23.2两个三角形相似的判定（1）
教学目标：
1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”的探索过程. 2．能运用“有两个角对应相等”的条件判定两个三角形相似. 重点和难点：
1．本节教学的重点是相似三角形的判定方法：有两个角对应相等的两个三角形相似. 2．有两个角相等的三角形是相似三角形的探索过程比较复杂，是本节教学的难点. 知识要点： A′1、有两个角对应相等的两个三角形相似. A如图，∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
C B
C′
B′2、基本图形
（1）如图甲，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
DE A
A E
C
BC
B图甲 图乙（2）如图乙，若AC∥DB,则△AOC∽△BOD.
3、常见图形
（1）如图1,若∠AED＝∠B,则△ADE∽△ACB； （2）如图2,若∠ACD＝∠B,则△ACD∽△ABC； AAA D
E
D
CCB BB
图3 图1图2
（3）如图3,若∠BAC＝90°,AD⊥BC,则△ABC∽△DBA∽△DAC. 重要方法：
1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似； 2、识别三角形相似的常用思路：
（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；
（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等.
C
教学过程
一．创设情境，导入新课
1、如图，在方格图中△ABC，DE∥BC，问：△ADE∽△ABC吗？说明理由.
A
CB
图2
2、如图2，A、B、C、D、E、F、G都在小方格的的顶点上，问：DE∥BC∥FG吗？ △ADE∽△ABC∽△AFG？
二．合作学习，探索新知 1、合作学习：
如图4－14,在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.则△ADE与△ABC相似吗？ 议一议：这两个三角形的三个内角是否相等？
量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
A
ED
A
CB 图4-14CB
追问：若点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，△ADE与△ABC是否还相似呢？
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
定理的几何语言表述： ∵DE∥BC
A′
∴△ADE∽△ABC
A
2、结合预备定理探求三角形相似的判定定理一 判定定理一：有两个角对应相等的两个三角形相似.
C
B简称：两角对应相等，两三角形相似.
C′
（由学生根据命题的题设和结论，写出已知求证）
B′
已知：在△ABC 和△A′B′C′中, ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ 求证：△ABC∽△A′B′C′ 分析:要证两个三角形相似，
目前只有两个途径。一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；另一个是上面学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？（即怎样把小的三角形移动到大的三角形上）
证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分别截取A′D=AB, A′E=AC，连结DE。 ∵ A′D=AB,∠A=∠A′，A′E=AC
∴ ΔA′DE≌ΔABC，
∴ ∠A′DE=∠B， 又∵ ∠B′＝∠B， ∴ ∠A′DE=∠B′， ∴ DE// B′C′
∴ ΔA′DE∽ΔA′B′C′ ∴△ABC∽△A′B′C′
判定定理一的几何语言表述：在△ABC和△A′B′C′中 ∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′ ∴△ABC∽△A′B′C′ 3、学以致用，体验成功
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.
求证：ΔABC∽ΔDEF
F
60E
B
80°
4080°
D
A
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°－∠A －∠B =180°－40° －80°＝60° ∵ 在ΔDEF中，∠E=80°，∠F=60° ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似） 例2、一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90°到E，使B，C，E三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m就可以求出河宽AB你算出结果（要求给
B出解题过程）
解决问题.
DA C
E
例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 已知：如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
A
求证：ΔACD∽ΔABC∽ΔCBD
D
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，
∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似） 同理 ΔCBD ∽ ΔABC
B
C∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
三．巩固应用，拓展延伸
1、如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。 （1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
A
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
EF
BC
D
2、在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？ （分两种情况讨论）
A
DE BC
1、完成课本“课内练习”P1081、2
2．完成课本作业题P108～1091、2、3、4、5、6
五．归纳小结，反思提高
试谈谈通过本节课的学习，你有哪些收获与感想 六．布置作业 作业本
ADE
BC
23.2两个相似三角形的判定（2）
教学目标：
1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程.
2、掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.
3、能运用上述两个判定方法判定两个三角形相似. 重点与难点：
1、本节教学的重点是相似三角形的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”及其应用.
2、例3的解答首先要选择用什么判定方法，然后利用方格进行计算，根据计算结果来判断两个三角形的三边是否对应成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节教学的难点. 知识要点：
三角形相似的条件：
1、有两个角对应相等的两个三角形相似.
2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 3、三边对应成比例的两个三角形线相似. 重要方法：
1、利用两对对应角相等证相似，关键是找出两对对应角.
2、三边对应成比例的两个三角形相似中，三边对应是有序的即：大对大，小对小，中对中. 3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，一定要弄清边与角的位置关系.即边是指夹角的两边，角是成比例的两边的夹角.
4、在相似三角形条件（3）中，如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，如在图4-3-14△ABC中,AB＝AC，∠A＝120°,在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′,∠A′＝30°,可以说AB∶A′B′＝AC∶A′C′,∠B＝∠A′,但两个三角形不相似. A′ A
C B
C′
B 4-3-14
教学过程： 一、复习 1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？ （1）平行于三角形一边直线定理 C∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
（2）判定定理1：
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′ （3）直角三角形中的一个重要结论
∵∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD∽△CDB
二、新课
1、合作学习:P109--110
下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似?
