b ＋c ⎝⎭a ＋b ＋c ⎝⎭a ＋b ＋c ⎧2a －b －4c ＝0，⎧a ＝3c ，化简得⎨解得⎨
⎩a ＋4b －11c ＝0. ⎩b ＝2c . 故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.
【训练1】 如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，
C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”， 记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0) ．
(1)求V ＝0的概率；
(2)求V 的分布列及数学期望E (V ) ．
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考点二 与二项分布有关的均值、方差
2
【例2】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为3，中2
奖可以获得2分；方案乙的中奖率为5，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
22
解 (1)由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 224
因为P (X ＝5) ＝3×5＝15， 11
所以P (A ) ＝1－P (X ＝5) ＝15， 11
即这2人的累计得分X ≤3的概率为15(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y 1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y 2，则Y 1，Y 2的分布列为：
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14∴E (Y 1) ＝0×92×94×93， 912412
E (Y 2) ＝0×253×256×25＝5， 因为E (Y 1)>E (Y 2) ，
所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大． 【训练2】 某人投弹命中目标的概率p ＝0.8. (1)求投弹一次，命中次数X 的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y 的均值和方差．
考点三 均值与方差在决策中的应用
【例3】 某投资公司在2014年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，72
且这两种情况发生的概率分别为99
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可
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311
能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为5315.
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资) ，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金) 可以翻一番？ (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)若按“项目一”投资，设获利为X 1万元．则X 1的分布列为
72
∴E (X 1) ＝300×9(－150) ×9200(万元) ． 若按“项目二”投资，设获利X 2万元， 则X 2的分布列为：
3∴E (X 2) ＝500×5(－300) ×30×15200(万元) ． 72
D (X 1) ＝(300－200) 2×9(－150－200) 2×935 000，
311
D (X 2) ＝(500－200) 2×5(－300－200) 2×3(0－200) 2×15140 000. 所以E (X 1) ＝E (X 2) ，D (X 1)
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． (2)假设n 年后总资产可以翻一番，依题意， 200⎛
1 000× 1＋1 000n ＝2 000，即1.2n ＝2，
⎝⎭两边取对数得：n ＝＝
lg 2
2lg 2＋lg 3－1
0.301 0
3.805 3.
2×0.301 0＋0.477 1－1
所以大约4年后，即在2017年年底总资产可以翻一番．
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【训练3】 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率． (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列．
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
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1．均值与方差的性质
(1)E (aX ＋b ) ＝aE (X ) ＋b ，D (aX ＋b ) ＝a 2D (X )(a ，b 为常数) ． (2)若X 服从两点分布，则E (X ) ＝p ，D (X ) ＝p (1－p ) ．
(3)若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p ) ，则E (X ) ＝np ，D (X ) ＝np (1－p ) ． 2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
(2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解．
(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等) ，利用它们的均值、方差公式求解．
易错辨析12——不能正确理解题目条件致误
【典例】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm) 对工期的影响如下表：
，求： (1)工程延误天数Y 的均值与方差；
(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
【自主体验】
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
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(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
基础巩固题组
一、选择题 1．已知离散型随机变量X 的分布列为
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则X 的数学期望E (X ) ＝( ) ．
35
A. 2 B ．2 C. 2 D ．3
2．已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E (X ) ＝6.3，则a 的值为( ).
A.5 B ．6 D ．8
3．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6) ，则E (Y ) ，D (Y ) 分别是( ) ． A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6
4．若p 为非负实数，随机变量X 的分布列为
则E (X ) 的最大值为( ) ．
32
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0) ，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( ) ．
7⎫1⎫⎛⎛7⎫⎛⎛1⎫A. 0，12⎪ B. 121⎪ C. 0，2⎪ D. 21⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
二、填空题
6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X 表示取到次品的次数，则D (X ) ＝________.
7．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布列如下表：
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请小牛同学计算X 的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (X ) ＝________.
8．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元．
三、解答题
9．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队
1比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是3(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；
(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．
10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4) ．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．
(1)求X 的分布列、数学期望和方差；
(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y ) ＝1，D (Y ) ＝11，试求a ，b 的值．
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能力提升题组
一、选择题
1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的均值为( ) ．
A ．2.44 B ．3.376 C ．2.376 D ．2.4
2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) ．
A ．100 B ．200 C ．300 D ．400
二、填空题
3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲
2公司面试的概率为3p ，且三个公司是否让其面试是相互独立
1的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0) ＝12，则随机变量X 的数学期望E (X ) ＝
________.
三、解答题
4．如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨) 的频率分布直方图．
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(1)求直方图中x 的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样) ，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列、数学期望与方差．
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离散型随机变量的均值与方差
[最新考纲]
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
知 识 梳 理
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i ) ＝p i ，i ＝1,2，„，n
(1)均值：称E (X ) X 的均值或数学期望．
(2)方差：称D (X ) ＝∑ (x i －E (X )) 2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标
i ＝1n
准差．
2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b ) ＝(2)D (aX ＋b ) ＝2a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差
辨 析 感 悟
1．离散型随机变量的均值与方差
(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关． ( )
(2)(教材习题改编) 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7，方差是0.21.( ) 2．均值与方差的性质
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则
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偏离均值的平均程度越小．( ) (4)已知X 的分布列为
7
设Y ＝2X ＋3，则E (Y ) 的值为3 )
(5)设等差数列x 1，x 2，x 3，„，x 19的公差为1，若随机变量X 等可能地取值x 1，x 2，x 3，„，x 19，则方差D (X ) ＝30. ( )
考点一 离散型随机变量的均值与方差
【例1】设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X 为取出此2球所得分数之和，求X 的分布列；
5
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y 为取出此球所得分数．若E (Y ) ＝3，5
D (Y ) 9a ∶b ∶c .