我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS” 、“SSS”判定方法，三角形相似还有两个判定方法，即判定定理2和判定定理3。
2、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 已知：如图，△A′B′C′和△ABC中， AA′∠A′=∠A，A′B′∶AB=A′C′∶AC 求证：△A′B′C′∽△ABC
BC
BC′定理的几何格式： ∵∠A =∠A′ ABAC
＝
A′B′A′C′∴△ABC∽△A′B′C′
3、例题讲解
ADAE
例1.如图已知点D,E分别在AB,AC上， ＝
ABAC
A
DB
E
C
求证：DE∥BC.
4、判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
AA′
几何格式 ∵
ABACBC
＝ ＝
A′B′A′C′B′C′
BC∴△ABC∽△A′B′C′
B
5、例2.如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
D
B E
C′
A
C
F
例3. 依据下列各组条件，判定△ABC与△A´B´C´是不是相似，并说明为什么： ⑴∠A=120º，AB=7厘米，AC=14厘米， ∠A´=120º，A´B´=3厘米，A´C´=6厘米； ⑵AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米， A´B´=12厘米，B´C´=18厘米，A´C´=24厘米
三、课堂练习
P111、课内练习1、2 P112、作业题选做
探究活动：
在有平行横线的练习薄上画一条线段AB,使线段A,B恰好在两条平行线上,线段AB就被平行线分成了相等的三小段,你能说出这一事实的数学原理吗?如果只给你圆规和直尺,你会把任意一条线段AB五等分吗?请试一试,并说明你的画法的依据.
四、小结
三角形相似的判定方法
五、作业 见作业本2
23.3相似三角形的性质及其应用（1）
教学目标：
1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.
2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质. 3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题. 重点与难点：
1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.
2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点. 知识要点：
三角形相似的条件：
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重要方法：
1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.
2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立.
教学过程： 一、问题情境
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？
二、新课
1、如图，4 ×4正方形网格 看一看：
ΔABC与ΔA′B′C′有什么关系？为什么？（相似）
算一算：
ΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少？（2 ） ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少? 2 ） 面积比是多少？（2）
C′
想一想： 上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方
验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？ 你能加以验证吗？
已知：如图4-24,△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k. △ABC的周长△ABC的面积2
求证： ＝k， ＝k
△A′B′C′的周长△A′B′C′的面积
AA′
BC
BC′ 例题
已知：如图，△ABC∽ △A′B′C
k,AD、A′D′是对
A′
应高。
AD
求证：＝k
A′D′
证明：
∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B= ∠B′ ∵AD、A′D′是对应高。
∴∠ADB=∠A′D′B′=90O ∴ △ABD∽△A’B’D’
B′
D′
C′
练一练：
注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比 或周长比则要开方。 2、如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： A AG（1） ； AFE
（2）△ADE与△ABC的周长之比； D
（3）△ADE与△ABC的面积之比. CB
例1 如图：是某市部分街道图，比例尺为1∶10000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC 的实际周长和面积. A
C B
D
问题解决：如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, ΔABC的周长为80m，面积为100m,求ΔADE的周长和面积
拓展延伸
1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则ΔEFC
2.若设
SΔ
ABC=S, S
ΔADE
=S1, SΔEFC=S2.请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？
S1AE2S1AE证明：△ADE∽△ ＝（ ）＝SACACS
S2AE2S2CE
△CFE∽△ ＝（ ）＝
SACACS
2
A
S1S2 ＝1 SS
M
1
2
FEC
类比猜想
如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且DE、FG、MN交于点P。
B
G
S3
若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3,SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有
N
类似结论？猜想并加以验证。
练一练：书本P115课内练习1、2
练一练（分组练习）
证明：相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比等于相似比。
能力训练
1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。 2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长比是 。
2
3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm，面积为12cm，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？
4、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S△ADE∶S四边形DBCE的比为______ 5、如图， △ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=______
A
O
E
DA
EFG
CB
BC
6.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.
7、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则
AΔACD∽Δ______.它们的相似比K =_______.
D
BC
E
探究活动： 1、书本P115
已知△ABC,如图，如果要作与BC平行的直线把△ABC划分成两部分，使这两部分（三角形与四边形）的面积之比为1∶1该怎么作？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶2呢？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶n呢？（平行线等分线段、平行线分线段成比例定理）
2．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a∶b)．
S甲a2V甲a3
＝（ ） ） S乙bV乙b
练习
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A．两个球体 B．两个锥体 C．两个圆柱体D．两个长方体 (2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______； ②相似体表面积的比等于__ ____； ③相似体体积比等于___ ．
(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化)
x1.653
设他的体重为x千克，根据题意得 ＝（ ）
181.1解得x＝60.75(千克)
三、小结
四、作业： 见作业本
23.3相似三角形的性质及其应用（2）
教学目标：
1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2、进一步检验数学的应用价值. 重点与难点：
1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点. 知识要点：
1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得. 2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的. 重要方法：
1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的. 2、在测量宽度时，可采用下面的方法.
B ABA
CD CD
E
教学过程： 一、复习提问
我们已经学习相似三角形的性质有哪些？ 1、相似三角形对应角相等。
∵△A′B′C′∽△ABC ∴ ∠A= ∠A′ ， ∠B= ∠B′ ∠C= ∠C′
AA′
BC
2、相似三角形对应边成比例。 ∵△ABC∽△ABC ∴
BC′
ABBCCA
＝ ＝
A′B′ B′C′ C′A′
3、相似三角形的周长之比等于相似比；
4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？
二、例题讲解
1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？
把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着
直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A， 再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。
这时树高多少？你能解决这个问题吗？
把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？
分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m）
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？ 2、如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2. 25 m。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1. 20m，AB在水平位置。求AB的长度。（结果保留3个有效数字）
O
三、练一练 1、课内练习
步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。
C
F
2、反馈练习 （1）某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高 4米 . （2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米， 长臂OB=10米，短臂端下降
AC=0.6米，则长臂端上升BD= 6 米。
A
3.(深圳市中考题)如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度h应为（ A ） 。
A、2.7米 B、1.8米 C、0.9米 D、 6米
h
5m 10m
思考题：
1、如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔 直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而
O 求出AB的长度。
解：∵ OA:OC＝OB:OD＝n 且∠AOB＝∠COD ∴△AOB∽△COD
∵ OA:OC＝AB:CD＝n 又∵CD＝b ∴AB=CD·n ＝nb a－ABa－nb∴x＝＝
22
2、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。
ENP
设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC AEPN所以 ＝ADBC
80－xx因此＝ 得 x=48（毫米）。
80120答：这个正方形零件的边长是48毫米。
B
C
QD
四、课堂小结
1、相似三角形的应用主要有如下两个方面 （1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) （2）测距(不能直接测量的两点间的距离) 2、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决. 3、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 4、解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
五、布置作业 1、见作业本2
2、书本P117 作业题1、2、3、4、5 3、课外活动 设计题：以4～6人为一组举行一次应用相似三角形的有关知识进行测量实践的活动.每组测量的目标、内容和方法均可以自选.在完成实践活动后，以组为单位写一份测量实践报告，在班内进行交流.
23.4相似多边形
教学目标：
1、了解相似多边形的概念和性质.
2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似. 3、会用相似多边形的性质解决简单的几何问题. 重点与难点：
1、本节教学的重点是相似多边形的定义和性质.
2、要判断两个多边形是否相似，需要看它们的边是否对应成比例、对应角是否相等，情形要比三角形复杂，是本节教学的难点. 知识要点：
1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比..
2、相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 重要方法：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化. 教学过程：
一、创设情景
如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的像,
请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个 1四边形各个内角的度数,
然后与你的同伴议一议;这两个四边形的对应角之间有什么 关系?对应边之间有什么关系?
二、新课
1、相似多边形
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD
1
相似多边形对应边的比叫做相似比. 四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k＝
2
判断，它们形状相同吗？
C F
11这两个五边形是相似六边形，即六边形A1B1C1D1E1F1∽六边形ABCDEF.
1
例 下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系?对应边呢？ (1) 正三角形ABC与正三角形DEF; (2) 正方形ABCD与正方形EFGH.
解:(1)由于正三角形每个角等于60°，所以∠A=∠D= 60°,∠B=∠E=60°,∠C=∠F= 60°. 由于正三角形三边相等，所以AB:DE=BC:EF=CA:FD
解：(2)、由于正方形的每个角都是直角，所以∠A=∠E= 90°∠B=∠F=90° ∠C=∠G= 90° ∠D=∠H= 90°
由于正方形的四边相等，所以AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE 练习
（1）它们相似吗？
（2）它们呢？
8
3、相似多边形的性质
问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？ 相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.
做一做P119 1、2
4、例题
矩形纸张的长与宽的比为2 ,对开后所得的矩形纸张是否与原来的矩形纸相似?请说明理由.
E
DA
CB
F
5、课内练习
（1）右面两个矩形相似，求它们对应边的比.
2 3
（2）如图，两个正六边形的边长分别为a和b，它们相似吗？为什么？
（相似.理由是：各对应角相等，各对应边成比例. ）
（3）如图，矩形的草坪长20m，宽10m，沿草坪四周外围有1m的环行小路，小路的内外边缘所成的矩形相似吗？
（4）P120 课内练习1、2、3
6、探究活动P120
三、小结
1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比..
2、相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 重要方法：
运用相似多边形的性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.