解 (1)由题意得X ＝2,3,4,5,6. 3×31
故P (X ＝2) ＝＝，
6×64
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P (X ＝3) ＝P (X ＝4) ＝P (X ＝5) ＝
2×3×21
3 6×6
2×3×1＋2×25
18
6×6
2×2×111×11
9P (X ＝6) ＝＝. 6×66×636
所以X 的分布列为
(2)由题意知Y 的分布列为
a 所以E (Y ) ＝＋＋＝3，
a ＋b ＋c a ＋b ＋c a ＋b ＋c
555a b c 5⎛⎛⎛
D (Y ) ＝ 1－32 2－32 3－32＝9.
⎝⎭a ＋b ＋c ⎝⎭a ＋b ＋c ⎝⎭a ＋b ＋c ⎧2a －b －4c ＝0，⎧a ＝3c ，化简得⎨解得⎨
⎩a ＋4b －11c ＝0. ⎩b ＝2c . 故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.
【训练1】 如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，
C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”， 记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0) ．
(1)求V ＝0的概率；
(2)求V 的分布列及数学期望E (V ) ．
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考点二 与二项分布有关的均值、方差
2
【例2】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为3，中2
奖可以获得2分；方案乙的中奖率为5，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
22
解 (1)由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 224
因为P (X ＝5) ＝3×5＝15， 11
所以P (A ) ＝1－P (X ＝5) ＝15， 11
即这2人的累计得分X ≤3的概率为15(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y 1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y 2，则Y 1，Y 2的分布列为：
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14∴E (Y 1) ＝0×92×94×93， 912412
E (Y 2) ＝0×253×256×25＝5， 因为E (Y 1)>E (Y 2) ，
所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大． 【训练2】 某人投弹命中目标的概率p ＝0.8. (1)求投弹一次，命中次数X 的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y 的均值和方差．
考点三 均值与方差在决策中的应用
【例3】 某投资公司在2014年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，72
且这两种情况发生的概率分别为99
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可
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311
能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为5315.
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资) ，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金) 可以翻一番？ (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)若按“项目一”投资，设获利为X 1万元．则X 1的分布列为
72
∴E (X 1) ＝300×9(－150) ×9200(万元) ． 若按“项目二”投资，设获利X 2万元， 则X 2的分布列为：
3∴E (X 2) ＝500×5(－300) ×30×15200(万元) ． 72
D (X 1) ＝(300－200) 2×9(－150－200) 2×935 000，
311
D (X 2) ＝(500－200) 2×5(－300－200) 2×3(0－200) 2×15140 000. 所以E (X 1) ＝E (X 2) ，D (X 1)
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． (2)假设n 年后总资产可以翻一番，依题意， 200⎛
1 000× 1＋1 000n ＝2 000，即1.2n ＝2，
⎝⎭两边取对数得：n ＝＝
lg 2
2lg 2＋lg 3－1
0.301 0
3.805 3.
2×0.301 0＋0.477 1－1
所以大约4年后，即在2017年年底总资产可以翻一番．
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【训练3】 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率． (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列．
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
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1．均值与方差的性质
(1)E (aX ＋b ) ＝aE (X ) ＋b ，D (aX ＋b ) ＝a 2D (X )(a ，b 为常数) ． (2)若X 服从两点分布，则E (X ) ＝p ，D (X ) ＝p (1－p ) ．
(3)若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p ) ，则E (X ) ＝np ，D (X ) ＝np (1－p ) ． 2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
(2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解．
(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等) ，利用它们的均值、方差公式求解．
易错辨析12——不能正确理解题目条件致误
【典例】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm) 对工期的影响如下表：
，求： (1)工程延误天数Y 的均值与方差；
(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
【自主体验】
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
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(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
基础巩固题组
一、选择题 1．已知离散型随机变量X 的分布列为
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则X 的数学期望E (X ) ＝( ) ．
35
A. 2 B ．2 C. 2 D ．3
2．已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E (X ) ＝6.3，则a 的值为( ).
A.5 B ．6 D ．8
3．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6) ，则E (Y ) ，D (Y ) 分别是( ) ． A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6
4．若p 为非负实数，随机变量X 的分布列为
则E (X ) 的最大值为( ) ．
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A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0) ，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( ) ．
7⎫1⎫⎛⎛7⎫⎛⎛1⎫A. 0，12⎪ B. 121⎪ C. 0，2⎪ D. 21⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
二、填空题
6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X 表示取到次品的次数，则D (X ) ＝________.
7．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布列如下表：
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请小牛同学计算X 的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (X ) ＝________.
8．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元．
三、解答题
9．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队
1比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是3(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；
(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．
10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4) ．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．
(1)求X 的分布列、数学期望和方差；
(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y ) ＝1，D (Y ) ＝11，试求a ，b 的值．
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能力提升题组
一、选择题
1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的均值为( ) ．
A ．2.44 B ．3.376 C ．2.376 D ．2.4
2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) ．
A ．100 B ．200 C ．300 D ．400
二、填空题
3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲
2公司面试的概率为3p ，且三个公司是否让其面试是相互独立
1的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0) ＝12，则随机变量X 的数学期望E (X ) ＝
________.
三、解答题
4．如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨) 的频率分布直方图．
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(1)求直方图中x 的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样) ，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列、数学期望与方差．