四、作业 1、见作业本
2、书本P121 1、2、3、4、5、6
23.5图形的位似”教学设计
一、教材分析：
1、教材的地位和作用
“4.6图形的位似”是浙教版九年级（上）第四章的内容，是相似形的延伸和深化。位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，如利用位似把图形放大或缩小；放电影时，胶片与屏幕的画面也是位似图形。从教材编排的一些素材看，不仅丰富了教材的内容，加强了数学与自然、社会及其他学科的联系，同时体现了学生的数学学习内容是现实的、有意义的、富有挑战性的，更突出地反映了数学的价值。因此，本节教材对形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，具有积极促进的作用。
2、教学内容的确定
新课标的理念：数学教育要面向全体学生，人人都能获得必需的数学。4.6图形的位似，作为新增的内容，以其丰富的社会背景为素材展示给我们，使我们感受到数学创造的乐趣，但它对后续学习的知识联系不是很大，所以，本节课的教学内容应以教材的编排为准，概念、性质、应用等让学生容易接受就好，水到渠成，不必要拓展和深化，按教材编排，“4.6图形的位似”为1课时完成。用“观察——验证——推理和交流”的方法，培养学生主动探求知识的精神和思维的条理性。 3、教学目标：
根据新课标要求，结合教材特点，本节课应达到以下几个目标： 1．理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。
2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。
3．掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。
4．经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。
5．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识。 6．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。 4、教学重点和难点
本节教学的重点是图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小。
直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系，因为它涉及到数形结合、分类讨论的数学思想等一些学生的数学薄弱环节，所以是本节教学的难点。 二、教法：
力求呈现“问题情境――建立数学概念――解释、应用与拓展”的模式，围绕所要学习的“图形的位似”主题，选择一些有意义的、能够表现位似图形的意义、有利于学生在自主探索和合作交流的过程中建立并求解包含该主题的数学模型，判断解的合理性并将所学的主题应用到其他场合，进而获得相应的数学知识、方法与技能，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心。如结合本节课内容和学生的实际水平，可采用“观察——验证——推理和交流”的教学方法，在教学过程中，又可通过设置带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考、操作，让学
生经历位似图形性质的探索过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，使获取新知识水到渠成。步步为营，顺理成章地突破教学难点.
考虑到如何更直观、形象地突破教学重、难点，增大课堂容量，提高课堂效率，采用了多媒体辅助教学。 三、学法：
叶圣陶说“教是为了不教”，也就是我们传授给学生的不只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法。在学习图形的位似概念过程中，让学生用类比的方法认识事物总是互相联系的，温故而知新。而通过“位似图形的性质”的探索，让学生认识事物的结论必须通过大胆猜测、判断和归纳。
在分析理解位似图形的性质时，加强师生的双边活动，提高学生分析问题、解决问题的能力。通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯。 四．教学过程
一．创设情景，构建新知 1．位似图形的概念
下列两幅图有什么共同特点？通过对图的观察能从生活中找到一种感觉吗？（像一种什么镜头）
图片的形状相同，而且每组对应顶点都在由同一点出发的一条射线上.
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.
例如上图中的任何两个五角星都是位似图形，点O是它们的位似中心；放电影时，胶片与屏幕的画面也是位似图形，光源就是它们的位似中心. 2．引导学生观察位似图形
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，并判断哪些是位似图形，哪些不是位似图形？ 为什么？
每个图形中的两个四边形不仅相似，而且各对应点所在的直线都经过同一点。所以都是位似图形。
各对应点所在的直线都经过同一点的相似图形是位似图形。其相似比又叫做它们的位似比. 显然，位似图形是相似图形的特殊情形。
3．练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
D′
D′
EE
C′C C
A′A′
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
DC′
DCA
（3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
AB′
（4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′ AB
A
C
66
（5）反比例函数y＝ （x>0）的图像与y＝（x
xx
′
C
（6）曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′
（7）扇形ABC与扇形A′B′C′，（B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上） B C′
C
B′
（8）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED＝∠B）
D
E DE
CCB B
通过上面几个练习，使学生明白：图形相似；对应顶点的连线经过同一点，是判断位似图形两个不可缺少的条件。
2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
二．应用新知，适当提高. 1．位似图形的性质
F
A
C
B
（1）从上面练习第1（1）（4）题图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,则＝
ABAFAPAEEPFP
.从第2题的图中同样可以看到 ＝＝ ＝ ＝ A′B′ADACABBCDC
OAOB
＝ OA′OB′
一般地，位似图形有以下性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 2．作位似图形
例：如图，请以坐标原点O为位似中心，作 ABCD的位似图形，并把 ABCD的边长放
大3倍.
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和 ABCD的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点. 作法：如图所示
1．连结OA，OB，OC，OD.
2．分别延长OA，OB，OC，OD到G，C，E，F，使
OGOCOEOF
＝＝ ＝ ＝3. OAOBOCOD
3．依次连结GC，CE，EF，FG. 四边形GCEF就是所求作的四边形.
如果反向延长OA，OB，OC，OD，就得到四边形G′C′E′F′，也是所求作的四边形.
3．直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律 想一想：
1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？
2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的位似图形？
比较图形中各对应点的坐标，我们还不难发现
以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.
4．练一练：
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边1
长缩小到原来的 .
2
C
O
A
B
2．如图，在直角坐标系中，△ABC的各个顶点的坐标为A（－1，1），B（2，3），C（0，
2
3）.现要以坐标原点O为位似中心，位似比为 ，作△ABC的位似图形△A′B′C′，则
3它的顶点A′、B′、C′的坐标各是多少？
三．小结内容，自我反馈 今天你学会了什么？
位似图形的定义，位似图形的性质.
四．作业
1．P125作业题 2．见作业本
y
x
23.2两个三角形相似的判定（1）
教学目标：
1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”的探索过程. 2．能运用“有两个角对应相等”的条件判定两个三角形相似. 重点和难点：
1．本节教学的重点是相似三角形的判定方法：有两个角对应相等的两个三角形相似. 2．有两个角相等的三角形是相似三角形的探索过程比较复杂，是本节教学的难点. 知识要点： A′1、有两个角对应相等的两个三角形相似. A如图，∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
C B
C′
B′2、基本图形
（1）如图甲，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
DE A
A E
C
BC
B图甲 图乙（2）如图乙，若AC∥DB,则△AOC∽△BOD.
3、常见图形
（1）如图1,若∠AED＝∠B,则△ADE∽△ACB； （2）如图2,若∠ACD＝∠B,则△ACD∽△ABC； AAA D
E
D
CCB BB
图3 图1图2
（3）如图3,若∠BAC＝90°,AD⊥BC,则△ABC∽△DBA∽△DAC. 重要方法：
1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似； 2、识别三角形相似的常用思路：
（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；
（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等.
C
教学过程
一．创设情境，导入新课
1、如图，在方格图中△ABC，DE∥BC，问：△ADE∽△ABC吗？说明理由.
A
CB
图2
2、如图2，A、B、C、D、E、F、G都在小方格的的顶点上，问：DE∥BC∥FG吗？ △ADE∽△ABC∽△AFG？
二．合作学习，探索新知 1、合作学习：
如图4－14,在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.则△ADE与△ABC相似吗？ 议一议：这两个三角形的三个内角是否相等？
量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
A
ED
A
CB 图4-14CB
追问：若点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，△ADE与△ABC是否还相似呢？
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
定理的几何语言表述： ∵DE∥BC
A′
∴△ADE∽△ABC
A
2、结合预备定理探求三角形相似的判定定理一 判定定理一：有两个角对应相等的两个三角形相似.
C
B简称：两角对应相等，两三角形相似.
C′
（由学生根据命题的题设和结论，写出已知求证）
B′
已知：在△ABC 和△A′B′C′中, ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ 求证：△ABC∽△A′B′C′ 分析:要证两个三角形相似，
目前只有两个途径。一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；另一个是上面学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？（即怎样把小的三角形移动到大的三角形上）
证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分别截取A′D=AB, A′E=AC，连结DE。 ∵ A′D=AB,∠A=∠A′，A′E=AC
∴ ΔA′DE≌ΔABC，
∴ ∠A′DE=∠B， 又∵ ∠B′＝∠B， ∴ ∠A′DE=∠B′， ∴ DE// B′C′
∴ ΔA′DE∽ΔA′B′C′ ∴△ABC∽△A′B′C′
判定定理一的几何语言表述：在△ABC和△A′B′C′中 ∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′ ∴△ABC∽△A′B′C′ 3、学以致用，体验成功
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.
求证：ΔABC∽ΔDEF
F
60E
B
80°
4080°
D
A
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°－∠A －∠B =180°－40° －80°＝60° ∵ 在ΔDEF中，∠E=80°，∠F=60° ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似） 例2、一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90°到E，使B，C，E三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m就可以求出河宽AB你算出结果（要求给
B出解题过程）
解决问题.
DA C
E
例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 已知：如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
A
求证：ΔACD∽ΔABC∽ΔCBD
D
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，
∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似） 同理 ΔCBD ∽ ΔABC
B
C∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
三．巩固应用，拓展延伸
1、如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。 （1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
A
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
EF
BC
D
2、在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？ （分两种情况讨论）
A
DE BC
1、完成课本“课内练习”P1081、2
2．完成课本作业题P108～1091、2、3、4、5、6
五．归纳小结，反思提高
试谈谈通过本节课的学习，你有哪些收获与感想 六．布置作业 作业本
ADE
BC
23.2两个相似三角形的判定（2）
教学目标：
1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程.
2、掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.
3、能运用上述两个判定方法判定两个三角形相似. 重点与难点：
1、本节教学的重点是相似三角形的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”及其应用.
2、例3的解答首先要选择用什么判定方法，然后利用方格进行计算，根据计算结果来判断两个三角形的三边是否对应成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节教学的难点. 知识要点：
三角形相似的条件：
1、有两个角对应相等的两个三角形相似.
2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 3、三边对应成比例的两个三角形线相似. 重要方法：
1、利用两对对应角相等证相似，关键是找出两对对应角.
2、三边对应成比例的两个三角形相似中，三边对应是有序的即：大对大，小对小，中对中. 3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，一定要弄清边与角的位置关系.即边是指夹角的两边，角是成比例的两边的夹角.
4、在相似三角形条件（3）中，如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，如在图4-3-14△ABC中,AB＝AC，∠A＝120°,在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′,∠A′＝30°,可以说AB∶A′B′＝AC∶A′C′,∠B＝∠A′,但两个三角形不相似. A′ A
C B
C′
B 4-3-14
教学过程： 一、复习 1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？ （1）平行于三角形一边直线定理 C∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
（2）判定定理1：
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′ （3）直角三角形中的一个重要结论
∵∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD∽△CDB
二、新课
1、合作学习:P109--110
下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似?
我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS” 、“SSS”判定方法，三角形相似还有两个判定方法，即判定定理2和判定定理3。
2、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 已知：如图，△A′B′C′和△ABC中， AA′∠A′=∠A，A′B′∶AB=A′C′∶AC 求证：△A′B′C′∽△ABC
BC
BC′定理的几何格式： ∵∠A =∠A′ ABAC
＝
A′B′A′C′∴△ABC∽△A′B′C′
3、例题讲解
ADAE
例1.如图已知点D,E分别在AB,AC上， ＝
ABAC
A
DB
E
C
求证：DE∥BC.
4、判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
AA′
几何格式 ∵
ABACBC
＝ ＝
A′B′A′C′B′C′
BC∴△ABC∽△A′B′C′
B
5、例2.如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
D
B E
C′
A
C
F
例3. 依据下列各组条件，判定△ABC与△A´B´C´是不是相似，并说明为什么： ⑴∠A=120º，AB=7厘米，AC=14厘米， ∠A´=120º，A´B´=3厘米，A´C´=6厘米； ⑵AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米， A´B´=12厘米，B´C´=18厘米，A´C´=24厘米
三、课堂练习
P111、课内练习1、2 P112、作业题选做
探究活动：
在有平行横线的练习薄上画一条线段AB,使线段A,B恰好在两条平行线上,线段AB就被平行线分成了相等的三小段,你能说出这一事实的数学原理吗?如果只给你圆规和直尺,你会把任意一条线段AB五等分吗?请试一试,并说明你的画法的依据.
四、小结
三角形相似的判定方法
五、作业 见作业本2
23.3相似三角形的性质及其应用（1）
教学目标：
1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.
2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质. 3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题. 重点与难点：
1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.
2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点. 知识要点：
三角形相似的条件：
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重要方法：
1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.
2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立.
教学过程： 一、问题情境
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？
二、新课
1、如图，4 ×4正方形网格 看一看：
ΔABC与ΔA′B′C′有什么关系？为什么？（相似）
算一算：
ΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少？（2 ） ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少? 2 ） 面积比是多少？（2）
C′
想一想： 上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方
验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？ 你能加以验证吗？
已知：如图4-24,△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k. △ABC的周长△ABC的面积2
求证： ＝k， ＝k
△A′B′C′的周长△A′B′C′的面积
AA′
BC
BC′ 例题
已知：如图，△ABC∽ △A′B′C
k,AD、A′D′是对
A′
应高。
AD
求证：＝k
A′D′
证明：
∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B= ∠B′ ∵AD、A′D′是对应高。
∴∠ADB=∠A′D′B′=90O ∴ △ABD∽△A’B’D’
B′
D′
C′
练一练：
注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比 或周长比则要开方。 2、如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： A AG（1） ； AFE
（2）△ADE与△ABC的周长之比； D
（3）△ADE与△ABC的面积之比. CB
例1 如图：是某市部分街道图，比例尺为1∶10000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC 的实际周长和面积. A
C B
D
问题解决：如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, ΔABC的周长为80m，面积为100m,求ΔADE的周长和面积
拓展延伸
1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则ΔEFC
2.若设
SΔ
ABC=S, S
ΔADE
=S1, SΔEFC=S2.请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？
S1AE2S1AE证明：△ADE∽△ ＝（ ）＝SACACS
S2AE2S2CE
△CFE∽△ ＝（ ）＝
SACACS
2
A
S1S2 ＝1 SS
M
1
2
FEC
类比猜想
如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且DE、FG、MN交于点P。
B
G
S3
若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3,SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有
N
类似结论？猜想并加以验证。
练一练：书本P115课内练习1、2
练一练（分组练习）
证明：相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比等于相似比。
能力训练
1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。 2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长比是 。
2
3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm，面积为12cm，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？
4、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S△ADE∶S四边形DBCE的比为______ 5、如图， △ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=______
A
O
E
DA
EFG
CB
BC
6.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.
7、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则
AΔACD∽Δ______.它们的相似比K =_______.
D
BC
E
探究活动： 1、书本P115
已知△ABC,如图，如果要作与BC平行的直线把△ABC划分成两部分，使这两部分（三角形与四边形）的面积之比为1∶1该怎么作？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶2呢？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶n呢？（平行线等分线段、平行线分线段成比例定理）
2．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a∶b)．
S甲a2V甲a3
＝（ ） ） S乙bV乙b
练习
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A．两个球体 B．两个锥体 C．两个圆柱体D．两个长方体 (2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______； ②相似体表面积的比等于__ ____； ③相似体体积比等于___ ．
(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化)
x1.653
设他的体重为x千克，根据题意得 ＝（ ）
181.1解得x＝60.75(千克)
三、小结
四、作业： 见作业本
23.3相似三角形的性质及其应用（2）
教学目标：
1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2、进一步检验数学的应用价值. 重点与难点：
1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点. 知识要点：
1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得. 2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的. 重要方法：
1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的. 2、在测量宽度时，可采用下面的方法.
B ABA
CD CD
E
教学过程： 一、复习提问
我们已经学习相似三角形的性质有哪些？ 1、相似三角形对应角相等。
∵△A′B′C′∽△ABC ∴ ∠A= ∠A′ ， ∠B= ∠B′ ∠C= ∠C′
AA′
BC
2、相似三角形对应边成比例。 ∵△ABC∽△ABC ∴
BC′
ABBCCA
＝ ＝
A′B′ B′C′ C′A′
3、相似三角形的周长之比等于相似比；
4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？
二、例题讲解
1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？
把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着
直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A， 再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。
这时树高多少？你能解决这个问题吗？
把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？
分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m）
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？ 2、如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2. 25 m。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1. 20m，AB在水平位置。求AB的长度。（结果保留3个有效数字）
O
三、练一练 1、课内练习
步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。
C
F
2、反馈练习 （1）某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高 4米 . （2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米， 长臂OB=10米，短臂端下降
AC=0.6米，则长臂端上升BD= 6 米。
A
3.(深圳市中考题)如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度h应为（ A ） 。
A、2.7米 B、1.8米 C、0.9米 D、 6米
h
5m 10m
思考题：
1、如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔 直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而
O 求出AB的长度。
解：∵ OA:OC＝OB:OD＝n 且∠AOB＝∠COD ∴△AOB∽△COD
∵ OA:OC＝AB:CD＝n 又∵CD＝b ∴AB=CD·n ＝nb a－ABa－nb∴x＝＝
22
2、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。
ENP
设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC AEPN所以 ＝ADBC
80－xx因此＝ 得 x=48（毫米）。
80120答：这个正方形零件的边长是48毫米。
B
C
QD
四、课堂小结
1、相似三角形的应用主要有如下两个方面 （1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) （2）测距(不能直接测量的两点间的距离) 2、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决. 3、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 4、解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
五、布置作业 1、见作业本2
2、书本P117 作业题1、2、3、4、5 3、课外活动 设计题：以4～6人为一组举行一次应用相似三角形的有关知识进行测量实践的活动.每组测量的目标、内容和方法均可以自选.在完成实践活动后，以组为单位写一份测量实践报告，在班内进行交流.
23.4相似多边形
教学目标：
1、了解相似多边形的概念和性质.
2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似. 3、会用相似多边形的性质解决简单的几何问题. 重点与难点：
1、本节教学的重点是相似多边形的定义和性质.
2、要判断两个多边形是否相似，需要看它们的边是否对应成比例、对应角是否相等，情形要比三角形复杂，是本节教学的难点. 知识要点：
1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比..
2、相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 重要方法：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化. 教学过程：
一、创设情景
如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的像,
请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个 1四边形各个内角的度数,
然后与你的同伴议一议;这两个四边形的对应角之间有什么 关系?对应边之间有什么关系?
二、新课
1、相似多边形
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD
1
相似多边形对应边的比叫做相似比. 四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k＝
2
判断，它们形状相同吗？
C F
11这两个五边形是相似六边形，即六边形A1B1C1D1E1F1∽六边形ABCDEF.
1
例 下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系?对应边呢？ (1) 正三角形ABC与正三角形DEF; (2) 正方形ABCD与正方形EFGH.
解:(1)由于正三角形每个角等于60°，所以∠A=∠D= 60°,∠B=∠E=60°,∠C=∠F= 60°. 由于正三角形三边相等，所以AB:DE=BC:EF=CA:FD
解：(2)、由于正方形的每个角都是直角，所以∠A=∠E= 90°∠B=∠F=90° ∠C=∠G= 90° ∠D=∠H= 90°
由于正方形的四边相等，所以AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE 练习
（1）它们相似吗？
（2）它们呢？
8
3、相似多边形的性质
问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？ 相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.
做一做P119 1、2
4、例题
矩形纸张的长与宽的比为2 ,对开后所得的矩形纸张是否与原来的矩形纸相似?请说明理由.
E
DA
CB
F
5、课内练习
（1）右面两个矩形相似，求它们对应边的比.
2 3
（2）如图，两个正六边形的边长分别为a和b，它们相似吗？为什么？
（相似.理由是：各对应角相等，各对应边成比例. ）
（3）如图，矩形的草坪长20m，宽10m，沿草坪四周外围有1m的环行小路，小路的内外边缘所成的矩形相似吗？
（4）P120 课内练习1、2、3
6、探究活动P120
三、小结
1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比..
2、相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 重要方法：
运用相似多边形的性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.
四、作业 1、见作业本
2、书本P121 1、2、3、4、5、6
23.5图形的位似”教学设计
一、教材分析：
1、教材的地位和作用
“4.6图形的位似”是浙教版九年级（上）第四章的内容，是相似形的延伸和深化。位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，如利用位似把图形放大或缩小；放电影时，胶片与屏幕的画面也是位似图形。从教材编排的一些素材看，不仅丰富了教材的内容，加强了数学与自然、社会及其他学科的联系，同时体现了学生的数学学习内容是现实的、有意义的、富有挑战性的，更突出地反映了数学的价值。因此，本节教材对形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，具有积极促进的作用。
2、教学内容的确定
新课标的理念：数学教育要面向全体学生，人人都能获得必需的数学。4.6图形的位似，作为新增的内容，以其丰富的社会背景为素材展示给我们，使我们感受到数学创造的乐趣，但它对后续学习的知识联系不是很大，所以，本节课的教学内容应以教材的编排为准，概念、性质、应用等让学生容易接受就好，水到渠成，不必要拓展和深化，按教材编排，“4.6图形的位似”为1课时完成。用“观察——验证——推理和交流”的方法，培养学生主动探求知识的精神和思维的条理性。 3、教学目标：
根据新课标要求，结合教材特点，本节课应达到以下几个目标： 1．理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。
2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。
3．掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。
4．经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。
5．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识。 6．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。 4、教学重点和难点
本节教学的重点是图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小。
直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系，因为它涉及到数形结合、分类讨论的数学思想等一些学生的数学薄弱环节，所以是本节教学的难点。 二、教法：
力求呈现“问题情境――建立数学概念――解释、应用与拓展”的模式，围绕所要学习的“图形的位似”主题，选择一些有意义的、能够表现位似图形的意义、有利于学生在自主探索和合作交流的过程中建立并求解包含该主题的数学模型，判断解的合理性并将所学的主题应用到其他场合，进而获得相应的数学知识、方法与技能，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心。如结合本节课内容和学生的实际水平，可采用“观察——验证——推理和交流”的教学方法，在教学过程中，又可通过设置带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考、操作，让学
生经历位似图形性质的探索过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，使获取新知识水到渠成。步步为营，顺理成章地突破教学难点.
考虑到如何更直观、形象地突破教学重、难点，增大课堂容量，提高课堂效率，采用了多媒体辅助教学。 三、学法：
叶圣陶说“教是为了不教”，也就是我们传授给学生的不只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法。在学习图形的位似概念过程中，让学生用类比的方法认识事物总是互相联系的，温故而知新。而通过“位似图形的性质”的探索，让学生认识事物的结论必须通过大胆猜测、判断和归纳。
在分析理解位似图形的性质时，加强师生的双边活动，提高学生分析问题、解决问题的能力。通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯。 四．教学过程
一．创设情景，构建新知 1．位似图形的概念
下列两幅图有什么共同特点？通过对图的观察能从生活中找到一种感觉吗？（像一种什么镜头）
图片的形状相同，而且每组对应顶点都在由同一点出发的一条射线上.
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.
例如上图中的任何两个五角星都是位似图形，点O是它们的位似中心；放电影时，胶片与屏幕的画面也是位似图形，光源就是它们的位似中心. 2．引导学生观察位似图形
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，并判断哪些是位似图形，哪些不是位似图形？ 为什么？
每个图形中的两个四边形不仅相似，而且各对应点所在的直线都经过同一点。所以都是位似图形。
各对应点所在的直线都经过同一点的相似图形是位似图形。其相似比又叫做它们的位似比. 显然，位似图形是相似图形的特殊情形。
3．练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
D′
D′
EE
C′C C
A′A′
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
DC′
DCA
（3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
AB′
（4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′ AB
A
C
66
（5）反比例函数y＝ （x>0）的图像与y＝（x
xx
′
C
（6）曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′
（7）扇形ABC与扇形A′B′C′，（B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上） B C′
C
B′
（8）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED＝∠B）
D
E DE
CCB B
通过上面几个练习，使学生明白：图形相似；对应顶点的连线经过同一点，是判断位似图形两个不可缺少的条件。
2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
二．应用新知，适当提高. 1．位似图形的性质
F
A
C
B
（1）从上面练习第1（1）（4）题图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,则＝
ABAFAPAEEPFP
.从第2题的图中同样可以看到 ＝＝ ＝ ＝ A′B′ADACABBCDC
OAOB
＝ OA′OB′
一般地，位似图形有以下性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 2．作位似图形
例：如图，请以坐标原点O为位似中心，作 ABCD的位似图形，并把 ABCD的边长放
大3倍.
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和 ABCD的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点. 作法：如图所示
1．连结OA，OB，OC，OD.
2．分别延长OA，OB，OC，OD到G，C，E，F，使
OGOCOEOF
＝＝ ＝ ＝3. OAOBOCOD
3．依次连结GC，CE，EF，FG. 四边形GCEF就是所求作的四边形.
如果反向延长OA，OB，OC，OD，就得到四边形G′C′E′F′，也是所求作的四边形.
3．直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律 想一想：
1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？
2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的位似图形？
比较图形中各对应点的坐标，我们还不难发现
以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.
4．练一练：
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边1
长缩小到原来的 .
2
C
O
A
B
2．如图，在直角坐标系中，△ABC的各个顶点的坐标为A（－1，1），B（2，3），C（0，
2
3）.现要以坐标原点O为位似中心，位似比为 ，作△ABC的位似图形△A′B′C′，则
3它的顶点A′、B′、C′的坐标各是多少？
三．小结内容，自我反馈 今天你学会了什么？
位似图形的定义，位似图形的性质.
四．作业
1．P125作业题 2．见作业本
y
x